13.3.2　空间图形的体积 学案（含答案）2024-2025学年高一数学苏教版（2019）必修第二册

13．3.2　空间图形的体积(1)
知道柱、锥、台的体积的计算公式，能用此公式解决简单的实际问题．
活动一 了解柱、锥、台的体积的计算公式
1. 如果一个长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积V长方体＝abc或V长方体＝Sh(S表示长方体的底面积，h表示高).
2. 如何求柱、锥、台的体积？
祖暅原理：
两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．
棱柱(圆柱)可由多边形(圆)沿某一方向平移得到，因此，两个底面积相等、高也相等的棱柱(圆柱)应该具有相等的体积．
　　　 　　　
柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝Sh.
类似地，底面积相等、高也相等的两个锥体，它们的体积也相等，由圆锥体积公式可知，V锥体＝Sh.
台体(棱台、圆台)的体积可以转化为锥体的体积来计算．如果台体的上、下底面面积分别为S′，S，高是h，那么可以推得它的体积V台体＝h(S＋＋S′).
思考
上一节中，我们知道正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积之间有一定的关系，那么柱体、锥体、台体的体积公式之间有没有类似的关系？
柱体、锥体、台体的体积公式：
(1) 柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高).
(2) 锥体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高).
(3) 台体的体积公式V＝h(S′＋＋S)(S′，S分别为上、下底面的面积，h为高).
(4) 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V柱体＝ShV台体＝h(S′＋＋S)V锥体＝Sh.
活动二　会求一些简单空间图形的体积　
例　有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(如图)共重6kg.已知毛坯底面正六边形的边长是12mm，高是10mm，内孔直径是10mm.那么这堆毛坯约有多少个？(铁的密度是7.8g/cm3)
柱、锥、台的体积中，解决高的问题是关键．
用一张长12cm，宽8cm的矩形围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积．
已知一个铜质的五棱柱，底面积为16cm2，高为4cm，现将它熔化后铸成一个正方体的铜块，那么铸成的铜块的棱长为多少？(不计损耗)
1. 艳阳高照的夏天，冰淇淋是孩子们喜爱的食品之一．一个冰淇淋近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为12 cm，则该圆锥的体积为(　　)
A. 96π cm3 B. 124π cm3 C. 72π cm3 D. 168π cm3
2. (教材改编)如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为6，△A1BC的面积为 2，则点A到平面A1BC的距离为(　　)
A.
B.
C. 2
D.
3. (多选)(2023枣庄期中)已知在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，A1B1＝2，AA1＝2，则下列关于该正四棱台的说法中正确的是(　　)
A. ∠A1AB＝ B. 高为
C. 体积为 D. 表面积为12
4. (2024天津河西区期中)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝________．
5. (2023平湖当湖高级中学期中)龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗(如图)，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台. 现有一龙洗盆高15cm，盆口直径36cm，盆底直径18cm.现往盆内倒入水，当水深5cm时，盆内水的体积大约为多少？
13．3.2　空间图形的体积(2)
1. 知道球的体积与表面积的计算公式．
2. 会求一些球的组合体中表面积与体积的问题．
3. 体会积分思想在计算球的表面积和体积中的应用．
活动一 探究球的体积与表面积的计算公式
思考1
球既没有底面，也无法像柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？
1. 阅读课本，了解球的体积与表面积公式的推导过程．
思考2
球的大小与球的半径有关，如何用球的半径来表示球的体积和表面积？
2. 球的表面积和体积公式：
(1) 球的表面积公式S＝4πR2；
(2) 球的体积公式V＝πR3.
3. 球体截面的特点：
球既是中心对称的空间图形，又是轴对称的空间图形，它的任何截面均为圆．
活动二 掌握球的体积、表面积的求解方法
例1　设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，求该球的表面积．
拓展：
1. 正方体的内切球．
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面，如图1. 图1
2. 球与正方体的各条棱相切．
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，过球心作正方体的对角面，有r2＝a，如图2. 图2
3. 长方体的外接球．
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径．若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面，有球的半径为r3＝，如图3.
