【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺：一元二次方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺：一元二次方程（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 48.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-12 07:36:57 | ||
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文档简介
2025年中考数学高频易错考前冲刺：一元二次方程
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 无锡期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝5 B． C．x2﹣4x﹣2＝0 D．x3+3x﹣1＝0
2．（2024秋 邗江区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（ ）
A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025
3．（2024秋 无锡期末）若x＝﹣2是关于x的方程x2+x﹣m＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6
4．（2024秋 永吉县期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≠0 D．k＞1
5．（2024秋 贵阳期末）我省某村2021年的人均年可支配收入约为13000元，在国家“乡村振兴”政策的指导下，2023年的人均年可支配收入约为15000元．设人均年可支配收入的年均增长率为x，根据题意，则下列方程正确的是（ ）
A．15000（1﹣x）2＝13000 B．15000（1+x）2＝13000
C．13000（1﹣x）2＝15000 D．13000（1+x）2＝15000
6．（2024秋 延边州期末）一元二次方程x2﹣x＝2024的二次项系数与常数项之和是（ ）
A．2023 B．2025 C．﹣2023 D．﹣2025
7．（2024秋 贵阳期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
8．（2024秋 天津期末）若x1，x2是方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝3
C． D．
9．（2024秋 普陀区期末）在下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝0 B．x2﹣32＝0
C．x2+32＝0 D．x2+6x+32＝0
10．（2024秋 武汉期末）若x为任意实数，则代数式x2+4x+2的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣1 D．﹣2
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 邗江区期末）为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为 ．
12．（2024秋 本溪期末）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有两个解，则k的取值范围是 ．
13．（2024秋 灞桥区校级期末）若关于x的方程（a﹣2）x|a|+3x﹣4＝0是一元二次方程，则a＝ ．
14．（2024秋 天津期末）关于x的一元二次方程x2+nx+3＝0有一根为﹣1，则n的值为 ．
15．（2024秋 延边州期末）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈，某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为115件，3月份销售量为216件，设该款上衣销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 廉江市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x1，x2满足x1x2＝6，求a的值．
17．（2024秋 天津期末）两年前生产1t产品的成本是7000元，随着生产技术的进步，现在生产1t这种产品的成本为5670元．求这种产品成本的年平均下降率．
（1）设这种产品成本的年平均下降率为x，一年后这种产品的成本为 元（用含x的代数式表示），两年后这种产品的成本为 元（用含x的代数式表示）；
（2）列出方程并完成本题解答．
18．（2024秋 无锡期末）解方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2﹣6x+5＝0．
19．（2024秋 延边州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣3）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）当方程的一个根为x＝1时，求m的值及另一个根．
20．（2024秋 南昌县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
2025年中考数学高频易错考前冲刺：一元二次方程
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B D C B D B D
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 无锡期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝5 B． C．x2﹣4x﹣2＝0 D．x3+3x﹣1＝0
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行分析判断即可．
【解答】解：A、方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、未知数最高次为3，不是一元二次方程，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．（2024秋 邗江区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（ ）
A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025
【考点】一元二次方程的解；方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1，则a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2，然后对原式变形后再整体代入计算即可．
【解答】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1，
∵方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，
∴a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2，
∴原式
＝﹣1﹣2024
＝﹣2025．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键．
3．（2024秋 无锡期末）若x＝﹣2是关于x的方程x2+x﹣m＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6
【考点】一元二次方程的解；解一元一次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】将x＝﹣2代入x2+x﹣m＝0，再求解m即可．
【解答】解：由条件可知（﹣2）2﹣2﹣m＝0，
解得：m＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．
4．（2024秋 永吉县期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≠0 D．k＞1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×k×9＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×k×9＞0，
解得k＜1且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2024秋 贵阳期末）我省某村2021年的人均年可支配收入约为13000元，在国家“乡村振兴”政策的指导下，2023年的人均年可支配收入约为15000元．设人均年可支配收入的年均增长率为x，根据题意，则下列方程正确的是（ ）
A．15000（1﹣x）2＝13000 B．15000（1+x）2＝13000
