【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺：图形的对称（含解析）
文档属性
| 名称 | 【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺：图形的对称（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-12 07:26:30 | ||
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文档简介
2025年中考数学高频易错考前冲刺：图形的对称
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 海陵区期末）以下图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 泰兴市期末）在第19届杭州亚运会上，中国健儿奋勇争先，最终荣耀斩获201枚金牌、111枚银牌以及71枚铜牌，用辉煌的战绩书写了属于中国体育的壮丽篇章．下列运动标识中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 太仓市期末）如图，在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝5，∠BCA＝90°，在AC上取一点E，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，使得点A'落在直线BC上，则AE的长度为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
4．（2024秋 綦江区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC，交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则PB+PD的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024秋 滨湖区期末）在平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（4，5）、C（m，0）、D（m+2，0），当四边形ABDC的周长最小时，m的值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2024秋 嘉兴期末）将A（2，﹣1）通过下列变换得到的点在第一象限的是（ ）
A．点A关于x轴作轴对称 B．点A关于y轴作轴对称
C．点A向左平移2个单位 D．点A向上平移1个单位
7．（2024秋 泉港区期末）如图，在等边△ABC中，CD是AB边上的高，点N是BC边的中点，点P是CD上的一个动点，当（BP+PN）的值取最小时，∠ABP的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
8．（2024秋 台州期末）如图，将△ABC沿AC折叠得到△ADC，再将△ADC沿AD折叠得到△ADE，连接BE，交AC，AD于点M，N，连接CN，DM，CN与DM相交于点F，若∠BAC＝α，则∠CFD的度数为（ ）
A． B．90°+2α C．180°﹣2α D．
9．（2024秋 朝阳区期末）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，将△ABC按如图所示的方式依次折叠：
有下面四个结论；
①DE平分∠FDC；②BF＝AD；③∠ADB＝3∠BDF；④△FED的周长等于BC的长．
所有正确结论的序号为（ ）
A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
10．（2024秋 江北区校级期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，5）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（﹣4，﹣5） C．（4，5） D．（4，﹣5）
二．填空题（共5小题）
11．（2025 浦东新区一模）将平行四边形ABCD的边BC沿直线l翻折后，点B、C的对应点B′、C′落在直线AD上．如果AB＝2BC，，那么此平行四边形四个内角中，锐角的余弦值为 ．
12．（2024秋 江汉区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F是△ABC内两点，∠ABE＝∠BCF，BE＝CF，当AE+AF的值最小时，∠EAF的度数是 °．
13．（2024秋 巫山县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在边AC上，将△BCD沿直线BD翻折得到△BED，若DE⊥AC，则DE＝ ．
14．（2024秋 武汉期末）已知点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，则b的值是 ．
15．（2024秋 汕尾期末）若点P（﹣2，1）与点O关于x轴对称，则点Q的坐标为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 南宁期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
17．（2024秋 綦江区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点A2，C2的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使PB1+PC1的值最小．
18．（2024秋 苏州期末）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点F处．
（1）如图1，若∠FEB＝52°，则∠DEF＝ °；
（2）连接CE，将△BCE沿CE翻折，使得点B落在点G处．
①如图2，当EG在∠DEF外部，且∠FEG＝16°，求∠DEC的度数；
②如图3，当EG在∠DEF内部，试猜想∠FEG与∠DEC之间的数量关系，并说明理由．
19．（2024秋 门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣3，﹣2），C（1，1）．直线l过点C且平行于y轴．
（1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，（其中点A，B，C的对称点分别是点A1，B1，C1）；
（2）点A1的坐标是 ，点B1的坐标是 ；
（3）如果M（a，b）为平面直角坐标系xOy中任意一点，那么点M关于直线l的对称点M1的坐标是（ ， ）（结果用含a，b的式子表示）．
20．（2024秋 二七区期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（﹣4，5），C（﹣1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称．
（1）在网格内画出平面直角坐标系，并画出△A1B1C1；
（2）设l是过点C且平行于x轴的直线，点A关于直线l的对称点A′的坐标是 ；
（3）求△ABC的面积．
2025年中考数学高频易错考前冲刺：图形的对称
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C C A B C B C
