湖南省永州市祁阳市浯溪二中2025年中考二轮数学有关二次函数综合题存在性问题专题训练（含答案）

湖南省祁阳市浯溪二中2025年中考二轮数学有关二次函数综合题存在性问题专题训练（2）
1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在点N，使△ADN为直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣4，0），B两点，交y轴于点C（0，4）．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，求四边形AOCP的面积的最大值，并写出此时点P的坐标．
（3）在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为　 　 时，PN+NC的值最小，最小值为　 　 ．
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，DP的长最大，求出P点坐标．
（3）是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝1．点M是抛物线上的一个动点，设它的横坐标为m（0＜m＜3）．过点M作MN⊥x轴，与BC交于点N，连接CM，BM．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求线段MN的最大值；
（3）是否存在以CN为腰的等腰三角形CMN？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
5．已知抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）求抛物线C1的解析式；
（2）如图1，若点P（m，n）是抛物线C1在第四象限上的任意一点，
①连接AC，CP，点D为y轴上一个动点，是否存在这样的点P和点D，使得以A、C、P、D为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
②将点P按竖直方向向下平移m个单位到点Q，求点Q到x轴距离的最大值．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，抛物线w：y＝ax2+bx+c经过A，B两点，与x轴交于点C，连接BC，且．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为抛物线上一点，且位于第三象限，DE⊥AB于点E，若，求点D的坐标；
（3）抛物线w1与抛物线w：y＝ax2+bx+c关于原点对称，抛物线w1与x轴正半轴交于点F，作GF⊥AF交直线AB于点G，在抛物线w1上是否存在点H，使得∠AGH＝2∠BAO，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点B（3，0）．与y轴交于点C（0，3）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在第一象限时，过点P作PE⊥x轴于点E，与线段BC交于点D，是否存在点P，使得△CDP与△BOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A（﹣2，0），B（5，0）两点，交y轴于点C，连接BC，AC．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使△BCP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）如图1，线段BC下方抛物线上是否存在一点E，使若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，D是抛物线的顶点，P是抛物线第二象限上的点，连接PB，BD．当∠PBA＝2∠CBD时，求点P的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线G1：y＝ax2+2ax+c（a＜0）与x轴交于A，B（1，0）两点（点A在点B的左侧）．与y轴交于点C，顶点为D：抛物线G2：y＝m（x﹣2）2+5a经过点D．
（1）当点C的坐标为（0，3）时，求抛物线G1的表达式；
（2）在（1）的条件下，在第二象限内抛物线G1上是否存在一点P，使得△BCP的面积是△ABC的面积的一半？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线G1和抛物线G2构成的封闭图形内部（不包含边界）有6个整点（横、纵坐标都是整数），请求出a的取值范围．
