山东省临沂第一中学2024-2025学年高三下学期4月月考 数学试题（含详解）

山东省临沂第一中学2024 2025学年高三下学期4月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．设全集，集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足（是虚数单位），则复数的虚部是（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．已知向量，满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，则（ ）
A．21 B．64 C．78 D．156
5．曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．1
6．已知的半径为，直线恒过点，且成等差数列，过点作的切线，则点到切点的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．只用1，2，3这三个数字组成一个五位数，规定这三个数字必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的五位数共有（ ）
A．30个 B．36个 C．42个 D．48个
8．已知函数，对任意，都有，且存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．一组样本数据的平均数为，标准差为s．另一组样本数据，的平均数为，标准差为s．两组数据合成一组新数据，新数据的平均数为，标准差为，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的导函数为，下列判断正确的是（ ）
A．函数关于中心对称，函数关于轴对称
B．在复数范围内方程有三个根，且三个根的和为3
C．时，
D．四次函数必为轴对称函数
11．如图，在直棱柱中，，是中点.过作与平面平行的平面，若平面平面，则（ ）
A．四点共面
B．棱柱没有外接球
C．直线所成的角为
D．四面体与四面体的公共部分的体积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 .
13．无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意，，则k的最大值为 .
14．已知的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
(1)求角A的大小；
(2)若边上的中线，求的面积.
16．如图，四棱锥中，平面平面，为棱上一点.

(1)证明：；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值.
17．已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，求面积的最大值.
18．深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览海滨栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率.
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分的概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.
19．已知函数.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；
(2)设函数，给出的定义域，并证明：曲线是轴对称图形；
(3)证明：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】由，即，解得，所以，
又，所以，
则.
故选C.
2．【答案】B
【详解】，所以复数的虚部是2.
故选B.
3．【答案】A
【分析】根据向量模长公式及向量垂直的表示可列方程，解方程可得解.
【详解】由已知，即，
又，则，
解得，，
故选：A.
【方法总结】求向量的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
4．【答案】A
【详解】解：的展开式的通项为，，
所以.
故选A.
5．【答案】A
【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为
故选A.
6．【答案】A
【详解】因为成等差数列，
所以，
代入方程可得，
令，解得，
故直线恒过点，即圆心，
故，
设切点为，则，
故．
所以点到切点的距离为.
故选A.
7．【答案】C
【详解】同一个数字出现3次时，其他两个数字进行插空，
故有种情况，
有两个数字出现两次，第三个数字出现1次时，此时有种情况，
以两个1，两个2，一个3为例，
若两个1出现在万位和百位，此时2可以在千位和十位或千位和个位，有2种情况，
若两个1出现在万位和十位，此时2可以在千位和个位或百位和个位，有2种情况，
若两个1出现在万位和个位，此时2只能在千位和十位，有1种情况，
若两个1出现在千位和十位，此时2可以在万位和百位或万位和个位或百位和个位，有3种情况，
若两个1出现在千位和个位，此时2可以在万位和百位或万位和十位，有2种情况，
若两个1出现在百位和个位，此时2可以在万位和十位或千位和十位，有2种情况，
故有种情况，
所以，共有种情况，
综上，这样的五位数共有种.
故选C.
8．【答案】C
【详解】因为，则在区间恒成立，
即在区间上单调递增，所以，当时，，
令，由题有对恒成立，
则，又的对称轴为，
所以，得到，
解得.
又当时，，即在区间上单调递减，
所以当时，，
又存在，使得，所以，
得到，解得或，
综上，实数的取值范围是.
故选C.
【点晴】关键点点晴，本题的关键在于利用导数，求出在区间和上单调性，进而得到在这两个区间上的取值范围，从而将问题转化成二次函数在区间上恒成立和有解问题.
9．【答案】BC
【详解】由题意，
，
同理
两式相加得，
，
所以，．
故选BC．
10．【答案】ABC
【详解】对于选项A：因为，
可知函数关于中心对称，
由，可得，
则，
所以函数关于轴对称，故A正确；
对于选项B：因为，
设在复数范围内方程有2个根为，则，
可知在复数范围内方程有三个根为，则
所以三个根的和为3，故B正确；
对于选项C：若，则，
可知函数在内单调递减，
且，可得，所以，故C正确；
对于选项D：例如，
假设为轴对称函数，则存在，使得，
因为，
可得，方程组无解，
即假设不成立，可知不为轴对称函数，故D错误；
故选ABC.
11．【答案】ABD
【详解】在直棱柱中，平面，又，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
对于A，，即，又直线，
因此，即四点共面，A正确；
对于B，在梯形中，，则为锐角，，
因此，梯形无外接圆，则棱柱没有外接球，B正确；
对于C，平面，平面，平面平面，
则，令，连接，平面平面，同理，
因此直线所成的角等于直线所成的角，由，得，
则，，，
直线所成的角不为，C错误；
对于D，令，
则点是直棱柱所在侧面矩形的中心，
，四边形是平行四边形，
平面，则平面，同理平面，而，
平面，因此平面平面，同选项C得，
而，则四边形为平行四边形，，则平面，
平面，四边形的面积，
四面体与四面体的公共部分为八面体，
所以四面体与四面体的公共部分的体积为，D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】 因为，所以，
所以.
13．【答案】4
【详解】试题分析：当时，或；当时，若，，于是，
若，，于是，
若，，于是，
若，，于是，
所以当时，，
所以要涉及最多的不同的项数列可以为：2,1， 1,0,0…，从而可看出.
【名师点睛】从研究与的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列由k个不同的数组成”和“k的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.
14．【答案】
【详解】由，得到，所以，
则，
又，所以，
当且仅当，即时取等号，
又，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
【点晴】关键点点晴，本题的关键在于将条件变形为，再利用基本不等进行求解.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解；因为，
所以，
所以，
即 ，
因为 ，
所以 ，
所以；
（2）在中，由余弦定理得，
即①，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因为，
两式相加得②，
由①②得，
所以.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取中点，连接
平面平面，平面平面平面
平面
平面

，即
又平面平面
平面
（2）连接，设，连接
平面平面，平面平面
，易知
取中点，连接，则两两互相垂直.
分别以为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系

则
，
，
设平面的一个法向量
则即令，则
设直线与平面所成角为，则
即直线与平面所成角的.正弦值为
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）依题意，右焦点，则左焦点，而，轴，
则，于是，
解得，，所以椭圆的方程为.
（2）依题意，直线不垂直于轴，设其方程为，
由消去并整理得，
，解得，
设，则
则面积，
令，则，且，
，当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为.
18．【答案】(1)分布列见解析，
(2)
(3)是，
【详解】（1）依题意，随机变量的可能取值为，
则，，
所以的分布列如下表所示：
2 3 4
数学期望为.
（2）由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，
于是，令数列的前项和为，
则，
于是，
两式相减得
，因此，
所以.
（3）在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分，
记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件，
则，，，即，
由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，
，因此，
随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于，
所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数.
19．【答案】(1)
(2)函数的定义域为，证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，
则，
由题意可知，，解得.
（2），
对于函数，
有，解得，即函数的定义域为，
对于函数，则，可得，解得或，
所以，函数的定义域为，故该定义域关于直线对称，
因为
，
故函数的图象关于直线对称，所以曲线是轴对称图形.
（3）当时，，
则，令，
则，
当时，，则函数在上为增函数，此时，，
即，所以，函数在上为增函数，此时，，
取，可得，
于是，即，
所以，，
故.