山东省泰山教育联盟2025届高三下学期4月联考 数学试卷（含详解）

山东省泰山教育联盟2025届高三下学期4月联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，集合，则为（ ）
A． B． C． D．
2．复数满足（为虚数单位），则复数的模等于（ ）
A．5 B． C． D．
3．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（）
A． B．
C． D．
4．已知函数的图象是下列四个图象之一.且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知椭圆的左 右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若在时恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知中，为边上的一点，为上的一点，且则有（）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某企业为了研究物流成本和企业利润的数据关系，记录了1月到8月的物流成本（单位：万元）和企业利润（单位：万元）的数据，已知其中一组数据为且，根据最小二乘法公式求得经验回归方程为，则（ ）
A．若企业9月份物流成本预计为85万元，预测9月企业利润约为117.7万元
B．1月到8月企业的月平均利润约为115万元
C．数据对应的残差为
D．删除一组数据后，重新求得的回归直线的斜率变小
10．我校举办清明诗会，在抽奖环节中，抽奖箱中放有分别写有“我”“是”“中”“国”“人”字样的五张卡片，甲，乙，丙三人每人抽一张，抽后不放回.抽奖规则如下：若抽到写有“我”或“是”字的卡片则不中奖，若抽到写有“中”字的卡片，则该同学中一等奖；若抽到写有“国”或“人”字的卡片，则抛掷一枚质地均匀的硬币，若硬币国徽一面朝上，则该同学中二等奖，否则不中奖.则下面说法正确的是（ ）
A．每位同学中一等奖的概率为
B．甲同学中二等奖的概率为
C．已知甲同学中奖，则其中一等奖的概率为
D．三位同学都中奖的概率为
11．在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（）
A．若，则的轨迹长度为
B．与所成角的最大值为
C．若三棱锥的体积为定值，则
D．若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知的展开式中项的系数为60，则实数的值为 .
13．若函数与直线相切，则实数的值为 .
14．对有个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和（m是给定的正整数，且），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则 ；所有的和等于 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．记的内角所对的边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求外接圆面积的最小值.
16．已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
17．已知双曲线，左 右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点.
(1)若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标；
(2)连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围.
18．某学校有甲、乙两个图书馆.假设同学们可以任意选择其中一个图书馆借阅，也可选择不借阅，一天最多借阅一次，一次只能选择一个图书馆.若同学们每次借阅选择去甲或乙图书馆的概率均为，每次选择相互独立.设王同学在某周的三天内去图书馆借阅的次数为，已知的分布列如下：（其中）
0 1 2 3
(1)记事件表示王同学在这三天内去图书馆借阅次，事件表示王同学在这三天内去甲图书馆借阅的次数大于去乙图书馆借阅的次数.当时，试根据全概率公式求的值；
(2)是否存在实数，使得，若存在，求的值：若不存在，请说明理由；
19．如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜截圆柱”.图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”，是底面圆的直径，，椭圆所在平面垂直于平面，且与底面所成的二面角的大小为.在图一中，是椭圆上的动点，点在底面上的投影为点.在图二中，椭圆上的点在底面上的投影分别为点，且点均在直径的同一侧.
(1)当时，求的长度；当时，试将的长度表示成关于的表达式；
(2)（i）在图二中，当时，若点将半圆均分成5等份，求；
（ii）证明：.
参考答案
1．【答案】A
【详解】集合，，
所以.
故选A.
2．【答案】C
【详解】由题意可得，
所以，
故选C.
3．【答案】C
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为
所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，
所以
整理得，
故选.
4．【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求解即可.
【详解】图象可知，.
故函数在处，切线的斜率为0，
只有选项D满足条件.
故选D.
5．【答案】D
【详解】由函数奇函数，且在上单调递增，则函数在上单调递增，
且，，
当时，；当时，，
由当时，，当时，，
则不等式的解集为.
故选D.
6．【答案】D
【详解】由，可得，
设，则，，，
由，则，即，解得，
所以，，
，即，解得，
所以椭圆的离心率.
故选D.
7．【答案】B
【详解】在时恒成立，，
，，
，，
设,,时，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；是的极小值点，
的最小值是，，时恒成立，
，的取值范围为.
故选B.
8．【答案】C
【详解】设，设，
则，，
在Rt中，，
，
在Rt中，，
，
，
故选C.
9．【答案】AB
【详解】根据回归方程为可得，当时，，
预测9月企业利润约为117.7万元，故A正确；
由，可得1月到8月的物流成本的平均值，
设1月到8月企业的月平均利润为，且点满足回归直线，所以，
即1月到8月企业的月平均利润约为115万元，故B正确；
当时，，数据对应的残差为，故C不正确；
删除该组数据后，因为小于样本中心点的横坐标，且大于通过回归方程计算出的对应的预测值，
所以删除改点后，样本中心点向右上方移动，重新求得的回归直线的斜率变大，故D不正确．
故选.
10．【答案】ACD
【详解】对于选项A，由题知，抽奖箱共有五张卡片，写有“中”字的卡片只有一张，
由古典概率公式可知，从五张中取一张卡片，中一等奖的概率为，由简单随机抽样可知选项A正确，
对于选项B，由题知甲同学中二等奖的概率为，所以选项B错误，
对于选项C，记事件：甲同学中奖，事件：甲同学中一等奖，
则，，所以，故选项C正确，
对于选项D，因为三位同学都中奖，则甲，乙，丙三人抽到的三张卡片为：“中”，“国”，“人”，
且抛掷一枚质地均匀的硬币两次，硬币均国徽一面朝上，所以三位同学都中奖的概率为，故选项D正确，
故选ACD.
11．【答案】AD
【详解】对于A，取的中点，此时满足，
因为点在侧面内，所以以为球心，为半径的球面与侧面的交线为四分之一圆弧，
该圆弧是以B为圆心1为半径的圆的，故其轨迹长度为，故A正确；

