湖南省株洲市九方中学2024-2025学年高三下学期调研考试 数学试题（含详解）

湖南省株洲市九方中学2024 2025学年高三下学期调研考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．（ ）
A．2-i B．1+2i C．1-i D．-2-i
2．已知双曲线与双曲线的离心率相同，则（ ）
A． B．2 C． D．8
3．已知向量，满足，，若在上的投影向量为，则（ ）
A． B． C． D．
4．在二项式 的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．对数螺线在自然界中广泛存在，比如鹦鹉螺的外壳就是精度很高的对数螺线，向日葵的种子排列方式、松子在松果上的排列方式都和对数螺线高度吻合.已知某种对数螺线可以用表达，其中，，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知圆台的上 下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．将的图象向左移动个单位长度后关于原点对称
C．在上恰有一个极值点
D．函数有5个零点
10．已知数列是等比数列，前n项积为，则（ ）
A． B．
C．若，则 D．是等比数列
11．记函数的零点为，则（ ）
A． B．
C．当时， D．为函数的极小值点
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 ．
13．已知其等号右侧展开式共有3 类非同类项，其等号右侧展开式共有6类非同类项，则的展开式共有 类非同类项.
14．已知抛物线的焦点为，第一象限与第四象限内的点M，N在C上，且则的面积为25时， .
四、解答题（本大题共5小题）
15．甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为.
(1)求甲连续打四局比赛的概率；
(2)求在前四局中甲轮空两局的概率；
(3)求第四局甲轮空的概率.
16．已知锐角的三个内角，所对的边为，.
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围.
17．2024年5月某数据挖掘与分析机构发布《2024年中国国货消费品牌500强》，统计榜单前20名品牌所在行业，得到如下频数表.
行业 汽车出行 3C数码 家用电器 食品饮料 生鲜水果 珠宝文玩
频数 7 4 4 3 1 1
(1)从表中家用电器、生鲜水果、珠宝文玩行业的6个品牌中随机抽3个，求抽取的3个品牌恰好来自2个不同行业的概率；
(2)从来自汽车出行、3C数码及家用电器的15个品牌中抽取4个品牌，且来自3C数码及家用电器的品牌抽取的数目相同，记该数目为X，求X的分布列与期望.
18．已知椭圆的离心率为C上一动点P到右焦点F的距离的最小值为
(1)求C的方程；
(2)若直线PF的斜率为1，且PF与C交于P，Q两点，求；
(3)若原点O到直线l的距离为，且直线l与C交于A，B两点，且求四边形的面积.
19．给定平面上一些点的集合D及若干个点若对于为定值，我们就称为一个稳定点集.
(1)判断集合与点构成的是不是稳定点集，并说明理由；
(2)判断集合以及点构成的是不是稳定点集，并说明理由；
(3)若集合及单位圆中的内接2024边形的顶点，，，构成的是一个稳定点集，求的值.
参考答案
1．【答案】D
【详解】.
故选D.
2．【答案】A
【详解】解：因为双曲线，
所以，则，，
又双曲线，
所以，则，
因为双曲线与双曲线的离心率相同，
所以，解得，则，
故选A.
3．【答案】A
【分析】根据投影向量的概念，结合向量夹角的计算公式即可得解.
【详解】由题意知，得，
则，，.
故选A.
4．【答案】C
【解析】在二项式 的展开式中，二项式系数的和为 ，所以 .
则 即 ，其展开式的通项为 , ,1,2, ,8，
故展开式共有9项，当 ,4,8时，展开式为有理项.
把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，
即把其他的6个无理项先排列，再把这三个有理项插入其中的7个空中，方法共有 种,
故有理项都互不相邻的概率 ,故选 .
5．【答案】C
【详解】因为内层函数在上单调递增，且，则外层函数为增函数，
由复合函数法可知在上单调递增，
而，，，故.
故选C.
6．【答案】B
【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图：
的上 下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6，
则，解得，
故所求体积之比为
故选B

7．【答案】D
【详解】因为，，，
，故，且，故，
故.
故选D.
8．【答案】B
【详解】，
时，，当时，，递减，时，，递增，
时，，时，，是极小值，
时，，在上是增函数，
时，，时，，且，
作出函数的大致图象，如图，

由图象知时，无实解，时，有一解，时，有两解，时，有三解，
方程有四解，
则方程有两解且，
记，
则，解得，
故选B．
9．【答案】ACD
【详解】易知的最小正周期为，故A正确；
将的图象向左移动个单位长度后得到，其图象关于轴对称，故B错误；
在上单调递减，在上单调递增，
故在上恰有一个极小值点，故C正确；
令，则，
在同一直角坐标系中分别作出，的大致图象如下所示，
观察可知，他们有5个交点，即有5个零点，故D正确.
故选ACD.

10．【答案】ACD
【详解】由等比中项的性质，易得，A正确；
由，得，B错误；
由，得，所以，C正确；
设的公比为，因为，所以是常数，
所以是等比数列，D正确.
故选ACD.
11．【答案】BC
【详解】依题意，，故，即，故A错误；
易知当时，，且在上单调递增，
而，，故，故B正确；
令，则，
故当时，，则在上单调递增，
故，则，故C正确；
，
假设为极小值点，则有，
即，
将，代入可得，
因为，上述等式不成立，故D错误.
故选BC.
12．【答案】或．
【详解】
当,
当.
13．【答案】21
【详解】由排列组合知识与类比推理可得，
的展开式共有类非同类项.
14．【答案】15
【详解】由题意得，设，
设直线的方程为，与联立得，
则，，，，
.
由，得，
即，
的面积为
，
所以，，.
15．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，
所以甲连续打四局比赛的概率；
（2）在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，
故在前四局中甲轮空两局的概率；
（3）甲第四轮空有两种情况：
第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，
第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，
第1种情况的概率；第2种情况的概率；
由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由
可得，
即,
由正弦定理可得，即，
所以，
因为，所以.
（2）解：应用正弦定理可得，设，
因为，，为锐角三角形，
所以，所以
所以
因为，
所以，
所以，
即的取值范围为.
17．【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）从这6个品牌中随机抽3个，抽取的3个品牌恰好来自2个不同行业，
抽取结果数为，
所以所求概率为.
（2）的取值依次为0，1，2，
从15个品牌中抽取4个品牌，且来自3C数码及家用电器的品牌抽取的数目相同的总数为，
，
，
，
所以的分布列为
0 1 2
.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）依题意，
解得故，
故的方程为.
（2）依题意，，直线，
联立则，
设，的横坐标分别为，，不妨设，，
故.
（3）当直线的斜率存在时，设直线，由原点到直线的距离为1得，化简得.
设，，则，
联立得，
因为在椭圆上，
所以，即，
解得，.
此时弦长，
因为到直线的距离，所以平行四边形的面积.
当直线的斜率不存在时，不妨设直线，则，
所以不在椭圆上，不合题意.
综上所述，四边形的面积为.
19．【答案】(1)不是，理由见解析；
(2)是，理由见解析；
(3)0.
【详解】（1）不是稳定点集，理由如下：
取，则；
取，则，
故不是稳定点集.
（2）是稳定点集，理由如下：
设，，则，
则
，为定值，
故是稳定点集.
（3）因为是稳定点集，设是单位圆上任意一点，所以为定值，
所以，
因为，故，
因为为定值，所以为定值，
因为是单位圆上任意一点，所以，故.