12．4　复数的三角形式 2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

12．4　复数的三角形式*
1. 通过复数的几何意义，了解复数的三角表示．
2. 了解复数的代数表示与三角表示之间的关系．
3. 了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．
活动一 复数的三角表示式
由复数的几何意义可以知道，复数z＝a＋bi(a，b∈R)、复平面内的点Z(a，b)和平面向量 之间存在着一一对应的关系．
如图，以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi的辐角．
很明显，任一非零的复数z＝a＋bi的辐角有无限个值，这些值的差是2π的整数倍．我们把其中适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫作复数z＝a＋bi的辐角主值，记作arg z，即0≤arg z<2π.易知，每一个非零的复数z＝a＋bi都有唯一确定的模与辐角主值；反过来，复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数．
思考1
复数z＝a＋bi能否用模r，辐角θ来表示呢？
1. 复数的三角形式与代数形式：复数的三角形式为r(cos θ＋isin θ)；复数z的代数形式为a＋bi(a，b∈R).
2. 复数的辐角及辐角主值：以x轴的非负半轴为始边，向量 所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角，把其中适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角主值．
活动二　复数的代数形式与三角形式的互化　
例1　将下列各复数转化为三角形式(辐角取辐角主值)：
(1) －5i；(2) －10；(3) －1＋i；(4) －i.
　　
只要确定复数z的模和辐角(一般情况取辐角主值)，就能将复数的代数形式表示成三角形式．
将复数1－i转化为三角形式(辐角取辐角主值).
活动三　了解复数的乘法与除法的三角表示及其几何意义　
思考2
设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，你能计算z1z2，并将结果表示成三角形式吗？
思考3
你能得到复数的乘法、除法的几何意义吗？
例2　计算下列各式，并把结果化成代数形式：
(1) 2(cos 75°＋isin75°)×；
(2) (＋i)÷[4(cos ＋isin )].
1. 复数三角形式的乘法计算是模的相乘和辐角相加；
2. 复数三角形式的除法计算是模的相除和辐角相减．
计算：(cos ＋isin )×(cos ＋isin )×(cos ＋isin ).
例3　设z＝－i对应的向量为，将　绕原点O按逆时针方向和顺时针方向分别旋转60°和30°，求所得向量对应的复数(用代数形式表示).
利用复数三角形式的乘法或除法的几何意义，可以解决平面几何中旋转与伸缩变换的问题．
已知点A(2，－1)，B(－1，3)，四边形ABCD是正方形，且点A，B，C，D按顺时针方向排列，求点C，D对应的复数．
1. (教材改编)计算(cos 36°＋isin 36°)-5的结果为(　　)
A. －1 B. 1 C. 2 D.
2. (教材改编)复数z＝－sin ＋icos 的辐角主值为(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2024湖北月考)已知复数z对应的向量为，复数z1＝(－1－i)z对应的向量为，复数z2＝(－i)z对应的向量为，则下列说法中正确的是(　　)
A. 将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到
B. 将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到
C. 将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到
D. 将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到
4. 写出一个argz＝的复数________．
5. 将下列各复数转化为三角形式(辐角取辐角主值).
(1) 2－2i；
(2) －2i.
12．4　复数的三角形式*
【活动方案】
思考1：记r＝||＝，则所以z＝r cos θ＋ir sin θ＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝，
例1　(1) 因为r＝＝5，cos θ＝0，sin θ＝－1，θ∈[0，2π)，
所以θ＝，所以－5i＝5.
(2) 因为r＝＝10，cos θ＝－1，sin θ＝0，
又θ∈[0，2π)，所以θ＝π，
所以－10＝10(cos π＋isin π).
(3) 因为r＝＝2，cos θ＝－，sin θ＝，
又θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以－1＋i＝2.
(4) 因为r＝＝2，cos θ＝，
sin θ＝－，
又θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以－i＝2.
跟踪训练　因为r＝＝2，
cos θ＝，sin θ＝－，
又θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以1－i＝2.
思考2：z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]，
＝[cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].
思考3：在复平面内分别画出与复数z1，z2对应的向量，(假定θ1，θ2均取辐角主值，其他取值不影响讨论)，然后把向量按逆时针方向旋转一个角θ2得(模仍为r1)，再把的模r1变为原来的r2倍，从而得到一个新的向量，所对应的复数r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]即为z1z2，这就是复数乘法的几何意义．
当z2≠0时，在复平面内分别画出与复数z1，z2对应的向量，(假定θ1，θ2均取辐角主值，其他取值不影响讨论)，然后把向量按顺时针方向旋转一个角θ2得(模仍为r1)，再把的模r1变为原来的，从而得到一个新的向量，所对应的复数[cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]即为，这就是复数除法的几何意义．
例2　(1) 2(cos 75°＋isin75°)×＝2(cos 75°＋isin75°)×[cos (－45°)＋isin(－45°)]＝[cos (75°－45°)＋isin(75°－45°)]＝(cos 30°＋isin30°)＝＋i.
(2) ÷
＝÷
＝
＝
＝＝＋i.
跟踪训练　×(cos ＋isin )×＝2[cos (＋＋)＋isin (＋＋)]＝2(cos ＋isin )＝2i.
例3　 绕原点O按逆时针方向旋转60°所得向量对应的复数为(cos 60°＋isin 60°)＝(－i)(＋i)＝1；
绕原点O按顺时针方向旋转30°所得向量对应的复数为[cos (－30°)＋isin (－30°)]＝(－i)(－i)＝－i.
跟踪训练　如图，＝(－1，3)－(2，－1)＝(－3，4)，
所以对应的复数为－3＋4i.
由复数三角形式的几何意义可知，
对应的复数为(－3＋4i)×[cos (－90°)＋isin (－90°)]＝4＋3i，
所以＝＋＝(2，－1)＋(4，3)＝(6，2)，
所以点D对应的复数为6＋2i.
同理，　对应的复数为(－3＋4i)××[cos (－45°)＋isin (－45°)]＝(－3＋4i)×(1－i)＝1＋7i，
所以＝＋＝(2，－1)＋(1，7)＝(3，6)，
所以点C对应的复数为3＋6i.
【检测反馈】
1. A　由复数的运算性质，得(cos 36°＋isin 36°)-5＝＝＝－1.
2. C　因为 z＝－sin ＋icos ＝cos ＋isin (＋)＝cos ＋isin ，所以复数z的辐角主值为.
3. AD　因为z1＝(－1－i)z＝2z＝2z(cos ＋isin )，z2＝(－i)z＝z·(－i)＝z·，所以将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到，将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到.故选AD.
4. ＋i(答案不唯一)　设z＝r(cos θ＋isin θ)，且θ＝argz＝，而r≥0，所以z＝cos ＋isin ＝＋i满足要求．
5. (1) 因为r＝＝4，
cos θ＝，sin θ＝－，
又θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以2－2i＝4.
(2) 因为r＝2，cos θ＝0，sin θ＝－1，
又θ∈[0，2π)，所以θ＝，
所以－2i＝2.