对于B，如图所示，连接，在中，，同理可求得，
所以为等腰三角形，当点为的中点时，连接，此时有，
在正方体中易知，故，此时与所成角的为，故B错误；

对于C，，所以（定值），
故当点与点重合时，满足三棱锥的体积为定值，
此时平面，平面，
所以与不垂直，故C错误；

对于D，设，当点为的中点时，最，
取中点，则，
所以；
当点与点或点重合时，最小，此时，所以
在球面上，的外接圆直径
三棱锥的外接球的直径为
三棱锥的外接球的半径为
三棱锥的外接球的表面积为，故D正确.
故选AD.
12．【答案】
【详解】，
的二项展开式的通项为，
令得，，
的展示式中的系数为；
令得，，
的展开式中的系数为40，
依题意，解得.
13．【答案】
【详解】设切点为，
由得，，故切线斜率，
由直线可知切线过，故，
∴，解得，
∴.
14．【答案】 6
【详解】从中随机抽取2个元素，共有种不同的抽法，
从中随机抽取2个元素，共有种不同的抽法，
所以从每个子总体中个随机抽取2个元素组成样本所有的抽法，共有，
从中随机抽取2个元素，其中抽到1的抽法有种方法，
从中随机抽取2个元素，其中抽到的抽法有种方法，
由古典概型的概率计算公式，可得.
当时，，
而从中选两个数的不同方法数为，则的和为1；
当时，同理可得的和为1；
当时，，
而从中选取一个数，从中选一个数的不同的方法数为，
则的和为4，
所以.
15．【答案】(1)
(2).
【详解】（1）由
整理得：，
由正弦定理，可得，
即，
因为，所以，即，
又因为，所以.
（2）由正弦定理，外接圆的半径，
要使外接圆的半径最小，只需最小，
由余弦定理，，
当且仅当时取等号，此时，则.
故外接圆面积的最小值为.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出，可证明数列为首项为，公差为的等差数列，得到，利用得到的通项公式；
（2）由（1）知，，化简可得，利用分组求和以及裂项相消即可求出数列的前项和.
【详解】（1）当时，由，即，解得：，
所以，则数列为首项为，公差为的等差数列；
所以，则，
当时，，
当时，满足条件，
所以的通项公式为
（2）由（1）知，，
所以，
故，
即
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，双曲线，其中，
因为为等腰三角形，点在第一象限，
所以由双曲线性质可知，为三角形的底边，，
所以P点在以为圆心、3为半径的圆上，
设，其中，则有，解得，即.
（2）由题意的斜率不为0，设直线，
设点，则
联立得
由已知二次项系数，且， 即，
所以，
则
即.
代入得，
即，
化简得，即，所以
因为，代入，得，
所以所以，
综上，
18．【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）当时，，
则，解得；
由题意，得，
，
，
由全概率公式，得
.
（2）由，
得，
假设存在，使，
将上述两式左右分别相乘，
得，
化简得：，
设，则，
，得，由，得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值为，
所以不存在使得，即不存在值，使得.
19．【答案】(1)2，
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）如图1，取的中点，过点作与该斜截圆柱的底面平行的平面，
交于点，交的延长线于点，与交于点.
因为，
所以.
过点作的垂线，交圆于两点，过点作交于点，
又PI圆面圆面，所以.
又因为，所以平面.
因为平面，所以，所以为椭圆面与圆所在平面的夹角，
即为椭圆面与底面所成的角，所以，则为等腰直角三角形，.
设，如图2，作圆所在平面的俯视图，则，
由，得，则，
得，
所以，
当时，.
（2）（i）当时，，
则，，，.
则.
，
（ii）由（1）知，即是关于的函数，
即将斜截圆柱的侧面沿着展开，其椭圆面的轮廓线即为函数的图象，
如图3所示.
如图4，将绘制于函数的图象上，
并以为边作矩形，则矩形的面积即为，
所以即为这些矩形的面积之和.
而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为4的圆柱，
因此该斜截圆柱的侧面积为，
所以函数图象与坐标轴围成的图形的面积为.
又因为无论点是否均匀分布在半圆弧上，
这些矩形的面积之和都小于函数图象与坐标轴围成的图形的面积，
所以，得证.