广西2025届高中毕业班4月适应性测试数学试卷
一、单选题(本大题共8小题)
1.已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数满足,则( )
A. B. C. D.
3.在公差不为0的等差数列中,若是与的等差中项,则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知向量,,若,则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知,,,则,,的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会,社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道,且每个场地至少安排一人,则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为( )
A.12 B.18 C.24 D.32
7.已知抛物线:的焦点为,双曲线:经过点,且双曲线与抛物线交于,两点,若为等腰直角三角形,其中为坐标原点,则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.如图,在棱长为的正方体中,点是平面内的一个动点,当时,点的轨迹长度是( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共3小题)
9.某超市在两周内的车厘子每日促销量如下图,根据此折线图,下面结论正确的有( )
A.这两周的日促销量低于200盒的比例低于50%
B.这两周的日促销量的众数是214
C.这两周的日促销量的极差是195
D.这两周的日促销量的第30百分位数是155
10.在平面直角坐标系中,曲线上任意一点到点的距离等于1,若直线与曲线交于不同的两点,,则( )
A.当时, B.线段中点的轨迹长度为
C.的取值范围为 D.
11.已知首项为1的正项数列满足,若数列前项和为,且,则下列结论正确的有( )
A.是等差数列 B.
C. D.
三、填空题(本大题共3小题)
12.圆锥的轴截面是边长为的等边三角形,则圆锥的体积为 .
13.已知函数,若函数为偶函数,则的最大负值是 .
14.设函数,若有两个极值点,,且,则的最小值是 .
四、解答题(本大题共5小题)
15.已知的内角,,的对边分别为,,.已知.
(1)求角;
(2)若,,求边.
16.如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,,,,为线段的中点.
(1)证明:直线平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
17.已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)对任意的,当时,都有,求实数的取值范围.
18.已知点和直线:,点到的距离,记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点作斜率不为0的直线与曲线交于,不同的两点,再过点作直线的平行线与曲线交于不同的两点,.
①证明:为定值;
②求面积的取值范围.
19.我国广西某自然保护区分布着国家一级保护动物白头叶猴,为了研究空气质量与白头叶猴分布数量的相关性,将该保护区分为面积大小相近的多个区域,用简单随机抽样的方法抽取其中20个区域进行编号,统计抽取到每个区域的某空气指标和区域内白头叶猴分布的数量,得到数组.已知,,.
(1)求样本的相关系数;
(2)假设白头叶猴的寿命为随机变量(可取任意正整数).研究人员统计大量数据后发现:对于任意的,寿命为的样本在寿命超过的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同,均等于0.05,这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.
①求的表达式;
②推导白头叶猴寿命期望的值.
附:相关系数.
参考答案
1.【答案】B
【详解】由,解得,所以,
因为,所以.
故选B.
2.【答案】C
【详解】设复数,则其共轭复数,
所以,
则,解得.所以.
故选C.
3.【答案】A
【详解】因为在公差不为0的等差数列中,是与的等差中项,
所以,所以,
所以,
当且仅当,即,时等号成立,
所以的最小值为.
故选.
4.【答案】D
【详解】由,则,解得,即,
所以在上的投影向量为.
故选D.
5.【答案】B
【详解】;
所以
故选B.
6.【答案】C
【详解】当甲单独一人进行现场报道时,甲有种选择,再将乙、丙、丁分配到其他两个地方,
情况数为,则此时总的情况数为;
当甲与人组队进项现场报道时,先从乙、丙、丁中选出一人与甲组队,则情况数为,
再在跳高、跳远选一个去进行现场报道,则情况数为,
最后剩下的两人安排去其他两个地方,则情况数为,
所以此时总的情况数为;
综上,符合题意的情况数为.
故选C.
7.【答案】C
【详解】抛物线:的焦点为,
双曲线:经过点,即点为双曲线的上顶点,
可得,即.
双曲线与抛物线交于,两点,且为等腰直角三角形,
设点,代入抛物线方程,得.
将点代入双曲线方程,,化简得.
则,所以渐近线方程为.
故选C.
