【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺：图形的相似（含解析）

2025年中考数学高频易错考前冲刺：图形的相似
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 常州期末）如图，一块三角尺与其在灯光照射下的投影构成位似图形，且相似比为2：5．若三角尺的一边长为6cm，则其投影三角形的对应边的长为（　　）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
2．（2024秋 滨湖区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为7：9，那么线段FC的长为（　　）
A． B．或 C．或 D．或
3．（2024秋 无锡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝4，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝3，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025 嘉定区一模）下列两个三角形一定相似的是（　　）
A．两个直角三角形
B．有一个内角为40°的两个直角三角形
C．两个等腰三角形
D．有一个内角是40°的两个等腰三角形
5．（2025 浦东新区一模）如果两个相似三角形的周长分别是5cm、16cm，那么这两个三角形对应角平分线的比是（　　）
A．25：256 B．5：16
C． D．以上都不对
6．（2025 浦东新区一模）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025 嘉定区一模）如图，两条不平行的直线l1与直线l2相交于点O，四条平行线分别交直线l1于点A、B、C、D，分别交直线l2于点A1、B1、C1、D1，则有AA1∥BB1∥CC1∥DD1，如果A1O＝3，OB1＝B1C1＝2，C1D1＝4，那么在下列结果中，线段之差最大的是（　　）
A．BD﹣AB B．OC﹣OA C．OC﹣CD D．CD﹣OB
8．（2024秋 河西区期末）已知两个等边三角形的面积比是1：2，则小等边三角形的边长与大等边三角形的边长之比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C． D．1：
9．（2024秋 河西区期末）下列两个图形一定相似的是（　　）
A．两个正方形 B．两个等腰三角形
C．两个直角三角形 D．两个菱形
10．（2024秋 贵阳期末）如图，已知线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1），以原点O为位似中心在第一象限内画线段CD，若CD＝2，则点C的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（2，2） C．（1，2） D．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 梁溪区校级期末）如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则的值为 　 　．
12．（2024秋 本溪期末）如图，在 ABCD中，点E为AD边上的中点，连接CE交BD于点O，若S△ODE＝a，则 ABCD的面积为　 　．
13．（2024秋 海安市期末）如图，左右并排的两颗大树的高分别为AB＝6m，CD＝9m，两树底部的距离AC＝6m，点G与树AB，CD的根部点A，点C在一条直线上，AG＝16m，小颖估计自己的眼睛（点E）离地面1.6m，她从点G出发沿GC方向前进到点H时，恰好看不到树顶D，则GH的长为 　 　m．
14．（2025 浦东新区一模）已知a：b＝2：3，那么的值是 　 　．
15．（2025 嘉定区一模）已知，那么 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 浦东新区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边AB上的一点，联结CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：△BDE∽△CBE；
（2）如果AB＝BC，联结AE并延长，与边BC相交于点F．当点F是BC的中点时，求证：BD2＝AD AB．
17．（2024秋 温州期末）如图，△ABC∽△DEF，∠A＝110°，∠B＝30°，求∠F的度数．
18．（2024秋 沙坪坝区期末）已知△ABC是等边三角形，点D是△ABC外一点，连接DA，DB，DC．
（1）如图1，点D在△ABC的左上方，点E是BD上一点，连接AE，满足AE＝DE，延长EA交DC于点F，若∠DBA＝∠FAC，求∠ADE的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点A作EA的垂线交EB于点G，求证：GB＝2AF；
（3）如图3，点D在△ABC的左侧时，DB⊥AB，∠ADB＝30°，点P为直线CD上一动点（点P与点D不重合），连接PB，将△DPB沿PB所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△QPB，点Q为点D的对应点，当以点Q、点A、点C为顶点构成等腰三角形时，请直接写出此时的值．