C．13000（1﹣x）2＝15000 D．13000（1+x）2＝15000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】利用该村2023年的人均年可支配收入＝该村2021年的人均年可支配收入×（1+人均年可支配收入的年均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：13000（1+x）2＝15000．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2024秋 延边州期末）一元二次方程x2﹣x＝2024的二次项系数与常数项之和是（ ）
A．2023 B．2025 C．﹣2023 D．﹣2025
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先整理成一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、常数项，求和即可．
【解答】解：x2﹣x＝2024，
整理得，x2﹣x﹣2024＝0，
∵二次项系数是1，常数项是﹣2024，
∴它们的和是1﹣2024＝﹣2023，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，准确找出二次项系数、常数项是解题的关键．
7．（2024秋 贵阳期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，求出c的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4 1 c＝0，
即4﹣4c＝0，
解得：c＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
8．（2024秋 天津期末）若x1，x2是方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝3
C． D．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为x1，x2是方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，
所以，
显然只有D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
9．（2024秋 普陀区期末）在下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝0 B．x2﹣32＝0
C．x2+32＝0 D．x2+6x+32＝0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先求出Δ的值，再比较出其与0的大小即可求解．
【解答】解：A、解方程（x﹣3）2＝0，得x1＝x2＝3，有两个相等的实数根，不符合题意．
B、Δ＝02﹣4×1×（﹣9）＝36＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；
C、Δ＝02﹣4×1×9＝﹣36＜0，无实数根，不符合题意；
D、Δ＝62﹣4×1×9＝0，有两个相等的实数根，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与Δ的关系是解答此题的关键．
10．（2024秋 武汉期末）若x为任意实数，则代数式x2+4x+2的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣1 D．﹣2
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】D
【分析】依据题意得，x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，再由对于任意实数x，（x+2）2≥0，从而可得x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥＝2，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意得，x2+4x+2＝（x+2）2﹣2．
又∵对于任意实数x，（x+2）2≥0，
∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥＝2．
∴x2+4x+2的最小值是﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法进行变形是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 邗江区期末）为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为 10% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】10%．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该种药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意得：
300（1﹣x）2＝243，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去），
故x的值为10%，
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2024秋 本溪期末）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有两个解，则k的取值范围是 k≤3且k≠0 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】k≤3且k≠0．
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式求解即可．
【解答】解：由条件可知k≠0且Δ≥0，
即k≠0且（﹣6）2﹣4×k×3≥0，
解得：k≤3且k≠0．
故答案为：k≤3且k≠0．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握以上知识点是关键．
13．（2024秋 灞桥区校级期末）若关于x的方程（a﹣2）x|a|+3x﹣4＝0是一元二次方程，则a＝ ﹣2 ．
【考点】一元二次方程的定义；绝对值．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．
【解答】解：由题意，得
|a|＝2且a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
14．（2024秋 天津期末）关于x的一元二次方程x2+nx+3＝0有一根为﹣1，则n的值为 4 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝﹣1代入已知方程，求得n值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+nx+3＝0的一个根为x＝﹣1，
∴1﹣n+3＝0，
解得，n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
15．（2024秋 延边州期末）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈，某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为115件，3月份销售量为216件，设该款上衣销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 115（1+x）2＝216 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】115（1+x）2＝216．
【分析】利用该款上衣3月份销售量＝该款上衣1月份销售量×（1+该款上衣销售量的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：115（1+x）2＝216．
故答案为：115（1+x）2＝216．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 廉江市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x1，x2满足x1x2＝6，求a的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）a＝﹣1．
【分析】（1）根据方程有两个的实数根，可知方程的判别式Δ≥0，据此列不等式即可求解；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2a﹣1，代入中即可求解．
【解答】解：（1）由条件可知Δ≥0，即[﹣（2a﹣1）]2﹣4a2≥0，
∴；
（2）由得，，
∴（2a﹣1）2﹣3a2＝6，
解得a1＝﹣1，a2＝5，
∵，
∴a＝﹣1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，则有，，掌握该知识点是解答本题的关键．
17．（2024秋 天津期末）两年前生产1t产品的成本是7000元，随着生产技术的进步，现在生产1t这种产品的成本为5670元．求这种产品成本的年平均下降率．