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 海陵区期末）以下图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；
C、图形是轴对称图形，故C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（2024秋 泰兴市期末）在第19届杭州亚运会上，中国健儿奋勇争先，最终荣耀斩获201枚金牌、111枚银牌以及71枚铜牌，用辉煌的战绩书写了属于中国体育的壮丽篇章．下列运动标识中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键是熟练掌握：平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．（2024秋 太仓市期末）如图，在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝5，∠BCA＝90°，在AC上取一点E，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，使得点A'落在直线BC上，则AE的长度为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出AC＝4，设AE＝x，由折叠得A′B＝AB＝5，得CA′＝2，CE＝4﹣x，A′E＝x，在Rt△A′CE中，由勾股定理得方程22+（4﹣x）2＝x2，求出x的值即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理可得：
，
设AE＝x，则CE＝4﹣x，
由折叠的性质可：得A′B＝AB＝5，A′E＝AE＝x，
∴CA′＝BA′﹣BC＝5﹣3＝2，
∵CA′2+CE2＝A′E2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
∴x＝2.5，
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用和折叠的性质，正确进行计算是解题关键．
4．（2024秋 綦江区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC，交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则PB+PD的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】根据中垂线的性质，得到BP＝CP，进而得到PB+PD＝PC+PD≥CD，进而得到PB+PD的最小值为CD的长，根据三角形的面积公式求出CD的长即可．
【解答】解：连接PC，
由题意可得：PC＝PB，
∴PB+PD＝PC+PD≥CD，
∵CD⊥AB，
∴，
∵AB＝6，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查中垂线的性质，两点之间线段最短，正确进行计算是解题关键．
5．（2024秋 滨湖区期末）在平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（4，5）、C（m，0）、D（m+2，0），当四边形ABDC的周长最小时，m的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】先把B左移2个单位到点E（2，5），作A关于x轴的对称点F（1，﹣3），连接EF交x轴于点C，再根据待定系数法求解．
【解答】解：把B左移2个单位到点E（2，5），作A关于x轴的对称点F（1，﹣3），连接EF交x轴于点C
设EF：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴EF：y＝8x﹣11，
当y＝0时，8x﹣11＝0，
解得：x，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，找到最短路径和掌握待定系数法是解题的关键．
6．（2024秋 嘉兴期末）将A（2，﹣1）通过下列变换得到的点在第一象限的是（ ）
A．点A关于x轴作轴对称 B．点A关于y轴作轴对称
C．点A向左平移2个单位 D．点A向上平移1个单位
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据关于x，y轴的对称点的坐标变化及点的平移规律进行求解即可．
【解答】解：A．点A关于x轴作轴对称点坐标为（2，1），在第一象限，符合题意；
B．点A关于y轴作轴对称点坐标为（﹣2，﹣1），在第三象限，不符合题意；
C．点A向左平移2个单位后坐标为（0，﹣1），在坐标轴上，不符合题意；
D．点A向上平移1个单位后坐标为（2，0），在坐标轴上，不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x，y轴的对称点的坐标，以及点的平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7．（2024秋 泉港区期末）如图，在等边△ABC中，CD是AB边上的高，点N是BC边的中点，点P是CD上的一个动点，当（BP+PN）的值取最小时，∠ABP的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质，找到最小值，再根据等边三角形的性质求解．
【解答】解：∵在等边△ABC中，CD是AB边上的高，
∴∠BAC＝60°，AD＝BD，
∴CD垂直平分AB，
∴BP＝AP，
∴BP+PN＝AP+PN≥AN，
∵点N是BC边的中点，等边△ABC，
∴AN平分∠BAC，
∴∠ABP∠BAC＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，找到最小值是解题的关键．
8．（2024秋 台州期末）如图，将△ABC沿AC折叠得到△ADC，再将△ADC沿AD折叠得到△ADE，连接BE，交AC，AD于点M，N，连接CN，DM，CN与DM相交于点F，若∠BAC＝α，则∠CFD的度数为（ ）
A． B．90°+2α C．180°﹣2α D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】由折叠得∠BAC＝∠CAD＝∠EAD＝α，得出∠1+∠2＝180°﹣3α，利用外角性质求出结论．
【解答】解：由题意可得：∠BAC＝∠CAD＝∠EAD＝α，
∴∠1+∠2＝180°﹣3α，
由折叠的性质得∠2＝∠6，∠3＝∠4，
∵∠4＝∠3＝∠1+α，
∴∠CFD＝∠4+∠6
＝∠1+α+∠2
＝180°﹣3α+α
＝180°﹣2α，
∠CFD的度数为180°﹣2α．
故答案为：C．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，正确进行计算是解题关键．
9．（2024秋 朝阳区期末）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，将△ABC按如图所示的方式依次折叠：
有下面四个结论；
①DE平分∠FDC；②BF＝AD；③∠ADB＝3∠BDF；④△FED的周长等于BC的长．
所有正确结论的序号为（ ）