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，点M是直线BC下方的二次函数图象上的一个动点，过点M作MH⊥x轴于点H，交BC于点N，求线段MN最大时点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，该抛物线上是否存在点Q，使得∠QCB＝∠CBM．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，以点G（0，﹣3）为圆心，以6个单位长为半径作⊙G，与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D两点．二次函数的图象经过A，B，C三点．
（1）求c的值；
（2）连接AG，BG，AD和BD，求证：四边形ADBG为菱形；
（3）如果横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点．已知位于x轴下方的抛物线上有两个整点R，T，连接RT，那么在x轴下方的二次函数的图象上，是否存在点P，使∠RPT＝45°？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
13．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第一象限内抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴交x轴于点E，交直线BC于点F，求PF的最大值；
（3）抛物线上是否存在一点M，使直线AM与y轴所夹锐角是∠ACO的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，二次函数y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0）和B（4，0）交y轴于点C，顶点为D，对称轴与BC交于点E，动直线l垂直于x轴，交线段BC于点F，交抛物线于点P，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当四边形DEFP为平行四边形时，求点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
15．已知抛物线y＝x2+bx﹣3（b是常数）与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
（Ⅰ）若点A坐标为（﹣1，0），求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点N，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使CNP为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由；
（Ⅲ）在﹣1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是﹣6，求b的值（直接写出答案即可）．
16．在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为倒数，就称这个点为“倒数点”．例如：都是“倒数点”．如果直线l：y＝﹣x﹣c（c＞0）上有且只有一个“倒数点”，记作点P．
（1）求直线l的解析式以及点P的坐标；
（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过直线l上的“倒数点”点P和点Q（1，7），顶点为M．
①求顶点M的坐标；
②抛物线上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的直角三角形，若存在，求出点N的坐标．
17．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象与x轴分别相交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴相交于点C，∠CBA＝45°．
（1）请求出a的值；
（2）已知点D是函数图象上一动点（不与A、B重合），过点D的直线l平行于y轴，与△ABD的外接圆交于另一点E，连接AE，CE．请问是否存在点D，使得AE+CE最小？若存在，请求出点D坐标并求出AE+CE的最小值；若不存在，请说明理由．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．已知A（1，0），C（0，2），且AB＝3．P是抛物线上一动点（不与A、B、C重合），其横坐标为n．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若n＞4，且△ACP的面积是5，求n的值；