图3
4. 正方体的外接球．
正方体棱长a与外接球半径R的关系为2R＝a.
已知三棱锥D-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝2，AC＝2，若三棱锥D ABC体积的最大值为2，求球O的表面积．
当多面体与球组成组合体后，一定要分清是内切还是外接，然后可以画出空间图形的截面图，有利于一些长度的计算．
例2　已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：
(1) 球的表面积等于圆柱的侧面积；
(2) 球的表面积等于圆柱全面积的.
已知一圆锥的母线长为10 cm，底面圆半径为 6 cm.
(1) 求圆锥的高；
(2) 若圆锥内有一球，球与圆锥的底面及圆锥的所有母线都相切，求球的表面积．
球和前面所学的圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，只要画出它们的轴截面，都可以解决问题．
1. (教材改编)若平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的体积为(　　)
A. π B. 4π C. 4π D. 6π
2. (2023深圳罗湖高级中学期中)把一个铁制的底面半径为4，侧面积为 的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为(　　)
A. 16π B. 12π C. 24π D. 9π
3. (多选)(2024湖南月考)已知三棱锥P-ABC的所有棱长都是6，D，E分别是三棱锥P-ABC外接球和内切球上的点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 三棱锥P-ABC的体积是18
B. 三棱锥P-ABC内切球的半径是
C. DE长度的取值范围是[，2]
D. 三棱锥P-ABC外接球的体积是27π
4. (2024杭州月考)在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈，则所得几何体的体积为________．
5. 已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，求该圆锥内半径最大的球的表面积与圆锥外接球的表面积之比．
13．3.2　空间图形的体积(1)
【活动方案】
思考：略
例　因为V六棱柱＝×122×6×10≈3 741(mm3)，
V圆柱＝π××10≈785(mm3)，
所以V螺帽＝3 741－785＝2 956(mm3)＝2.956(cm3)，　
则≈260(个)，
故这堆毛坯约有260个．
跟踪训练1　设圆柱的底面半径为R.
当圆柱的高为8cm时，则2πR＝12，
所以R＝，
所以V＝π××8＝ (cm3)；
当圆柱的高为12cm时，则2πR＝8，
所以R＝，
所以V＝π××12＝ (cm3)，
故圆柱的体积为 cm3或 cm3.
跟踪训练2　由题意，得V＝16×4＝64(cm3).
设正方体铜块的棱长为a cm，则a3＝64，
解得a＝4，即铸成的铜块的棱长为4cm.
【检测反馈】
1. C　设圆锥的底面圆的半径为r，则底面圆的面积为S1＝πr2，侧面面积为S2＝×2πr×12＝12πr.由题意知2S1＝S2，所以12πr＝2πr2，解得r＝6，则该圆锥的高h＝＝6，故该圆锥的体积V＝×π×62×6＝72π(cm3).
2. B　由直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为6，可得VA1-ABC＝VA1B1C1-ABC＝2.设点A到平面A1BC的距离为d.因为VA1-ABC＝VA-A1BC，所以S△A1BC·d＝2，所以×2d＝2，解得d＝，即点A到平面A1BC的距离为.
3. BC　如图，过点A1分别作底面ABCD，AB的垂线，垂足分别为M，N，则AM＝AC＝，AN＝AB＝1，可得A1M＝＝，A1N＝＝.对于A，在Rt△AA1N中，可得sin ∠A1AN＝＝，且∠A1AN为锐角，则∠A1AB＝，故A错误；对于B，正四棱台的高即为A1M＝，故B正确；对于C，正四棱台的体积V＝(4×4＋2×2＋)×＝，故C正确；对于D，正四棱台的表面积S＝4×4＋2×2＋4×＝20＋12，故D错误．故选BC.
4. 4　因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为a，且其体积为16，则S△ABC＝a2sin 60°＝a2，所以VABC-A1B1C1＝S△ABC·AA1＝a3＝16，解得a＝4.
5. 如图1，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长EC，FD，交于点G，如图2.
