13.2.3　直线与平面的位置关系—直线与平面垂直 学案（3课时,含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13．2.3　直线与平面的位置关系—直线与平面垂直(1)
1. 了解直线与平面垂直的定义．
2. 掌握直线与平面垂直的判定定理．
3. 能熟练地运用直线与平面垂直的定义及判定定理解决问题．
活动一 直线与平面垂直的定义
1. 在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面”等的位置关系，你能举出一些类似的例子吗？
2. 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线的夹角是否发生变化，为多少？
3. 直线和平面垂直的定义及相关概念(如图).
直线l与平面α垂直：________________________________________________
______________________________________________________________________
平面α的垂线：_____________________________________________________
直线l的垂面：_____________________________________________________
垂足：_____________________________________________________________
活动二　直线与平面垂直的判定定理　
探究：请同学们准备一块三角形的纸片(如图)，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)，问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？
思考
(1) 如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？
(2) 如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？
(3) 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，此直线是否和平面垂直？
(4) 上述三个问题能得到什么结论？
4. 直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
用符号表示为：
练习　下列命题中，正确是________．(填序号)
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；　
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；　
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
活动三　直线与平面垂直的定义及判定定理的应用　
例1　求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
要证明一条直线与一个平面垂直，可以用定义，也可以用判定定理，但在用定义时，平面内的任意一条直线比较难说清楚．
已知直线l和平面α内的两条直线m，n，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(　　)
A. 充要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充分且不必要条件
D. 既不充分又不必要条件
例2　如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点，求证：PC⊥平面BEF.
一般情况下，要证明一条直线垂直于一个平面，都是用线面垂直的判定定理，只要在这个平面内找两条相交直线和已知直线垂直即可．
如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的任意一点，过点A作AE⊥PC，垂足为E，求证：AE⊥平面PBC.
巩固直线与平面垂直的定义及判定定理．
(1) 直线与平面垂直的定义：
定义 如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直
记法 a⊥α
有关概念 直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点P称为垂足
图示
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
(2) 直线与平面垂直的判定定理：
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 若a⊥m，a⊥n，m α，n α，m∩n＝A，则a⊥α
图形语言
1. (教材改编)给定空间中的直线l及平面α，则“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的(　　)
A. 充要条件 B. 充分且不必要条件
C. 必要且不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
2. (2024江苏月考)如图，在四棱锥M-ABCD中，MC⊥平面ABCD，则MA与BD垂直的充分条件可以是(　　)
A. 四边形ABCD为矩形
B. 四边形ABCD为菱形
C. 四边形ABCD为平行四边形
D. 四边形ABCD为梯形
3. (多选)(教材改编)如图，在下列四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　)
A B C D
4. (2024浙江期中)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD.若在线段BC上至少存在一个点Q满足PQ⊥DQ，则实数a的取值范围是________．
5. 如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E，H分别为AB，BC的中点，求证：DE⊥平面PAH.
13．2.3　直线与平面的位置关系
——直线与平面垂直(2)
1. 巩固直线与平面垂直的定义及判定定理．
2. 掌握直线与平面垂直的性质定理．
3. 能熟练地运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理解决问题．
4. 了解点到平面的距离及直线到平面的距离的定义．
活动一 探究直线与平面垂直的性质定理
思考1
(1) 在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆. 一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？
(2) 命题“若a⊥α，b⊥α，则a∥b”正确吗？若正确，请证明；若不正确，请说明理由．
1. 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．
符号语言：
图形语言：
2. 概念辨析：
已知直线l，m，n与平面α，指出下列命题是否正确，并说明理由：
(1) 若l⊥α，则l与α相交；
(2) 若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.
思考2
在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．那么，在空间中：
(1) 过一点有几条直线与已知平面垂直？
(2) 过一点有几个平面与已知直线垂直？
结论：
活动二　直线与平面垂直的性质定理的应用　
3. (1) 点到平面距离的定义：
(2) 直线和平面距离的定义：
例1　如图，已知l∥α，求证：直线l上各点到平面α的距离相等．
直线与平面之间的距离，归结为点面之间的距离，其实就是找过点的平面的垂线，点和垂足之间的距离就是所求线面之间的距离．
如图，已知多面体ABCD-A1B1C1D1为长方体．
(1) 求证：A1A∥平面BB1D1D；
(2) 若AB＝4，AD＝3，求直线A1A和平面BB1D1D间的距离．
线段AB的两端点在平面α的同侧，点A，B到平面α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．
例2　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1.