（1）设这种产品成本的年平均下降率为x，一年后这种产品的成本为 7000（1﹣x） 元（用含x的代数式表示），两年后这种产品的成本为 7000（1﹣x）2 元（用含x的代数式表示）；
（2）列出方程并完成本题解答．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）000（1﹣x），7000（1﹣x）2；
（2）这种产品成本的年平均下降率为10%．
【分析】（1）设这种产品成本的年平均下降率为x，则一年后这种产品的成本为7000（1﹣x），两年后这种产品的成本为7000（1﹣x）2元；
（2）利用现在生产1t这种产品的成本＝两年前生产1t该产品的成本×（1﹣该产品成本的年平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方程即可．
【解答】解：（1）设这种产品成本的年平均下降率为x，则一年后这种产品的成本为7000（1﹣x），两年后这种产品的成本为7000（1﹣x）2元．
故答案为：7000（1﹣x），7000（1﹣x）2；
（2）根据题意得：7000（1﹣x）2＝5670，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：这种产品成本的年平均下降率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（2024秋 无锡期末）解方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2﹣6x+5＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x1＝1，x2＝5．
【分析】（1）利用直接开平方法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9，
（x﹣2）2＝±3，
x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x2﹣6x+5＝0
因式分解可得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝1，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
19．（2024秋 延边州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣3）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）当方程的一个根为x＝1时，求m的值及另一个根．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）m≥2；
（2）m＝2，方程的另一个根为1．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
（2）将x＝1代入方程可求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系可求出方程的另一个根．
【解答】解：（1）由题知，
因为关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣3）＝0有实数根，
所以Δ＝（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m﹣3）]≥0，
解得m≥2，
所以m的取值范围是：m≥2．
（2）将x＝1代入方程得，
1﹣2﹣（m﹣3）＝0，
解得m＝2．
因为方程的两个之和为2，
所以方程的另一个根为1．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
20．（2024秋 南昌县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【考点】根与系数的关系；勾股定理；根的判别式．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用根的判别式结合完全平方式得出答案；
（2）直接利用勾股定理结合根与系数的关系得出答案．
【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
则k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴a2＝b2+c2，
则9＝（b+c）2﹣2bc，
9＝（k+2）2﹣2×2k，
解得：k，
由b+c＝2+k＝2（不可能取负数），
故△ABC的周长C＝5．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及根与系数的关系和根的判别式，正确将原式变形是解题关键．
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一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 无锡期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝5 B． C．x2﹣4x﹣2＝0 D．x3+3x﹣1＝0
2．（2024秋 邗江区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（ ）
A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025
3．（2024秋 无锡期末）若x＝﹣2是关于x的方程x2+x﹣m＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6
4．（2024秋 永吉县期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≠0 D．k＞1
5．（2024秋 贵阳期末）我省某村2021年的人均年可支配收入约为13000元，在国家“乡村振兴”政策的指导下，2023年的人均年可支配收入约为15000元．设人均年可支配收入的年均增长率为x，根据题意，则下列方程正确的是（ ）
A．15000（1﹣x）2＝13000 B．15000（1+x）2＝13000
C．13000（1﹣x）2＝15000 D．13000（1+x）2＝15000
6．（2024秋 延边州期末）一元二次方程x2﹣x＝2024的二次项系数与常数项之和是（ ）
A．2023 B．2025 C．﹣2023 D．﹣2025
7．（2024秋 贵阳期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
8．（2024秋 天津期末）若x1，x2是方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝3
C． D．
9．（2024秋 普陀区期末）在下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝0 B．x2﹣32＝0
C．x2+32＝0 D．x2+6x+32＝0
10．（2024秋 武汉期末）若x为任意实数，则代数式x2+4x+2的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣1 D．﹣2
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 邗江区期末）为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为 ．
12．（2024秋 本溪期末）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有两个解，则k的取值范围是 ．
13．（2024秋 灞桥区校级期末）若关于x的方程（a﹣2）x|a|+3x﹣4＝0是一元二次方程，则a＝ ．
14．（2024秋 天津期末）关于x的一元二次方程x2+nx+3＝0有一根为﹣1，则n的值为 ．
15．（2024秋 延边州期末）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈，某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为115件，3月份销售量为216件，设该款上衣销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 廉江市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x1，x2满足x1x2＝6，求a的值．
17．（2024秋 天津期末）两年前生产1t产品的成本是7000元，随着生产技术的进步，现在生产1t这种产品的成本为5670元．求这种产品成本的年平均下降率．
（1）设这种产品成本的年平均下降率为x，一年后这种产品的成本为 元（用含x的代数式表示），两年后这种产品的成本为 元（用含x的代数式表示）；
（2）列出方程并完成本题解答．
18．（2024秋 无锡期末）解方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2﹣6x+5＝0．
