12.2  复数的运算 学案(2课时,含答案)2024-2025学年高一数学苏教版(2019)必修第二册

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名称 12.2  复数的运算 学案(2课时,含答案)2024-2025学年高一数学苏教版(2019)必修第二册
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文件大小 173.2KB
资源类型 教案
版本资源 苏教版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-05-11 18:22:57

文档简介

12.2.2 复数的运算(2)
1. 掌握复数的乘方及除法的运算法则.
2. 掌握复数的乘方的运算律.
活动一 理解复数代数形式的乘方运算
阅读课本相关内容,回答下列问题:
1. 复数的乘方是相同复数的积,即(a+bi)·(a+bi)=(a+bi)2,(a+bi)(a+bi)(a+bi)=(a+bi)3 等.根据复数乘法的运算律,容易验证:z,z1,z2∈C,且m,n∈N*时,有zmzn=________,(zm)n=________,(z1z2)n=________.
2. i的周期性:
一般地,如果n∈N*,那么我们有in的运算规律如下:
i4n=_________;i4n+1=_________;i4n+2=________;i4n+3=________.
i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=________.
例1 计算:i+i2+i3+…+i100.
利用in的运算结果的周期性去解决问题.
计算:+++…+.
例2 设ω=-+i,求证:
(1) 1+ω+ω2=0;
(2) ω3=1;
(3) =ω,ω2=.
思考
在复数范围内,你能写出方程x3=1的3个根吗? 
充分利用ω3=1(其中ω=-+i)这一特征去计算.显然当ω=--i时,也有ω3=1.
计算:(-+i)100.
活动二 理解复数代数形式的除法运算法则 
若(c+di)(x+yi)=a+bi(c+di≠0,a,b,c,d∈R),则复数x+yi(x,y∈R)叫作复数a+bi除以复数c+di所得的商,记作或(a+bi)÷(c+di).
例3 计算:
(1) ;
(2) .
复数的除法运算就是分子分母同乘以分母的共轭复数,也就是分母实数化.
(1) +(--i)3+;
(2) .
例4 在复数集内解方程:z2-10z+40=0.
实系数一元二次方程的解法与以前学的解法一样,只是当Δ<0时,方程有两个共轭的复数根,同时也满足根与系数的关系.
已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值及方程的另一个根.
1. (2024商丘月考)设z=,则  的虚部是(  )
A. 1 B. -1 C. -i D. i
2. (教材改编)设复数ω=-i,其中i为虚数单位,则下列结论中正确的是(  )
A. ω2= B. ω3=-1 C. ω2+ω=-1 D. ω3=1
3. (多选)(教材改编)设z=1+i,则下列结论中正确的是(  )
A. z+=2 B. z-=2 C. z=2 D. =i
4. (2024南京月考)已知虚数z满足z+为实数,则z·=________.
5. (2023南通通州中学期中)设i为虚数单位,a∈R,复数z1=2+ai,z2=4-3i.
(1) 若z1·z2是实数,求a的值;
(2) 若是纯虚数,求z1+z2.
12.2.2 复数的运算(2)
【活动方案】
1. zm+n zmn zz
2. 1 i -1 -i 0
例1 原式=(i-1-i+1)×25=0.
跟踪训练 因为=-i,=-1,=i,=1,===-i,
所以+++…+=503×(-i-1+i+1)-i=-i.
例2 (1) 1+ω+ω2=1-+i--i+=0.
(2) ω3=ω2·ω==+=1.
(3) 因为ω2=--i,
所以=-+i=ω.
因为ω=-+i,
所以=--i,所以ω2=.
思考:略
跟踪训练 设ω=-+i,因为ω3=1,
所以原式=ω100=(ω3)33·ω=ω=-+i.
例3 (1) +i (2) -i
跟踪训练  (1) +(--i)3+=-i+[2i·]3+=-i-8i+i=-8i.
(2) =====-2-2i.
例4 配方,得(z-5)2=-15,
所以z-5=i或z-5=-i,
所以z=5+i或z=5-i.
跟踪训练 由题意,得2(2i-3)2+p(2i-3)+q=0,
则10-3p+q+(2p-24)i=0,
则解得
所以2x2+12x+26=0,即x2+6x+13=0,
即[x-(2i-3)]·[x+(3+2i)]=0,
所以x=2i-3或x=-3-2i,
所以方程的另一根是-3-2i.
【检测反馈】
1. B 因为z===-1+i,所以=-1-i,则  的虚部是-1.
2. B ω2==--i=-,故A错误;ω2+ω+1=-i+1≠0,故C错误;ω3=(--i)(-i)=-1,故B正确,D错误.
3. ACD 由z=1+i可知=1-i.z+=(1+i)+(1-i)=2,故A正确;z-=(1+i)-(1-i)=2i,故B错误;z=(1+i)(1-i)=1-(-1)=2,故C正确;====i,故D正确.故选ACD.
4. 1 设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则=a-bi(a,b∈R,b≠0).因为z+=a+bi+=+i为实数,所以b-=0,即a2+b2=1,故z·=(a+bi)(a-bi)=a2+b2=1.
5. (1) z1·z2=(2+ai)(4-3i)=3a+8+(4a-6)i.