19．（2025 嘉定区一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BD＝12，CD＝15，且∠BAD＝∠C．
（1）求线段AB的长；
（2）当∠ADE＝∠C，∠B＝60°时，求△EDC的面积．
20．（2025 嘉定区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是边AB的中点，联结CE，作AF⊥CE，垂足为点F，联结BF．
（1）求证：△EFB∽△EBC；
（2）取BC边的中点D，联结DF，求证：．
2025年中考数学高频易错考前冲刺：图形的相似
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C B B A D C A B
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 常州期末）如图，一块三角尺与其在灯光照射下的投影构成位似图形，且相似比为2：5．若三角尺的一边长为6cm，则其投影三角形的对应边的长为（　　）
A．10cm B．15cm C．20cm D．25cm
【考点】位似变换；中心投影．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念列出比例式，把已知数据代入计算得到答案．
【解答】解：设其投影三角形的对应边的长为x cm，
由题意得：，
解得：x＝15，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念是解题的关键．
2．（2024秋 滨湖区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形沿着EF翻折，点B恰好落在CD边上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为7：9，那么线段FC的长为（　　）
A． B．或 C．或 D．或
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】连接BB'，过点F作FH⊥BC交AD于点H，证明四边形CFHD是矩形，则CH＝CD＝3，CF＝DH，先求出四边形EFCD的面积S，再证明△FHE和△BCB'相似得，设EH＝3a，B'C＝4a，FC＝x，BF＝4﹣x，在Rt△CB'F中，由勾股定理得（4﹣x）2＝x2+（4a）2，则x＝2﹣2a2，DH＝FC＝2﹣2a2，DE＝2﹣2a2+3a，四边形EFCD的面积S（DE+FC） CD（4+3a﹣4a2），进而得（4+3a﹣4a2），由此解出解得a，a，进而即可得出线段FC的长．
【解答】解：连接BB'，过点F作FH⊥BC交AD于点H，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝4，
∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，∠C＝∠D＝90°，S矩形ABCD＝12，
∴∠C＝∠D＝∠CFH＝∠BFH＝90°，
∴四边形CFHD是矩形，
∴CH＝CD＝3，CF＝DH，∠FHD＝∠FHE＝90°，
设四边形EFCD的面积为S，则四边形ABFE的面积为12﹣S，
∵四边形ABFE与四边形EFCD的面积比为7：9，
∴（12﹣S）：S＝7：9，
解得：S，
由翻折的性质得：EF⊥BB'，BF＝B'F，
∴∠CBB'+∠BFE＝90°，
∵∠BFE+∠HFE＝∠BFH＝90°，
∴∠CBB'＝∠HFE，
又∵∠FHE＝∠C＝90°，
∴△FHE∽△BCB'，
∴，
∴设EH＝3a，B'C＝4a，
设FC＝x，则BF＝B'F＝BC﹣FC＝4﹣x，
在Rt△CB'F中，由勾股定理得：B'F2＝FC2+B'C2，
∴（4﹣x）2＝x2+（4a）2，
解得：x＝2﹣2a2，
∴DH＝FC＝2﹣2a2，
∴DE＝DH+EH＝2﹣2a2+3a，
∴四边形EFCD的面积S（DE+FC） CD（2﹣2a2+3a+2﹣2a2）×3（4+3a﹣4a2），
∴（4+3a﹣4a2），
整理得：8a2﹣6a+1＝0，
解得：a，a，
当a时，FC＝2﹣2a2，
当a时，FC＝2﹣2a2，
综上所述：线段FC的长为或．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，图形的翻折变换及其性质，理解矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，图形的翻折变换及其性质，灵活运用相似的性质，勾股定理构造方程是解决问题的关键．
3．（2024秋 无锡期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝4，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝3，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】由∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB得AC∥MN∥BD，可得△BMN∽△BAC，△CMN∽△CDB，从而得，，把两式相加得，从而求出MN的长度．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，