（3）是否存在n的值，使∠PCA与△OAC中某个角的大小相等？若存在，请求出所有满足条件的n的值；若不存在，请说明理由．
19．在二次函数y＝x2的图象上分别取三个点P，A，B，其中，点P（p，﹣p）在第二象限内，A，B两点横坐标分别为a，b，且满足a≤p≤b．
（1）求p的值；
（2）记a≤x≤b时，二次函数y＝x2的最大值为y1，最小值为y2．若b﹣a＝3，求y1﹣y2的取值范围；
（3）连接PA，PB，AB．当PA⊥PB时，作PH⊥AB，垂足为点H，PH是否存在最大值？若存在，求PH的最大值；若不存在，请说明理由．
20．已知，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），函数图象的对称轴经过点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）连接AC，BC，若点P为直线BC下方的函数图象上一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD交BC于点E．
①点F为线段DE上一动点，FG⊥y轴，垂足为点G，点H为线段AC上一动点，连接CP，BF，GH．当△BCP的面积最大时，求BF+FG+GH的最小值；
②在y轴上是否存在点T，使以P、E、C、T为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.解：（1）将x＝0代入AB的解析式y＝﹣x+3得：y＝3，
∴B（0，3）．
将y＝0代入AB的解析式y＝﹣x+3得：﹣x+3＝0，
解得x＝3，
即A（3，0）．
将点A和点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
①当∠DNA＝90°时，如图所示：
∵∠DNA＝90°时，
∴DN⊥OA，
又∵D（1，4），
∴N（1，0），
∴AN＝2．
∵DN＝4，AN＝2，
∴AD＝2；
②当∠N'DA＝90°时，则∠DN'A＝∠NDA．
∴sin∠DN'A＝sin∠ADN，
∴AD：AN′＝AN：AD，即（2）：AN′＝2：2，
解得：AN'＝10．
∵A（3，0），
∴N′的坐标为（﹣7，0），
综上所述，点N的坐标为（1，0）或（﹣7，0）．
2.解：（1）由条件可得：
，
解得：，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴OA＝4，OC＝4，
∴，
设直线AC的解析式为y＝kx+4，
代入A（﹣4，0）得，0＝﹣4k+4，
解得k＝1，
∴直线AC的解析式为y＝x+4，
设P（t，﹣t2﹣3t+4），则Q（t，t+4），
∴PQ＝﹣t2﹣3t+4﹣（t+4）＝﹣t2﹣4t，
∴，
∴四边形AOCP的面积，
∵﹣2＜0，
∴当t＝﹣2时，四边形AOCP的面积最大为16，此时点P的坐标为（﹣2，6）；
（3）作C点关于x轴的对称点C′（0，﹣4），连接PC′与x轴相交于点N，
此时PN+NC的值最小，，
设直线PC′的解析式为y＝tx﹣4，则6＝﹣2t﹣4，
解得：t＝﹣5，
则直线PC′的解析式为y＝﹣5x﹣4，
令y＝﹣5x﹣4＝0，
解得：，
此时点；
故答案为：（，0）；2；
（4）设，
∵A（﹣4，0），C（0，4），
∴AC2＝42+42＝32，，，
当斜边为AC时，AM2+CM2＝AC2，
即，整理得：，
解得：；
当斜边为AM时，AC2+CM2＝AM2，
即，
解得：；
∴
当斜边为CM时，AC2+AM2＝CM2，
即，
解得：；
∴
综上：点M的坐标为或或或．
3.解：（1）由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+bx+3，则a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
∴A（0，3），
∴直线AB解析式为y＝x+3，
∵点P在线段AB上方抛物线上，
∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），
∴D（t，t+3），
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t）2，
即当t时PD最大，此时，点P（，）；
（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形，
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3），
