【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺：无理数与实数（含解析）

2025年中考数学高频易错考前冲刺：无理数与实数
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 福田区校级期末）下列实数中，无理数是（　　）
A．3.1415926 B． C． D．
2．（2024秋 南岸区期末）下列各数中，是无理数的是（　　）
A．0 B． C．3 D．
3．（2024秋 余姚市期末）下列四个实数中，无理数是（　　）
A．3.5 B． C．0 D．﹣2
4．（2024秋 兴宁市期末）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（　　）
A．1 B． C． D．3
5．（2024秋 永春县期末）下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．3.14 D．
6．（2024秋 哈尔滨期末）64的平方根是（　　）
A．±8 B．8 C．±32 D．32
7．（2024秋 海曙区期末）下列各数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．
8．（2024秋 丰台区期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．|a|＜|b| B．a+b＜0 C．﹣b＜a D．ab＞0
9．（2024秋 永春县期末）估计的值在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
10．（2024秋 哈尔滨期末）下列各数﹣2，，π，0.，中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 海曙区期末）下列各数：，π，，中，无理数有　 　个．
12．（2024秋 哈尔滨期末）计算： 　 　．
13．（2024秋 泉港区期末）若一个正方形的面积为5，则它的边长为 　 　．
14．（2024秋 道外区期末）比较：　 　π．（在横线上填“＞”“＜”或“＝”）
15．（2024秋 南通期末）若，则xy＝ 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 城关区校级期末）（1）已知a，b为实数，求证：|a+b|≤|a|+|b|；
（2）已知a，b为实数，求max{|a|，|﹣2a+4|}的最小值．
（符号max{a，b}表示实数a，b中较大者，如max{1，}）
17．（2024秋 二七区期末）计算：．
18．（2024秋 宝应县期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣18，﹣2，﹣8这三个数，，，，其结果6，12，4都是整数，所以﹣18，﹣2，﹣8这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣9，﹣4，﹣1这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；
（2）若三个数﹣6，﹣24，a是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求a的值．
19．（2024秋 大兴区期末）计算：．
20．（2024秋 永春县期末）计算：．
2025年中考数学高频易错考前冲刺：无理数与实数
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B B A A B． B A B
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 福田区校级期末）下列实数中，无理数是（　　）
A．3.1415926 B． C． D．
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】根据无理数的定义即可求解．
【解答】解：A、3.1415926不是无理数，不符合题意；
B、6不是无理数，不符合题意；
C、不是无理数，不符合题意；
D、是无理数，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2．（2024秋 南岸区期末）下列各数中，是无理数的是（　　）
A．0 B． C．3 D．
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据无理数的定义依次判断即可．
【解答】解：A、0是整数，不是无理数，不符合题意；
B、是开方开不尽的数，是无理数，符合题意；
C、3是整数，不是无理数，不符合题意；
D、是分数，不是无理数，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
3．（2024秋 余姚市期末）下列四个实数中，无理数是（　　）
A．3.5 B． C．0 D．﹣2
【考点】无理数；算术平方根．
【答案】B
【分析】根据无理数的定义逐项分析即可．
【解答】解：是无理数，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
4．（2024秋 兴宁市期末）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（　　）
A．1 B． C． D．3
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案．
【解答】解：由题意可设正方形ABCD的面积为s，则其范围为1＜s＜5，
那么其边长在1到之间，
则其边长为，
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根，结合已知条件求得正方形ABCD的面积的范围是解题的关键．
5．（2024秋 永春县期末）下列实数中，是无理数的是（　　）
A． B． C．3.14 D．
【考点】无理数；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】分别根据无理数、有理数的定义即可判断．
【解答】解：A、开不尽方，是无理数，故此选项符合题意；
B、2，2是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
C、3.14是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
6．（2024秋 哈尔滨期末）64的平方根是（　　）
A．±8 B．8 C．±32 D．32
【考点】平方根．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】利用平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：∵（±8）2＝64，
∴64的平方根为±8，
故选：A．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
7．（2024秋 海曙区期末）下列各数中，最小的数是（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】数形结合；实数；运算能力．
【答案】B．
【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵1＜0，
∴最小的数是：．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
8．（2024秋 丰台区期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．|a|＜|b| B．a+b＜0 C．﹣b＜a D．ab＞0
【考点】实数与数轴；相反数；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据在数轴上，右边的数总比左边的数大，得出a＜0＜b，且|a|＞|b|，再由有理数的运算法则分别判断即可得出结果．
【解答】解：由图可知：a＜0＜b，且|a|＞|b|，
|a|＞|b|，故A错误；
a+b＜0，故B正确；
﹣b＞a，故C错误；
ab＜0，故C错误．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴，绝对值，相反数，利用了有理数的加法和乘法，给学生渗透数形结合的思想．
