12．3　复数的几何意义 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

12．3　复数的几何意义
1. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数．
2. 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．
3. 掌握复数的模的计算公式及几何意义．
活动一 理解复数的几何意义及复数的模的计算公式
思考
实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示，那么复数能否也能用点来表示呢？
1. 复平面．
2. 复数的几何意义．
(1) 复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)；
(2) 复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3. 复数的模．
(1) 定义：向量的模叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模；
(2) 记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|；　
(3) 公式：|z|＝|a＋bi|＝.
4. 实轴、虚轴上的点与复数的对应关系．
实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
例1　在复平面内，分别用点和向量表示下列复数： 4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i.
复数的几何意义就是复数与复平面内的点建立一一对应关系，以及与复平面内从原点出发的向量建立一一对应关系．
若复数(a＋i)(3＋4i)的对应点在复平面的一、三象限角的平分线上，求实数a的值．
例2　已知复数z1＝3＋4i，z2＝－1＋5i，试比较它们模的大小．
复数的模的代数含义就是计算公式.
若|z|－＝1＋5i，求复数z.
例3　设z∈C，则满足下列条件的点Z的集合分别是什么图形？
(1) |z|＝2；
(2) 2<|z|<3.
复数的模的几何含义就是复平面内两点之间的距离．
满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应的集合是什么图形？
活动二　理解复数代数形式的加、减运算的几何意义
5. 复数的加、减法法则及几何意义与运算律．
z，z1，z2∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应，且，不共线
加法 减法
运算法则 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i
几何意义 复数z1＋z2的和与向量＋＝的坐标对应 复数z1－z2的差与向量－＝的坐标对应
运算律 交换律 z1＋z2＝z2＋z1
结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
例4　已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i在复平面内对应的点分别为A，B，求对应的复数z，z在复平面内所对应的点在第几象限？
复数的加、减法的几何意义就是两个复数加、减以后所对应的向量．
已知平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：
(1) 所表示的复数；
(2) 对角线所表示的复数；
(3) 对角线所表示的复数及的长度．
1. (教材改编)复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. (教材改编)若复数z满足(3－i)z＝4－2i，则|z|的值为(　　)
A. 2 B. C. 2 D. 8
3. (多选)(2024昆明期中)下列命题中，正确的是(　　)
A. 若复数z满足|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
B. z1∈C，z2∈C，|z1＋z2|＝|z1|＋|z1|
C. 若1＋2i是方程x2－2x＋p＝0(p∈R)的一个根，则该方程的另一个根是1－2i
D. 在复平面内，z1，z2所对应的向量分别为，，其中O为坐标原点，若⊥，则|z1＋z2|＝|z1－z2|
4. (2023南通西亭中学期中)复数2＋i与复数在复平面上对应的点分别是A，B，则∠AOB＝________．
5. (2023常州前黄中学期中)已知复数z1＝1－2i，z2＝2＋i，i为虚数单位．
(1) 若复数z1＋az2对应的点在第四象限，求实数a的取值范围；
(2) 若复数z＝，求z的模．
12．3　复数的几何意义
【活动方案】
思考：根据复数相等的定义可知，任何一个复数 z＝a＋bi都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，而有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的．因此，可以用直角坐标系中的点Z(a，b)来表示复数z＝a＋bi.
例1　如图，点A，B，C，D，E分别表示复数4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i.与之对应的向量可用，，，，来表示．
跟踪训练　因为(a＋i)(3＋4i)＝(3a－4)＋(3＋4a)i, 且复数(a＋i)(3＋4i)的对应点在复平面的一、三象限的角平分线上，所以3a－4＝3＋4a，解得a＝－7，故实数a的值为－7.
例2　因为|z1|＝＝5，|z2|＝＝，且5<，所以|z1|<|z2|.
跟踪训练　设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则＝a－bi，|z|＝.
由|z|－＝1＋5i，
得－a＋bi＝1＋5i，
则解得
所以z＝12＋5i.
例3　(1) 因为|z|＝2，即||＝2，所以满足|z|＝2的点Z的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图1.
(2) 不等式2<|z|<3可化为不等式组
不等式|z|>2的解集是圆|z|＝2外部所有的点组成的集合，不等式|z|<3的解集是圆|z|＝3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集．因此，满足条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图2.
图1 图2
　　
跟踪训练　设z＝x＋yi，x，y∈R.
因为|z－i|＝|3＋4i|，所以|z－i|＝5，
所以＝5，
所以复数z在复平面内对应点的集合是以(0，1)为圆心，5为半径的圆．
例4　z＝z2－z1＝1＋2i－2－i＝－1＋i，
对应的点在第二象限．
跟踪训练　(1) －3－2i.
(2) 5－2i.
(3) 因为对角线＝＋，所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，的长度为.
【检测反馈】
1. D　因为z＝＝＝＝＝－i，所以复数z在复平面内对应的点的坐标是，位于第四象限．
2. B　由题意，得z＝，则|z|＝||＝＝＝＝.
3. CD　对于A，若|z|＝1，则z在复平面内对应的点Z的集合是以原点为圆心，1为半径的圆，有无数个点与复数z对应，故A错误；对于B，设z1，z2所对应的向量分别为，，由向量加法的几何意义可知|z1＋z2|≤|z1|＋|z1|，故B错误；对于C，根据复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式知，两个虚数根互为共轭复数，所以若1＋2i是方程x2－2x＋p＝0的根，则该方程的另一个根是1－2i，故C正确；对于D，若⊥，则复平面内以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形是矩形，根据矩形的对角线相等和复数加法、减法的几何意义可知D正确．故选CD.
4. 　根据复数运算法则可得＝＝＝－i，所以2＋i与对应的点的坐标分别为A(2，1)，B，如图所示，易知tan α＝，tan β＝，则tan ∠AOB＝tan (α＋β)＝＝＝1，所以∠AOB＝.
5. (1) 因为z1＝1－2i，z2＝2＋i，
所以复数z1＋az2＝(1－2i)＋a(2＋i)＝(1＋2a)＋(a－2)i，
所以复数z1＋az2在复平面内所对应的点为(1＋2a，a－2).
由题意可得解得－即实数a的取值范围是.
(2) z＝＝＝＝＝＝－i，
所以|z|＝＝.