13．1.3　直观图的斜二测画法 学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13．1.3　直观图的斜二测画法
能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图．
活动 用斜二测画法画出简单空间图形的直观图
问题：对于水平放置的平面图形，如何画出它的直观图？
例1　如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5)，试用斜二测画法画出四边形的直观图．
根据斜二测画法的规则，结合“一变两不变”的原则，即可求解．
如图所示是由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出其水平放置的直观图．
例2　画棱长为2 cm的正方体的直观图．
1. 掌握空间图形的斜二测画法的规则．
2. 了解空间图形的斜二测画法与水平放置的平面图形的斜二测画法的联系．
　
已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图．
1. (2023青岛期中)如图，一个水平放置的平面图形OABC的斜二测直观图是平行四边形O′A′B′C′，且O′C′＝2，O′A′＝1，∠A′O′C′＝45°，则平面图形OABC的面积为(　　)
A. 2
B. 4
C. 8
D. 10
2. (教材改编)用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O′A′B′C′，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形OABC的面积为3，则O′A′的长为(　　)
A.
B.
C. 1
D.
3. (多选)(教材改编)如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，O′B′＝2，则下列结论中正确的是(　　)
A. OA＝4
B. △ABC是等腰直角三角形
C. OB＝4
D. △ABC的面积为8
4. 一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面大小一样．已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图(长方体底面较长的边与x轴平行)，则直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为______________________．
5. 一个空间图形，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此空间图形的直观图．
13．1.3　直观图的斜二测画法
【活动方案】
问题：略
例1　①如图1所示，分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为E，G，H，F，在图2中画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
②在x′轴上截取O′E′＝OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′＝EA，确定点A′.同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′＝BG，C′H′＝CH，D′F′＝DF.
③连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，去掉辅助线，所得四边形A′B′C′D′就是四边形ABCD的直观图如图3所示．
图1 图2 图3
跟踪训练　①如图1所示，以AB所在直线为 x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，再画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°如图2所示．
②以O′为中点，在x′轴上截取A′B′＝AB；分别过点A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′＝AE，B′C′＝BC.在y′轴上截取O′D′＝OD.
③连接A′E′，B′C′，E′D′，E′C′，C′D′.
④去掉辅助线，就得到所求的直观图如图3所示．
图1 图2 图3
例2　①画水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2 cm，AD＝1 cm.
②过点A作z′轴，使∠BAz′＝90°，分别过点B，C，D作z′轴的平行线，在z′轴及这组平行线上分别截取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2 cm.
③连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，如图1，去掉辅助线，将被遮住的线改为虚线，得到的图形如图2，就是所求的正方体的直观图．
　　
图1　　　　　　　　图2
跟踪训练　以底面圆的圆心为原点O，两条垂直的直径所在直线分别为x轴，y轴，圆锥的高所在直线为z轴．斜二测画法中，x′轴，y′轴表示水平面，z′轴与x′轴垂直，y′轴与x′轴的夹角为45°，平行于x轴，z轴的线段仍平行于x′轴，z′轴，长度不变，平行于y轴的线段仍平行y′轴，但长度为原来的一半．画出图形后，擦去辅助线得到直观图，如图所示．
【检测反馈】
1. B　根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，如下图所示，且长OC＝4，宽OA＝1，故平面图形OABC的面积为OA·OC＝4.
2. B　如图，画出原平面图形OABC，其中OA＝O′A′，B′C′＝BC，则BC＝OA，OB＝2O′B′＝2O′A′＝2OA.设BC＝x，则OA＝2x，OB＝4x，平面图形OABC的面积为(BC＋OA)·OB＝6x2，则6x2＝3，解得x＝，故O′A′＝2x＝.
3. ABC　如图，画出原平面图形△ABC，且OA＝OC＝O′C′＝4，OB＝2O′B′＝4.对于A，OA＝4，故A正确；对于B，因为OA＝OB＝OC＝4，所以∠BCA＝∠BAC＝45°，则∠CBA＝90°，可得△ABC是等腰直角三角形，故B正确；对于C，OB＝4，故C正确；对于D，△ABC的面积S＝AC·OB＝×8×4＝16，故D错误．故选ABC.
4. 4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm　由比例可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高，应分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合直观图，与x轴，z轴平行的直线长度不变，与y轴平行的直线长度为原来的，直观图中长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.　
5. ①画轴．如图1，画x轴，y轴，z轴，使∠xOz＝90°，∠xOy＝45°.
②画圆柱的两底面．在x轴上取A，B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB.在y轴上取点D，E，使DE＝ cm，且OD＝OE.画适当的椭圆过点A，B，D，E，使它为圆柱的下底面．在Oz上取点O′，使OO′＝4 cm，过点O′作Ox的平行线 O′x′，Oy的平行线O′y′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．
③画圆锥的顶点．在Oz上取点P，使PO′＝3 cm.
④成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，擦去辅助线，得到此空间图形的直观图，如图2所示．
图1 图2