12．1　复数的概念 学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

12．1　复数的概念
1. 经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创新的过程以及数学发生、发展的客观需求．
2. 通过方程的求解，理解引入复数的必要性．
3. 理解复数的基本概念以及复数相等的含义．
活动一 了解数系的发展史
阅读课本相关内容，回答下列问题：
问题1：我们已经学过的数集经历了哪几次扩充？
问题2：每一次扩充解决了哪些问题？
问题3：这几次扩充有什么共同的特点？
问题4：我们说，实系数一元二次方程x2＋1＝0没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方等于负数．解决这一问题，其本质就是解决以下问题串：什么叫方程无解？方程是否有解与什么相关？有没有必要将实数集扩充，使得此类方程在新的数集中有解？
问题5：怎样将实数集进行扩充，使得 x2＝－1 之类方程在新的数集中有解？
活动二　理解复数的基本概念　
1. 虚数单位的引入．
(1) 虚数单位：
(2) 对i的规定：
2. 复数的有关概念．
(1) 什么是复数？
(2) 如何对复数进行分类？
例1　完成下列表格(分类一栏填“实数”“虚数”或“纯虚数”).
4 2－3i 0 －＋i 6i i2
实部
虚部
分类
只有当a，b∈R时，a＋bi中的a称为实部，b称为虚部．
当m为何实数时，复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是：　
(1) 实数？ (2) 虚数？(3) 纯虚数？(4) 0
思考1
a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充分条件吗？
活动三　理解复数相等的充要条件　
思考2
两个复数满足什么条件时相等？
例2　已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，求实数x，y的值．
　　
1. a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)
2. a＋bi＝0(a，b∈R)
3. 利用复数相等的定义可将复数问题实数化.
若复数z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m－2＋(m2－5m)i，m为实数，且z1>z2，求实数m的值．
1. (教材改编)以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是(　　)
A. 3－3i B. 3＋i C. －＋i D. ＋i
2. (教材改编)已知复数z1＝2－ai，z2＝b－1＋2i，(a，b∈R，i为虚数单位)，且z1＝z2，则下列结论中正确的是(　　)
A. a＝－1，b＝1 B. a＝2，b＝－3
C. a＝2，b＝3 D. a＝－2，b＝3
3. (多选)(2024泰州期中)对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，下列命题中错误的是(　　)
A. 若a＝0，则a＋bi为纯虚数 B. 若z＝3－2i，则a＝3，b＝2
C. 若b＝0，则a＋bi为实数 D. 若a＝b＝0，则z不是复数
4. (2023广州第五中学月考)若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为________．
5. (教材改编)已知i是虚数单位，当复数z＝(m2－3m)＋(m2－5m＋6)i分别满足下列条件时，求实数m的取值范围．
(1) z为实数；
(2) z为虚数；
(3) z为纯虚数．
12．1　复数的概念
【活动方案】
问题1：为了计数的需要产生了自然数，为了测量等需要产生了分数，为了刻画具有相反意义的量产生了负数，为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数，等等．
问题2：引入了负数，数集扩充到整数集，解决了小数不能减大数的问题；
引入了分数，数集扩充到有理数集，解决了除法只能整除的问题；
引入了无理数，数集扩充到实数集，解决了开方的结果可能不是有理数的问题．
问题3：从自然数集、整数集、有理数集到实数集，每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的．在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾．
问题4：略
问题5：为了使方程x2＋1＝0有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于－1的“新数”开始．
1. (1) 我们引入一个新数i，叫作虚数单位．
(2) ①i2＝－1；
②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
2. (1) i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成a＋bi，这样形如a＋bi(a，b∈R)的数，我们把它们叫作复数．
(2) 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部．当且仅当b＝0时，z是实数a；当b≠0时，z叫作虚数．特别地，当a＝0且b≠0时，z＝bi叫作纯虚数．
例1　
4 2－3i 0 －＋i 6i i2
实部 4 2 0 － 0 －1
虚部 0 －3 0 6 0
分类 实数 虚数 实数 虚数 纯虚数 实数
跟踪训练　(1) m＝1　(2) m≠1　(3) m＝0
(4) m＝1
思考1：不是，a＝0且b≠0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件．
思考2：如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
例2　由题意，得解得
跟踪训练　由复数z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m－2＋(m2－5m)i，m为实数，且z1>z2，
得
解得
所以m＝0，故实数m的值为0.
【检测反馈】
1. A　因为3i－的虚部为3，3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，所以所求的复数为3－3i.
2. D　因为z1＝z2，a，b∈R，所以2－ai＝b－1＋2i，则解得a＝－2，b＝3.
3. ABD　对于A，当a＝0，b＝0时，a＋bi为实数，故A错误；对于B，若z＝3－2i，则a＝3，b＝－2，故B错误；对于C，若b＝0，则a＋bi为实数，故C正确；对于D，若a＝b＝0，则z是实数，故D错误．故选ABD.
4. 3　因为复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，所以m2－9＝0，解得m＝3或m＝－3，当m＝3时，m＋2＝5，符合题意；当m＝－3时，m＋2＝－1，不符合题意，所以实数m的值为3.
5. (1) 复数z＝(m2－3m)＋(m2－5m＋6)i是实数，
则m2－5m＋6＝0，
解得m＝2或m＝3.
(2) 复数z＝(m2－3m)＋(m2－5m＋6)i是虚数，
则m2－5m＋6≠0，
解得m≠2且m≠3.
(3) 复数z＝(m2－3m)＋(m2－5m＋6)i是纯虚数，
则
解得m＝0.