根据题意知，AB＝18cm，CD＝9cm，AC＝15cm，EC＝5cm.
设CG＝xcm，EF＝ycm，
所以＝，＝，
解得x＝15，y＝12，
所以V＝(π×122＋π×92＋π×12×9)×5＝555π(cm3).
图1 图2
　　
13．3.2　空间图形的体积(2)
【活动方案】
思考1：略
思考2：略
例1　由题意，得该球为长方体的外接球，则长方体的体对角线是其外接球的直径．
由长方体的体对角线为＝a，得球的半径为，
所以球的表面积为4π×＝6πa2.
跟踪训练　因为AB＝BC＝2，AC＝2，
所以AB⊥BC.
如图，过AC的中点M作平面ABC的垂线MN，
则球心O在直线MN上．
设OM＝h，球的半径为R，
则棱锥高的最大值为R＋h.
因为VD -ABC＝××2×2×(R＋h)＝2，
所以R＋h＝3，由勾股定理，得R2＝(3－R)2＋2，
解得R＝，
所以球的表面积为S＝4π×＝.
例2　设球的直径为d，则圆柱的底面半径为，高为d.
(1) S球＝4π·＝πd2，S圆柱侧＝2π··d＝πd2＝S球，
所以球的表面积等于圆柱的侧面积．
(2) S圆柱底＝2π·＝d2，S圆柱全＝d2＋πd2＝d2，
所以S球＝πd2＝d2×＝S圆柱全，
所以球的表面积等于圆柱全面积的.
跟踪训练　(1) 根据题意知，圆锥的高h＝＝8(cm).
(2) 由(1)知，圆锥的高为8 cm.
设圆锥内切球的半径为r cm，
则(10－6)2＋r2＝(8－r)2，解得r＝3，
所以所求球的表面积S＝4πr2＝4π×32＝36π(cm2).
【检测反馈】
1. B　由题意，得球O的半径r＝＝，所以球O的体积为×()3＝4π.
2. A　设实心圆柱的高为h.因为实心圆柱的底面半径为4，所以侧面积为2π×4×h＝，解得h＝，则圆柱的体积为V＝π×42×＝.设球的半径为R，则πR3＝，解得R＝2，所以该铁球的表面积为4πR2＝4π×22＝16π.
3. ACD　如图，取BC的中点M，连接AM，PM，作PH⊥平面ABC.易证点H在AM上，且AH＝2HM＝2，则PH＝＝2，从而三棱锥P-ABC的体积V＝Sh＝××62×2＝18，故A正确；设三棱锥P-ABC内切球的半径为r，则VPABC＝SP-ABC·r，所以r＝＝＝，故B错误；设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，球心为O，则R2＝AH2＋OH2＝(PH－OH)2，即R2＝12＋OH2＝(2－OH)2，解得OH＝，所以R＝，则三棱锥P-ABC外接球的体积是27π，显然DE长度的取值范围是[，2]，故C，D正确．故选ACD.
4. 　由题意，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后，所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体，则该组合体的体积为V组合体＝V圆锥＋V圆柱－V半球＝×π×42×4＋π×42×4－××π×43＝.
5. 设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r.
因为圆锥的侧面展开图为一个半圆，
所以2πr＝×2πl，解得l＝2r.
圆锥内半径最大的球即圆锥的内切球，设内切球半径为R1，设圆锥的一个轴截面为△PAB，如图所示，则△PAB内切圆的半径为圆锥内切球的半径．
因为在△PAB中，PA＝PB＝l，C为AB的中点，AB＝2r＝l，
所以△PAB为等边三角形，
则·PA·PB·sin 60°＝R1(PA＋PB＋AB)，
即×l×l×＝R1(l＋l＋2r)，
解得R1＝l，
所以圆锥内半径最大的球的表面积为
S1＝4πR＝4π×＝πl2.
又△PAB外接圆的直径为2R2＝＝l，
所以圆锥的外接球的半径R2＝l，
所以圆锥外接球的表面积为
S2＝4πR＝4π×＝πl2，
所以＝＝.
故所求的表面积之比为1∶4.