【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺：因式分解（含解析）

2025年中考数学高频易错考前冲刺：因式分解
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 汕尾期末）已知a+b＝3，ab＝﹣2，则代数式a2b+ab2的值是（　　）
A．﹣6 B．1 C．0 D．﹣8
2．（2024秋 江汉区期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（　　）
A．a（x+y）＝ax+ay
B．
C．6x2﹣3x＝3x（2x﹣1）
D．x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x
3．（2024秋 花都区期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2+x＝x（x+1） B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1
4．（2024秋 大兴区期末）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4 B．5a2b﹣ab＝ab（5a﹣1）
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．
5．（2024秋 泉港区期末）下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+9 B．a2﹣6a+9 C．﹣a2﹣9 D．a2﹣9
6．（2024秋 永春县期末）若多项式x2+mx﹣45可因式分解为（x+5）（x﹣9），则m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣14 D．14
7．（2024秋 泉港区期末）因式分解整式4xy2﹣24xy+36x，结果正确的是（　　）
A．x（2y+6）2 B．2x（y﹣3）2 C．4x（y﹣6）2 D．4x（y﹣3）2
8．（2024秋 南通期末）下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．x（x+y）＝x2+xy
B．x2+3xy+2＝x（x+3y）+2
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
D．2x（x﹣1）+3（x﹣1）＝（2x+3）（x﹣1）
9．（2024秋 二七区期末）对于任意整数n，多项式（4n+5）2﹣9都能（　　）
A．被6整除 B．被7整除
C．被8整除 D．被6或8整除
10．（2024秋 红河县期末）下列因式分解正确的是（　　）
A．9﹣6x+x2＝（x﹣3）2
B．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2
C．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）
D．m4+1﹣2m2＝（2m2﹣1）2
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 渝北区校级期末）因式分解：m2﹣12m+36＝ 　 　．
12．（2024秋 綦江区期末）9x2﹣y2因式分解的结果为　 　．
13．（2024秋 汉阳区期末）关于x的二次三项式x2+mx+n（m，n是常实数），现有以下结论：
（1）若m+n＝﹣1，则二次三项式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1）；
（2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2，则m＝6；
（3）若x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q），则2m+n＝﹣4；
（4）若m2﹣4n＜0则无论x取何实数，x2+mx+n总是正数．
其中正确结论的序号有 　 　．
14．（2024秋 西山区期末）将m2+2m+1因式分解后的结果为 　 　．
15．（2024秋 岳麓区校级期末）分解因式3a2﹣6a的结果是　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 延边州期末）如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值：
（1）a2b﹣ab2；
（2）3a3b﹣6a2b2+3ab3．
17．（2024秋 永春县期末）因式分解：
（1）2a2﹣4a；
（2）ax2+2axy+ay2．
18．（2024秋 汕尾期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做“完全平方公式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式x2+2x+5有最大值还是最小值？并求出这个最值．小马的解题步骤如下：
解：x2+2x+5
＝x2+2x+1+4
＝（x+1）2+4
∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+4≥4．
∴x2+2x+5的最小值为4．
小马的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题：
（1）下列多项式中：①x2+2x﹣1；②x2﹣6x+9；③4x2﹣12x+9，是完全平方公式的有　 　．（填序号）
（2）若x2+kx+16是一个完全平方公式，则k的值为　 　（k为常数）．
（3）代数式4x2﹣12x+15有最大值还是最小值？并求出这个最值．
19．（2024秋 永春县期末）综合实践．
活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系
初步应用
（1）如图，请写出一个学过的公式：　 　（用a，b表示）．
操作探究 （2）仿照如图，构造图形并计算：（a+b+c）2．
迁移应用 （3）已知x、y、z满足x+y+z＝m，x2+y2+z2＝n，xyzmn，求x2y2+y2z2+z2x2的值（结果可用含m、n的式子表示）．
20．（2024秋 泉州期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8，16，24都是“登高数”．
（1）特例感知：判断40是否为“登高数”，说明理由．
（2）规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为2k﹣1和2k+1，其中k是正整数，那么“登高数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明．
（3）拓展应用：求不超过2000的所有“登高数”的和．
2025年中考数学高频易错考前冲刺：因式分解
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A B D B D D C A
