13.2.4　平面与平面的位置关系—两平面平行 学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13．2.4　平面与平面的位置关系—两平面平行
1. 借助长方体，通过直观感知，了解两个平面的位置关系．
2. 理解并掌握两个平面平行与两个平面相交的定义．
3. 掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．
4. 了解两个平行平面间的距离的概念．
活动一 了解空间两个平面的位置关系
请同学们观察下图，这是一个二层楼房的简易图，在其中的四个平面中，两个平面可能有哪几种位置关系？你能根据公共点的情况进行分类吗？
1. 空间两个平面的位置关系：
位置关系 两平面平行 两平面相交
公共点 没有公共点 有一条公共直线
符号表示 α∥β α∩β＝a
图形表示
活动二　探究两个平面平行的判定定理　
实例：你知道木匠师傅是怎样使用水平仪来检测桌面是否水平的吗？
问题1：如果平面β内有一条直线与平面α平行，那么α，β平行吗？
问题2：如果平面β内有两条直线与平面α平行，那么α，β平行吗？
2. 两个平面平行的判定定理：
图形 文字 符号
两个平面平 行的判定定理
例1　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：平面C1DB∥平面AB1D1.
要得到两个平面平行，只能根据面面平行的判定定理，先证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，坚决不能由线线平行得到面面平行．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上(不与端点重合)，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证：平面MNQ∥平面PBC.
活动三 探究两个平面平行的性质定理
3. 观察长方体ABCD-A1B1C1D1中的两个平面：平面ABCD及平面A1B1C1D1.
思考1
平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD吗？
思考2
若m 平面ABCD，n 平面A1B1C1D1，则m∥n吗？
思考3
过BC的平面交平面A1B1C1D1于B2C2，B2C2与BC是什么关系？
思考4
如果两个平面平行，那么
(1) 一个平面内的直线是否平行于另一个平面？
(2) 分别在两个平面内的两条直线是否平行？
(3) 如果第三个平面与这两个平面相交，那么所得的交线平行吗？
探究：两个平面平行的性质定理：
已知：
求证：
证明：
例2　求证：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．
这是得到线面垂直的另一条途径，虽然结论正确，但不能作为定理使用．
求证：如果一条直线垂直于两个平面，那么这两个平面平行．
1. 与两个平行平面都垂直的直线叫作两个平行平面的公垂线．
2. 公垂线夹在两个平行平面间的线段叫作两个平行平面的公垂线段．
3. 公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离．
1. (教材改编)设有两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若m∥α，n∥α，则m∥n B. 若m∥α，m∥β，则α∥β
C. 若m∥n，m∥α，则n∥α D. 若α∥β，m α，则m∥β
2. (教材改编)(2024哈尔滨期中)如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB.若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则线段AB的长为(　　)
A.
B. 2
C.
D. 3
3. (多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，则下列四个推断中正确的是(　　)
A. FG∥平面AA1D1D
B. EF∥平面BC1D1
C. FG∥平面BC1D1
D. 平面EFG∥平面BC1D1
4. 若平面外的一条直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线与该平面的位置关系是________.
5. (2024佛山月考)如图，在六面体ABCDEF中，DE∥CF，四边形ABCD是平行四边形，DE＝2CF.
(1) 证明：平面ADE∥平面BCF；
(2) 若G是棱BC的中点，证明：AE∥FG.
13．2.4　平面与平面的位置关系—两平面平行
【活动方案】
背景引入：两个平面有两种位置关系：相交、平行．
如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．
如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知，它们相交于经过这个点的一条直线，此时称这两个平面相交．
实例：木匠师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，那么就能判断桌面是水平的．
问题1：如果平面β内有一条直线与平面α平行，那么α，β不一定平行．
问题2：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
如果一个平面内有两条平行直线都平行于另一个平面，那么这两个平面不一定平行．
2. 图形：
文字：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．
符号：若a α，b α，a∩b＝A，且a∥β，b∥β，则α∥β.
例1　易知AB∥C1D1，AB＝C1D1，
所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以AD1∥BC1.
