九年级数学下册试题 5.3 用待定系数法确定二次函数表达式--苏科版（含解析）

5.3用待定系数法确定二次函数表达式
一、单选题
1．将二次函数y＝x2﹣4x+8转化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，其结果为（　　）
A．y＝（x﹣2）2+4 B．y＝（x+4）2+4
C．y＝（x﹣4）2+8 D．y＝（x﹣2）2﹣4
2．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+c（其中x是自变量），当2≤x≤3时，5≤y≤8，则a的值为（　　）
A．1 B．2 C．±1 D．±2
3．设函数y＝a（x+m）2+n（a≠0，m，n是实数），当x＝1时，y＝1；当x＝6时，y＝6．则（　　）
A．若m＝﹣3，则a＜0 B．若m＝﹣4，则a＞0
C．若m＝﹣5，则a＜0 D．若m＝﹣6，则a＞0
4．已知抛物线y＝x2+（3m﹣1）x﹣3m（m＞0）的最低点的纵坐标为﹣4，则抛物线的表达式是（　　）
A．y＝x2﹣6x+5 B．y＝x2+2x﹣3 C．y＝x2+5x﹣6 D．y＝x2+4x﹣5
5．二次函数y＝﹣x2﹣2x+1配方后，结果正确的是（　　）
A．y＝﹣（x+1）2+2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2
C．y＝﹣（x+1）2﹣2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
二、填空题
6．一个二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点在x轴负半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 　 　．
7．请写出一个开口向上，并且对称轴为直线x＝1的抛物线的表达式y＝　 　
8．一个二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点．则这个二次函数的解析式为 　 　．
9．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），（1，﹣2），当y随x的增大而增大时，x的取值范围是　 　．
10．如图，在同一坐标系内，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4），一次函数的图象与抛物线交于B，C两点．
（1）二次函数的解析式为　 　；
（2）当自变量x　 　时，两函数的函数值都随x增大而减小；
（3）当自变量x　 　时，一次函数值大于二次函数值．
三、解答题
11．在平面直角坐标系内，设二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1（a为常数）．
（1）若函数y的图象经过点（1，2），求函数y的表达式；
（2）若二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1在1≤x≤4时，y有最小值2，求a的值．
12．如图，抛物线经过A（﹣3，0），B（0，6）两点，且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线及直线AB的函数表达式；
（2）若P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），若△PAB的面积为6，求出此时点P的坐标．
13．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c图象经过点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）．
（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标；
（2）当y≤﹣2时，请根据图象直接写出x的取值范围是 　 　；
（3）若关于x的方程|x2+bx+c|﹣m＝0有且只有四个解，则m的取值范围是 　 　．
14．已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P为二次函数图象上一点，点F在y轴正半轴上，将线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，求点P的坐标．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD的面积．
16．已知直线y＝2x﹣2与抛物线y＝mx2+mx+n交于点A（1，0）和点B，且m＜n．
（1）当m＝﹣2时，直接写出该抛物线顶点的坐标．
（2）求点B的坐标（用含m的代数式表示）．
（3）设抛物线顶点为C，记△ABC的面积为S．
①若﹣1≤m，求线段AB长度的取值范围；
②当S时，求对应的抛物线的函数表达式．
17.已知二次函数y＝﹣x2+bx+c．
（1）当b＝4，c＝3时，
①求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围；
（2）当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．
18.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
19.已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点E是抛物线上的第一象限的点，求的最大值，并求取得最大值时E点坐标；
(3)如图2，在抛物线对称轴上是否存在一点P，使是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．
参考答案
一、单选题
1．
【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．
【解答】解：y＝x2﹣4x+8
＝x2﹣4x+4+4
＝（x﹣2）2+4，
故选：A．
2．
【分析】分两种情况，根据待定系数法即可求得a的值．
【解答】解：当x＝2时，y＝5；x＝3时，y＝8，则，解得；
当x＝2时，y＝8；x＝3时，y＝5，则，解得，
∴a的值为±1，
故选：C．
3．
【分析】根据所给解析式得出抛物线的对称轴为直线x＝﹣m，再根据选项中所给出的m的值都a的正负依次进行判断即可．