A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】根据折叠的性质得到∠CDE＝∠FDE，得到DE平分∠FDC；于是得到故①正确；根据折叠的性质得到∠DEC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠DFC，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝45°，求得∠DFC＝45°，根据平行线的性质得到∠BDF＝∠ABD，根据折叠的性质得到AD＝DE，∠ABD＝∠CBD，求得∠CBD＝∠BDF，得到BF＝DF，由DF＞DE，得到BF＞AD，故②错误；由∠ABD＝∠CBD，∠ABC＝∠C＝45°，得到∠ABC＝∠C＝2∠DBF＝2∠BDF，根据三角形的外角的性质得到∠ADB＝∠DBC+∠C＝∠BDF+2∠BDF＝3∠BDF，故③正确；根据等腰直角三角形的性质得到DE＝CE＝EF，于是得到△FED的周长＝DF+DE+EF＝BF+EF+CE＝BC，故④正确．
【解答】解：∵△CDE沿着直线DE折叠得到△DEF，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴E平分∠FDC；
∴故①正确；
∵△CDE沿着直线DE折叠得到△DEF，
∴∠DEC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠DFC，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠DFC＝45°，
∴∠ABC＝∠DFC，
∴AB∥DF，
∴∠BDF＝∠ABD，
∵△ABD沿着BD折叠得到△EBD，
∴AD＝DE，∠ABD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BDF，
∴BF＝DF，
∵DF＞DE，
∴BF＞AD，故②错误；
∵∠ABD＝∠CBD，ABC＝C＝45°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠DBF＝2∠BDF，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝∠BDF+2∠BDF＝3∠BDF，故③正确；
∵△CDF是等腰直角三角形，DE⊥CF，
∴DE＝CE＝EF，
∵BF＝DF，
∴△FED的周长＝DF+DE+EF＝BF+EF+CE＝BC，故④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10．（2024秋 江北区校级期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，5）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（﹣4，﹣5） C．（4，5） D．（4，﹣5）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可以直接得到答案．
【解答】解：∵点P（﹣4，5），
∴关于y轴的对称点坐标为（4，5），
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 浦东新区一模）将平行四边形ABCD的边BC沿直线l翻折后，点B、C的对应点B′、C′落在直线AD上．如果AB＝2BC，，那么此平行四边形四个内角中，锐角的余弦值为 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】．
【分析】证明BB'⊥AD，CC'⊥AD，设AB＝x，BC＝m，证明△ABB'≌△DCC'，可得C′D＝AB'＝x，B'D＝|m﹣x|，，可列式为，求出xm，进而可求出∠A的余弦值．
【解答】解：如图，
B'、C'要想落在AD上，l应为与BC平行的线，且l到AD、BC的距离相等，
BB'⊥l，CC'⊥l，
∴BB'⊥AD，CC'⊥AD，
∵AB＝CD，BB'＝CC'，∠AB'B＝∠OC'C，
∴△ABB≌△DCC（SAS），
设AB'＝x，BC＝m，则 AB＝2m，B'C'＝m，AC'＝AB'+B'C'＝m+x，C'D＝AB'＝x，
∴B'D＝|m﹣x|，，
∴，
整理得，x2m2，
解得xm，
∴cosA，
故答案为：．
【点评】本题主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．（2024秋 江汉区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F是△ABC内两点，∠ABE＝∠BCF，BE＝CF，当AE+AF的值最小时，∠EAF的度数是 45 °．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】45．
【分析】过C点取线段CA的长等于线段CD的长，连接AD，FD，连接相关点构造出三角形．通过已知条件证明△ABE≌△CDF（SAS），得出∠ADC＝∠BAE，AE＝FD．要使AE+AF的值最小最小，分析得出当 A，F，D 三点共线时该值最小．再根据等腰三角形的性质及三角形的外角性质，最终得出∠EAF的度数所求角的度数．
【解答】解：过C点取线段CA的长等于线段CD的长，连接AD，FD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠ADC＝∠BAE，AE＝FD，
在△AFD中，AF+FD＞AD，AF+AE＞AD，
∴A、F、D三点共线时，当AE+AF的值最小，
由题意可得：∠ABC＝45°，∠ACD＝45°，
∵AC＝CD，
∴∠ADC＝∠CAD，
∴，
∴∠ADC＝67.5°＝∠ABC+∠BAD，
∴∠BAD＝22.5°，
∵∠ADC＝∠BAE，
∴∠EAF＝∠BAE﹣∠BAD＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质以及线段和的最值问题．解题的关键在于通过构造全等三角形，将所求问题进行转化，利用几何图形的性质找到线段和取得最小值的条件，进而求解角度．
13．（2024秋 巫山县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在边AC上，将△BCD沿直线BD翻折得到△BED，若DE⊥AC，则DE＝ 2 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】由折叠的性质得∠BDC＝∠BDE，CD＝DE，再证∠ABD＝∠BDA，得出AB＝AD＝3，即可得出结果．
【解答】解：由折叠的性质得：∠BDC＝∠BDE，CD＝DE，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝∠BAC＝90°，
∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝∠ABD+90°，
∠BDE＝∠BDA+∠ADE＝∠BDA+90°，
∴∠ABD＝∠BDA，
∴AB＝AD＝3，
∴CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，
∴DE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了翻折变换等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
