广东省广州市执信中学2024 2025学年高三下学期4月月考数学试题
一、单选题(本大题共8小题)
1.设集合,则中元素的个数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
2.若直线:与直线:平行,则( )
A.4 B. C.1或 D.或4
3.锐角的内角的对边分别为,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数,这些技能不仅是周朝贵族教育的重要组成部分,也对后世的教育体系产生了深远影响.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动,一天连排六节,每艺一节,则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有( )
A.432种 B.486种 C.504种 D.540种
5.已知等差数列中,,,则数列的前51项和为( )
A.26 B. C.51 D.
6.已知多面体,为边的中点,四边形为矩形,且,,,当时,多面体的体积为( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的高阶导数为,即对函数连续求阶导数.例如,则,,,,,…,若,则的展开式中的系数是( )
A.360 B.280 C.255 D.210
8.已知是椭圆的左、右焦点,为上第一象限内一点,的平分线经过抛物线的焦点,且与轴交于点,则( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共3小题)
9.设样本空间,且每个样本点是等可能的,已知事件,则下列结论正确的是( )
A.事件A与B为互斥事件 B.事件两两独立
C. D.
10.已知函数,则下列命题中正确的是( )
A.0是的极小值点
B.当时,
C.若,则
D.若存在极大值点,且,其中,则
11.如图,在棱长为2的正方体中,空间中的点满足,且,则下列说法正确的是( )
A.若,则
B.若,则的最大值为
C.若,则平面截该正方体的截面面积的最小值为
D.若,则平面与平面夹角的正切值的最小值为
三、填空题(本大题共3小题)
12.已知为虚数单位,若是纯虚数,则实数 .
13.若,则实数的值为 .
14.已知函数,,有恒成立,则的取值范围是 .
四、解答题(本大题共5小题)
15.在中,角的对边分别为,已知.
(1)若,求;
(2)若依次成等差数列,求面积的最大值.
16.已知函数,.
(1)若,求曲线的斜率为1的切线方程;
(2)若不等式没有整数解,求实数的取值范围.
17.如图,在多面体中,为正三角形,平面,平面,平面,,,分别为与的重心.
(1)求证:,且平面平面;
(2)若,,直线与平面所成的角为,求到平面的距离.
18.已知双曲线(,)的左,右顶点分别为,,过C的右焦点的直线与的右支交于两点.当与轴垂直时,.
(1)求C的方程;
(2)直线,与直线的交点分别为,为的中点.
(i)求的最小值;
(ii)证明:点关于直线对称的点在上.
19.若数列满足,则称数列为项数列,由所有项数列组成集合.
(1)若是12项0数列,当且仅当时,,求数列的所有项的和;
(2)从集合中任意取出两个数列,记.
①求随机变量的分布列,并证明:;
②若用某软件产生项数列,记事件“第一次产生数字1”,“第二次产生数字1”,且.若,比较与的大小.
参考答案
1.【答案】B
【详解】由,
所以中有三个元素,
故选B.
2.【答案】D
【详解】若直线:与直线:平行,
则,整理可得,解得或,
若,直线:与直线:平行,符合题意;
若,直线:与直线:平行,符合题意;
综上所述:或.
故选D.
3.【答案】C
【详解】因为是锐角三角形,所以,
若,则,即,
又在上单调递增,所以成立.
若,且,则,所以成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选C.
4.【答案】A
【详解】当“礼”与“乐”相邻时,有种;
当“礼”与“乐”中间插一艺时,有种;
所以“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有种,
故选A.
5.【答案】D
【详解】因为,即,可得,
设等差数列的公差为,
则,解得,
设,
则,且
所以数列的前51项和为
.
故选D.
6.【答案】A
【详解】在矩形中,有,
因为平面,
所以平面,则平面,
因为平面,所以
在中,,,则,
又因为为边的中点,所以,
易知,
因为
所以,则,因为,
则,
在中,,
则矩形的面积为.
因为平面,
所以平面,所以多面体的体积为:
.
故选A.
7.【答案】D
【详解】因为
所以,
继续求二阶导数得:,
继续求三阶导数得:
,
……
所以.
所以的系数为.
故选D.
8.【答案】D
【详解】因为椭圆,所以,
所以,,,离心率.
设抛物线的焦点为,由题意得,
设,则
由角平分线定理得,所以,
所以,即
所以,所以,
所以
由题意,得∥,所以,解得.
将代入,得,解得,
所以.
故选D.
9.【答案】BD
【详解】对于选项A,因为,所以事件与不互斥,故A错误;
对于选项B,,
,故B正确;
对于选项C,交集为,则,故C错误;
对于选项D,,故D正确.