利用线面垂直的性质定理，若两条直线垂直于同一个平面，则可以得到两直线平行，反之，若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面，结论正确，但不可以作为定理使用．
若本例的条件不变，求证：M是AB的中点．
1. (教材改编)设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若l⊥m，m∥α，则l⊥α B. 若l∥α，α∩β＝m，则l∥m
C. 若l⊥m，m α，则l⊥α D. 若l⊥β，m⊥β，m⊥α，则l⊥α
2. (教材改编)在空间中，下列说法正确的是(　　)
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 过一点有且只有一个平面与已知直线平行
D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直
3. (多选)(2023青岛二中期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列结论中不正确的是(　　)
A. CC1与B1E是异面直线
B. AC⊥平面ABB1A1
C. AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1
D. A1C1∥平面AB1E
4. (2024福建月考)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点O在线段BC1上且BO＝OC1，则点O到平面BCD1A1的距离是________．
5. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.
13．2.3　直线与平面的位置关系
——直线与平面垂直(3)
1. 了解直线和平面所成角的概念和范围．
2. 能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理解决问题．
活动一　了解直线和平面所成的角　
填表：
有关概念
斜线
斜足
射影
直线与平面所成的角
直线与平面所成角的取值范围
活动二　线面垂直的应用　
例1　如图，已知AC，AB分别是平面α的垂线和斜线，C，B分别是垂足和斜足，a α，a⊥BC.求证：a⊥AB.
要证明两条直线垂直，通常是把其中的一条直线放在一个平面内，然后证明另一条直线垂直于这个平面，再用线面垂直的定义即可证得．
求证：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和斜线在这个平面内的射影垂直．
如图，已知∠BAC在平面α内，P α，∠PAB＝∠PAC.求证：点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上．
例2　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：
(1) D1B与平面ABCD所成角的余弦值；
(2) EF与平面A1B1C1D1所成角的大小．
空间中的线面角，转化为平面中的角来解决，利用线面角的定义即可．
(2024成都月考)如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝AD，O是AD的中点，将△DOC沿OC折起，使点D位于点P 处，且∠PAO＝45°.
(1) 求证：OP⊥平面ABCO；
(2) 求直线CD与平面PAB所成角的大小．
1. (教材改编)下列说法中，正确的是(　　)
A. 平面的斜线与平面所成的角θ的取值范围是{θ|θ<90°}
B. 直线与平面所成的角α的取值范围是{α|0°<α≤90°}
C. 若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行
D. 若两条直线互相平行，则这两条直线与同一个平面所成的角相等
2. (2024曲靖二模)在三棱锥O-ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2，则直线OB与平面ABC所成角的正切值等于(　　)
A. B. C. D.
3. (多选)(2024长沙期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段BD1上运动(包括端点)，则下列结论中正确的是(　　)
A. AP⊥B1C
B. PD⊥BC
C. 直线PC1与平面A1BCD1所成角的最大值是
D. PC＋PD的最小值为2
4. (2023陕西期中)在四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且AB＝2.若PD与底面ABCD所成的角大于60°，则PB长度的取值范围为________．
5. (教材改编)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝BB1＝2.
(1) 求证：BD1⊥B1C；
(2) 求直线BD1与平面ADD1A1所成角的正切值．
13．2.3　直线与平面的位置关系 —直线与平面垂直(1)
【活动方案】
1～2：略
3. 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直；
直线l叫作平面α的垂线；
平面α叫作直线l的垂面；
垂线和平面的交点P称为垂足．
探究：AD⊥BC.
思考：(1) 不一定　(2) 不一定　(3) 垂直
(4) 若一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则这条直线垂直于这个平面．
4. 若a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m α，n α，则a⊥α.