【解答】解：由所给函数解析式可知，
抛物线的对称轴为直线x＝﹣m．
当m＝﹣3时，抛物线的对称轴为直线x＝3，
因为（1，1）和（6，6）在抛物线上，
则点（1，1）关于直线x＝3的对称点为（5，1），
因为6＞5，6＞1，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
则抛物线的开口向上，
即a＞0．
故A选择不符合题意．
当m＝﹣4时，抛物线的对称轴为直线x＝4，
所以点（1，1）关于直线x＝4的对称点为（7，1），
因为6＜7，6＞1，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，
即a＜0．
故B选项不符合题意．
当m＝﹣5时，抛物线的对称轴为直线x＝5，
所以点（1，1）关于直线x＝5的对称点为（9，1），
因为6＜9，6＞1，
所以在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
则抛物线的开口向下，
即a＜0．
故C选项符合题意．
当m＝﹣6时，抛物线的对称轴为直线x＝6，
因为6＞1，
所以顶点的纵坐标为抛物线上所有点纵坐标中最大的，
则抛物线的开口向下，
即a＜0．
故D选项不符合题意．
故选：C．
4．
【分析】根据顶点的纵坐标求出m的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+（3m﹣1）x﹣3m（m＞0）的最低点的纵坐标为﹣4，
∴，
即，
∴（3m﹣1）2+12m＝16，
（3m+1）2＝16，
∴3m+1＝±4，
解得：m1＝1，，
当m＝1时，抛物线为y＝x2+2x﹣3．
故选：B．
5．
【分析】化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+1，
＝﹣（x2+2x）+1，
＝﹣[（x2+2x）+1]+1+1，
＝y＝﹣（x+1）2+2．
故选：A．
二、填空题
6．
【分析】按照题目对二次函数的要求，写出符合要求的解析式即可．
【解答】解：由题知，
因为二次函数图象的顶点在x轴的负半轴上，
不妨令其顶点坐标为（﹣1，0）．
又因为在其对称轴左侧的部分是上升的，
所以抛物线的开口向下，则a＜0，
不妨令a的值为﹣1，
所以这个二次函数的解析式可以是：y＝﹣（x+1）2．
故答案为：y＝﹣（x+1）2（答案不唯一）．
7．
【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可．
【解答】解：符合的表达式是y＝（x﹣1）2，
故答案为：（x﹣1）2．
8．
【分析】设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把三点的坐标代入得出方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵二次函数的图象经过（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）三点，
∴代入得：
解得：a＝4，b＝5，c＝0，
即二次函数的解析式是y＝4x2+5x，
故答案为：y＝4x2+5x．
9．
【分析】先把（﹣1，0），（1，﹣2）代入二次函数y＝x2+bx+c中，得到关于b、c的方程，解出b、c，即可求解析式．
【解答】解：把（﹣1，0），（1，﹣2）代入二次函数y＝x2+bx+c中，得
，
解得
，
那么二次函数的解析式是y＝x2﹣x﹣2．
函数的对称轴是：x
因而当y随x的增大而增大时，x的取值范围是：x．
故答案为：x．
10．
【分析】（1）可设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，分别把点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4）代入解析式求解系数即可．
（2）和（3）都可以根据函数图象直接观察．
【解答】解：（1）根据题意，可设二次函数解析式为y＝ax2+bx+c，
∵二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4），
∴分别把点A（﹣1，0），点B（2，0）和点C（0，4）代入解析式得，
0＝a﹣b+c，①
0＝4a+2b+c，②
4＝c，③
由①②③得，a＝﹣2，b＝2，c＝4，
∴二次函数解析式为y＝﹣2x2+2x+4．
（2）根据图象可知，当x时，两函数的函数值都随x增大而减小．
（3）一次函数值大于二次函数值即一次函数图象在二次函数上方，根据图象知x范围为：x＜0或x＞2．
故答案为：（1）y＝﹣2x2+2x+4；
（2）；
（3）＜0或x＞2．
三、解答题
11．解：（1）把（1，2）代入y＝（x﹣a）2+a﹣1 得：2＝（1﹣a）2+a﹣1，
解得a＝2或a＝﹣1，
∴函数y的表达式为y＝（x﹣2）2+1 y＝（x+1）2﹣2；
（2）抛物线y＝（x﹣a）2+a﹣1开口向上，对称轴是直线 x＝a，
当a＜1时，x＝1时y取最小值2，
∴（1﹣a）2+a﹣1＝2，解得a＝2（舍去）或a＝﹣1；
当1≤a≤4时，x＝a时y取最小值2，
∴a﹣1＝2，
解得 a＝3，
当a＞4时，x＝4时y取最小值2，
∴（4﹣a）2+a﹣1＝2，方程无实数解，
综上所述，二次函数 y＝（x﹣a）2+a﹣1在1≤x≤4时，y有最小值2，a的值为﹣1或3．
12．解：（1）设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴，即b＝2a
把A（﹣3，0），B（0，6）代入y＝ax2+bx+c（a≠0）中得，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣4x+6；
设直线AB的解析式为y＝kx+b′，
把A（﹣3，0），B（0，6）代入y＝kx+b′中得：，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝2x+6；
（2）如图所示，过点P作PH⊥x轴于H，
设P（m，﹣2m2﹣4m+6），则OH＝﹣m，PH＝﹣2m2﹣4m+6，
∴AH＝OA﹣OH＝m+3，
∵S四边形AOBP＝S△APB+S△AOB＝S△APH+S梯形OBPH，
∴，
∴，
∴﹣2m3﹣6m2﹣4m2﹣12m+6m+18+2m3+4m2﹣12m＝30，
∴m2+3m+2＝0，
解得m＝﹣1或m＝﹣2，
当m＝﹣1时，﹣2m2﹣4m+6＝8，
