13.2.3 直线与平面的位置关系 —直线与平面平行 学案（2课时,含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13．2.3　直线与平面的位置关系
——直线与平面平行(1)
1. 借助长方体，通过直观感知，了解直线与平面的位置关系．
2. 掌握直线与平面平行的判定定理及其简单应用．
活动一 了解直线与平面的位置关系
问题：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，线段BC1所在的直线与长方体的六个面所在的平面分别有哪些位置关系？
　　 直线与平面的位置关系：
位置 关系 直线a在 平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个 有且只有1个 0个
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
注：直线a和平面α相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作：a α.
活动二　直线与平面平行的判定定理　
探究1：如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块木板绕AB转动，在转动过程中，AB的对边CD(不落在α内)和平面α有何位置关系？
探究2：如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b，那么这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？
思考
如何判定一条直线与一个平面平行？
直线与平面平行的判定定理：
定理 表示
图形 文字 符号
直线与平面平 行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 若a α，b α，a∥b， 则a∥α
活动三　直线与平面平行的判定定理的应用　
例　如图，已知E，F分别是三棱锥A-BCD的侧棱AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD.
要证明一条直线与一个平面平行，就是要在这个平面内找一条直线与已知直线平行，当然这两条直线应该同在另外一个平面内．
如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点．求证：
(1) E，F，G，H四点共面；
(2) BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
如图，已知M，N分别是底面为矩形的四棱锥PABCD的棱AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.
1. (教材改编)若空间中的平面α及两条直线a，b满足a α且b α，则“a∩b＝ ”是 “a∥α”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
2. (教材改编)过四棱锥PABCD任意两条棱的中点作直线，其中与平面PBD平行的直线有(　　)
A. 4条 B. 5条 C. 6条 D. 7条
3. (多选)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是(　　)
A B C D
4. (2023上海闵行七宝中学月考)已知直线a，b和平面α满足a∥α，b α，则b与a的位置关系为________．
5. (2024南通期中)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知P为棱BB1的中点．
(1) 判断平面D1PC与平面ABCD是否相交．如果相交，在图1作出这两个平面的交线，并说明理由；
(2) 如图2，求证：DB1∥平面PAC.
图1 图2
　　　
13．2.3　直线与平面的位置关系
——直线与平面平行(2)
1. 巩固直线与平面的位置关系及直线与平面平行的判定．
2. 掌握直线与平面平行的性质定理及其简单应用．
活动一 巩固直线与平面的位置关系及直线与平面平行的判定
1. 直线与平面的位置关系：
位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外
直线a与平面α相交 直线a与平面α平行
公共点 无数个 有且只有1个 0个
符号表示 a α a∩α＝A a∥α
图形表示
2. 直线与平面平行的判定定理：
定理 表示
图形 文字 符号
直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 若a α，b α，a∥b，则a∥α
活动二　探究直线与平面平行的性质及其推论　
思考1
如图，l∥α，a α，直线l与直线a一定平行吗？为什么？
思考2
如图，a∥α，a β，α∩β＝b，满足以上条件的平面β有多少个？直线a，b有什么位置关系？
思考3
如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的任意一条直线都平行？ 如果不是，那么平面内怎样的直线才和已知直线平行呢？
直线与平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
已知：
求证：
证明：
直线与平面平行的性质定理：
定理 表示
图形 文字 符号
直线与平面平 行的性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 若l∥α，l β，α∩β＝m，则l∥m
活动三　直线与平面平行的性质定理的应用　
例　如图，E，H分别是三棱锥A-BCD的边AB，AD的中点，平面α过EH分别交BC，CD于点F，G.求证：EH∥FG.
要得到两直线平行，可以用基本事实4，也可以用线面平行的性质定理，在用线面平行的性质定理时，务必要注意过已知的那条直线作(或找)一个辅助平面，使得这个辅助平面与已知平面相交，所得的交线才和已知直线平行．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EH∥A1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG∥平面ADD1A1.