14．（2024秋 武汉期末）已知点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，则b的值是 ﹣1 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】﹣1．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出b的值．
【解答】解：∵点点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，
∴b＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，掌握其性质是解题的关键．
15．（2024秋 汕尾期末）若点P（﹣2，1）与点O关于x轴对称，则点Q的坐标为 （﹣2，﹣1） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】（﹣2，﹣1）．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：∵点P与点Q关于x轴对称，点P的坐标为（﹣2，1），
∴点Q的坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 南宁期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解析，（4，1）；
（2）4．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标（4，1）；
（2）△ABC的面积＝3×31×32×21×3＝4．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
17．（2024秋 綦江区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点A2，C2的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使PB1+PC1的值最小．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；勾股定理．
【专题】几何直观．
【答案】（1）见解析，A1（1，1），C1（5，2）；
（2）见解析，A2（1，﹣1），C2（5，﹣2）；
（3）见解析．
【分析】（1）根据轴对称的性质，即可画出△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）根据轴对称的性质，即可画出△A2B2C2，并写出点A2，C2的坐标；
（3）连接BC1交y轴于P，从而解决问题．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，A1（1，1），C1（5，2）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求作，A2（1，﹣1），C2（5，﹣2）；
（3）如图，点P即为所求作．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
18．（2024秋 苏州期末）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点F处．
（1）如图1，若∠FEB＝52°，则∠DEF＝ 64 °；
（2）连接CE，将△BCE沿CE翻折，使得点B落在点G处．
①如图2，当EG在∠DEF外部，且∠FEG＝16°，求∠DEC的度数；
②如图3，当EG在∠DEF内部，试猜想∠FEG与∠DEC之间的数量关系，并说明理由．
【考点】翻折变换（折叠问题）；角的计算；矩形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（1）64；
（2）①98°；②，理由见解析．
【分析】（1）根据折叠和平角的定义进行求解即可；
（2）①根据折叠和平角的定义进行求解即可；②根据折叠和平角的定义进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意重折叠的性质可得：∠DEA＝∠DEF，
∵∠FEB＝52°，
∴；
故答案为：64；
（2）①∵由折叠的性质可得：∠DEA＝∠DEF，∠BEC＝∠CEG，
∵∠DEA+∠DEF+∠BEC+∠CEG+∠FEG＝180°，
∴，
∴∠DEC＝∠DEF+∠CEG+∠FEG＝98°；
②猜想：，
理由如下：
由折叠的性质可得：∠DEA＝∠DEF，∠BEC＝∠CEG，
∴∠DEA+∠DEF+∠BEC+∠CEG﹣∠FEG＝180°，
∴2（∠DEF+∠CEG）﹣∠FEG＝180°，
∴2∠DEC+∠GEF＝180°，
∴．
【点评】本题考查折叠中角度的计算，掌握折痕为角平分线是解题的关键．
19．（2024秋 门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣3，﹣2），C（1，1）．直线l过点C且平行于y轴．
（1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，（其中点A，B，C的对称点分别是点A1，B1，C1）；
（2）点A1的坐标是 （3，3） ，点B1的坐标是 （5，﹣2） ；
（3）如果M（a，b）为平面直角坐标系xOy中任意一点，那么点M关于直线l的对称点M1的坐标是（ 2﹣a ， b ）（结果用含a，b的式子表示）．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）（3，3）；（5，﹣2）．
（3）2﹣a；b．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）根据轴对称的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可得，A1（3，3），B1（5，﹣2）．
故答案为：（3，3）；（5，﹣2）．
（3）由题意得，点M关于直线l的对称点M1的坐标是（2﹣a，b）．
故答案为：2﹣a；b．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（2024秋 二七区期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（﹣4，5），C（﹣1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称．
（1）在网格内画出平面直角坐标系，并画出△A1B1C1；
（2）设l是过点C且平行于x轴的直线，点A关于直线l的对称点A′的坐标是 （﹣4，1） ；
（3）求△ABC的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换；三角形的面积．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）（﹣4，1）．
（3）4．
【分析】（1）根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系即可．由题意知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，根据轴对称的性质画图即可．
（2）结合轴对称的性质可得答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）画出平面直角坐标系如图所示，
可知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称．