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 汕尾期末）已知a+b＝3，ab＝﹣2，则代数式a2b+ab2的值是（　　）
A．﹣6 B．1 C．0 D．﹣8
【考点】因式分解的应用；代数式求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】先把所求代数式提取公因式ab，再把a+b和ab的值代入进行计算即可．
【解答】解：∵a+b＝3，ab＝﹣2，
∴a2b+ab2的
＝ab（a+b）
＝﹣2×3
＝﹣6，
故选：A．
【点评】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法．
2．（2024秋 江汉区期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（　　）
A．a（x+y）＝ax+ay
B．
C．6x2﹣3x＝3x（2x﹣1）
D．x2﹣4+3x＝（x﹣2）（x+2）+3x
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据因式分解的定义逐项作出判断即可．
【解答】解：A．属于单项式乘以多项式，不符合题意；
B．不是整式，故没有化为整式的积的形式，不是分解因式，不符合题意；
C．提取公式将原式化为整式的积的形式，是分解因式，符合题意；
D．结果不是整式的积的形式，不是分解因式，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了分解因式的定义，熟练掌握分解因式的定义是解题的关键．
3．（2024秋 花都区期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．x2+x＝x（x+1） B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【解答】解：x2+x＝x（x+1）符合因式分解的定义，则A符合题意；
（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4是乘法运算，则B不符合题意；
（x+1）2＝x2+2x+1是完全平方公式，则C不符合题意；
x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1中等号右边不是积的形式，则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
4．（2024秋 大兴区期末）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4 B．5a2b﹣ab＝ab（5a﹣1）
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【解答】解：a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4中等号右边不是积的形式，则A不符合题意；
5a2b﹣ab＝ab（5a﹣1）符合因式分解的定义，则B符合题意；
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是乘法运算，则C不符合题意；
中不是整式，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．（2024秋 泉港区期末）下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（　　）
A．a2+9 B．a2﹣6a+9 C．﹣a2﹣9 D．a2﹣9
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可．
【解答】解：A、a2+9不能直接用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
B、a2﹣6a+9＝（a﹣3）2，能用完全平方公式分解因式，不能用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
C、﹣a2﹣9＝﹣（a2+9），不能直接用平方差公式分解因式，故此选项不符合题意；
D、a2﹣9，能直接用平方差公式分解因式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．
6．（2024秋 永春县期末）若多项式x2+mx﹣45可因式分解为（x+5）（x﹣9），则m的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣14 D．14
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】B
【分析】分解因式结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可．
【解答】解：根据题意得：x2+mx﹣45＝（x+5）（x﹣9）＝x2﹣4x﹣45，
则m＝﹣4．
故选：B．
【点评】此题考查了因式分解和多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2024秋 泉港区期末）因式分解整式4xy2﹣24xy+36x，结果正确的是（　　）
A．x（2y+6）2 B．2x（y﹣3）2 C．4x（y﹣6）2 D．4x（y﹣3）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】D
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：4xy2﹣24xy+36x
＝4x（y2﹣6y+9）
＝4x（y﹣3）2，
故选：D．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
8．（2024秋 南通期末）下列等式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）
A．x（x+y）＝x2+xy
B．x2+3xy+2＝x（x+3y）+2
C．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
D．2x（x﹣1）+3（x﹣1）＝（2x+3）（x﹣1）
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．
【解答】解：A、x（x+y）＝x2+xy，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、x2+3xy+2＝x（x+3y）+2，等式右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，是整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
D、2x（x﹣1）+3（x﹣1）＝（2x+3）（x﹣1），是因式分解，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键．