∴AC∥MN∥BD，
∴△BMN∽△BAC，△CMN∽△CDB，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形相似的判定和性质．三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．
4．（2025 嘉定区一模）下列两个三角形一定相似的是（　　）
A．两个直角三角形
B．有一个内角为40°的两个直角三角形
C．两个等腰三角形
D．有一个内角是40°的两个等腰三角形
【考点】相似三角形的判定；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【解答】解：A、两个直角三角形不一定相似，故选项A不符合题意；
B、有一个内角为40°的两个直角三角形相似，故选项B符合题意；
C、两个等腰三角形不一定相似，故选项C不符合题意；
D、有一个内角是40°的两个等腰三角形不一定相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
5．（2025 浦东新区一模）如果两个相似三角形的周长分别是5cm、16cm，那么这两个三角形对应角平分线的比是（　　）
A．25：256 B．5：16
C． D．以上都不对
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的性质三角形的对应角平分线的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长分别是5cm、16cm，
∴两个相似三角形的相似比为5：16，
∴这两个三角形对应角平分线的比是5：16．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比，相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比是关键．
6．（2025 浦东新区一模）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】由AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理得，而与不一定相等，与不一定相等，可判断A正确，C不正确，D不正确；由得，假设成立，则，可推得，则CE＝DF，与已知条件不符，可判断B不正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴，而与不一定相等，与不一定相等，
故A正确，C不正确，D不正确；
由得，
假设成立，则，
∴，
∴CE＝DF，与已知条件不符，
∴不成立，
故B不正确，
故选：A．
【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理，正确理解“对应线段”的概念并且准确找出图中的对应线段是解题的关键．
7．（2025 嘉定区一模）如图，两条不平行的直线l1与直线l2相交于点O，四条平行线分别交直线l1于点A、B、C、D，分别交直线l2于点A1、B1、C1、D1，则有AA1∥BB1∥CC1∥DD1，如果A1O＝3，OB1＝B1C1＝2，C1D1＝4，那么在下列结果中，线段之差最大的是（　　）
A．BD﹣AB B．OC﹣OA C．OC﹣CD D．CD﹣OB
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断便可．
【解答】解：由题知，
∵AA1∥BB1，A1O＝3，OB1＝2，
∴，
则令OA＝3k，OB＝2k．
同理可得，BC＝2k，CD＝4k，
∴BD﹣AB＝k，OC﹣OA＝k，OC﹣CD＝0，CD﹣OB＝2k，
显然2k为差值最大的一个．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键．
8．（2024秋 河西区期末）已知两个等边三角形的面积比是1：2，则小等边三角形的边长与大等边三角形的边长之比为（　　）
A．1：2 B．1：4 C． D．1：
【考点】比例线段；等边三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：∵两个等边三角形为相似三角形，面积比是1：2，
∴边长之比为1：．
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，关键在于掌握相似三角形的面积比与相似比的关系．
9．（2024秋 河西区期末）下列两个图形一定相似的是（　　）
A．两个正方形 B．两个等腰三角形
C．两个直角三角形 D．两个菱形
【考点】相似图形．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，结合选项，用排除法求解．
【解答】解：A、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故A符合题意；
B、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故B不符合题意；
C、两个直角三角形，对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故C不符合题意；
D、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．