1. (教材改编)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于a的直线(　　)
A. 只有一条，不在平面α内 B. 有无数条，不一定在平面α内
C. 只有一条，且在平面α内 D. 有无数条，一定在平面α内
2. (教材改编)如图，直线a∥平面α，A α，且直线a与点A位于α的两侧，B，C∈a，AB，AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF的长为(　　)
A. 3 B.
C. D.
3. (多选)(2024衡阳期末)若三个不同的平面α，β，γ两两相交，且α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，则交线l1，l2，l3的位置关系可能是(　　)
A. 重合 B. 相交于一点
C. 两两平行 D. 恰有两条交线平行
4. 如图，四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2，E为线段SA的中点，过C，D，E三点的平面与棱SB交于点F，则四边形DEFC的周长为________．
5. (2024福州期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，点D在线段AC上．
(1) 若D是AC的中点，求证：AB1∥平面BC1D；
(2) 若M为BC的中点，直线AB1∥平面C1DM，求的值．
13．2.3　直线与平面的位置关系
——直线与平面平行(1)
【活动方案】
问题：直线BC1与平面ABCD、平面A1B1C1D1、平面ABB1A1、平面CDD1C1相交，直线BC1与平面ADD1A1平行，直线BC1在平面BCC1B1内．
探究1：CD∥α
探究2：直线a，b共面，直线 a和平面α不相交．
思考：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．
例　因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD.
因为EF 平面BCD，BD 平面BCD，
所以EF∥平面BCD.
跟踪训练1　(1) 因为E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，
所以EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，
所以E，F，G，H四点共面．
(2) 因为E，H分别为AB，AD的中点，
所以EH∥BD.
因为BD 平面EFGH，EH 平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
同理可证AC∥平面EFGH.
跟踪训练2　取PD的中点E，连接AE，NE.
因为N是PC的中点，
所以EN∥CD，EN＝CD.
因为在矩形ABCD中，M为AB的中点，
所以AM∥CD，AM＝CD，
所以EN∥AM，EN＝AM，
所以四边形AMNE是平行四边形，
所以MN∥AE.
又因为AE 平面PAD，MN 平面PAD，
所以MN∥平面PAD.
【检测反馈】
1. B　当a∩b＝ 时，因为a α且b α，所以a与α可能相交，故充分性不成立；当a∥α时，因为a α且b α，所以a∩b＝ ，故必要性成立，故“a∩b＝ ”是“a∥α”的必要且不充分条件．
2. C　如图，设E，F，G，H，I，J，M，N分别为相应棱的中点，则NE∥PB，且NE 平面PBD，PB 平面PBD，所以NE∥平面PBD.同理可得HE，NH，GF，MF，MG与平面PBD平行，由图可知，其他的任意两条棱的中点的连线与平面PBD相交或在平面PBD内，所以与平面PBD平行的直线有6条．
3. BCD　对于A，如图1，连接A1B，取A1B的中点O，连接OQ，因为Q为AA1的中点，所以OQ∥AB.又Q∈平面MNQ，O 平面MNQ，所以OQ与平面MNQ相交，所以AB与平面MNQ不平行，故A错误；对于B，如图2，连接CD，由正方体的性质可得AB∥CD.因为M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ.又AB 平面MNQ，MQ 平面MNQ，所以AB∥平面MNQ.同理可证，C，D选项中均有AB∥平面MNQ.故选BCD.
图1 图2
4. 异面或平行　如图所示，a∥α，b α，则a与b没有公共点，所以a与b异面或平行．
5. (1) 平面D1PC与平面ABCD相交，理由如下：
因为DD1∥BP，DD1＝2BP，
所以D，D1，B，P四点共面．
显然DB与D1P不平行，则DB与D1P必相交，
所以平面D1PC与平面ABCD相交．
如图1，连接DB，D1P并延长交于点Q，连接CQ，
则平面D1PC∩平面ABCD＝CQ.