故选BD.
10.【答案】ACD
【详解】由题意可得,
令,当时,得或,
对于A,当时,令,解得或,则在和上单调递增,
令,解得,则在上单调递减,
所以在处取得极小值,
同理,当时,在和上单调递减,在上单调递增,
所以在处取得极小值;
当时,,在上单调递减,在上单调递增,
所以在处取得极小值,故A正确;
对于B,当时,在上单调递减,
又,,所以,故B错误;
对于C,若,则,则
.
所以,,则,故C选项正确.
对于D,若存在极大值点,则,即,
因为,所以,
所以,,
即,
又,所以,故D正确.
故选ACD.
11.【答案】ABD
【详解】在棱长为2的正方体中,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
由,得,即点,
对于A,,则点,,,
,因此,A正确;
对于B,,则,即,
令,则,
其中锐角由确定,则当时,的最大值为,B正确;
对于C,,在边上,且,
因平面平面,设平面平面,
而平面平面,则,同理,
因此是平面截该正方体的截面,
点到直线的距离
,当且仅当时取等号,
,C错误;
对于D,因,
设平面的法向量,则,
令,得;
又,因,则,
令平面的法向量,则,
令,得.
设平面与平面的夹角为,
则,,
当时,,当时,,
当且仅当或时取等号,因,此时最小,,,
因此平面与平面夹角的正切值的最小值为,D正确.
故选ABD
12.【答案】
【详解】因为,
所以,解得.
13.【答案】
【详解】因为,
所以
.
14.【答案】
【详解】因为,所以,
当时,那么函数恒成立,
所以要使,有恒成立,
则在恒成立,
又函数在上单调递减,
根据与一定存在交点可知存在零点,
所以存在,使得时,,时,,
不合题意,舍去.
当时,设为切线,设切点为,
则,所以,那么,,
①当时,存在两个零点,
令,那么,
所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
故,
当时,,此时无法满足题意,舍去;
②当时,由①可知,,所以;
③当时,恒成立,要使得恒成立,
则只需恒成立,由①得:,所以,
即,综上:的取值范围是:.
15.【答案】(1)
(2).
【详解】(1)由及正弦定理,得,
因为,所以 ,
由余弦定理得,代入得,
解得或(舍)
(2)因为依次成等差数列,所以 ,
由余弦定理得,因为,
所以,
所以,且,
所以的面积,
当且仅当时,等号成立,所以面积的最大值为.
16.【答案】(1)
(2)
【详解】(1)当时,,
则,即,
令,则,
令,得,令,得,
所以,故有且仅有,,
此时,所以曲线的斜率为1的切线方程为在处的切线方程,
该切线方程为.
(2)由得,即,
所以没有整数解,
设,,
设,,所以单调递增,
且,,
所以存在唯一的,使,即,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
又,所以当时,,
所以当时,没有整数解,即没有整数解.
17.【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】(1)延长交于,延长交于,连接,
由,分别为与的重心,得,分别为对应线段的中点,
则,由平面,平面,平面,得,
则,点四点共面,由,,
得,则;
由平面,平面,得,
而为正三角形,即,又平面,
因此平面, 而平面,则平面平面,
所以平面平面.
(2)由,平面,得平面,而平面,
则,,而,则直线两两垂直,
以为原点,以直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图,
过作于,则,由平面,平面,
得平面平面,直线是在平面内的射影,
因此为直线与平面所成的角,,,
而,则,,又,则,连接,
,,
设平面的法向量为,则,令,得,
所以到平面的距离为.
18.【答案】(1);
(2)(i);(ii)证明见解析.
【详解】(1)对双曲线,令,得,
∴当l与x轴垂直时,.
由得,即,故,
∵,∴,
∴C的方程为.
(2)
(i)①不合题意.
②设,
联立得,,
∴,,解得,
∵,∴直线方程为:,故,同理,
∴
.
∴当时,.
(ii)由,得,
∴,直线的方程为.
设点关于直线的对称点为,则,
解得,,即.
∵,由点在直线上可得
∴点在直线上,故点关于直线对称的点在l上.
19.【答案】(1)0.
(2)①分布列见解析,证明见解析;②
【详解】(1)因为是12项数列,当且仅当时,,
所以当和时,.设数列的所有项的和为S,
则
,所以数列的所有项的和为0.
(2)①因为数列是从集合中任意取出两个数列,所以,数列为项数列所以,的可能取值为:当时,数列中有项取值不同,有项取值相同,
又因为集合中元素的个数共有个,
所以,,
所以,的分布列为:
1 2
因为,
所以,
②由题知,所以,,
所以,,
所以,即,
所以,,即