19．（2024秋 延边州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣3）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）当方程的一个根为x＝1时，求m的值及另一个根．
20．（2024秋 南昌县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
2025年中考数学高频易错考前冲刺：一元二次方程
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A B D C B D B D
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 无锡期末）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝5 B． C．x2﹣4x﹣2＝0 D．x3+3x﹣1＝0
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行分析判断即可．
【解答】解：A、方程有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、未知数最高次为3，不是一元二次方程，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2．（2024秋 邗江区期末）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，则的值为（ ）
A．﹣2024 B．2024 C．﹣2025 D．2025
【考点】一元二次方程的解；方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1，则a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2，然后对原式变形后再整体代入计算即可．
【解答】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为x＝﹣1，
∵方程a2x2﹣2024ax+1＝0（a≠0）是“贺岁”方程，
∴a2+2024a+1＝0，即a2+2024a＝﹣1、2024a+1＝﹣a2，
∴原式
＝﹣1﹣2024
＝﹣2025．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键．
3．（2024秋 无锡期末）若x＝﹣2是关于x的方程x2+x﹣m＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6
【考点】一元二次方程的解；解一元一次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】将x＝﹣2代入x2+x﹣m＝0，再求解m即可．
【解答】解：由条件可知（﹣2）2﹣2﹣m＝0，
解得：m＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．
4．（2024秋 永吉县期末）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k≠0 D．k＞1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×k×9＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣6）2﹣4×k×9＞0，
解得k＜1且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（2024秋 贵阳期末）我省某村2021年的人均年可支配收入约为13000元，在国家“乡村振兴”政策的指导下，2023年的人均年可支配收入约为15000元．设人均年可支配收入的年均增长率为x，根据题意，则下列方程正确的是（ ）
A．15000（1﹣x）2＝13000 B．15000（1+x）2＝13000
C．13000（1﹣x）2＝15000 D．13000（1+x）2＝15000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】利用该村2023年的人均年可支配收入＝该村2021年的人均年可支配收入×（1+人均年可支配收入的年均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：13000（1+x）2＝15000．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．（2024秋 延边州期末）一元二次方程x2﹣x＝2024的二次项系数与常数项之和是（ ）
A．2023 B．2025 C．﹣2023 D．﹣2025
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先整理成一元二次方程的一般形式，然后找出二次项系数、常数项，求和即可．
【解答】解：x2﹣x＝2024，
整理得，x2﹣x﹣2024＝0，
∵二次项系数是1，常数项是﹣2024，
∴它们的和是1﹣2024＝﹣2023，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，准确找出二次项系数、常数项是解题的关键．
7．（2024秋 贵阳期末）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，求出c的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4 1 c＝0，
即4﹣4c＝0，
解得：c＝1，
故选：B．
【点评】此题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．
8．（2024秋 天津期末）若x1，x2是方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，则（ ）
A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝3
C． D．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为x1，x2是方程2x2+3x﹣1＝0的两个根，
所以，
显然只有D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
9．（2024秋 普陀区期末）在下列关于x的一元二次方程中，一定有两个不相等的实数根的是（ ）
A．（x﹣3）2＝0 B．x2﹣32＝0
C．x2+32＝0 D．x2+6x+32＝0
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先求出Δ的值，再比较出其与0的大小即可求解．
【解答】解：A、解方程（x﹣3）2＝0，得x1＝x2＝3，有两个相等的实数根，不符合题意．
B、Δ＝02﹣4×1×（﹣9）＝36＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；
C、Δ＝02﹣4×1×9＝﹣36＜0，无实数根，不符合题意；
D、Δ＝62﹣4×1×9＝0，有两个相等的实数根，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与Δ的关系是解答此题的关键．
10．（2024秋 武汉期末）若x为任意实数，则代数式x2+4x+2的最小值是（ ）
A．6 B．3 C．﹣1 D．﹣2
【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】D
【分析】依据题意得，x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，再由对于任意实数x，（x+2）2≥0，从而可得x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥＝2，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意得，x2+4x+2＝（x+2）2﹣2．
又∵对于任意实数x，（x+2）2≥0，
∴x2+4x+2＝（x+2）2﹣2≥＝2．
∴x2+4x+2的最小值是﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法进行变形是关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 邗江区期末）为解决群众看病贵的问题，我市有关部门决定降低药价，对某种原价为300元的药品进行连续两次降价后为243元．设平均每次降价的百分率为x，则x的值为 10% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】10%．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据该种药品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，依题意得：
300（1﹣x）2＝243，
解得：x1＝0.1，x2＝1.9（不合题意，舍去），
故x的值为10%，
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