如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由题意得，点A关于直线l的对称点A′的坐标是（﹣4，1）．
故答案为：（﹣4，1）．
（3）△ABC的面积为9﹣1﹣4＝4．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
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一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 海陵区期末）以下图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 泰兴市期末）在第19届杭州亚运会上，中国健儿奋勇争先，最终荣耀斩获201枚金牌、111枚银牌以及71枚铜牌，用辉煌的战绩书写了属于中国体育的壮丽篇章．下列运动标识中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 太仓市期末）如图，在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝5，∠BCA＝90°，在AC上取一点E，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，使得点A'落在直线BC上，则AE的长度为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
4．（2024秋 綦江区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC，交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则PB+PD的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024秋 滨湖区期末）在平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（4，5）、C（m，0）、D（m+2，0），当四边形ABDC的周长最小时，m的值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2024秋 嘉兴期末）将A（2，﹣1）通过下列变换得到的点在第一象限的是（ ）
A．点A关于x轴作轴对称 B．点A关于y轴作轴对称
C．点A向左平移2个单位 D．点A向上平移1个单位
7．（2024秋 泉港区期末）如图，在等边△ABC中，CD是AB边上的高，点N是BC边的中点，点P是CD上的一个动点，当（BP+PN）的值取最小时，∠ABP的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
8．（2024秋 台州期末）如图，将△ABC沿AC折叠得到△ADC，再将△ADC沿AD折叠得到△ADE，连接BE，交AC，AD于点M，N，连接CN，DM，CN与DM相交于点F，若∠BAC＝α，则∠CFD的度数为（ ）
A． B．90°+2α C．180°﹣2α D．
9．（2024秋 朝阳区期末）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，将△ABC按如图所示的方式依次折叠：
有下面四个结论；
①DE平分∠FDC；②BF＝AD；③∠ADB＝3∠BDF；④△FED的周长等于BC的长．
所有正确结论的序号为（ ）
A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
10．（2024秋 江北区校级期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，5）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（﹣4，﹣5） C．（4，5） D．（4，﹣5）
二．填空题（共5小题）
11．（2025 浦东新区一模）将平行四边形ABCD的边BC沿直线l翻折后，点B、C的对应点B′、C′落在直线AD上．如果AB＝2BC，，那么此平行四边形四个内角中，锐角的余弦值为 ．
12．（2024秋 江汉区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F是△ABC内两点，∠ABE＝∠BCF，BE＝CF，当AE+AF的值最小时，∠EAF的度数是 °．
13．（2024秋 巫山县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在边AC上，将△BCD沿直线BD翻折得到△BED，若DE⊥AC，则DE＝ ．
14．（2024秋 武汉期末）已知点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，则b的值是 ．
15．（2024秋 汕尾期末）若点P（﹣2，1）与点O关于x轴对称，则点Q的坐标为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 南宁期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
17．（2024秋 綦江区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点A2，C2的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使PB1+PC1的值最小．
18．（2024秋 苏州期末）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点F处．
（1）如图1，若∠FEB＝52°，则∠DEF＝ °；
（2）连接CE，将△BCE沿CE翻折，使得点B落在点G处．
①如图2，当EG在∠DEF外部，且∠FEG＝16°，求∠DEC的度数；
②如图3，当EG在∠DEF内部，试猜想∠FEG与∠DEC之间的数量关系，并说明理由．
19．（2024秋 门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣3，﹣2），C（1，1）．直线l过点C且平行于y轴．
（1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，（其中点A，B，C的对称点分别是点A1，B1，C1）；
（2）点A1的坐标是 ，点B1的坐标是 ；
（3）如果M（a，b）为平面直角坐标系xOy中任意一点，那么点M关于直线l的对称点M1的坐标是（ ， ）（结果用含a，b的式子表示）．
20．（2024秋 二七区期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（﹣4，5），C（﹣1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称．
（1）在网格内画出平面直角坐标系，并画出△A1B1C1；
（2）设l是过点C且平行于x轴的直线，点A关于直线l的对称点A′的坐标是 ；
（3）求△ABC的面积．
2025年中考数学高频易错考前冲刺：图形的对称
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C C C A B C B C