9．（2024秋 二七区期末）对于任意整数n，多项式（4n+5）2﹣9都能（　　）
A．被6整除 B．被7整除
C．被8整除 D．被6或8整除
【考点】因式分解的应用．
【答案】C
【分析】根据平方差公式和提公因式法可以解答本题．
【解答】解：∵（4n+5）2﹣9
＝[（4n+5）+3][（4n+5）﹣3]
＝（4n+8）（4n+2）
＝8（n+2）（2n+1），
∴对于任意整数n，多项式（4n+5）2﹣9都能倍8整除，
故选：C．
【点评】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是将题目中的式子进行因式分解，利用整除的性质解答．
10．（2024秋 红河县期末）下列因式分解正确的是（　　）
A．9﹣6x+x2＝（x﹣3）2
B．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2
C．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）
D．m4+1﹣2m2＝（2m2﹣1）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据完全平方公式、提公因式法和平方差公式分解因式判断即可．
【解答】解：A、9﹣6x+x2＝（x﹣3）2，符合题意；
B、a2+2ab﹣4b2不能因式分解，不符合题意；
C、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），不符合题意；
D、m4+1﹣2m2＝（m2﹣1）2＝（m+1）2（m﹣1）2，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法、公式法、十字相乘法分解因式是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 渝北区校级期末）因式分解：m2﹣12m+36＝ 　（m﹣6）2　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】（m﹣6）2．
【分析】利用公式法分解因式即可．
【解答】解：m2﹣12m+36
＝m2﹣2 m×6+62
＝（m﹣6）2，
故答案为：（m﹣6）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
12．（2024秋 綦江区期末）9x2﹣y2因式分解的结果为　（3x+y）（3x﹣y）　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（3x+y）（3x﹣y）．
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：根据平方差公式进行因式分解得：
9x2﹣y2＝（3x+y）（3x﹣y），
故答案为：（3x+y）（3x﹣y）．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键．
13．（2024秋 汉阳区期末）关于x的二次三项式x2+mx+n（m，n是常实数），现有以下结论：
（1）若m+n＝﹣1，则二次三项式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1）；
（2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2，则m＝6；
（3）若x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q），则2m+n＝﹣4；
（4）若m2﹣4n＜0则无论x取何实数，x2+mx+n总是正数．
其中正确结论的序号有 　（1）（3）（4）　．
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）（3）（4）．
【分析】运用因式分解和整式乘法知识进行逐一计算、变形、求解．
【解答】解：（1）∵m+n＝﹣1，
∴n＝﹣m﹣1，
∴x2+mx+n
＝x2+mx﹣m﹣1
＝x2﹣1+mx﹣m
＝（x+1）（x﹣1）+m（x﹣1）
＝（x﹣1）（x+1+m），
∴二次三项式x2+mx+n一定含有因式（x﹣1），
∴结论（1）正确；
（2）若n＝9，且x2+mx+n＝（x+p）2，
∴x2+mx+n＝x2+6x+9＝（x+3）2，
或x2+mx+n＝x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，
∴m＝6或m＝﹣6，
∴结论（2）不正确；
（3）∵x2+mx+n＝（x﹣2）（x+q）＝x2+（q﹣2）x﹣2q，
∴m＝q﹣2，n＝﹣2q，
∴2m+n＝2（q﹣2）﹣2q＝2q﹣4﹣2q＝﹣4，
即2m+n＝﹣4，
∴结论（3）正确；
∵x2+mx+n
＝x2+mxn
＝（x）2+n，
∵（x）2≥0，
∴当n0，
即m2﹣4n＜0时，
无论x取何实数，x2+mx+n总是正数，
∴结论（4）正确，
故答案为：（1）（3）（4）．
【点评】此题考查了因式分解的应用能力，关键是能准确理解并运用因式分解和整式乘法知识．
14．（2024秋 西山区期末）将m2+2m+1因式分解后的结果为 　（m+1）2　．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】（m+1）2．
【分析】利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：m2+2m+1＝（m+1）2，
故答案为：（m+1）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15．（2024秋 岳麓区校级期末）分解因式3a2﹣6a的结果是　3a（a﹣2）　．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】3a（a﹣2）．
【分析】直接提取公因式3a即可．
【解答】解：原式＝3a（a﹣2），
故答案为：3a（a﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式．熟练掌握因式分解是关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 延边州期末）如图，长方形的长为a，宽为b，已知长比宽多1，且面积为12，求下列各式的值：
（1）a2b﹣ab2；
（2）3a3b﹣6a2b2+3ab3．
【考点】因式分解﹣提公因式法；列代数式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）12；
（2）36．
【分析】（1）根据题意得a﹣b＝1，ab＝12，提公因式ab分解因式，然后再代入式子计算即可．
（2）先提公因式3ab，再利用完全平方公式分解因式，最后再代入式子计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得a﹣b＝1，ab＝12，
当a﹣b＝1，ab＝12时，
原式＝ab（a﹣b）
＝12×1
＝12；