12．（2024秋 本溪期末）关于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0有两个解，则k的取值范围是 k≤3且k≠0 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】k≤3且k≠0．
【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式求解即可．
【解答】解：由条件可知k≠0且Δ≥0，
即k≠0且（﹣6）2﹣4×k×3≥0，
解得：k≤3且k≠0．
故答案为：k≤3且k≠0．
【点评】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握以上知识点是关键．
13．（2024秋 灞桥区校级期末）若关于x的方程（a﹣2）x|a|+3x﹣4＝0是一元二次方程，则a＝ ﹣2 ．
【考点】一元二次方程的定义；绝对值．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣2．
【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．
【解答】解：由题意，得
|a|＝2且a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
14．（2024秋 天津期末）关于x的一元二次方程x2+nx+3＝0有一根为﹣1，则n的值为 4 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程解的定义，将x＝﹣1代入已知方程，求得n值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+nx+3＝0的一个根为x＝﹣1，
∴1﹣n+3＝0，
解得，n＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
15．（2024秋 延边州期末）2024龙年春晚主题为“龙行龘龘（dá），欣欣家国”，“龘”这个字引发一波热门关注，据记载，“龘”出自第一部楷书字典《玉篇》，“龙行龘龘”形容龙腾飞的样子，昂扬而热烈，某服装店购进一款印有“龘”字图案的上衣，据店长统计，该款上衣1月份销售量为115件，3月份销售量为216件，设该款上衣销售量的月平均增长率为x，则可列方程为 115（1+x）2＝216 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】115（1+x）2＝216．
【分析】利用该款上衣3月份销售量＝该款上衣1月份销售量×（1+该款上衣销售量的月平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：115（1+x）2＝216．
故答案为：115（1+x）2＝216．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 廉江市期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2a﹣1）x+a2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x1，x2满足x1x2＝6，求a的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）a＝﹣1．
【分析】（1）根据方程有两个的实数根，可知方程的判别式Δ≥0，据此列不等式即可求解；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2a﹣1，代入中即可求解．
【解答】解：（1）由条件可知Δ≥0，即[﹣（2a﹣1）]2﹣4a2≥0，
∴；
（2）由得，，
∴（2a﹣1）2﹣3a2＝6，
解得a1＝﹣1，a2＝5，
∵，
∴a＝﹣1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若x1，x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，则有，，掌握该知识点是解答本题的关键．
17．（2024秋 天津期末）两年前生产1t产品的成本是7000元，随着生产技术的进步，现在生产1t这种产品的成本为5670元．求这种产品成本的年平均下降率．
（1）设这种产品成本的年平均下降率为x，一年后这种产品的成本为 7000（1﹣x） 元（用含x的代数式表示），两年后这种产品的成本为 7000（1﹣x）2 元（用含x的代数式表示）；
（2）列出方程并完成本题解答．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）000（1﹣x），7000（1﹣x）2；
（2）这种产品成本的年平均下降率为10%．
【分析】（1）设这种产品成本的年平均下降率为x，则一年后这种产品的成本为7000（1﹣x），两年后这种产品的成本为7000（1﹣x）2元；
（2）利用现在生产1t这种产品的成本＝两年前生产1t该产品的成本×（1﹣该产品成本的年平均下降率）2，可列出关于x的一元二次方程即可．
【解答】解：（1）设这种产品成本的年平均下降率为x，则一年后这种产品的成本为7000（1﹣x），两年后这种产品的成本为7000（1﹣x）2元．
故答案为：7000（1﹣x），7000（1﹣x）2；
（2）根据题意得：7000（1﹣x）2＝5670，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．
答：这种产品成本的年平均下降率为10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．（2024秋 无锡期末）解方程：
（1）（x﹣2）2＝9；
（2）x2﹣6x+5＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x1＝1，x2＝5．
【分析】（1）利用直接开平方法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9，
（x﹣2）2＝±3，
x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得：x1＝5，x2＝﹣1；
（2）x2﹣6x+5＝0
因式分解可得：（x﹣1）（x﹣5）＝0，
x﹣1＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝1，x2＝5．
【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
19．（2024秋 延边州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣3）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围．
（2）当方程的一个根为x＝1时，求m的值及另一个根．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）m≥2；
（2）m＝2，方程的另一个根为1．
【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
（2）将x＝1代入方程可求出m的值，再利用一元二次方程根与系数的关系可求出方程的另一个根．
【解答】解：（1）由题知，
因为关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（m﹣3）＝0有实数根，
所以Δ＝（﹣2）2﹣4×1×[﹣（m﹣3）]≥0，
解得m≥2，
所以m的取值范围是：m≥2．
（2）将x＝1代入方程得，
1﹣2﹣（m﹣3）＝0，
解得m＝2．
因为方程的两个之和为2，
所以方程的另一个根为1．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键．
20．（2024秋 南昌县期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【考点】根与系数的关系；勾股定理；根的判别式．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用根的判别式结合完全平方式得出答案；
（2）直接利用勾股定理结合根与系数的关系得出答案．
【解答】（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣8k＝（k﹣2）2≥0，
则k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵Rt△ABC斜边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，
∴a2＝b2+c2，
则9＝（b+c）2﹣2bc，
9＝（k+2）2﹣2×2k，
解得：k，
由b+c＝2+k＝2（不可能取负数），
故△ABC的周长C＝5．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及根与系数的关系和根的判别式，正确将原式变形是解题关键．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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