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 海陵区期末）以下图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
【解答】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；
C、图形是轴对称图形，故C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2．（2024秋 泰兴市期末）在第19届杭州亚运会上，中国健儿奋勇争先，最终荣耀斩获201枚金牌、111枚银牌以及71枚铜牌，用辉煌的战绩书写了属于中国体育的壮丽篇章．下列运动标识中是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可．
【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的识别．解题的关键是熟练掌握：平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
3．（2024秋 太仓市期末）如图，在Rt△ACB中，BC＝3，AB＝5，∠BCA＝90°，在AC上取一点E，连接BE，将△ABE沿BE翻折得到△A′BE，使得点A'落在直线BC上，则AE的长度为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】由勾股定理求出AC＝4，设AE＝x，由折叠得A′B＝AB＝5，得CA′＝2，CE＝4﹣x，A′E＝x，在Rt△A′CE中，由勾股定理得方程22+（4﹣x）2＝x2，求出x的值即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理可得：
，
设AE＝x，则CE＝4﹣x，
由折叠的性质可：得A′B＝AB＝5，A′E＝AE＝x，
∴CA′＝BA′﹣BC＝5﹣3＝2，
∵CA′2+CE2＝A′E2，
∴22+（4﹣x）2＝x2，
∴x＝2.5，
故选：C．
【点评】本题主要考查勾股定理的应用和折叠的性质，正确进行计算是解题关键．
4．（2024秋 綦江区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC，交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则PB+PD的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】根据中垂线的性质，得到BP＝CP，进而得到PB+PD＝PC+PD≥CD，进而得到PB+PD的最小值为CD的长，根据三角形的面积公式求出CD的长即可．
【解答】解：连接PC，
由题意可得：PC＝PB，
∴PB+PD＝PC+PD≥CD，
∵CD⊥AB，
∴，
∵AB＝6，
∴，
故选：C．
【点评】本题考查中垂线的性质，两点之间线段最短，正确进行计算是解题关键．
5．（2024秋 滨湖区期末）在平面直角坐标系中，点A（1，3）、B（4，5）、C（m，0）、D（m+2，0），当四边形ABDC的周长最小时，m的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】先把B左移2个单位到点E（2，5），作A关于x轴的对称点F（1，﹣3），连接EF交x轴于点C，再根据待定系数法求解．
【解答】解：把B左移2个单位到点E（2，5），作A关于x轴的对称点F（1，﹣3），连接EF交x轴于点C
设EF：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴EF：y＝8x﹣11，
当y＝0时，8x﹣11＝0，
解得：x，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，找到最短路径和掌握待定系数法是解题的关键．
6．（2024秋 嘉兴期末）将A（2，﹣1）通过下列变换得到的点在第一象限的是（ ）
A．点A关于x轴作轴对称 B．点A关于y轴作轴对称
C．点A向左平移2个单位 D．点A向上平移1个单位
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据关于x，y轴的对称点的坐标变化及点的平移规律进行求解即可．
【解答】解：A．点A关于x轴作轴对称点坐标为（2，1），在第一象限，符合题意；
B．点A关于y轴作轴对称点坐标为（﹣2，﹣1），在第三象限，不符合题意；
C．点A向左平移2个单位后坐标为（0，﹣1），在坐标轴上，不符合题意；
D．点A向上平移1个单位后坐标为（2，0），在坐标轴上，不符合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x，y轴的对称点的坐标，以及点的平移，关键是掌握点的坐标的变化规律．
7．（2024秋 泉港区期末）如图，在等边△ABC中，CD是AB边上的高，点N是BC边的中点，点P是CD上的一个动点，当（BP+PN）的值取最小时，∠ABP的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质，找到最小值，再根据等边三角形的性质求解．
【解答】解：∵在等边△ABC中，CD是AB边上的高，
∴∠BAC＝60°，AD＝BD，
∴CD垂直平分AB，
∴BP＝AP，
∴BP+PN＝AP+PN≥AN，
∵点N是BC边的中点，等边△ABC，
∴AN平分∠BAC，
∴∠ABP∠BAC＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，找到最小值是解题的关键．
8．（2024秋 台州期末）如图，将△ABC沿AC折叠得到△ADC，再将△ADC沿AD折叠得到△ADE，连接BE，交AC，AD于点M，N，连接CN，DM，CN与DM相交于点F，若∠BAC＝α，则∠CFD的度数为（ ）
A． B．90°+2α C．180°﹣2α D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】由折叠得∠BAC＝∠CAD＝∠EAD＝α，得出∠1+∠2＝180°﹣3α，利用外角性质求出结论．
【解答】解：由题意可得：∠BAC＝∠CAD＝∠EAD＝α，
∴∠1+∠2＝180°﹣3α，
由折叠的性质得∠2＝∠6，∠3＝∠4，
∵∠4＝∠3＝∠1+α，
∴∠CFD＝∠4+∠6
＝∠1+α+∠2
＝180°﹣3α+α
＝180°﹣2α，
∠CFD的度数为180°﹣2α．
故答案为：C．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，正确进行计算是解题关键．
9．（2024秋 朝阳区期末）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，将△ABC按如图所示的方式依次折叠：
有下面四个结论；
①DE平分∠FDC；②BF＝AD；③∠ADB＝3∠BDF；④△FED的周长等于BC的长．
所有正确结论的序号为（ ）