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
∵PE∥x轴交抛物线于点E，
∴E、P关于对称轴对称，
∴xE﹣（﹣1）＝（﹣1）﹣t，
∴xE＝﹣2﹣t，
∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|，
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，
∴PD＝PE，
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t，
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t，
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2，
∴P（﹣2，3），
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t，
∴﹣t2﹣3t＝2+2t，
解得：t（不合题意的值已舍去），
即点P（，），
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时，使△PDE为等腰直角三角形．
4.解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由抛物线的表达式知，点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P（m，﹣m2+2m+3），则点N（m，﹣m+3），
则MN＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣（m﹣1.5）2，
即MN的最大值为：；
（3）存在，理由：
由（2）中的点C、M、N的坐标得，CNm，MN＝﹣m2+3m，
当CN＝MN时，即m＝﹣m2+3m，则m＝0（舍去）或3，
当CN＝CM时，则点C在MN的中垂线上，则3[（﹣m2+2m+3）+（﹣m+3）]，
解得：m＝0（舍去）或1，
综上，m＝1或3．
5.解：（1）由题意得：y＝a（x+2）（x﹣3）＝a（x2﹣x﹣6），
则﹣6a＝﹣4，则a，
则抛物线的表达式为：yx2x﹣4；
（2）①点P（m，n），设点D（0，t），
当AC为对角线时，
由中点坐标公式得：﹣2＝m+0，则m＝﹣2，
即点P（﹣2，0）（舍去）；
当AP或AD为对角线时，
同理可得：m﹣2＝0或﹣2＝m，
则m＝2（不合题意的值已舍去），
即点P（2，），
综上，点P（2，）；
②点P（m，m2m﹣4），
则点Q（m，m2m﹣4﹣m），
则Q到x轴距离＝﹣（m2m﹣4﹣m）（m）2，
即点Q到x轴距离的最大值为．
6．解：（1）∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B，
∴A（﹣4，0），B（0，﹣2），
∴OB＝2，
∵，
∴OC＝1，
∴C（1，0），
∵y＝ax2+bx+c经过点A，B，C，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵AB2+BC2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∵B（0，﹣2），C（1，0），
取BC的中点F（，﹣1），在CB的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，
∴，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，DE∥BC，
∵，∴，∴四边形DEBG是矩形，
∴DG∥AB，设直线且过点，，
∴，
∴，，
∴或；
（3）抛物线w1与抛物线w：y＝ax2+bx+c关于原点对称，
∴w1的函数表达式为，
∴点F的坐标为（4，0），
∵GF⊥AF，
∴点G的坐标为（4，﹣4），
在x轴上取一点P，使得PA＝PB，此时∠BPO＝2∠OAB，
设P（x，0），
∴（x+4）2＝x2+4，
∴，
∴，
∴，
当点H位于第一象限时，过点B作QB⊥AB交GH的延长线于点Q，作QM⊥y轴于点M，作GN⊥y轴于点N，
设点Q的坐标为（m，n），
∴MB＝n+2，MQ＝m，BN＝2，GN＝4，
∵∠MBQ+∠NBG＝∠MBQ+∠MQB＝90°，
∴∠MQB＝∠NBG，
∵∠BMQ＝∠BNG＝90°，
∴△BMQ∽△GNB，
∴，
∵∠AGH＝2∠BAO＝∠BPO，
∴，
∴，，
∴，
∴，
直线GQ与w1交于点H，
∴，
∴（舍去），，
∴点l的坐标为，