（2）当a﹣b＝1，ab＝12时，
原式＝3ab（a2﹣2ab+b2）
＝3ab（a﹣b）2
＝3×12×12
＝36．
【点评】本题主要考查了因式分解以及已知式子的值求代数式的值．熟练掌握以上知识点是关键．
17．（2024秋 永春县期末）因式分解：
（1）2a2﹣4a；
（2）ax2+2axy+ay2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（1）2a（a﹣2）；
（2）a（x+y）2．
【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可；
（2）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝2a（a﹣2）；
（2）原式＝a（x2+2xy+y2）
＝a（x+y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．
18．（2024秋 汕尾期末）在学习用乘法公式分解因式时，我们知道把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做“完全平方公式”．老师布置了一道思维拓展题：代数式x2+2x+5有最大值还是最小值？并求出这个最值．小马的解题步骤如下：
解：x2+2x+5
＝x2+2x+1+4
＝（x+1）2+4
∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+4≥4．
∴x2+2x+5的最小值为4．
小马的解法及结果得到了老师的肯定，请根据上述内容完成以下问题：
（1）下列多项式中：①x2+2x﹣1；②x2﹣6x+9；③4x2﹣12x+9，是完全平方公式的有　②③　．（填序号）
（2）若x2+kx+16是一个完全平方公式，则k的值为　±8　（k为常数）．
（3）代数式4x2﹣12x+15有最大值还是最小值？并求出这个最值．
【考点】因式分解的应用；非负数的性质：偶次方；完全平方式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）②③；
（2）±8；
（3）最小值，6．
【分析】（1）根据题干信息直接作答即可；
（2）根据完全平方公式的特点解答即可；
（3）根据题目提供的方法配方成完全平方公式即可得答案．
【解答】解：（1）①x2+2x﹣1，不能因式分解，不是完全平方公式，
②x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，是完全平方式，
③4x2﹣12x+9＝（2x﹣3）2，是完全平方式，
故答案为：②③；
（2）x2+kx+16＝x2+kx+42，
∵x2+kx+16是一个完全平方式，
∴k＝±2×1×4＝±8，
故答案为：±8；
（3）4x2﹣12x+15
∵，
∴，
∴4x2﹣12x+15有最小值，最小值为6．
【点评】本题考查的是利用完全平方式的特点及其非负性求解代数式的最值，掌握利用完全平方式的特点把代数式变形是解本题的关键．
19．（2024秋 永春县期末）综合实践．
活动主题：借助图形直观感受数与形之间的关系
初步应用
（1）如图，请写出一个学过的公式：　（a+b）2＝a2+2ab+b2　（用a，b表示）．
操作探究 （2）仿照如图，构造图形并计算：（a+b+c）2．
迁移应用 （3）已知x、y、z满足x+y+z＝m，x2+y2+z2＝n，xyzmn，求x2y2+y2z2+z2x2的值（结果可用含m、n的式子表示）．
【考点】因式分解的应用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，图形见解析过程；
（3）．
【分析】（1）用两种不同的方法分别求出图形的面积即可解决问题．
（2）根据所给图形及代数式，构造出符合要求的图形即可．
（3）结合（2）中发现的结论进行计算即可．
【解答】解：（1）由所给图形可知，
整个图形的面积可表示为：（a+b）2，还可表示为：a2+2ab+b2，
所以我发现：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（2）构图如下：
所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（3）由（2）知
（x+y+z）2＝x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz．
又因为，
所以．
又因为（xy+xz+yz）2＝x2y2+x2z2+y2z2+2x2yz+2xy2z+2xyz2，
所以x2y2+x2z2+y2z2＝（xy+yz+xz）2﹣2xyz（x+y+z）
．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用，能用两种不同的方法表示同一个图形的面积及巧用整体思想是解题的关键．
20．（2024秋 泉州期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8，16，24都是“登高数”．
（1）特例感知：判断40是否为“登高数”，说明理由．
（2）规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为2k﹣1和2k+1，其中k是正整数，那么“登高数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明．
（3）拓展应用：求不超过2000的所有“登高数”的和．
【考点】因式分解的应用．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）40是“登高数”，理由见解析部分；
（2）“登高数”都能被8整除，理由见解析部分；
（3）251000．
【分析】（1）根据40＝112﹣92，由“登高数”的定义即可进行判断；
（2）根据题意，可得（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，证得结论；
（3）由题意，可得到不超过2000的“登高数”有250个，这250个数，因为8+2000＝16+1992＝24+1984……利用“首尾相加”的方法，得到125个和是2008的数，从而得到结果．
【解答】解：（1）40是“登高数”，理由如下：
∵40＝112﹣92，
∴40是“登高数”；
（2）“登高数”都能被8整除，理由如下：
∵设两个连续正奇数为2k﹣1和2k+1，其中k是正整数，
∴（2k+1）2﹣（2k﹣1）2
＝（2k+1+2k﹣1）（2k+1﹣2k+1）
＝4k×2
＝8k，
∴“登高数”都能被8整除；
（3）由（2）知“登高数”表示为8k，其中k是正整数，
∵8k≤2000，
∴k≤250，
∴不超过2000的“登高数”有250个，分别为8，16，24，32……1984，1992，2000，
∴这些“登高数”的和为125×（8+2000）＝251000．
【点评】本题考查了新定义“登高数”，涉及到平方差公式的应用，正确理解新定义是解本题的关键．
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