四川省部分学校2025届高三下学期4月联考 数学试卷（含详解）

四川省部分学校2025届高三下学期4月联考数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知命题p：，，命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知抛物线（）上的点到焦点F的距离为6，则M到坐标原点的距离为（ ）
A．4 B．6 C． D．
5．已知，，则（ ）
A． B．7 C． D．
6．一组样本数据，，，…，（）的平均数为，方差为，则由这组样本数据得到的新样本数据2，2，，，…，的方差为（ ）
A．5 B． C．6 D．
7．已知曲线的图象是双曲线，则这个双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
8．在正四棱柱中，，，分别是平面和上一点，且，，记异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数图象的对称中心也是函数图象的对称中心，则的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数的定义域为，，，则（ ）
A． B．是增函数
C． D．
11．已知，，设集合A，B，C是的三个不同的子集，若真包含于B，则称子集A，B是S的一个“二阶链条”， 若A真包含于B，B真包含于C，则称子集A，B，C是S的一个“三阶链条”.记S的“二阶链条”的个数为，S的“三阶链条”的个数为，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，的夹角为，且，，则 .
13．已知是等差数列的前项和，数列的公差为，且是等差数列，则 .
14．已知当时，恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在中，.
(1)求角A的大小；
(2)若D为边AB上一点，，，求的面积.
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，.
(1)证明：平面ABCD.
(2)若，求二面角的余弦值.
17．已知函数.
(1)讨论的单调区间；
(2)若在上的最小值为1，求a的值.
18．某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的A，B，C三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序），在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分，2分，3分，总分不低于4分就可以获得奖品.已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为，，，且在这三处的投篮相互独立.
(1)求甲获得奖品的概率.
(2)在甲获得奖品的情况下，求甲三次投篮都命中的概率.
(3)甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投n（，）个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外在C处投个球.试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大？
19．已知为坐标原点，是椭圆：的左焦点，是椭圆上一点，的最大值是最小值的3倍.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若点不与椭圆的顶点重合，过作的切线，与轴交于点，求；
(3)已知，是上两个不同的点，过分别作直线，与相切，与的交点为，若，求动点的轨迹方程.
（附：椭圆以点为切点的切线方程为）
参考答案
1．【答案】A
【详解】，复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选A.
2．【答案】D
【详解】对于p，取，则有，故p是假命题，是真命题；
对于q，，则，故q是假命题，是真命题.
综上，和都是真命题.
故选D.
3．【答案】B
【详解】因在上单调递增，
则，，
所以.
故选B.
4．【答案】B
【详解】因为点M到焦点F的距离为6，所以，解得，所以，M到坐标原点的距离为.
故选B.
5．【答案】C
【详解】.
故选C.
6．【答案】D
【详解】由题意可得
则新样本数据的平均数，
所以新样本数据的方差为.
故选D.
7．【答案】A
【详解】由，可得，是反比例函数，其图象是双曲线，且两渐近线为x，y轴，
所以两渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，所以双曲线的离心率.
故选A.
8．【答案】D
【详解】取M为的中点，由，可知点E在直线上.连接BE，易知，
所以为异面直线AE与CF所成的角，即，在中，设r为外接圆的半径，则，当r最小时，最大.故当的外接圆与线段相切时，r取得最小值.
设的中点为O，在平面中，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，则，，.
直线的方程为，设外接圆的方程为，
则，解得，，故的最大值为.
故选D.
9．【答案】BD
【详解】令，则.解得.
所以图象的对称中心为.
根据周期公式，则.
对于选项A，已知的周期为，中，其周期.因为两函数周期不同，所以A不符合题意.
对于选项B，令，对于，将代入可得：
，所以，满足对称中心的性质，B符合题意.
对于选项C，对于，因为的图象是将的图象位于轴下方的部分沿轴翻折到轴上方得到的，无对称中心，C不符合题意.
对于选项D，令，解得，这与的对称中心横坐标表达式相同，D符合题意.
故选BD.
10．【答案】ACD
【详解】令，则，解得，故A正确；
令，，则，故B错误；
由，可得，
令，，则，即，
所以，故，
则，故C正确；
因为，
所以，
两式相减，可得，
故，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】AC
【详解】对任意S的k元子集B，B的j（元子集A的个数
是，
则S的k元子集B 的真子集个数为：；
又S有个k元子集，故S的“二阶链条”的个数：
，又，
则；
对任意S的m元子集C，C的k元子集B的个数是，
B的j元子集A的个数是，
由前文分析可知：C的k元子集B的真子集个数为：，
S的m元子集C的真子集个数为：
，
故S的“三阶链条”的个数：
.
故，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】依题意，，
所以.
13．【答案】/0.5
【详解】由题意，，
所以，
因为是等差数列，则的通项是一次函数型，
则能整理成完全平方型，
所以，
化简得，所以，即.
14．【答案】
【详解】由，可得.
令，则，
当且仅当时，等号成立，故在上单调递增，
由，可得，
所以，则，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，且，故，
所以实数的取值范围是.
15．【答案】(1)
(2).
【详解】（1）解：由正弦定理可知，
因为，所以，
因为，所以，
又因为，所以，则，故，即.
（2）设，则.
因为，所以，，即.
在中，，
即，解得，所以，.
的面积为.
16．【答案】(1)证明见解析
(2).
【详解】（1）证明：因为底面为正方形，所以.
又因为，，平面，所以平面PBD；
因为平面，所以.
因为，与相交，平面.
所以平面.
（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，则，，.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
所以平面的一个法向量为.
，
易知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
17．【答案】(1)答案见解析
(2).
【详解】（1）的定义域为，.
当时，，的单调递减区间为；
当时，令，解得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增.
综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）当时，在上单调递减，所以，解得或（舍去），故.
当时，在上单调递减，所以，解得或（舍去），故.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以，故，不符合题意.
综上，.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）甲三次投篮都命中的概率，
甲三次投篮只命中两次且总分不低于4分的概率，
所以甲获得奖品的概率.
（2）记“甲获得奖品”为事件A，“甲三次投篮都命中”为事件B.
在甲获得奖品的情况下，甲三次投篮都命中的概率为.
（3）设甲的投篮次数为X，则X的分布列为
X n
P
则.
令（），则，
，当时，，当时，
所以，
故当时，甲投篮次数的期望最大.
19．【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【详解】（1）设，则，
，所以最大值为，最小值为，
所以，解得，即椭圆的离心率为.
（2）设点，，则，
椭圆在点处的切线方程为.
令，可得，即，
，
.
，
；
（3）因为，所以，，，的方程为.
设，，，
则椭圆在点处的切线方程分别为，，
则，，故直线的方程为.
联立可得，
，，则.
因为，所以，解得，
化简可得，
故动点的轨迹方程为.