当点H位于第三象限时，点Q与点Q关于点B对称，此时∠AGQ'＝∠AGQ＝2∠BAO，
∴，
∴，
∴，
∴（舍去），，
∴点H的坐标为；
综上所述，点H的坐标为或．
7.解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在，理由：
∵OB＝CO，则△BOC为等腰直角三角形，
∵△CDP与△BOC相似，则△CDP为等腰直角三角形，则存在∠PCD或∠CPD为直角，
当∠PCD为直角时，
∵BO＝CO，则∠OCB＝45°，
∵∠PCD为直角，则直线PC的表达式为：y＝x+3，
联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2﹣2x+3＝x+3，
解得：x＝0（舍去）或1，即点P（1，4）；
当∠CPD为直角时，
则点P、C关于抛物线对称轴对称，
则点P（2，3），
综上，P（1，4）或（2，3）．
8.解：（1）由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣10；
（2）存在，由抛物线的函数表达式知，抛物线的对称轴为直线x，
∴设点P（，m），
由点C，B，P的坐标，得BC2＝125，BP2＝（）2+m2，CP2（m+10）2，
当BC为斜边时，
则125＝（）2+m2（m+10）2，
解得：m或，则点P（，）或（，）；
当PB或PC为斜边时，
则125+（）2+m2（m+10）2或（）2+m2（m+10）2+125，
解得：m或，
即点P（，）或（，）；
综上，点P（，）或（，）或（，）或（，）．
9.解：（1）由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）存在，理由：
∵S△BCES四边形ACEB（S△ABC+S△BCE），
则S△ABC＝S△BCE，
分别过点A、E作BC的平行线AG、EH，分别交y轴于点G、H，
则AG的表达式为：y＝x+1，则点G（0，1），
则CG＝4，
∵S△ABC＝S△BCE，
则CHCG＝2，
则点H（0，﹣5），
则直线HE的表达式为：y＝x﹣5，
联立上式和抛物线的表达式得：x﹣5＝x2﹣2x﹣3，
解得：x＝1或2，
即点E（1，﹣4）或（2，﹣3）；
（3）由抛物线的表达式知，点D（1，﹣4），
则CD，且CD和y轴负半轴的夹角为45°，
而∠OCB＝45°，故CD⊥BC，延长DC到M使CM＝CD，连接BM，则△BMD为等腰三角形，
则∠CBD＝∠CBM，
则∠MBD＝2∠CBD＝∠PBA，
过点D作DH⊥BM于点H，
则S△BDMMD×BCMB×DH，
由点C、D、B的坐标得：MD＝2CD＝2，BC＝3，BDBM，
即23HD，
则HD，
则sin∠HBD，
则tan∠HBDtan∠PBA，
故直线BP的表达式为：y（x﹣3），
联立y＝x2﹣2x﹣3和上式得：x2﹣2x﹣3（x﹣3），
解得：x，
即点P的坐标为：（，）．
10.解：（1）∵抛物线过点B（1，0），
∴a+2a+c＝0，
解得c＝﹣3a，
∴抛物线G1的解析式为：y＝ax2+2ax﹣3a，
又∵抛物线过点C（0，3），
∴﹣3a＝3，
解得 a＝﹣1，
∴抛物线G1的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在一点P，使得△BCP的面积是△ABC的面积的一半，理由如下：
如图1，过点P作PQ∥CB交x轴于点Q，
则S△BCP＝S△BCQ，
又∵S△ABC＝2S△BCP，
∴S△ABC＝2S△BCQ，
即：AB＝2BQ，
又∵抛物线的对称轴为：，
∴点A和点B的中点坐标为 （﹣1，0），
即点Q坐标为（﹣1，0），
设过点B（1，0）和C（0，3）的直线解析式为 y＝kx+b1，
则，
解得，
∴BC的解析式为 y＝﹣3x+3，
∵PQ∥CB，
∴kPQ＝kCB＝﹣3，
设PQ的解析式为y＝﹣3x+b2，
将Q（﹣1，0）代入y＝﹣3x+b2，
得3+b2＝0，
解得b2＝﹣3，
∴PQ的解析式为 y＝﹣3x﹣3，
联立，
得﹣3x﹣3＝﹣x2﹣2x+3，
解得x1＝﹣2，x2＝3，
∵点P在第二象限，
∴点P的横坐标为﹣2，
将x＝﹣2代入y＝﹣3x﹣3得y＝6﹣3＝3，
∴点P的坐标为（﹣2，3）；
（3）∵抛物线，
∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4a），
∵抛物线G2：y＝m（x﹣2）2+5a过点D，
∴9m+5a＝﹣4a，
解得m＝﹣a，
∵抛物线的顶点坐标为E（2，5a），
将x＝2代入抛物线G：y＝ax2+2ax﹣3a，
可得y＝4a+4a﹣3a＝5a，
∴点E（2，5a）也在抛物线G1上，
