12．2.2 复数的运算(2)
1. 掌握复数的乘方及除法的运算法则．
2. 掌握复数的乘方的运算律．
活动一 理解复数代数形式的乘方运算
阅读课本相关内容，回答下列问题：
1. 复数的乘方是相同复数的积，即(a＋bi)·(a＋bi)＝(a＋bi)2，(a＋bi)(a＋bi)(a＋bi)＝(a＋bi)3 等．根据复数乘法的运算律，容易验证：z，z1，z2∈C，且m，n∈N*时，有zmzn＝________，(zm)n＝________，(z1z2)n＝________．
2. i的周期性：
一般地，如果n∈N*，那么我们有in的运算规律如下：
i4n＝_________；i4n+1＝_________；i4n+2＝________；i4n+3＝________．
i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝________．
例1 计算：i＋i2＋i3＋…＋i100.
利用in的运算结果的周期性去解决问题．
计算：＋＋＋…＋.
例2 设ω＝－＋i，求证：
(1) 1＋ω＋ω2＝0；
(2) ω3＝1；
(3) ＝ω，ω2＝.
思考
在复数范围内，你能写出方程x3＝1的3个根吗？
充分利用ω3＝1(其中ω＝－＋i)这一特征去计算．显然当ω＝－－i时，也有ω3＝1.
计算：(－＋i)100.
活动二 理解复数代数形式的除法运算法则
若(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0，a，b，c，d∈R)，则复数x＋yi(x，y∈R)叫作复数a＋bi除以复数c＋di所得的商，记作或(a＋bi)÷(c＋di).
例3 计算：
(1) ；
(2) .
复数的除法运算就是分子分母同乘以分母的共轭复数，也就是分母实数化．
(1) ＋(－－i)3＋；
(2) .
例4 在复数集内解方程：z2－10z＋40＝0.
实系数一元二次方程的解法与以前学的解法一样，只是当Δ<0时，方程有两个共轭的复数根，同时也满足根与系数的关系．
已知2i－3是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．
1. (2024商丘月考)设z＝，则 的虚部是( )
A. 1 B. －1 C. －i D. i
2. (教材改编)设复数ω＝－i，其中i为虚数单位，则下列结论中正确的是( )
A. ω2＝ B. ω3＝－1 C. ω2＋ω＝－1 D. ω3＝1
3. (多选)(教材改编)设z＝1＋i，则下列结论中正确的是( )
A. z＋＝2 B. z－＝2 C. z＝2 D. ＝i
4. (2024南京月考)已知虚数z满足z＋为实数，则z·＝________．
5. (2023南通通州中学期中)设i为虚数单位，a∈R，复数z1＝2＋ai，z2＝4－3i.
(1) 若z1·z2是实数，求a的值；
(2) 若是纯虚数，求z1＋z2.
12．2.2 复数的运算(2)
【活动方案】
1. zm＋n zmn zz
2. 1 i －1 －i 0
例1 原式＝(i－1－i＋1)×25＝0.
跟踪训练 因为＝－i，＝－1，＝i，＝1，＝＝＝－i，
所以＋＋＋…＋＝503×(－i－1＋i＋1)－i＝－i.
例2 (1) 1＋ω＋ω2＝1－＋i－－i＋＝0.
(2) ω3＝ω2·ω＝＝＋＝1.
(3) 因为ω2＝－－i，
所以＝－＋i＝ω.
因为ω＝－＋i，
所以＝－－i，所以ω2＝.
思考：略
跟踪训练 设ω＝－＋i，因为ω3＝1，
所以原式＝ω100＝(ω3)33·ω＝ω＝－＋i.
例3 (1) ＋i (2) －i
跟踪训练 (1) ＋(－－i)3＋＝－i＋[2i·]3＋＝－i－8i＋i＝－8i.
(2) ＝＝＝＝＝－2－2i.
例4 配方，得(z－5)2＝－15，
所以z－5＝i或z－5＝－i，
所以z＝5＋i或z＝5－i.
跟踪训练 由题意，得2(2i－3)2＋p(2i－3)＋q＝0，
则10－3p＋q＋(2p－24)i＝0，
则解得
所以2x2＋12x＋26＝0，即x2＋6x＋13＝0，
即[x－(2i－3)]·[x＋(3＋2i)]＝0，
所以x＝2i－3或x＝－3－2i，
所以方程的另一根是－3－2i.
【检测反馈】
1. B 因为z＝＝＝－1＋i，所以＝－1－i，则 的虚部是－1.
2. B ω2＝＝－－i＝－，故A错误；ω2＋ω＋1＝－i＋1≠0，故C错误；ω3＝(－－i)(－i)＝－1，故B正确，D错误．
3. ACD 由z＝1＋i可知＝1－i.z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2，故A正确；z－＝(1＋i)－(1－i)＝2i，故B错误；z＝(1＋i)(1－i)＝1－(－1)＝2，故C正确；＝＝＝＝i，故D正确．故选ACD.
4. 1 设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，则＝a－bi(a，b∈R，b≠0).因为z＋＝a＋bi＋＝＋i为实数，所以b－＝0，即a2＋b2＝1，故z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝1.
5. (1) z1·z2＝(2＋ai)(4－3i)＝3a＋8＋(4a－6)i.
