13.3.1　空间图形的表面积 学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13.3.1　空间图形的表面积
知道柱、锥、台的表面积的计算公式，能用此公式解决简单的实际问题．
活动一 了解一些特殊的简单多面体
1. 阅读课本，了解直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台的概念：
2. 列举日常生活中遇到的与直棱柱、正棱柱、正棱锥、正棱台有关的几何体．
活动二　掌握常见空间图形的表面积　
3. 直棱柱和正棱锥的表面积．
思考1
直棱柱和正棱锥的特征是什么？
思考2
下图是直六棱柱的展开图，你能根据展开图归纳出直棱柱的侧面面积公式吗？
思考3
下图是正四棱锥的展开图，设底面周长为c，你能根据展开图，归纳出正棱锥的侧面面积公式吗？
思考4
如何求多面体的表面积？
结论：
(1) 直棱柱的侧面积：S直棱柱侧＝ch.
(2) 正棱锥的侧面积：S正棱锥侧＝ch′.
4. 正棱台的表面积．
思考5
什么是正棱台？正棱台的侧面展开图是怎样的图形？
思考6
如图是正四棱台的侧面展开图，设下底面周长为c，上底面周长为c′，你能根据展开图，归纳出正棱台的侧面面积公式吗？
思考7
正棱台的侧面积除了用展开图的方法求外，你还有其他方法吗？棱台的表面积如何求？
思考8
正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式有怎样的关系？
5. 圆柱、圆锥、圆台的表面积．
思考9
圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
思考10
圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
思考11
圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
名称 图形 面积公式
圆柱 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr(r＋l)
圆锥 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr(r＋l)
圆台 上底面面积：S上底＝πr′2 下底面面积：S下底＝πr2 侧面积：S侧＝π(r′＋r)l 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
思考12
圆柱、圆锥、圆台的侧面积之间是否可以相互转化？
活动三　掌握柱、锥、台的表面积的求解方法　
例　设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是 m，底面的边长是2m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？
一个空间图形的全面积就是表面积，也就是底面积和侧面积之和，而侧面积是各个侧面的面积之和，当空间图形是直棱柱、正棱锥、正棱台及圆柱、圆锥、圆台时，侧面积有公式可用．
如图，将一个棱长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(　　)
A. 6a2
B. 12a2
C. 18a2
D. 24a2
1. (教材改编)已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是(　　)
A. B. C. D.
2. (2024广州期中)已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，则其表面积为(　　)
A. 3 B. 12＋20 C. 12＋20 D. 48
3. (多选)(教材改编)若等腰直角三角形的直角边长为1，则将该三角形绕其某一边旋转一周所形成的空间图形的表面积可以为(　　)
A. π B. (1＋)π C. 2π D. (2＋)π
4. (2024新乡期中)已知一个正四棱锥的底面边长为1，高为 ，则该正四棱锥的表面积为________．
5. (2023广州期中)等角半正多面体是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条棱上的三个点截去一个正三棱锥，如此共截去四个正三棱锥，若得到的几何体是一个由正三角形与正六边形围成的等角半正多面体，且每个正六边形的面积为2，求原正四面体的表面积．
13.3.1　空间图形的表面积
【活动方案】
1. 侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱．
底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．
底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫作正棱锥．
正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台．
2. 略
思考1：直棱柱：侧棱和底面垂直的棱柱；
正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥．
思考2：S直棱柱侧＝ch，即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积．
思考3：S正棱锥侧＝ch′，即正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半．
思考4：一般地，我们可以把多面体展开成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积．
思考5：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台．
正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形．
思考6：S正棱台侧＝(c＋c′)h′
思考7：可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法．
棱台的表面积等于侧面积与底面积的和．
思考8：S正棱柱侧＝chS正棱台侧＝(c＋c′)h′S正棱锥侧＝ch′
思考9：S圆柱侧＝2πrl，S圆柱表＝2πr(r＋l)
思考10：S圆锥侧＝×2πrl＝πrl，
S圆锥表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)　
思考11：S圆台侧＝π(r＋r′)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋r′l＋r′2)
思考12：S圆柱侧＝cl＝2πrlS圆台侧＝(c＋c′)l＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝cl＝πrl
例　设斜高为h′，则h′＝＝2(m)，
所以S正棱锥侧＝×2×2×4＝8(m2)，
故制造这种塔顶需要8m2的铁板．
跟踪训练　B　由题意可知正方体的表面积为6a2，小正方体的棱长为a，所以小正方体的表面积为6×＝a2，所以27个全等的小正方体的表面积为18a2，所以表面积增加了12a2.
【检测反馈】
1. C　设圆柱的底面半径为r，高为h.因为圆柱的侧面展开图是一个正方形，所以h＝2πr，所以圆柱的表面积为2πr2＋2πr·h＝2πr2＋4π2r2，圆柱的侧面积为4π2r2，所以这个圆柱的表面积与侧面积的比值是＝.
2. B　如图，作B1H⊥平面ABCD，B1Q⊥BC，垂足分别为H，Q，连接HQ.由题意可知HQ＝1，B1H＝3，所以B1Q＝＝，所以表面积S＝22＋42＋4××(2＋4)×＝20＋12.
3. AB　如果绕直角边旋转，形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边为，所以所形成的空间图形的表面积是S＝πrl＋πr2＝π×1×＋π×12＝π；如果绕斜边旋转，形成的是上下两个圆锥，圆锥底面的半径是直角三角形斜边上的高，为 ，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的空间图形的表面积S＝2×πrl＝2×π××1＝π.综上可知形成的空间图形的表面积是(＋1)π或π.故选AB.
4. 4　如图，四棱锥P-ABCD为正四棱锥，高OP＝，底面边长AB＝1，过点O作OG⊥BC于点G，则G是BC的中点，连接PG，可得斜高PG＝＝，所以正四棱锥的表面积S＝1×1＋4××1×＝4.
5. 设正六边形的边长为a，根据题意有6×a2＝2，可得a2＝，
由题意，得原正四面体的棱长为3a，
故原正四面体的表面积S＝×(3a)2×4＝12.