即点E（2，5a）为抛物线G1和抛物线G2的交点，
∴抛物线G2的解析式为y＝﹣a（x﹣2）2+5a，
设抛物线G2与y轴交于点F过点B作BH∥y轴，交抛物线G2于点H，
则F（0，a），H（1，4a），
又∵C（0，﹣3a），B（1，0），
∴BH＝CF＝﹣4a，
∵抛物线G1和抛物线G2构成的封闭图形内部（不包含边界）有6个整点，
即6个整点分布在CH和BF上边，
∴3＜﹣4a≤4，
∴﹣1≤a．
11.解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c，
得：，解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
（2）设直线BC的解析式为：y＝k1x+b1，
将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝k1x+b1，
得：，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
设点M的横坐标为t，
∵点M在BC下方的二次函数图象上，
∴点M的纵坐标为：t2﹣2t﹣3，
∵MH⊥x轴交BC于点N，
∴点N的横坐标为t，
∴点N的纵坐标为：t﹣3，
∴，
∴当时，MN为最大，
当时，，
∴点M的坐标为．
（3）存在，点Q的坐标为或．
理由如下：
设直线BM的解析式为：y＝k2x+b2，
将点B（3，0），M（3/2，﹣15/4）代入y＝k2x+b2，
得：，解得：，
∴直线BM的解析式为：，
当∠QCB＝∠CBM时，有以下两种情况：
①当点Q在直线BC上方时，
∵∠QCB＝∠CBM，
∴CQ∥BM，
设直线CQ的解析式为：y＝k3x+b3，
则，b3＝﹣3，
∴直线CQ的解析式为：，
解方程组，得：，，
∴点Q的坐标为；
②当点Q在直线BC的下方时，
设CQ与BM交于点R，连接OR，
∵∠QCB＝∠CBM，
∴RB＝RC，
又点A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴OR为BC的垂直平分线，且为∠BOC的平分线，
由（2）知：点N的横坐标为，
∴，
∴，
∴H为OB的中点，
∵NH∥OC，
∴点N为BC的中点，
∴OR经过点N，
∵OR为∠BOC的平分线，
∴直线OR的解析式为：y＝﹣x，
解方程组，得：，
∴点R的坐标为，
设直线CR的解析式为：y＝k4x+b4，
将C（0，﹣3），代入y＝k4x+b4，
得：，解得：，
∴直线CR的解析式为：，
解方程组，得：，，
∴点Q的坐标为．
综上所述：点Q的坐标为或．
12.（1）解：∵以点G（0，﹣3）为圆心，以6个单位长为半径作⊙G，
∴OG＝3，CG＝6，
∴OC＝OG+CG＝3+6＝9，
∴C（0，﹣9），
将C（0，﹣9）代入，可得：，
解得：c＝﹣9；
（2）证明：∵以点G（0，﹣3）为圆心，以6个单位长为半径作⊙G，
∴OG＝3，OD＝6，
∴OD＝DG+OG＝6﹣3＝3，即OD＝OG，
又∵DC是直径，OC⊥AB，
∴OA＝OB，
∴四边形ADBG为平行四边形，
又∵OC⊥AB，
∴四边形ADBG为菱形；
（3）解：由（1）可知抛物线解析式为：，
当y＝0时，有，解得：，
∴，，
∵位于x轴下方的抛物线上有两个整点R，T，连接RT，
∴点R，T的横坐标在和之间，
由整点的定义以及抛物线解析式可知：R（﹣3，﹣6），T（3，﹣6），即RT＝6，
∵∠RPT＝45°，
∴如图：点P在以RT为弦的⊙H圆上，且圆心角∠RHT＝90°，
∵R（﹣3，﹣6），T（3，﹣6），
∴RT∥x轴，
∴CD⊥RT，
∴RT＝IT，
∵RH＝HT，∠RHT＝90°，
∴∠IHR＝45°，
∴∠IRH＝∠IHR＝45°，
∴IH＝IR＝3，即H（0，﹣3），
∴，
∴点P在以H（0，﹣3）为圆心，以为半径的圆上，即点P到点H的距离为，
∴，即x2+（3+y）2＝18，
联立，
解得：或或（舍弃）或舍弃），
∴点P的坐标为或．
13.解：（1）由题意得：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点F（x，﹣x+3），
则PF＝﹣x2+3x＝﹣（x）2，
即PF的最大值为；
（3）存在，理由：
设AM交y轴于点G，
取点T（1，0），则OT＝OA，则∠ACT＝2∠ACO＝∠AGO＝α，
由点A、C、T的坐标得，ACAT，
作AN⊥CT于点N，
则S△ACTAT×COCT×AN，即2×3AN，则AN，
则sin∠ACTsinα，则tanα，
则tan∠GAO，
则直线AM的表达式为：y＝±（x+1），
联立上式和抛物线的表达式得：﹣x2+2x+3＝±（x+1），
解得：x＝﹣1（舍去）或或，
即点M（，）或（，）．