练习：④　当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，故①错误；当l与平面α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，故②错误；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，故③错误，④正确．
例1　已知：a∥b，a⊥α.
求证：b⊥α.
证明：设m是α内的任意一条直线．
因为a⊥α，m α，所以a⊥m.
因为a∥b，所以b⊥m，所以b⊥α.
跟踪训练　C　因为l⊥α，所以l必垂直于平面α内的所有直线，所以l⊥m且l⊥n，故充分性成立；因为l⊥m且l⊥n，若m∥n，则l不一定垂直于平面α，故必要性不成立，所以“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充分且不必要条件．
例2　如图，连接PE，CE.
因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AB.
在Rt△PAE和Rt△CDE中，因为PA＝AB＝CD，E是AD的中点，所以AE＝DE，
所以△PAE≌△CDE，
所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，所以EF⊥PC.
因为BP＝＝2＝BC，F是PC的中点，
所以BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，BF 平面BEF，EF 平面BEF，
所以PC⊥平面BEF.
跟踪训练　因为PA⊥平面ABC，且BC 平面ABC，所以PA⊥BC.
又因为AB是⊙O的直径，所以BC⊥AC.
又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC.
因为AE 平面PAC，
所以BC⊥AE.
因为PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC 平面PBC，BC 平面PBC，
所以AE⊥平面PBC.
【检测反馈】
1. C　由直线l与平面α内无数条直线垂直，可得l与平面α相交或l∥α或l α，故充分性不成立；由直线l与平面α垂直，可得直线l与平面α内任意一条直线垂直，故必要性成立，则“直线l与平面α内无数条直线垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要且不充分条件．
2. B　若满足MA⊥BD，因为MC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，所以MC⊥BD.又MA∩MC＝M，MA 平面MAC，MC 平面MAC，所以BD⊥平面MAC.又因为AC 平面MAC，所以BD⊥AC，故当BD⊥AC时，即可推出MA⊥BD，故四边形ABCD为菱形．
3. BD　对于A，因为AB与CE所成的角为45°，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于B，因为AB⊥CE，AB⊥ED，CE∩ED＝E，CE 平面CDE，DE 平面CDE，所以AB⊥平面CDE；对于C，因为AB与CE所成的角为60°，所以直线AB与平面CDE不垂直；对于D，连接AC，由ED⊥平面ABC，可得ED⊥AB，同理可得EC⊥AB.又ED∩EC＝E，ED 平面CDE，EC 平面CDE，所以AB⊥平面CDE.故选BD.
4. [2，＋∞)　因为PA⊥平面ABCD，DQ 平面ABCD，所以PA⊥DQ.又因为PQ⊥DQ，PA∩PQ＝P，PA，PQ均在平面PAQ内，所以DQ⊥平面PAQ.又AQ 平面PAQ，所以DQ⊥AQ，所以Q是以AD的中点为圆心，以AD为直径的圆与边BC的交点．因为AB＝1，BC＝a，在线段BC上至少存在一个点Q满足PQ⊥DQ，所以a≥2.
5. 因为PA⊥平面ABCD，DE 平面ABCD，
所以PA⊥DE.
因为E，H分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，
所以AB＝DA，BH＝AE，∠HBA＝∠EAD，
所以Rt△ABH≌Rt△DAE，
所以∠BAH＝∠ADE.
因为∠AED＋∠ADE＝90°，
所以∠BAH＋∠AED＝90°，所以DE⊥AH.
因为PA 平面PAH，AH 平面PAH，PA∩AH＝A，
所以DE⊥平面PAH.
13．2.3　直线与平面的位置关系
——直线与平面垂直(2)
【活动方案】
思考1：(1) 平行　(2) 正确，证明略
1. 符号语言： a∥b.
图形语言：
2. (1) 正确，理由略　(2) 正确，理由略
思考2：(1) 1条　(2) 1个
结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
3. (1) 从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离．
(2) 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离．
例1　如图，过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′.
因为AA′⊥α，BB′⊥α，
所以AA′∥BB′.
设直线AA′和BB′确定的平面为β，
则β与α的交线为直线A′B′.