10．（2024秋 贵阳期末）如图，已知线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1），以原点O为位似中心在第一象限内画线段CD，若CD＝2，则点C的坐标为（　　）
A．（2，1） B．（2，2） C．（1，2） D．
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】先求出CD：AB＝2：1，则可判断线段CD和线段AB的位似比为2：1，根据关于以原点为位似中心，对应点的坐标变换规律，把A点的横、纵坐标都乘以2得到C点坐标．
【解答】解：∵A（1，1），B（2，1），
∴AB＝1，
∵CD＝2，
∴CD：AB＝2：1，
∵以原点O为位似中心，线段AB在第一象限内的位似图形为线段CD，
∴线段CD和线段AB的位似比为2：1，
∴C点坐标为（1×2，1×2），即（2，2）．
故选：B．
【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．也考查了坐标与图形性质．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 梁溪区校级期末）如图，一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，则的值为 　　．
【考点】黄金分割．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】．
【分析】根据黄金分割的定义，即可解答．
【解答】解：一架小提琴中AC、BC、AB各部分长度的比满足，
∴点B是线段AC的黄金分割点，
∴，
即的值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
12．（2024秋 本溪期末）如图，在 ABCD中，点E为AD边上的中点，连接CE交BD于点O，若S△ODE＝a，则 ABCD的面积为　12a　．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】12a．
【分析】先证明△BCO∽△DEO得到，进而得到，，求得S△BCD＝6a，利用平行四边形的性质可求解．
【解答】解：在 ABCD中，连接CE交BD于点O，
∴AD∥BC，AD＝BC，△BCO∽△DEO，
∴，
∵E为AD中点，S△ODE＝a，
∴，
∴，
∴，，
∴S△BCO＝4a，S△CDO＝2a，
∴S△BCD＝S△BCO+S△CDO＝6a，
∴S ABCD＝2S△BCD＝12a，
故答案为：12a．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
13．（2024秋 海安市期末）如图，左右并排的两颗大树的高分别为AB＝6m，CD＝9m，两树底部的距离AC＝6m，点G与树AB，CD的根部点A，点C在一条直线上，AG＝16m，小颖估计自己的眼睛（点E）离地面1.6m，她从点G出发沿GC方向前进到点H时，恰好看不到树顶D，则GH的长为 　7.2　m．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力；应用意识．
【答案】7.2
【分析】他看不见树顶D，则点F、B、D共线，作EP⊥CD于Q，交AB于P，如图，易得EG＝AF＝AQ＝CP＝1.6m，QP＝AC＝6m，计算出BQ＝AB﹣AQ＝4.4m，PD＝CD﹣CP＝7.4m，再证明△FQB∽△FPD，然后利用相似比计算出FQ即可求出答案．
【解答】解：作EP⊥CD于Q，交AB于P，
∴BQ＝AB﹣AQ＝4.4m，PD＝CD﹣CP＝7.4m，
∵BQ∥PD，
∴△FQB∽△FPD，
∴，
即．
∴FQ＝8.8，
∴AH＝FQ＝8.8，
∴GH＝AG﹣AH＝7.2m．
故答案为：7.2．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
14．（2025 浦东新区一模）已知a：b＝2：3，那么的值是 　　．
【考点】比例的性质．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由已知可知，代入计算即可求值．
【解答】解：∵a：b＝2：3，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，根据题意正确得出a、b的关系是解题关键．
15．（2025 嘉定区一模）已知，那么 　　．
【考点】比例的性质．
【专题】分式；运算能力．
【答案】．
【分析】根据分比性质求解．
【解答】解：∵，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，灵活运用比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 浦东新区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D是边AB上的一点，联结CD，过点B作BE⊥CD，垂足为点E．
（1）求证：△BDE∽△CBE；
（2）如果AB＝BC，联结AE并延长，与边BC相交于点F．当点F是BC的中点时，求证：BD2＝AD AB．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明过程见解析部分；
（2）证明过程见解析部分．
【分析】（1）根据题意，得到∠CEB＝∠BED＝90°，∠ECB＝∠DBE，从而得以两三角形相似；