14.解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得：
，解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）∵y＝﹣x2+3x+4
，
∴点D，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
把B（4，0）、C（0，4）代入得：
，
解得：，
∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4，
将代入y＝﹣x+4得：
，
∴点E，
∴DE，
设点P为（t，﹣t2+3t+4），则F为（t，﹣t+4），
∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）
＝﹣t2+4t，
∵DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，
∴﹣t2+4t，
解得：t1（不合题意舍去），t2，
当t时，﹣t2+3t+4，
∴点P的坐标为；
（3）存在，如图：
由（2）得：PF∥DE，∴∠CED＝∠CFP，∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，∴∠PCF≠∠DCE，∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，∴，∵C（0，4）、E，∴CE，由（2）得：DE，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），∴CF，∴，解得：t，当t时，﹣t2+3t+4，
∴点P的坐标为：．
15.解：（Ⅰ）∵抛物线经过点A（﹣1，0），
∴（﹣1）2﹣b﹣3＝0，
解得b＝﹣2，
则抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点坐标为（1，﹣4）；
（Ⅱ）设点P（1，m），则点N（1，0），C（0，﹣3），
由点P、C、N的坐标得，PN2＝m2，PC2＝1+（m+3）2，CN2＝10，
当PN＝CP时，则m2＝1+（m+3）2，则m，
当PN＝CN或PC＝CN时，同理可得：m2＝10或1+（m+3）2＝10，
则m＝0（舍去）或或﹣6，
综上，点P的坐标为：（1，﹣6）或（1，）或（1，）；
（Ⅲ）①﹣1b≤2，即﹣4≤b≤2时，
则6，
解得b＝2（舍去）或﹣2；
②当b＜﹣4时，x＝2时，y有最小值，
则4+2b﹣3＝﹣6，
解得b（舍去）；
③当1，即b＞2时，x＝﹣1时，y有最小值，
则1﹣b﹣3＝﹣6，
解得b＝4，
综上所述，当b﹣2或b＝4时，在﹣1≤x≤2范围内，二次函数有最小值是﹣6．
16.解：（1）由题意得：xy＝0，
而y＝﹣x﹣c，即（﹣x﹣c）x＝1，
则Δ＝c2﹣4＝0，则c＝﹣2（舍去）或2；
则函数l的表达式为：y＝﹣x﹣2，
则（﹣x﹣c）x＝1为（﹣x﹣2）x＝1，解得：x＝﹣1，则点P（﹣1，﹣1）；
（2）①c＝2时，y＝ax2+bx+c＝ax2+bx+2，将点P、Q的坐标代入上式得：，
解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2+4x+2，则点M（﹣2，﹣2）；
②由点P、M的坐标得，直线PM的表达式为y＝x，当∠NMP为直角时，
则直线MN的表达式为：y＝﹣（x+2）﹣2＝﹣x﹣4，当∠NPM为直角时，
同理可得，直线PN的表达式为：y＝﹣x﹣2，将MN和PN的表达式分别和抛物线的表达式联立得：﹣x﹣4＝x2+4x+2或x2+4x+2＝﹣x﹣2，解得：x＝﹣3或﹣4（不合题意的值已舍去），则点N（﹣3，﹣1）或（﹣4，2）．
17.解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1），
令y＝0，则x＝3或﹣1，故A（﹣1，0），B（3，0）．
∵与y轴相交于点C，∠CBA＝45°，∴OB＝OC＝3，故C（0，﹣3），
把C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣3）（x+1）中，解得a＝1．
（2）如下图，设D（m，n），设△ABD的外接圆圆心为M（1，k），
∴由中点坐标公式得E（m，2k﹣n），∵BM2＝DM2，
∴（3﹣1）2+k2＝（m﹣1）2+（n﹣k）2.①
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴把D（m，n）代入可得n＝（m﹣1）2﹣4，即（m﹣1）2＝n+4．②
把②式代入①式，得4+k2＝n+4+（n﹣k）2，