(2) 如图2，连接BD交AC于点O，连接OP.
在△BB1D中，因为O，P分别是BD，BB1的中点，
所以OP∥DB1.
又OP 平面PAC，DB1 平面PAC，
所以DB1∥平面PAC.
图1 图2
13．2.3　直线与平面的位置关系
——直线与平面平行(2)
【活动方案】
思考1：不一定，因为还可能是异面直线．
思考2：无数个，a∥b.
思考3：已知：a∥α，a β，α∩β＝b.
求证：a∥b.
证明：因为a∥α，
所以直线a与平面α没有公共点．
因为b α，
所以直线a与直线b没有公共点．
因为直线a 平面β，b 平面β，所以a∥b.
例　因为E，H分别是AB，AD的中点，
所以EH∥BD.
又BD 平面BCD，EH 平面BCD，
所以EH∥平面BCD.
又EH 平面α，平面α∩平面BCD＝FG，
所以EH∥FG.
跟踪训练1　连接OM.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以O是AC的中点．
因为M是PC的中点，
所以AP∥OM.
又因为AP 平面BDM，OM 平面BDM，
所以AP∥平面BDM.
因为AP 平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，
所以AP∥GH.
跟踪训练2　因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，
所以EH∥B1C1.
因为EH 平面BCC1B1，B1C1 平面BCC1B1，
所以EH∥平面BCC1B1.
因为EH 平面FGHE，平面FGHE∩平面BCC1B1＝FG，
所以EH∥FG.
又EH∥A1D1，
所以FG∥A1D1.
因为FG 平面ADD1A1，A1D1 平面ADD1A1，
所以FG∥平面ADD1A1.
【检测反馈】
1. C　由线面平行的性质定理知，过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内．
2. B　因为BC∥α，BC 平面ABC，平面ABC∩α＝EF，所以EF∥BC，所以＝，即＝，解得EF＝.
3. ABC　如图，作出一个长方体ABCD-A1B1C1D1.对于A，可把平面DCC1D1，DCB1A1，BCDA依次取为平面α，β，γ，它们两两相交于共同的交线DC，故A正确；对于B，可把平面DCC1D1，ADD1A1，BCDA依次取为平面α，β，γ，此时α∩β＝DD1，α∩γ＝DC，β∩γ＝AD，易得三条交线交于同一点D，故B正确；对于C，可把平面DCB1A1，ABB1A1，BCDA依次取为平面α，β，γ，此时α∩β＝A1B1，α∩γ＝DC，β∩γ＝AB，易得三条交线两两平行，故C正确；对于D，若l1∥l2，则可证得l1∥γ，又l1 β，β∩γ＝l3，所以l1∥l3，即交线l1，l2，l3的位置关系不可能是恰有两条交线平行，故D错误．故选ABC.
4. 3＋2　由题意知，四边形ABCD为菱形，所以CD∥AB.因为CD 平面SAB，AB 平面SAB，所以CD∥平面SAB.因为CD 平面CDE，平面CDE∩平面SAB＝EF，所以EF∥CD，则EF∥AB.又E为SA的中点，则F为SB的中点，所以EF＝AB＝1.因为△SAD是边长为2的等边三角形，所以DE⊥SA，且DE＝2sin 60°＝， 同理可得CF＝，故四边形DEFC的周长为3＋2.
5. (1) 如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD.
由三棱柱ABC-A1B1C1的几何特征，
得四边形BCC1B1为平行四边形，
所以O为B1C的中点．
又因为D为AC的中点，
所以OD∥AB1.
因为AB1 平面BC1D，OD 平面BC1D，
所以AB1∥平面BC1D.
(2) 如图，设B1C交C1M于点E，连接DE.
因为AB1∥平面C1DM，AB1 平面AB1C，平面AB1C∩平面C1DM＝DE，
所以AB1∥DE，所以＝.
又因为四边形BCC1B1为平行四边形，
M为BC的中点，
所以＝＝2，
所以＝2.