山西、陕西、宁夏、青海四省区普通高中新高考2025届高三质量检测 数学试题（含详解）

山西、陕西、宁夏、青海四省区普通高中新高考2025届高三质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量．若，则的值为（ ）
A．10 B．6 C．3 D．
3．“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．的展开式的第3项的系数是（ ）
A． B．15 C．20 D．
5．设，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数，则在上的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．1
7．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点．若点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的焦距为，左、右焦点分别为，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于两点．若的内切圆与直线相切于点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．现有一组数据为，下列说法正确的是（ ）
A．该组数据的中位数为6
B．该组数据的平均数为5
C．该组数据的方差为
D．该组数据的第45百分位数为4
10．将函数图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到函数的图象，则下列命题正确的是（ ）
A．的最小正周期为36
B．
C．为偶函数
D．在上共有5个极值点
11．在四棱锥中，，四边形是平行四边形，分别为棱的中点，，点在平面的射影恰好是棱的中点，则（ ）
A．平面
B．线段的长为
C．三棱锥的外接球的表面积为
D．平面与平面夹角的余弦值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．若的内角的对边分别为，且，则 ，的面积为 ．
13．已知点在抛物线上，点为圆上任意一点，且的最小值为3，则 ，圆的半径 ．
14．设函数，函数．若函数恰有两个零点，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若恒成立，求的取值范围．
16．如图，在正四棱柱中，为棱的中点，．
(1)证明：平面．
(2)求的值．
(3)求直线与平面所成角的正弦值．
17．如图，点，，，，均在直线上，且，质点与质点均从点出发，两个质点每次都只能向左或向右移动1个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为，每个质点均移动2次.已知每个质点移动2次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量为两个质点各自移动2次后到达的点所对应的积分之和.
积分 0 100 200
(1)求质点移动2次后到达的点所对应的积分为0的概率；
(2)求随机变量的分布列及数学期望.
18．已知分别为椭圆的左、右顶点，均为椭圆上异于顶点的点，为椭圆上的点，直线经过左焦点，直线经过右焦点．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由．
(3)设的面积与的面积分别为，求的最小值．
19．已知集合，集合满足，当取不同值时，各不相同．记的所有元素之和为，将数列的所有项重新排列为，使得．
(1)当时，求．
(2)当时，证明：成等差数列．
(3)设，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，又，
所以.
故选C.
2．【答案】A
【详解】由题设，则，可得.
故选A.
3．【答案】A
【详解】若复数在复平面内对应的点在第一象限，则，所以，
故“”是“复数在复平面内对应的点在第一象限”的充分不必要条件.
故选A.
4．【答案】B
【详解】由题设，展开式通项为，，
所以，即第3项的系数是15.
故选B.
5．【答案】C
【详解】因为，，，
所以.
故选C.
6．【答案】C
【详解】，令，则，
则，
且，则
因，则，则，
又，则，即，
则在上单调递增，
则的最大值为.
故选C.
7．【答案】B
【详解】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边与圆交于点，
所以圆半径，
所以，
因为点沿着圆的圆周按逆时针方向移动个单位长度到达点，
所以，
所以
.
故选B.
8．【答案】D
【详解】设的内切圆分别切于点，
则，，
因为，
所以，得，
所以，即，①
因为，所以，
即，②，
所以①②，得，得，
因为，所以，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为，
即.
故选D.

9．【答案】BC
【详解】将数据，，，，，从小到大排序为，，，，，.
这组数据有个，是偶数个，所以中位数为，故选项错误.
该组数据的平均数为，故选项正确.
已知该组数据的平均数为，则方差为：
，故选项正确.
由于， 2.7不是整数，向上取整为，所以第45百分位数是第个数，即，故选项错误.
故选BC.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，的最小正周期为，A正确；
对于B，将函数图象上所有的点向左平移3个单位长度可得：
，B错误，
对于C，因为，所以为偶函数，C正确，
对于D，令，可得，解得：，
由，
可得的取值有，共有5个极值点，D正确；
故选ACD.
11．【答案】ABD
【详解】对于A，取线段的中点，连接，，
因为棱的中点，则为的中位线，则，且，
因为棱的中点，且四边形是平行四边形，则且，
则且，则四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，则平面，故A正确；
对于B，取分别取线段、的中点、，连接、、，
由于为的中位线，则，且，
由于为的中位线，则，且，
又因为四边形是平行四边形，则，且，
则，且，则四边形是平行四边形，则，
因，则，
则，即，故B正确；
对于C，因点在平面的射影恰好是棱的中点，则以为原点，
分别以平行于、的直线为轴、轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系如图，
在中，，
则，
则，
则，
设三棱锥的外接球的球心，半径为，
则，解得，
则外接球的表面积为，故C错误；
对于D，由C选项可知，，
设平面的法向量为，
则，令，则得，
容易知平面的法向量为，
则，
则平面与平面夹角的余弦值为，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】 /
【详解】因为，由正弦定理，可得，
又因为，可得，所以，即，
因为，可得，
又因为，所以的面积为.
13．【答案】 4 1
【详解】根据题意，得，解得，
因为圆心恰好为抛物线的焦点，则，
又，所以点在圆的外部，
所以，则，解得.
14．【答案】
【详解】令函数，
函数在R上单调递增，而，则当时，，
当时，，因此，
令函数，由恰有两个零点，得函数的图象与直线有两个交点，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，
直线恒过定点，观察图象，
当时，函数的图象与直线恒有两个交点，则；
当直线过点时，函数的图象与直线有两个交点，则；
当直线与曲线相切时，函数的图象与直线有两个交点，
设切点坐标为，，于是，解得，则，
所以的取值范围为.
15．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2).
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
由，得；由，得，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）知，当时，函数取得最小值，
由不等式恒成立，得，解得，
所以的取值范围是.
16．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）在正四棱柱中，易知平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面.
（2）在正四棱柱中，易知四边形为矩形，四边形为正方形，
则，由为的中点，则，
由，易知，则，
可得，解得.
（3）由（1）可知为平面的一个法向量，易知，
由图可得，
在正四棱柱中，易知两两垂直，，，
所以，
，，
设直线与平面的夹角为，则.
17．【答案】(1)
(2)分布列见解析，200
【详解】（1）设事件为“质点移动2次后到达的点所对应的积分为0”，
由题意可知点两次移动后在点，又起点为点，即的移动一次向左一次向右，
所以.
（2）的所有可能取值为，，0，200，400.
，
，
，
，
，
所以随机变量的分布列为
0 200 400
.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）依题意可得：，解得，，
所以椭圆的标准方程
（2）

易得，，设，，
则，
所以
得，，
同理可得，
则.
（3）由（2）易得
由，得
因为所以，解得或(舍去)，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，集合，其子集及其对应的为：
①空集：；②：；③：；④：；
重新排列之后：；
（2）当时，设，
其中，，
由得，去除的相同元素，
设剩余元素中最大的元素为，设剩余元素中最大的元素为，
，
若，则同理由，
所以对任意的，，即恒成立，
由题意可知，，
因为对任意的，，恒成立，且，
所以，所以，
故，所以成等差数列；
（3）①若，，
即，
②若不包含于，则，，
不妨设，
则，，，
由，得，
设，
由，，得，
因为，所以，则，
所以，
因为，所以，因为，，所以，
，
即，得，
，所以，
即，
综上所述：.