因为z1·z2是实数,
所以4a-6=0,解得a=.
(2) ===+i.
因为是纯虚数,所以解得a=,
所以z1+z2=+(4-3i)=6-i.12.2.1 复数的运算
1. 掌握复数代数形式的加法、减法及乘法的运算法则.
2. 了解复数乘法的运算律.
2. 了解共轭复数的概念.
活动一 理解复数代数形式的加、减法运算的法则 
阅读课本相关内容,回答下列问题:
在引入虚数单位i的过程中,规定i与实数一起可以按照实数的运算法则进行加法、减法.
在对复数的加法进行运算时,又作一次新的规定.
问题1:设z1=a+bi,z2=c+di(其中a,b,c,d∈R)是任意两个复数,则z1+z2=________________________=_________________________.
问题2:若(c+di)+(x+yi)=a+bi(其中a,b,c,d,x,y∈R),则记作x+yi=(a+bi)-(c+di).
由复数相等的定义知c+x=a,d+y=b,即x=________,y=________,
从而由z1=a+bi,z2=c+di(其中a,b,c,d∈R),得z1-z2=______________=__________________.
例1 计算:(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i).
两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).
计算:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i). 
活动二 理解复数代数形式的乘法运算法则及运算律 
阅读课本相关内容,回答下列问题:
问题3:规定z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1z2=______________=____________________.
问题4:试验证复数的乘法满足交换律、结合律、分配律.
例2 计算:
(1) (3+4i)(-2-3i);
(2) (+i)(-+i);
(3) (1+2i)(3-4i)(-2-i);
(4) (1+i)2.
复数的乘法法则与多项式的乘法法则是类似的,只是在运算过程中把i2用-1代替,然后注意实部与虚部分别合并.
计算:(a+bi)(a-bi).
思考
设x,y∈R,在复数范围内,你能将x2+y2因式分解吗?
活动三 了解共轭复数 
问题5:共轭复数的定义:
问题6:复数z=a+bi的共轭复数:
特别地,实数a的共轭复数是________;纯虚数ai(a∈R)的共轭复数是________.
练习 分别写出复数3-5i,-1+2i,-5i,8的共轭复数.
例3 已知z-3i=1+3i,求复数z.
理解共轭复数的概念,只要把原有的复数实部不变,虚部改为原来的相反数即可.
已知复数z满足方程z-3i·=1+3i,求复数z.
1. (教材改编)若复数z满足z+11-2i=3+3i,则z的虚部为(  )
A. 14 B. 5 C. 5i D. -8
2. (教材改编)已知a,b∈R,a-2i=(b-i)i,若复数z=a+bi,则z的实部是(  )
A. 1 B. -2 C. 2 D. i
3. (多选)已知复数z满足z+=-4,z·=5,则z可能为(  )
A. -2-i B. 2+i C. -2+i D. -2-2i
4. (2023南京第二十九中学期中)将x2+2x+5在复数范围内因式分解为________.
5. (2023深圳期中)已知i是虚数单位,z1=1+2i,z2=2-3i.
(1) 求z1·2;
(2) 若z=z1+z2满足z2+az+b=1-i,求实数a,b的值.
12.2.1 复数的运算(1)
【活动方案】
问题1:(a+bi)+(c+di) (a+c)+(b+d)i
问题2:a-c b-d (a+bi)-(c+di) (a-c)+(b-d)i
例1 -5+i
跟踪训练 -1 000+1 000i
问题3:(a+bi)(c+di) (ac-bd)+(bc+ad)i
问题4:略
例2 (1) 6-17i (2) -5 (3) -20-15i
(4) 2i
跟踪训练 原式=a2-abi+abi-b2i2=a2-b2i2=a2+b2.
思考:x2+y2=(x+yi)(x-yi)
问题5:我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数.
问题6:=a-bi
a -ai
练习:3+5i,-1-2i,5i,8.
例3 设z=a+bi(a,b∈R),则a2+b2-3i(a-bi)=1+3i,即a2+b2-3b-3ai=1+3i,
所以解得或
故z=-1或z=-1+3i.
跟踪训练 设z=x+yi(x,y∈R),则方程z-3i·=1+3i可化为(x-3y)+(y-3x)i=1+3i.
由复数相等的定义,得
解得故z=--i.
【检测反馈】
1. B 因为z+11-2i=3+3i,所以z=(3+3i)-(11-2i)=-8+5i,所以z的虚部为5.
2. A 因为a-2i=(b-i)i,所以a-2i=1+bi,则a=1,所以z的实部是1.
3. AC 设z=a+bi(a,b∈R),则解得或所以z=-2-i或z=-2+i.故选AC.
4. (x+1-2i)(x+1+2i) 令x2+2x+5=0,Δ=4-20=-16=16i2,所以x==-1±2i,即x2+2x+5=(x+1-2i)(x+1+2i).
5. (1) 由题意,得z1·2=(1+2i)(2+3i)=2+3i+4i+6i2=-4+7i.
(2) 由已知,得z=3-i,
z2+az+b=(3-i)2+a(3-i)+b=8+3a+b+(-6-a)i.
又z2+az+b=1-i,
所以解得