13．1.2　圆柱、圆锥、圆台和球 学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13．1.2　圆柱、圆锥、圆台和球
1. 利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征．
2. 能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
3. 了解圆柱、圆锥、圆台和球的概念．
活动一 了解一些旋转体
图(1)中的空间图形是由矩形绕其一边旋转一周而成的空间图形．
(2) (3) (4)
思考1
图(2)(3)(4)中的空间图形分别是由什么平面图形通过旋转一周而成的？在生产和生活中，还有哪些几何体具有类似的生成规律？
活动二　圆柱、圆锥、圆台和球的概念　
1. 分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线旋转一周形成的空间图形，分别被称为什么？
2. 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面是什么？
思考2
(1) 平行于圆柱、圆锥、圆台的底面的截面是什么图形？
(2) 过圆柱、圆锥、圆台的旋转轴的截面分别是什么图形？
(3) 用一个平面去截球体得到的截面是什么图形？
圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征
名称 定义 相关概念 图形及表示 结构特征
圆柱 将矩形绕它的一边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆柱 轴：绕着旋转的边所在的直线 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 如图可记作：圆柱OO′ (1) 圆柱的两底面平行且是等圆； (2) 圆柱的轴垂直于底面，圆柱的母线平行且相等，它们都垂直于底面，它们的长都等于圆柱的高．
圆锥 将直角三角形绕它的一直角边所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆锥 如图可记作：圆锥SO (1) 圆锥的底面是一个圆，平行于底面的截面都是圆； (2) 圆锥的轴垂直于底面，圆锥的母线都交于一点且相等，各母线与轴的夹角相等．
圆台 将直角梯形绕它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形叫作圆台 如图可记作：圆台OO′ (1) 圆台的底面是两个半径不相等的圆，两圆所在的平面互相平行，平行于底面的截面都是圆； (2) 圆台的轴垂直于两底面，圆台的轴截面是等腰梯形，圆台的母线长都相等，每条母线延长后，都与轴交于同一点．
球 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体，简称球 球心：半圆的圆心 半径：半圆的半径 直径：半圆的直径 如图可记作：球O 球是由球面及其内部空间组成的空间图形．
活动三　进一步认识简单空间图形的结构特征　
例1　观察教室中的物体，并说出它们具有什么几何结构特征．
在日常生活中，一些复杂的空间图形都是由简单空间图形组合而成的．
指出下图中的空间图形是由哪些简单空间图形割补而成的？
图1 图2
例2　如图，将直角梯形ABCD绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由哪些简单空间图形构成的？
旋转体都是由平面图形绕着一条定直线旋转而成的．
一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转360°所得的空间图形都是圆锥吗？
1. (教材改编)下列说法中，正确的是(　　)
A. 以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥
B. 以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台
C. 圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D. 圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高
2. (2024连云港期中)已知圆台的上、下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为(　　)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 3
3. (多选)下列说法中，正确的是(　　)
A. 圆柱的侧面展开图是矩形
B. 球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面
C. 直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的空间图形是圆台
D. 在圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面
4. 如图，某圆柱的高为，底面圆的半径为，则在此圆柱侧面上，从圆柱的左下点A到右上点B的路径中，最短路径的长度为________．
5. (教材改编)描述如图所示的空间图形的结构特征．
1 2 3　　
13．1.2　圆柱、圆锥、圆台和球
【活动方案】
思考1：分别是直角三角形绕其一直角边所在直线旋转一周而成，直角梯形绕其垂直于底边的腰所在的直线旋转一周而成，半圆绕其直径所在直线旋转一周而成．举例略．
1. 圆柱，圆锥，圆台
2. 球面
思考2：(1) 圆形　(2) 矩形、三角形、梯形
(3) 圆形
例1　略
跟踪训练　图1中的空间图形是由一个六棱柱挖去一个圆柱所成的．
图2中的空间图形可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱所成的，也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的．
例2　这个空间图形是由一个圆锥和一个圆柱组合而成的．
跟踪训练　图1，图2旋转360°所得的空间图形是圆锥；图3旋转360°所得的空间图形是由两个圆锥拼接而成的组合体．
图1 图2　 图3
【检测反馈】
1. D　对于A，以直角三角形的斜边为轴旋转一周形成的旋转体是两个圆锥的组合体，故A错误；对于B，以直角梯形不垂直于底边的腰为旋转轴旋转一周形成的不是圆台，故B错误；对于C，圆锥只有一个底面，故C错误；对于D，圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线，大于圆锥的高，故D正确．
2. C　如图，由题意，得OA＝2，MB＝5，OM＝4，所以在直角梯形OMBA中，AB＝＝＝5，即圆台的母线长为5.
3. ABD　圆柱的侧面展开图是矩形，故A正确；球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180°所形成的曲面，故B正确；当直角梯形绕着它的垂直于底边的腰所在的直线旋转一周形成的空间图形是圆台，故C错误；圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面，故D正确．故选ABD.
4. 　如图，将圆柱侧面展开，BC＝＝π，则在圆柱侧面的展开图上，最短路径的长度为AB＝＝.　
5. (1) 是将两个完全相同的圆台的较大底面重合拼接而成的空间图形．
(2) 是由一个圆台挖去一个底面与圆台较大底面重合，顶点为圆台较小底面圆心的圆锥后得到的空间图形．
(3) 是由一个圆柱挖去一个两底面分别在圆柱两底面内的三棱柱后得到的空间图形．