A．①③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】根据折叠的性质得到∠CDE＝∠FDE，得到DE平分∠FDC；于是得到故①正确；根据折叠的性质得到∠DEC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠DFC，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝∠C＝45°，求得∠DFC＝45°，根据平行线的性质得到∠BDF＝∠ABD，根据折叠的性质得到AD＝DE，∠ABD＝∠CBD，求得∠CBD＝∠BDF，得到BF＝DF，由DF＞DE，得到BF＞AD，故②错误；由∠ABD＝∠CBD，∠ABC＝∠C＝45°，得到∠ABC＝∠C＝2∠DBF＝2∠BDF，根据三角形的外角的性质得到∠ADB＝∠DBC+∠C＝∠BDF+2∠BDF＝3∠BDF，故③正确；根据等腰直角三角形的性质得到DE＝CE＝EF，于是得到△FED的周长＝DF+DE+EF＝BF+EF+CE＝BC，故④正确．
【解答】解：∵△CDE沿着直线DE折叠得到△DEF，
∴∠CDE＝∠FDE，
∴E平分∠FDC；
∴故①正确；
∵△CDE沿着直线DE折叠得到△DEF，
∴∠DEC＝∠DEF＝90°，∠C＝∠DFC，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠DFC＝45°，
∴∠ABC＝∠DFC，
∴AB∥DF，
∴∠BDF＝∠ABD，
∵△ABD沿着BD折叠得到△EBD，
∴AD＝DE，∠ABD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BDF，
∴BF＝DF，
∵DF＞DE，
∴BF＞AD，故②错误；
∵∠ABD＝∠CBD，ABC＝C＝45°，
∴∠ABC＝∠C＝2∠DBF＝2∠BDF，
∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝∠BDF+2∠BDF＝3∠BDF，故③正确；
∵△CDF是等腰直角三角形，DE⊥CF，
∴DE＝CE＝EF，
∵BF＝DF，
∴△FED的周长＝DF+DE+EF＝BF+EF+CE＝BC，故④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
10．（2024秋 江北区校级期末）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，5）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（﹣4，5） B．（﹣4，﹣5） C．（4，5） D．（4，﹣5）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可以直接得到答案．
【解答】解：∵点P（﹣4，5），
∴关于y轴的对称点坐标为（4，5），
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 浦东新区一模）将平行四边形ABCD的边BC沿直线l翻折后，点B、C的对应点B′、C′落在直线AD上．如果AB＝2BC，，那么此平行四边形四个内角中，锐角的余弦值为 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；平行四边形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】．
【分析】证明BB'⊥AD，CC'⊥AD，设AB＝x，BC＝m，证明△ABB'≌△DCC'，可得C′D＝AB'＝x，B'D＝|m﹣x|，，可列式为，求出xm，进而可求出∠A的余弦值．
【解答】解：如图，
B'、C'要想落在AD上，l应为与BC平行的线，且l到AD、BC的距离相等，
BB'⊥l，CC'⊥l，
∴BB'⊥AD，CC'⊥AD，
∵AB＝CD，BB'＝CC'，∠AB'B＝∠OC'C，
∴△ABB≌△DCC（SAS），
设AB'＝x，BC＝m，则 AB＝2m，B'C'＝m，AC'＝AB'+B'C'＝m+x，C'D＝AB'＝x，
∴B'D＝|m﹣x|，，
∴，
整理得，x2m2，
解得xm，
∴cosA，
故答案为：．
【点评】本题主要考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．（2024秋 江汉区期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F是△ABC内两点，∠ABE＝∠BCF，BE＝CF，当AE+AF的值最小时，∠EAF的度数是 45 °．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】45．
【分析】过C点取线段CA的长等于线段CD的长，连接AD，FD，连接相关点构造出三角形．通过已知条件证明△ABE≌△CDF（SAS），得出∠ADC＝∠BAE，AE＝FD．要使AE+AF的值最小最小，分析得出当 A，F，D 三点共线时该值最小．再根据等腰三角形的性质及三角形的外角性质，最终得出∠EAF的度数所求角的度数．
【解答】解：过C点取线段CA的长等于线段CD的长，连接AD，FD，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠ADC＝∠BAE，AE＝FD，
在△AFD中，AF+FD＞AD，AF+AE＞AD，
∴A、F、D三点共线时，当AE+AF的值最小，
由题意可得：∠ABC＝45°，∠ACD＝45°，
∵AC＝CD，
∴∠ADC＝∠CAD，
∴，
∴∠ADC＝67.5°＝∠ABC+∠BAD，
∴∠BAD＝22.5°，
∵∠ADC＝∠BAE，
∴∠EAF＝∠BAE﹣∠BAD＝67.5°﹣22.5°＝45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质以及线段和的最值问题．解题的关键在于通过构造全等三角形，将所求问题进行转化，利用几何图形的性质找到线段和取得最小值的条件，进而求解角度．
13．（2024秋 巫山县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在边AC上，将△BCD沿直线BD翻折得到△BED，若DE⊥AC，则DE＝ 2 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】2．
【分析】由折叠的性质得∠BDC＝∠BDE，CD＝DE，再证∠ABD＝∠BDA，得出AB＝AD＝3，即可得出结果．
【解答】解：由折叠的性质得：∠BDC＝∠BDE，CD＝DE，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝∠BAC＝90°，
∵∠BDC＝∠ABD+∠BAC＝∠ABD+90°，
∠BDE＝∠BDA+∠ADE＝∠BDA+90°，
∴∠ABD＝∠BDA，
∴AB＝AD＝3，
∴CD＝AC﹣AD＝5﹣3＝2，
∴DE＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了翻折变换等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
14．（2024秋 武汉期末）已知点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，则b的值是 ﹣1 ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】﹣1．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出b的值．
【解答】解：∵点点P（a，1）与点Q（2，b）关于x轴对称，
∴b＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，掌握其性质是解题的关键．