因为BC1 平面C1DB，AD1 平面C1DB，
所以AD1∥平面C1DB.
因为AD∥B1C1，AD＝B1C1，
所以四边形ADC1B1是平行四边形，
所以AB1∥C1D.
因为C1D 平面C1DB，AB1 平面C1DB，
所以AB1∥平面C1DB.
因为AD1∩AB1＝A，AD1 平面AB1D1，AB1 平面AB1D1，
所以平面C1DB∥平面AB1D1.
跟踪训练　因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
所以MQ∥AD，NQ∥BP.
因为BP 平面PBC，NQ 平面PBC，
所以NQ∥平面PBC.
因为底面ABCD为平行四边形，
所以BC∥AD，所以MQ∥BC.
因为BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ＝Q，MQ 平面MNQ，NQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PBC.
思考1：平面A1B1C1D1中的所有直线都平行于平面ABCD.
思考2：不一定，m与n平行或异面．
思考3：BC∥B2C2
思考4：(1) 根据两个平面平行及直线和平面平行的定义可知，两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一个平面．
(2) 分别在两个平行平面内的两条直线必定没有公共点，所以只能判定它们平行或异面．
(3) 如果第三个平面都与两个平行平面相交，那么所得的两条交线平行．
探究：已知：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b.
求证：a∥b.
证明：因为α∥β，所以α与β没有公共点，
所以交线a，b也没有公共点．
又因为a，b都在平面γ内，所以a∥b.
例2　已知α∥β，l⊥α.求证：l⊥β.
证明：设l∩α＝A，在平面β内任取一条直线b.
因为点A不在β内，
所以点A与直线b可确定平面γ.
设γ∩α＝a.
因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b.
因为l⊥α，a α，
所以l⊥a，所以l⊥b.
因为直线b是平面β内的任意一条直线，
所以l⊥β.
跟踪训练　已知l⊥α，l⊥β，求证：α∥β.
证明：如图，令平面γ与平面α，β分别相交于直线a，c.
由l⊥β，l⊥α，可得l⊥a，l⊥c.
又a γ，c γ，故a∥c.
因为c β，a β，所以a∥β.
再取与γ相交的另一个平面 λ与平面α，β分别相交于直线b，d，同理可得b∥d.
因为d β，b β，所以b∥β.
又因为a∩b＝A，所以α∥β.
【检测反馈】
1. D　若m∥α，n∥α，则m，n平行、相交或异面，故A错误；若m∥α，m∥β，则α∥β或α，β相交，故B错误；若m∥n，m∥α，则n∥α或n α，故C错误；若α∥β，m α，则m∥β，故D正确．
2. C　因为平面α∥平面β，且平面PAB∩平面α＝CD，平面PAB∩平面β＝AB，所以CD∥AB，所以△PCD∽△PAB，可得＝，所以AB＝＝＝.
3. AC　对于A，如图，连接AD1，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，F，G分别是B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1.因为BC1∥AD1，所以FG∥AD1.因为FG 平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，所以FG∥平面AA1D1D，故A正确；对于B，因为EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，所以EF与平面BC1D1相交，故B错误；对于C，因为F，G分别是B1C1，BB1的中点，所以FG∥BC1.因为FG 平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，所以FG∥平面BC1D1，故C正确；对于D，因为EF与平面BC1D1相交，所以平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误．故选AC.
4. 平行或相交
5. (1) 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BC∥AD.
又AD 平面ADE，BC 平面ADE，
所以BC∥平面ADE.
因为DE∥CF，CF 平面ADE，DE 平面ADE，
所以CF∥平面ADE.
又BC∩CF＝C，BC 平面BCF，CF 平面BCF，
所以平面ADE∥平面BCF.
(2) 如图，延长EF，AG与DC的延长线分别交DC于点O1，O2.
由DE∥CF，DE＝2CF，
得CO1＝CD.
由BC∥AD，G是棱BC的中点，
得CO2＝CD，
因此点O1，O2重合，记为点O.
显然平面AOE∩平面ADE＝AE，
平面AOE∩平面BCF＝FG，
又平面ADE∥平面BCF，
所以AE∥FG.