当m＝﹣2时，﹣2m2﹣4m+6＝6，
∴点P的坐标为（﹣1，8）或（﹣2，6）．
13．解：（1）将点A（1，﹣2）和B（0，﹣5）代入解析式，得：
，
解得，
所以函数解析式为y＝x2+2x﹣5，
∵y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，
∴函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣6）；
（2）当y≤﹣2时，x2+2x﹣5≤﹣2，
∴x2+2x﹣3≤0，
解得﹣3≤x≤1，
故答案为：﹣3≤x≤1；
（3）由|x2+bx+c|﹣m＝0知|x2+bx+c|＝m，
如图所示，
由图知，当0＜m＜6时，直线y＝m与函数y＝|x2+2x﹣5|有4个交点，即此时|x2+bx+c|﹣m＝0有4个解．
故答案为：0＜m＜6．
14．解：（1）∵二次函数y＝ax2+c的图象经过点（8，10），，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为y2；
（2）过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，如图，
∵线段PF绕点P逆时针旋转90°得到PE，点E恰好落在x轴正半轴上，
∴∠FPE＝90°，PF＝PE
∴∠FPA+∠EPA＝90°．
∵作PA⊥x轴，PB⊥y轴，OF⊥OE，
∴四边形APBO为矩形，
∴∠APB＝90°，
∴∠BPF+∠FPA＝90°，
∴∠FPB＝∠EPA．
在△BPF和△APE中，
，
∴△BPF≌△APE（AAS），
∴PB＝PA．
∴点P的横纵坐标相等，
设P（m，m），
∵点P为二次函数图象上一点，
∴2＝m，
解得：m1＝m2＝4，
∴点P的坐标为（4，4）．
15．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC，
∴OC＝OB＝3，
∴C（0，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入得，
﹣3a＝3，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
如图，过点D作DF⊥AB于点F，交BC于点E．
设直线BC的解析式为y＝kx+3，将（3，0）代入得，0＝3k+3，
∴k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝2，
∴E（1，2），
∴DE＝4﹣2＝2，
∴S△CDB DE OB2×3＝3
16．解：（1）∵抛物线y＝mx2+mx+n过点A（1，0），得n＝﹣2m，
当m＝﹣2时，y＝﹣2x2﹣2x+4
＝﹣2（x2+x﹣2）
＝﹣2（x）2，
则抛物线顶点坐标为（，）；
（2）由题意得，，
整理得，mx2+（m﹣2）x﹣2m+2＝0，即x2+（1）x﹣20，
解得x＝1或x2，
∴B点坐标为（2，6）；
（3）①由勾股定理可得AB2＝[（2）﹣1]2+（6）2＝5（3）2，
∵，
∴﹣31，
∴AB2随的增大而减小，
∴当3时，AB2有最大值405，则AB有最大值9，
当1时，AB2有最小值125，则AB有最小值5，
∴线段AB长度的取值范围为5AB≤9；
②如图，设抛物线对称轴交直线y＝2x﹣2于点E，
由题意得：点C的坐标为（，m）
∵抛物线对称轴为x，点E在直线AB：y＝2x﹣2上，
∴E（，﹣3），
∵A（1，0），B（2，6），且m＜0，
∴△ABC的面积S＝S△CEB+S△ACE（3）（3），
解得m＝﹣1或m，
对应的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣x+2或yx2x．
17.解：（1）①∵b＝4，c＝3 时，
∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，
∴顶点坐标为（2，7）．
②∵﹣1≤x≤3中含有顶点（2，7），
∴当 x＝2 时，y有最大值7，
∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，
∴当x＝﹣1 时，y有最小值为：﹣2，
∴当﹣1≤x≤3时，﹣2≤y≤7．
（2）∵x≤0时，y的最大值为2；x＞0时，y的最大值为3，
∴抛物线的对称轴 在y轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线开口向下，x≤0时，y的最大值为2，
∴c＝2，
又∵，
∴b＝±2，
∵b＞0，
∴b＝2．
∴二次函数的表达式为 y＝﹣x2+2x+2．
18.解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（2，﹣3），
∴，
解得b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由如下：
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴D点坐标为（1，﹣4），
令x＝0，则y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴C点坐标为（0，﹣3），
又∵B点坐标为（2，﹣3），
∴BC∥x轴，
∴S△BCD＝×2×1＝1，
设抛物线上的点P坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴S△PBC＝×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，
当|m2﹣2m|＝4×1时，
解得m＝1±，
当m＝1+时，m2﹣2m﹣3＝1，
当m＝1﹣时，m2﹣2m﹣3＝1，
综上，P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）．
19.（1）解：将点，代入，
得：，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）解：如图1，过点作轴于点，

设点，
则，，，
，
则当时，取得最大值4，
∴
（3）解：由（1）可知抛物线的对称轴为直线，设点，当是等腰三角形时，可分：
①当时，根据两点距离公式可得：，
解得：，
∴点；
②当时，根据两点距离公式可得：，
解得：，
∴点或；
③当时，根据两点距离公式可得：，
解得：，
∴点或；
综上所述：当是等腰三角形时，点或或或或．