整理得：n2﹣2kn+n＝0，
故n（n﹣2k+1）＝0，由于n≠0，
故n﹣2k+1＝0，即2k﹣n＝1，
故E（m，1），即E点在直线y＝1上运动，
作A点关于直线y＝1的对称点A'，则A'（﹣1，2），
连接CA'，则AE+CE最小值为CA'的长，
∴CA'，
则AE+CE最小值为．
直线A'C的解析式为y＝﹣5x﹣3，
∴E（，1），
∴D（，）．
18.解：（1）A（1，0），AB＝3，则点B（4，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣4）＝a（x2﹣5x+4），
则4a＝2，则a，则抛物线的表达式为：yx2x+2；（2）设点P（n，n2n+2），由点C、P的坐标得，直线CP的表达式为：y＝（n）x+2，
过点A作AH∥y轴交CP于点H，则点H（1，n），
则△ACP的面积AH×n（n）×n＝5，解得：n＝5（不合题意的值已舍去）；
（3）当∠PCA＝∠OCA时，
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+2，作AH∥y轴交PC于点H，则∠OCA＝∠CAH＝∠PCA，
则CH＝AH，由（1）知，直线CP的表达式为：y＝（n）x+2，则点H（1，n），则1+（n2）2＝（n）2，解得：n＝3.5（不合题意的值已舍去）；当∠PCA＝∠COA时，则直线CP⊥AC，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣2x+2，
则直线CP的表达式为：yx+2，联立上式和抛物线的表达式得：x+2x2x+2，
解得：x＝0（舍去）或6，即n＝6；
当∠PCA＝∠CAO时，则CP∥x轴，则C、P关于抛物线的对称轴对称，
则n＝5，综上，n＝5或6或3.5．
19.解：（1）将点P的坐标代入函数表达式得：p2＝﹣p，解得：p＝0（舍去）或﹣1，即p＝﹣1；
（2）由题意得，点A、B的坐标分别为：（a，a2）、（a+3，a2+6a+9）且a≤﹣1≤a+3，
即﹣4≤a≤﹣1，当﹣4≤a≤﹣3时，则y1＝a2，y2＝a2+6a+9，则y1﹣y2＝﹣6a﹣9，
则9≤y1﹣y2≤15；当﹣3＜a时，y1＝a2，y2＝0，则y1﹣y2＝a2，
则y1﹣y2＜9，当a≤﹣1时，则y1＝a2+6a+9，y2＝0，则y1﹣y2≤4；
综上，y1﹣y2的取值范围为：y1﹣y2≤15；
（3）存在，理由：如图，设点A、B的坐标分别为：（a，a2）、（b，b2），
过点P作直线l∥x轴，作AC⊥l于点C，作BD⊥l于点D，
∵PA⊥PB，则∠PAC＝∠BPD，∴tan∠PAC＝tan∠PBD，即，
即，即a+b＝ab+2，由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝（a+b）x﹣ab＝ab（x﹣1）+2，当x＝1时，y＝2，即直线AB过恒定点Q（1，2），
而点P（﹣1，1），当点H、Q不重合时，PH＜PQ，
当PH取得最大值时，H、Q重合，
此时PH的最大值为：．
20.解：（1）A（﹣1，0），函数图象的对称轴经过点，则点B（2，0），
则抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣2），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣2；
①△BCP的面积OB×PE＝PE，
则PE最大时，△BCP的面积最大，
设点E（m，m﹣2），则点P（m，m2﹣m﹣2），则PE＝﹣m2+2m＝﹣m2+2m﹣1+1＝﹣（m﹣1）2+1≤1，
故当m＝1时，PE最大时，即△BCP的面积最大，则点P（1，﹣2），则点D（1，0），
将点B的坐标向右平移1个单位（GF的长度为1）得到D，作DG⊥AC交BC于点H，交y轴于点G，则此时BF+FG+GH最小，
理由：BD＝1＝GF且BD∥GF，则四边形GFBD为平行四边形，则BF＝DG，
则BF+FG+GH＝DG+GH+FG＝DH+1为最小，由点A、C的坐标得，tan∠OAC＝2，则sin∠OAC，则HD＝ADsin∠OAC，则BF+FG+GH最小值为1；
②当PE为边时，如下图：
设点E（m，m﹣2），则点P（m，m2﹣m﹣2），由P、C、E的坐标得，PE＝﹣m2+2m，CEm，CP2＝m2+（m2﹣m）2，则PE＝DE，即﹣m2+2mm，则m＝0（舍去）或22，
则CEm＝22＝TC，则点T（0，﹣2）；当CE为对角线时，
则CP＝PE，则（﹣m2+2m）2＝m2+（m2﹣m）2，
解得：m＝1（不合题意的值已舍去），
则CT＝PE＝﹣m2+2m＝1，
则点T（0，﹣1），
综上，T（0，﹣2）或（0，﹣1）．