8.【答案】D
【详解】
设平面,连接,,,,
因为,,
所以三棱锥为正三棱锥,
因为平面,平面,所以,
因为,,所以平面,
又平面,所以,
同理可证,又,平面,
所以平面,则为正三角形的中心,
则,所以,
因为,所以,
因为平面,平面,所以,
即,,
因为,即,
因为,解得,所以点的轨迹是半径为的圆,
所以点的轨迹长度是.
故选.
9.【答案】BC
【详解】对于A,日促销量低于200盒的有:80,83,138,155,157,165,179共7个,
所以日促销量低于200盒的比例为50%,A不正确;
对于B,由图中数据可知众数是214,B正确;
对于C,由图中数据可知极差是,C正确;
对于D,由知,日促销量的第30百分位数是从小到大排列的第5个数据,即157,D不正确.
故选BC.
10.【答案】ABD
【详解】由题意,曲线为圆,如图:
对于选项A,圆的圆心坐标为,半径为,
若直线,圆心C到直线的距离为,
则,故A正确;
对于选项B,如图线段中点M满足,
所以M的轨迹是以OC为直径的圆圆C内部部分,
所以线段中点的轨迹长度为,故B正确;
对于选项C,,因为点A,B不重合,所以,故C错误;
对于选项D,,故D正确.
故选ABD.
11.【答案】ACD
【详解】对于A,因为,所以,即是等差数列,A正确;
对于B,设的公差为,则,即,
,
所以,
因为,所以,解得,所以,,B不正确;
对于C,由B可知,C正确;
对于D,令,则,
即为增函数,所以,即,
所以,
又,所以,D正确.
故选ACD.
12.【答案】
【详解】设圆锥的底面半径为,母线为,高为,
因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形,所以,,,
则,
则这个圆锥的体积为.
13.【答案】
【详解】由,则,
由函数为偶函数,则轴为该函数图象的对称轴,
即,,化简可得,,
当时,取得最大负值为.
14.【答案】
【详解】定义域为,,
有两个极值点等价于在上有两个不等实根,
,,,,
;
设,
则,
在上单调递减,,
即,
的最小值为.
15.【答案】(1)
(2)
【详解】(1)由,根据正弦定理,则,
由,则,
化简可得,易知,则,解得.
(2)由,化简可得,解得,
由余弦定理可得
,解得.
16.【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】(1)连接 BD 交 AC 于点 H,连接 HE.
因为四边形 ABCD 是正方形,根据正方形对角线性质,可知 H 是 BD 的中点.
又因为 E 为线段 PD 的中点,在△PBD 中,可得.
由于 平面 ACE,平面 ACE,所以直线 平面 ACE.
(2)因为底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,所以 AB⊥AD.
又因为 AB⊥PD,AD∩PD=D,且 AD、PD 平面 PAD,所以 AB⊥ 平面 PAD.
在平面 PAD 内作 Ax⊥AP,分别以 Ax,AP,AB 为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系 A xyz.
又底面 ABCD 为边长为 2 的正方形,,则 ,
,;
;
设平面 PAC 的一个法向量为,则,即,
令,得,
设直线 AE 与平面 PAC 所成角为 θ,,
即直线 AE 与平面 PAC 所成角正弦值为.
17.【答案】(1)在上单调递增,在上单调递减.
(2)
【详解】(1)解:函数定义域为,.
当时,由得,由得.
此时函数的增区间为,减区间为.
综上所述,当时,函数的增区间为,减区间为.
(2)由,化简为,
即.
令,
因为,则,所以函数在上单调递增,
故在上恒成立,即在上恒成立,
设,,在单调递增,
所以.
综上所述,实数的取值范围为.
18.【答案】(1)
(2)①证明见解析;②
【详解】(1)设,由题意,
,整理可得.
(2)设直线的方程为,则直线的方程为.
联立,得,
可得.
设,则.
联立,得,,
设,则.
①证明:因为,所以
,故为定值.
②因为的面积,
,
.
设,则.
由对勾函数的性质可得,所以.
19.【答案】(1)0.75
(2)①;②20
【详解】(1)
(2)①已知对于任意的,,
,
, ①
当时,, ②
两式相减可得:,,
又,所以
②设,
,
两式相减得:
,所以,
所以白头叶猴寿命期望.