9．（2024秋 永春县期末）估计的值在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：∵25＜29＜36，
∴，
即56，
故选：A．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的关键．
10．（2024秋 哈尔滨期末）下列各数﹣2，，π，0.，中，无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】无理数；算术平方根；立方根．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】B
【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可．
【解答】解：﹣2是有理数，是无理数，π是无理数，0.是有理数，2是有理数，
所以无理数共有2个，
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，算术平方根，立方根，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 海曙区期末）下列各数：，π，，中，无理数有　2　个．
【考点】无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】2．
【分析】根据定义即可判断．注意带根号的要开不尽方才是无理数．
【解答】解：和π符合无理数的定义，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数是无理数是关键．
12．（2024秋 哈尔滨期末）计算： 　﹣3　．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣3．
【分析】先根据立方根、算术平方根的定义计算，再根据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：5+2＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握立方根、算术平方根的定义是解题的关键．
13．（2024秋 泉港区期末）若一个正方形的面积为5，则它的边长为 　　．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】．
【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．
【解答】解：∵一个正方形的面积为5，
∴它的边长为：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．
14．（2024秋 道外区期末）比较：　＞　π．（在横线上填“＞”“＜”或“＝”）
【考点】实数大小比较．
【专题】实数；运算能力．
【答案】＞．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．
【解答】解：π．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
15．（2024秋 南通期末）若，则xy＝ 　﹣2　．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵，，（y+1）2≥0，
∴x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
∴xy＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 城关区校级期末）（1）已知a，b为实数，求证：|a+b|≤|a|+|b|；
（2）已知a，b为实数，求max{|a|，|﹣2a+4|}的最小值．
（符号max{a，b}表示实数a，b中较大者，如max{1，}）
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据（|a+b|）2＝a2+2ab+b2，（|a|+|b|）＝a2+2|a| |b|+b2，求出（|a+b|）2≤（|a|+|b|）2，即可得证；
（2）设max{|a|，|﹣2a+4|}＝M，则M≥|a|，M≥|﹣2a+4|，求出3M≥2|a|+|﹣2a+4|＝|2a|+|﹣2a+4|≥|﹣2a+4+2a|＝4，即可得解．
【解答】（1）证明：∵（|a+b|）2＝a2+2ab+b2，（|a|+|b|）＝a2+2|a| |b|+b2，
∴（|a+b|）2﹣（|a|+|b|）2＝2（ab﹣|a| |b|）≤0，
∴（|a+b|）2≤（|a|+|b|）2，
∵|a+b|≥0，|a|+|b|≥0，
∴|a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab≥0时等号成立）；
（2）解：设max{|a|，|﹣2a+4|}＝M，
∴M≥|a|，M≥|﹣2a+4|，
∴3M≥2|a|+|﹣2a+4|＝|2a|+|﹣2a+4|≥|﹣2a+4+2a|＝4，
∴，当且仅当2a＝﹣2a+4时，取等号，
∴max{|a|，|﹣2a+4|}的最小值为．
【点评】本题考查了实数的大小比较，完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
17．（2024秋 二七区期末）计算：．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】0．
【分析】先根据负整数指数幂、立方根、零指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可．
【解答】解：
＝2﹣3+1
＝2+（﹣3）+1
＝﹣1+1
＝0．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（2024秋 宝应县期末）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣18，﹣2，﹣8这三个数，，，，其结果6，12，4都是整数，所以﹣18，﹣2，﹣8这三个数称为“完美组合数”．
（1）﹣9，﹣4，﹣1这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；
（2）若三个数﹣6，﹣24，a是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为24．求a的值．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）是“完美组合数”，理由见解析；
（2）﹣96．
【分析】（1）按照已知条件中的方法，分别求出两两乘积的算术平方根，然后根据“完美组合数”的定义进行判断即可；
（2）根据已知条件分两种情况讨论：①当时，②当时，分别求出a，再根据条件进行判断即可．
【解答】解：（1）这三个数是“完美组合数”，理由如下：
，，
∵6，2，3都是整数，
∴﹣9，﹣4，﹣1这三个数是“完美组合数”；
（2），
分两种情况讨论：①当时，
﹣6a＝242，
﹣6a＝576，
a＝﹣96，
∵，，
∵12，24，48都是整数，
∴﹣6，﹣24，﹣96是“完美组合数”；
∴a＝﹣96；
②当时，
﹣24a＝242，
a＝﹣24（不合题意，舍去），
∴a的值为：﹣96．
【点评】本题主要考查了算术平方根，解题关键是理解已知条件中的新定义的含义．
19．（2024秋 大兴区期末）计算：．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】11．
【分析】先根据零指数幂、绝对值、算术平方根、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可．
【解答】解：
＝1﹣3+4+9
＝1+（﹣3）+4+9
＝11．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（2024秋 永春县期末）计算：．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】先根据绝对值、算术平方根、零指数幂的运算法则计算，再合并即可．
【解答】解：
．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
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