（2）由题意得到△AED∽△ABE，得到对应边成比例，结合条件得到AE＝BD，从而证得结果．
【解答】证明：（1）∵BE⊥CD，
∴∠CEB＝∠BED＝90°，
∴∠ECD+∠CBE＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠DBE+∠CBE＝90°，
∴∠ECB＝∠DBE，
∴△BDE∽△CBE；
（2）如图2：联结AE并延长，与边BC相交于点F，
BE⊥CD，F点是BC的中点，
∴CF＝EF，
∴∠ECF＝∠CEF，
由（1）知∠ECB＝∠DBE，
∵∠CEF＝∠AED，
∴∠AED＝∠ABE，
∵∠EAD＝∠BAE，
∴△AED∽△ABE，
∴，
又由（1）知△BDE∽△CBE，
∴，
∴，
设FB＝FC＝FE＝a，
∴AB＝2a，AFa，AE＝（1）a，
∵，
∴AE2＝AD AB，
∴AD＝（3）a，
∴BD＝2a﹣（3）a＝（1）a，
∴AE＝BD，
∴BD2＝AD AB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
17．（2024秋 温州期末）如图，△ABC∽△DEF，∠A＝110°，∠B＝30°，求∠F的度数．
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】40°．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C，再根据相似三角形的性质即可求出∠F．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∠A＝110°，∠B＝30°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣110°﹣30°＝40°，
∴∠F＝∠C＝40°．
【点评】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握以上知识点是解答本题的关键．
18．（2024秋 沙坪坝区期末）已知△ABC是等边三角形，点D是△ABC外一点，连接DA，DB，DC．
（1）如图1，点D在△ABC的左上方，点E是BD上一点，连接AE，满足AE＝DE，延长EA交DC于点F，若∠DBA＝∠FAC，求∠ADE的度数；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点A作EA的垂线交EB于点G，求证：GB＝2AF；
（3）如图3，点D在△ABC的左侧时，DB⊥AB，∠ADB＝30°，点P为直线CD上一动点（点P与点D不重合），连接PB，将△DPB沿PB所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△QPB，点Q为点D的对应点，当以点Q、点A、点C为顶点构成等腰三角形时，请直接写出此时的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）30°；
（2）证明过程详见解答；
（3）．
【分析】（1）可推出∠ADE＝∠EAD，根据∠DBA+∠AEB＝∠BAF得出∠DBA+2∠ADE＝∠FAC+∠BAC，进一步得出结果；
（2）作DQ∥AC，交AF的延长线于点Q，可推出△ADQ≌△GAB，从而得出GB＝AQ，AB＝DQ，可证得△ACF≌△QFD，从而AF＝FQ，进一步得出结论；
（3）不妨设AB＝AC＝BC＝1，则BD，当AQ＝AC＝AB＝1时，可推出∠BAQ＝120°，进而得出∠DBP＝60°，△ACQ是等边三角形，作PE⊥BD于E，作CF⊥DB，交DB的延长线于点F，设PB＝2a，则BEPB＝a，PEPBa，解Rt△BCF得出CF和BF的值，从而得出DF的值，从而得出∠CDF的值，进而得出，从而得出DE的值，进一步得出结果．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵AE＝AD，
∴∠ADE＝∠EAD，
∴∠AEB＝∠ADE+∠EAD＝2∠ADE，
∵∠DBA+∠AEB＝∠BAF，
∴∠DBA+2∠ADE＝∠FAC+∠BAC，
∴∠DBA＝∠FAC，
∴2∠ADE＝60°，
∴∠ADE＝30°；
（2）证明：如图1，
作DQ∥AC，交AF的延长线于点Q，
∴∠Q＝∠FAC，
∵∠FAC＝∠DBF，
∴∠Q＝∠DBF，
由（1）知，
∠EAD＝∠ADE＝30°，∠AEB＝60°，
∴∠DAQ＝180°﹣∠DAE＝150°，
∵AG⊥AE，
∴∠EAG＝90°，
∴∠AGB＝∠EAG+∠AEB＝90°+60°＝150°，∠AGE＝90°﹣∠AEB＝30°，
∴∠AGB＝∠DAQ，∠ADE＝∠AGE，
∴AG＝AD，
∴△ADQ≌△GAB（AAS），
∴GB＝AQ，AB＝DQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴AC＝DQ，
∵∠DFQ＝∠AFC，
∴△ACF≌△QFD（AAS），
∴AF＝FQ，
∴AQ＝2AF，
∴GB＝2AF；
（3）解：如图2，
不妨设AB＝AC＝BC＝1，则BD，
当AQ＝AC＝AB＝1时，
∵△DPB沿PB所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△QPB，
∴BQ＝BD，∠DBP＝∠QBP，
∴∠BAQ＝120°，
∴∠ABQ＝∠AQB＝30°，
∴∠DBQ＝∠ABD+∠ABQ＝120°，
∴∠DBP＝60°，