因为l∥α，所以l∥A′B′，
所以四边形A′B′BA是平行四边形，
所以AA′＝BB′，
由A，B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等．
跟踪训练1　(1) 因为多面体ABCD-A1B1C1D1是长方体，
所以AA1∥BB1.
因为BB1 平面BB1D1D，AA1 平面BB1D1D，
所以A1A∥平面BB1D1D.
(2) 由(1)知A1A∥平面BB1D1D，
则直线A1A上任意一点到平面BB1D1D的距离都相等，
所以只需求直线A1A上任意一点到平面BB1D1D的距离．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， 过点A在平面ABCD中，作AH⊥BD交BD于点H.
因为BB1⊥平面ABCD，AH 平面ABCD，
所以BB1⊥AH.
因为BB1∩BD＝B，BB1 平面BB1D1D，BD 平面BB1D1D，
所以AH⊥平面BB1D1D，
即线段AH的长为直线A1A和平面BB1D1D间的距离．
在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝3，则BD＝5.
由等面积法，得AH＝＝＝，
所以直线A1A和平面BB1D1D间的距离为.
跟踪训练2　4　如图，作AC⊥α，BD⊥α，垂足分别为C，D，则AC∥BD.连接CD，设AB的中点为E，CD的中点为F，连接EF，则EF为梯形ABDC的中位线，所以EF∥AC，所以EF⊥α，所以EF＝×(3＋5)＝4，即AB的中点到α的距离为4.
例2　因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
因为CD⊥平面ADD1A1，AD1 平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，A1D 平面A1DC，CD 平面A1DC，所以AD1⊥平面A1DC.
因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
跟踪训练　连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，
所以ON∥CD∥AB，ON＝CD＝AB，
所以ON∥AM.
由例2可得MN∥OA，
所以四边形AMNO为平行四边形，
所以ON＝AM.
因为ON＝AB，所以AM＝AB，
所以M是AB的中点．
【检测反馈】
1. D　对于A，若l⊥m，m∥α，则l∥α或l α或l与α相交，故A错误；对于B，若l∥α，α∩β＝m，则l与m平行或异面，故B错误；对于C，若l⊥m，m α，则l∥α或l α或l与α相交，故C错误；对于D，若l⊥β，m⊥β，则l∥m，又m⊥α，所以l⊥α，故D正确.
2. D　对于A，根据空间两条直线的垂直关系有相交垂直和异面垂直两种情况可知，当已知点在已知直线上时，可作无数条直线与已知直线垂直；当已知点在直线外时，可以作无数条直线与已知直线垂直，故A错误；对于B，当已知点在已知直线上时，不能作出与已知直线平行的直线；当已知点在已知直线外时，可以作一条与已知直线平行的直线，故B错误；对于C，当已知点在已知直线上时，不能作出平面与已知直线平行；当已知点在已知直线外时，可作出无数个平面与已知直线平行，故C错误；对于D，无论已知点在已知直线上还是已知直线外，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，故D正确．
3. ABD　对于A，因为CC1 平面BCC1B1，B1E 平面BCC1B1，所以CC1与B1E共面，故A错误；对于B，若AC⊥平面ABB1A1，又AB 平面ABB1A1，所以AC⊥AB，即△ABC为直角三角形，所以△A1B1C1为直角三角形，与已知△A1B1C1是正三角形矛盾，故B错误；对于C，因为AE∩平面BCC1B1＝E，E B1C1，所以AE与B1C1是异面直线．因为△ABC为正三角形，E为BC的中点，所以AE⊥BC，又BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，故C正确；对于D，直线AC交平面AB1E于点A，又AC∥A1C1，所以直线A1C1与平面AB1E相交，故D错误．故选ABD.
4. 　如图，设C1D∩CD1＝E.易得C1D⊥CD1，BC⊥平面CC1D1D.又C1D 平面CC1D1D，所以BC⊥C1D.因为CD1∩BC＝C，CD1 平面BCD1A1，BC 平面BCD1A1，所以C1D⊥平面BCD1A1，则C1E的长即为点C1到平面BCD1A1的距离，所以C1E＝C1D＝.因为点O 在线段BC1上，且BO＝OC1，所以点O到平面BCD1A1的距离d＝C1E＝.
