13.1.1　棱柱、棱锥和棱台 学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13.1.1　棱柱、棱锥和棱台
1. 利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥和棱台的结构特征．
2. 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
3. 了解棱柱、棱锥和棱台的概念．
活动一 了解常见的空间图形
在我们周围的生活中，存在不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？
思考1
我们发现建筑物大多是由一些简单的空间图形组合而成的，你能通过观察，根据某种标准对这些空间图形进行分类吗？
活动二　了解棱柱的结构特征　
仔细观察下面的空间图形，你能发现它们可以怎样形成？
(2) (3) (4)
图(1)和(3)中的空间图形分别是由平行四边形和五边形沿某一方向平移而得．
　　　
思考2
图(2)和(4)中的空间图形分别是由怎样的平面图形平移而得？
探究：
(1) 棱柱的定义：
(2) 棱柱中一些常用名称的含义(如图)：
　
思考3
通过观察，你发现棱柱具有哪些特点？
思考4
各种这样的棱柱，相互之间有什么区别和联系？可不可以根据这些区别和联系对棱柱分类？
活动三　了解棱锥的结构特征　
观察下面的空间图形有什么共同的特点？与活动二中的图形比较，前后发生了什么变化？
　　
(2) (3) (4)
结论：
(1) 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作________．
(2) 棱锥中一些常用名称的含义(如图)：
上面的四棱锥可记为：棱锥SABCD.
(3) 通过观察，你发现棱锥具有哪些特点？
活动四　了解棱台的结构特征　
试验：如果用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，想象一下，截得的两部分几何体会是什么样的几何体？
　　
探究：
(1) 棱台的定义：
(2) 通过观察，你发现棱台具有哪些特点？
(3) 多面体的定义：
在现实生活中，存在着形形色色的多面体，如食盐、明矾、石膏等晶体都呈多面体形状．
食盐晶体　 明矾晶体 石膏晶体
练习　分别画一个三棱柱、四棱锥、四棱台．
注：画多面体时被遮挡的线要画成虚线．
巩固棱柱、棱锥、棱台的基本概念．
名称 定义 图形及表示 相关概念 分类
棱柱 由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱 如图可记作：　　　　　　　　 棱柱ABCDEF-A′B′C′D′E′F′ 底面：平移起止位置的两个面 侧面：多边形的边平移所形成的面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧棱与底面的公共点 底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
棱锥 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥 如图可记作：棱锥S-ABCD 底面：多边形的面 侧面：有公共顶点的各个三角形的面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：由棱柱的一个底面收缩而成 按底面多边形的边数分为：三棱锥、四棱锥……
棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台 如图可记作：棱台ABCD-A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧棱与上(下)底面的公共点 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台……
1. (2024湖北月考)有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个多面体为(　　)
A. 四棱柱 B. 四棱锥 C. 三棱柱 D. 三棱锥
2. (教材改编)如图，在三棱台ABC-A′B′C′中，沿平面A′BC截去三棱锥A′-ABC，则剩余的部分是(　　)
A. 三棱锥
B. 四棱锥
C. 三棱柱
D. 三棱台
3. (多选)(2024河南期中)两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起，可能拼成的空间图形是 (　　)
A. 一个三棱锥 B. 一个四棱锥
C. 一个三棱柱 D. 一个四棱柱
4. (2024宿州期中)现有一块如图所示的三棱锥木料，其中∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝40°，VA＝VB＝VC＝6，木工师傅打算过点A将木料切成两部分，则截面△AEF周长的最小值为________．
5. (教材改编)画六面体．
(1) 使它是一个四棱柱；
(2) 使它是由两个三棱锥组成；
(3) 使它是一个五棱锥．
13．1.1　棱柱、棱锥和棱台
【活动方案】
背景引入：略
思考1：略
思考2：分别是由三角形和六边形沿某一方向平移而得．
探究：(1) 一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱．
思考3：①两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行；②侧面都是平行四边形．
思考4：底面的平面图形不同，侧面都是平行四边形，由三角形平移构成三棱柱，由六边形平移构成六棱柱．
底面为三角形、四边形、五边形……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
结论：(1) 棱锥　(3) ①底面是一个多边形；②侧面是有一个公共顶点的三角形．
探究：(1) 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台．
(2) ①上、下两底面平行且相似；②侧面是梯形；③侧棱延长后交于一点．
(3) 棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的空间图形．由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体．
练习：略
【检测反馈】
1. B　有一个面是多边形，其余四个面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体是四棱锥．
2. B　在三棱台ABC-A′B′C′中，沿平面A′BC截去三棱锥A′-ABC，剩余的部分是以A′为顶点，四边形BCC′B′为底面的四棱锥A′-BCC′B′.
3. ABC　对于A，如图1，在三棱锥A-BCD中，分别取BC，BD的中点为E，F，再取EF的中点M，连接AM，则三棱锥A-BCD可拆割成三棱锥A-BEM，A-BFM和四棱锥A-CDFE，故A正确；对于B，如图2，在四棱锥P-ABCD中，分别取BC，AD的中点为E，F，则四棱锥PABCD可拆割成三棱锥P-ABF，P-BEF和四棱锥P-CDFE，故B正确；对于C，如图3，在三棱柱ABC-A1B1C1中，取B1C1的中点E，则三棱柱ABC-A1B1C1可拆割为三棱锥B1-A1BE，C1-A1BE和四棱锥B-ACC1A1，故C正确；对于D，一个四棱柱割去一个四棱锥后的空间图形不可能由两个三棱锥拼成，故D错误．故选ABC.
图1 图2 图3
4. 6　如图，将三棱锥的侧面沿着VA展开，则VA＝VA′＝6，∠AVA′＝120°，由余弦定理可得AA′2＝62＋62－2×6×6cos 120°＝108，则AA′＝6，所以截面△AEF周长的最小值为6.
5. 略