15．（2024秋 汕尾期末）若点P（﹣2，1）与点O关于x轴对称，则点Q的坐标为 （﹣2，﹣1） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】（﹣2，﹣1）．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：∵点P与点Q关于x轴对称，点P的坐标为（﹣2，1），
∴点Q的坐标是（﹣2，﹣1）．
故答案为：（﹣2，﹣1）．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 南宁期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解析，（4，1）；
（2）4．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标（4，1）；
（2）△ABC的面积＝3×31×32×21×3＝4．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
17．（2024秋 綦江区期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点A2，C2的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使PB1+PC1的值最小．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；勾股定理．
【专题】几何直观．
【答案】（1）见解析，A1（1，1），C1（5，2）；
（2）见解析，A2（1，﹣1），C2（5，﹣2）；
（3）见解析．
【分析】（1）根据轴对称的性质，即可画出△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标；
（2）根据轴对称的性质，即可画出△A2B2C2，并写出点A2，C2的坐标；
（3）连接BC1交y轴于P，从而解决问题．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，A1（1，1），C1（5，2）；
（2）如图，△A2B2C2即为所求作，A2（1，﹣1），C2（5，﹣2）；
（3）如图，点P即为所求作．
【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称﹣最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
18．（2024秋 苏州期末）已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点F处．
（1）如图1，若∠FEB＝52°，则∠DEF＝ 64 °；
（2）连接CE，将△BCE沿CE翻折，使得点B落在点G处．
①如图2，当EG在∠DEF外部，且∠FEG＝16°，求∠DEC的度数；
②如图3，当EG在∠DEF内部，试猜想∠FEG与∠DEC之间的数量关系，并说明理由．
【考点】翻折变换（折叠问题）；角的计算；矩形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（1）64；
（2）①98°；②，理由见解析．
【分析】（1）根据折叠和平角的定义进行求解即可；
（2）①根据折叠和平角的定义进行求解即可；②根据折叠和平角的定义进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意重折叠的性质可得：∠DEA＝∠DEF，
∵∠FEB＝52°，
∴；
故答案为：64；
（2）①∵由折叠的性质可得：∠DEA＝∠DEF，∠BEC＝∠CEG，
∵∠DEA+∠DEF+∠BEC+∠CEG+∠FEG＝180°，
∴，
∴∠DEC＝∠DEF+∠CEG+∠FEG＝98°；
②猜想：，
理由如下：
由折叠的性质可得：∠DEA＝∠DEF，∠BEC＝∠CEG，
∴∠DEA+∠DEF+∠BEC+∠CEG﹣∠FEG＝180°，
∴2（∠DEF+∠CEG）﹣∠FEG＝180°，
∴2∠DEC+∠GEF＝180°，
∴．
【点评】本题考查折叠中角度的计算，掌握折痕为角平分线是解题的关键．
19．（2024秋 门头沟区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点坐标分别是A（﹣1，3），B（﹣3，﹣2），C（1，1）．直线l过点C且平行于y轴．
（1）在图中画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，（其中点A，B，C的对称点分别是点A1，B1，C1）；
（2）点A1的坐标是 （3，3） ，点B1的坐标是 （5，﹣2） ；
（3）如果M（a，b）为平面直角坐标系xOy中任意一点，那么点M关于直线l的对称点M1的坐标是（ 2﹣a ， b ）（结果用含a，b的式子表示）．
【考点】作图﹣轴对称变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）（3，3）；（5，﹣2）．
（3）2﹣a；b．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）由图可得答案．
（3）根据轴对称的性质可得答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由图可得，A1（3，3），B1（5，﹣2）．
故答案为：（3，3）；（5，﹣2）．
（3）由题意得，点M关于直线l的对称点M1的坐标是（2﹣a，b）．
故答案为：2﹣a；b．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
20．（2024秋 二七区期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A（﹣4，5），C（﹣1，3），A1（4，5），B1（2，1），△ABC与△A1B1C1关于某直线成轴对称．
（1）在网格内画出平面直角坐标系，并画出△A1B1C1；
（2）设l是过点C且平行于x轴的直线，点A关于直线l的对称点A′的坐标是 （﹣4，1） ；
（3）求△ABC的面积．
【考点】作图﹣轴对称变换；三角形的面积．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】（1）见解答．
（2）（﹣4，1）．
（3）4．
【分析】（1）根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系即可．由题意知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，根据轴对称的性质画图即可．
（2）结合轴对称的性质可得答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）画出平面直角坐标系如图所示，
可知△ABC与△A1B1C1关于y轴对称．
如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由题意得，点A关于直线l的对称点A′的坐标是（﹣4，1）．
故答案为：（﹣4，1）．
（3）△ABC的面积为9﹣1﹣4＝4．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
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