5. 连接AB1，B1C，BD，B1D1.
因为DD1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，BD 平面BDD1B1，DD1 平面BDD1B1，
所以AC⊥平面BDD1B1.
又BD1 平面BDD1B1，所以AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C.
又B1C∩AC＝C，B1C 平面AB1C，AC 平面AB1C，
所以BD1⊥平面AB1C.
因为EF⊥A1D，A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.
因为EF⊥AC，AC∩B1C＝C，B1C 平面AB1C，AC 平面AB1C，
所以EF⊥平面AB1C，所以EF∥BD1.
13.2.3　直线与平面的位置关系
——直线与平面垂直(3)
【活动方案】
填表略
例1　因为AC⊥α，a α，所以AC⊥a.
因为BC⊥a，AC∩BC＝C，BC 平面ABC，AC 平面ABC，
所以a⊥平面ABC.
因为AB 平面ABC，所以a⊥AB.
跟踪训练1　已知：AC⊥平面α，直线a α，AB交平面α于点B，AB⊥a，求证：BC⊥a.
证明：因为AC⊥平面α，a α，所以AC⊥a.
因为AB⊥a，AB∩AC＝A，AB 平面ABC，AC 平面ABC，
所以a⊥平面ABC.
因为BC 平面ABC，所以a⊥BC.
跟踪训练2　如图，作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为O，E，F，连接OE，OF，OA.
因为PE⊥AB，PF⊥AC，∠PAE＝∠PAF，PA＝PA，
所以Rt△PAE≌Rt△PAF，所以AE＝AF.
因为PO⊥α，AB α，所以AB⊥PO.
因为AB⊥PE，PO∩PE＝P，PO 平面PEO，PE 平面PEO，
所以AB⊥平面PEO.
因为OE 平面PEO，所以AB⊥OE.
同理AC⊥OF.
在Rt△AOE和Rt△AOF中，AE＝AF, OA＝OA，
所以Rt△AOE≌Rt△AOF，
所以∠EAO＝∠FAO.
故点P在平面α内的射影O在∠BAC的平分线上．
例2　(1) 连接DB.
易知D1D⊥平面ABCD，
所以DB是D1B在平面ABCD内的射影，
所以∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角．
因为DB＝AB，D1B＝AB，
所以cos ∠D1BD＝＝，
即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.
(2) 易知A1A⊥平面A1B1C1D1，
所以∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角．
在Rt△EA1F中，
因为F是A1D1的中点，E是A1A的中点，
所以A1E＝A1F，
所以△EA1F为等腰直角三角形，
所以∠EFA1＝45°，
即EF与平面A1B1C1D1所成的角为45°.
跟踪训练　(1) 因为在梯形ABCD中，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝AD，O是AD的中点，
所以四边形ABCO为正方形，△OCD为等腰直角三角形，
所以OC⊥AD，则PO⊥OC.
因为∠PAO＝45°，AO＝PO，
所以∠PAO＝∠APO＝45°，
所以∠AOP＝90°，即PO⊥AO.
因为OA∩OC＝O，OA 平面ABCO，OC 平面ABCO，
所以PO⊥平面ABCO.
(2) 如图，延长DC，AB交于点E，连接PD，PE.
由(1)知PO⊥AD，
又PO＝OD，所以∠PDA＝45°＝∠PAO，
所以DP⊥PA.
因为PO⊥平面ABCO，AB 平面ABCO，
所以PO⊥AB.
因为AB⊥AD，AD∩PO＝O，AD 平面PAD，PO 平面PAD，
所以AB⊥平面PAD.
又DP 平面PAD，所以DP⊥AB.
因为PA∩AB＝A，DP⊥PA，PA 平面PAB，AB 平面PAB，
所以DP⊥平面PAB，
所以∠DEP为直线CD与平面PAB所成的角．
设AB＝1，则BC＝CO＝AO＝OD＝OP＝1，
所以PD＝.
因为∠EAD＝90°，∠ADE＝45°，
所以△ADE为等腰直角三角形，
所以AD＝AE＝2，所以DE＝2.