因为z1·z2是实数，
所以4a－6＝0，解得a＝.
(2) ＝＝＝＋i.
因为是纯虚数，所以解得a＝，
所以z1＋z2＝＋(4－3i)＝6－i.12.2.1 复数的运算
1. 掌握复数代数形式的加法、减法及乘法的运算法则．
2. 了解复数乘法的运算律．
2. 了解共轭复数的概念．
活动一 理解复数代数形式的加、减法运算的法则
阅读课本相关内容，回答下列问题：
在引入虚数单位i的过程中，规定i与实数一起可以按照实数的运算法则进行加法、减法．
在对复数的加法进行运算时，又作一次新的规定．
问题1：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝________________________＝_________________________.
问题2：若(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi(其中a，b，c，d，x，y∈R)，则记作x＋yi＝(a＋bi)－(c＋di).
由复数相等的定义知c＋x＝a，d＋y＝b，即x＝________，y＝________，
从而由z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d∈R)，得z1－z2＝______________＝__________________．
例1 计算：(1－3i)－(2＋5i)＋(－4＋9i).
两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).
计算：(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(1 999－2 000i)－(2 000－2 001i).
活动二 理解复数代数形式的乘法运算法则及运算律
阅读课本相关内容，回答下列问题：
问题3：规定z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1z2＝______________＝____________________.
问题4：试验证复数的乘法满足交换律、结合律、分配律．
例2 计算：
(1) (3＋4i)(－2－3i)；
(2) (＋i)(－＋i)；
(3) (1＋2i)(3－4i)(－2－i)；
(4) (1＋i)2.
复数的乘法法则与多项式的乘法法则是类似的，只是在运算过程中把i2用－1代替，然后注意实部与虚部分别合并．
计算：(a＋bi)(a－bi).
思考
设x，y∈R，在复数范围内，你能将x2＋y2因式分解吗？
活动三 了解共轭复数
问题5：共轭复数的定义：
问题6：复数z＝a＋bi的共轭复数：
特别地，实数a的共轭复数是________；纯虚数ai(a∈R)的共轭复数是________．
练习 分别写出复数3－5i，－1＋2i，－5i，8的共轭复数．
例3 已知z－3i＝1＋3i，求复数z.
理解共轭复数的概念，只要把原有的复数实部不变，虚部改为原来的相反数即可．
已知复数z满足方程z－3i·＝1＋3i，求复数z.
1. (教材改编)若复数z满足z＋11－2i＝3＋3i，则z的虚部为( )
A. 14 B. 5 C. 5i D. －8
2. (教材改编)已知a，b∈R，a－2i＝(b－i)i，若复数z＝a＋bi，则z的实部是( )
A. 1 B. －2 C. 2 D. i
3. (多选)已知复数z满足z＋＝－4，z·＝5，则z可能为( )
A. －2－i B. 2＋i C. －2＋i D. －2－2i
4. (2023南京第二十九中学期中)将x2＋2x＋5在复数范围内因式分解为________．
5. (2023深圳期中)已知i是虚数单位，z1＝1＋2i，z2＝2－3i.
(1) 求z1·2；
(2) 若z＝z1＋z2满足z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．
12．2.1 复数的运算(1)
【活动方案】
问题1：(a＋bi)＋(c＋di) (a＋c)＋(b＋d)i
问题2：a－c b－d (a＋bi)－(c＋di) (a－c)＋(b－d)i
例1 －5＋i
跟踪训练 －1 000＋1 000i
问题3：(a＋bi)(c＋di) (ac－bd)＋(bc＋ad)i
问题4：略
例2 (1) 6－17i (2) －5 (3) －20－15i
(4) 2i
跟踪训练 原式＝a2－abi＋abi－b2i2＝a2－b2i2＝a2＋b2.
思考：x2＋y2＝(x＋yi)(x－yi)
问题5：我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数．
问题6：＝a－bi
a －ai
练习：3＋5i，－1－2i，5i，8.
例3 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则a2＋b2－3i(a－bi)＝1＋3i，即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
所以解得或
故z＝－1或z＝－1＋3i.
跟踪训练 设z＝x＋yi(x，y∈R)，则方程z－3i·＝1＋3i可化为(x－3y)＋(y－3x)i＝1＋3i.
由复数相等的定义，得
解得故z＝－－i.
【检测反馈】
1. B 因为z＋11－2i＝3＋3i，所以z＝(3＋3i)－(11－2i)＝－8＋5i，所以z的虚部为5.
2. A 因为a－2i＝(b－i)i，所以a－2i＝1＋bi，则a＝1，所以z的实部是1.
3. AC 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则解得或所以z＝－2－i或z＝－2＋i.故选AC.
4. (x＋1－2i)(x＋1＋2i) 令x2＋2x＋5＝0，Δ＝4－20＝－16＝16i2，所以x＝＝－1±2i，即x2＋2x＋5＝(x＋1－2i)(x＋1＋2i).
5. (1) 由题意，得z1·2＝(1＋2i)(2＋3i)＝2＋3i＋4i＋6i2＝－4＋7i.
(2) 由已知，得z＝3－i，
z2＋az＋b＝(3－i)2＋a(3－i)＋b＝8＋3a＋b＋(－6－a)i.
又z2＋az＋b＝1－i，
所以解得