作PE⊥BD于E，作CF⊥DB，交DB的延长线于点F，
设PB＝2a，则BEPB＝a，PEPBa，
在Rt△BCF中，BC＝1，∠CBF＝180°﹣∠ABD﹣∠ABC＝180°＝90°﹣60°＝30°，
∴CF，BF，
∴DF＝BD+BF，
∴tan∠CDF，
∴，
∴DE＝3PE＝39a，
∴PD2a，
∴，
连接CQ，则△ACQ是等边三角形，
∴CQ＝AC＝AQ，
∴以Q、A、C为顶点构成的等腰三角形是等边三角形，
∴．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等周四，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
19．（2025 嘉定区一模）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BD＝12，CD＝15，且∠BAD＝∠C．
（1）求线段AB的长；
（2）当∠ADE＝∠C，∠B＝60°时，求△EDC的面积．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）△EDC的面积是．
【分析】（1）由BD＝12，CD＝15，得CB＝27，由∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，证明△DBA∽△ABC，得，则AB18；
（2）作EF⊥CD于点F，由∠BAD＝∠C，∠ADE＝∠C，得∠ADE＝∠BAD，所以ED∥AB，则△EDC∽△ABC，∠EDF＝∠B＝60°，求得，∠DEF＝30°，所以EDAB＝10，则DFED＝5，求得EF5，则S△EDCCD EF．
【解答】解：（1）∵BD＝12，CD＝15，
∴CB＝BD+CD＝12+15＝27，
∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△DBA∽△ABC，
∴，
∴AB18，
∴线段AB的长为18．
（2）作EF⊥CD于点F，则∠DFE＝90°，
∵∠BAD＝∠C，∠ADE＝∠C，∠B＝60°，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴ED∥AB，
∴△EDC∽△ABC，∠EDF＝∠B＝60°，
∴，∠DEF＝90°﹣∠EDF＝90°﹣60°＝30°，
∴EDAB18＝10，
∵DFED＝5，
∴EF5，
∴S△EDCCD EF15×5，
∴△EDC的面积是．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定、直角三角形中30°角的对的直角边等于斜边一半、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
20．（2025 嘉定区一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E是边AB的中点，联结CE，作AF⊥CE，垂足为点F，联结BF．
（1）求证：△EFB∽△EBC；
（2）取BC边的中点D，联结DF，求证：．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答．
【分析】（1）由∠BAC＝90°，点E是边AB的中点，AF⊥CE于点F，得∠EFA＝∠EAC＝90°，EA＝EB，而∠FEA＝∠AEC，所以△FEA∽△AEC，得，所以，而∠FEB＝∠BEC，则△EFB∽△EBC；
（2）由∠BAC＝90°，AB＝AC，得∠EBC＝∠ACB＝45°，由△EFB∽△EBC，得∠EFB＝∠EBC＝45°，∠EBF＝∠DCF，联结AD交CF于点H，联结ED，可证明CD＝BDBE，再证明△CHD∽△AHF，得，变形为，而∠FHD＝∠AHC，则△FHD∽△AHC，推导出∠DFC＝∠DAC＝45°，则∠DFC＝∠EFB，而∠DCF＝∠EBF，即可证明△DCF∽△EBF，则．
【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，点E是边AB的中点，AF⊥CE于点F，
∴∠EFA＝∠EAC＝90°，EA＝EB，
∴∠FEA＝∠AEC，
∴△FEA∽△AEC，
∴，
∴，
∵∠FEB＝∠BEC，
∴△EFB∽△EBC．
（2）取BC边的中点D，联结DF，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠EBC＝∠ACB＝45°，
∵△EFB∽△EBC，
∴∠EFB＝∠EBC＝45°，∠EBF＝∠DCF，
联结AD交CF于点H，联结ED，
∵点E是AB的中点，点D是BC的中点，
∴BEAB，DEAC，DE∥AC，AD⊥BC，∠DAC＝∠DAB∠BAC＝45°，
∴BE＝DE，∠BED＝∠BAC＝90°，
∴CD＝BDBE，
∵∠CDH＝∠AFH＝90°，∠CHD＝∠AHF，
∴△CHD∽△AHF，
∴，
∴，
∵∠FHD＝∠AHC，
∴△FHD∽△AHC，
∴∠DFC＝∠DAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFB，
∵∠DCF＝∠EBF，
∴△DCF∽△EBF，
∴．
【点评】此题重点考查等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
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