因为在Rt△DEP中， sin ∠PED＝＝，
所以∠DEP＝30°，即直线CD与平面PAB所成的角为30°.
【检测反馈】
1. D　对于A，平面的斜线与平面所成的角θ的取值范围是{θ|0°<θ<90°}，故A错误；对于B，直线与平面所成的角α的取值范围为{α|0°≤α≤90°}，故B错误；对于C，这两条直线可能平行，也可能相交或异面，故C错误；D中说法正确．
2. D　如图，取AC的中点为D，连接OD，BD，作OE⊥BD交BD于点E.因为BO⊥OA，BO⊥OC，且OA∩OC＝O，OA 平面OAC，OC 平面OAC，所以BO⊥平面OAC. 又AC 平面OAC，所以BO⊥AC.因为OA＝OC，D为AC的中点，所以OD⊥AC.因为BO∩OD＝O，BO 平面OBD，OD 平面OBD，所以AC⊥平面OBD.又OE 平面OBD，所以OE⊥AC.因为BD∩AC＝D，BD 平面ABC，AC 平面ABC，所以OE⊥平面ABC，则∠OBD就是直线OB与平面ABC所成的角．因为BO⊥OD，OD＝AC＝，所以tan ∠OBD＝＝＝.
3. ACD　对于A，由正方体的几何特征，得B1C⊥BC1，B1C⊥AB.因为AB∩BC1＝B，AB 平面ABC1D1，BC1 平面ABC1D1，所以B1C⊥平面ABC1D1.因为AP 平面ABC1D1，所以AP⊥B1C，故A正确；对于B，当点P与点B重合时，PD与BC的夹角为，故B错误；对于C，如图1，连接DC1交D1C于点H.因为BC⊥平面CC1D1D，DC1 平面CC1D1D，所以BC⊥DC1.又CD1⊥DC1，BC∩CD1＝C，BC 平面A1BCD1，CD1 平面A1BCD1，所以DC1⊥平面A1BCD1，即C1H⊥平面A1BCD1，则∠C1PH为直线PC1与平面A1BCD1所成的角，所以tan ∠C1PH＝＝，所以当HP最小时∠C1PH最大，即HP⊥BD1时，HP最小．如图2，由BD1·HP＝BC·HD1，得HP＝＝＝，此时tan ∠C1PH＝＝＝，故∠C1PH的最大值为，即直线PC1与平面A1BCD1所成角的最大值是，故C正确；对于D，如图3，将平面D1DB与平面D1BC沿D1B翻折到同一个平面内．由题意，得D1B＝2，BD＝2，DD1＝2，BC＝2，D1C＝2，所以D1C＝DB，DD1＝BC，则四边形DD1CB为平行四边形．又∠D1CB＝∠D1DB＝，所以四边形DD1CB为矩形，所以当P为CD与BD1的交点时，PC＋PD最小，此时PC＋PD＝CD＝BD1＝2，故D正确．故选ACD.
图1 图2 图3
4. (2，＋∞)　如图，连接BD.由PB⊥底面ABCD，得PD与底面ABCD所成的角即为∠PDB.因为底面ABCD为正方形，且AB＝2，所以BD＝AB＝2.因为PD与底面ABCD所成的角大于60°，所以tan ∠PDB＝＝>tan 60°，则PB>2，即PB长度的取值范围为(2，＋∞).
5. (1) 如图，连接BC1，AD1.
由题意可知四边形BB1C1C为正方体，
则B1C⊥BC1.
因为D1C1⊥平面BCC1B1，B1C 平面BCC1B1，
所以B1C⊥D1C1.
又BC1∩D1C1＝C1，BC1 平面ABC1D1，D1C1 平面ABC1D1，
所以B1C⊥平面ABC1D1.
因为BD1 平面ABC1D1，
所以BD1⊥B1C.
(2) 由题意可知AB⊥平面ADD1A1，
则∠AD1B即为直线BD1与平面ADD1A1所成的角．
又因为AB＝3，AD1＝2，
所以tan ∠AD1B＝＝，
即直线BD1与平面ADD1A1所成角的正切值为.