云南省昆明市云南地矿局中学2025届高三下学期4月月考数学试卷(含详解)

2025年云南地矿局中学高三4月月考试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为
A. B. C. D.
3.数列中，已知对任意，，则等于
A. B. C. D.
4.若复数的共轭复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为
A. B. C. D.
5.某校高三年级有名同学计划高考后前往武当山、黄山、庐山三个景点旅游．已知名同学中有名男生，名女生．每个景点至少有名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这名同学游玩行程的方法数为
A. B. C. D.
6.已知三棱锥满足，，，且其体积为，若点正投影在内部到，，的距离相等，则三棱锥的表面积为
A. B. C. D.
7.已知两条动直线和交于点，圆上两点，间的距离为若点是线段的中点，则的最小值为
A. B. C. D.
8.已知函数，若，，且时，都有，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图像如图所示，其图像最高点和最低点的横坐标分别为和，图像在轴上的截距为给出下列命题正确的是
A. 的最小正周期为 B. 的最大值为
C. D. 为偶函数
10.在正四面体中，若，为的中点，下列结论正确的是
A. 正四面体的体积为
B. 正四面体外接球的表面积为
C. 如果点在线段上，则的最小值为
D. 正四面体内接一个圆柱，使圆柱下底面在底面上，上底圆面与面、面、面均只有一个公共点，则圆柱的侧面积的最大值为
11.已知曲线：，为上一点，则
A.
B.
C. 的取值范围为
D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知满足则的展开式中的系数为____．
13.设函数，，若存在，，使得，则的最小值为 ．
14.已知首项为的数列的前项和为，且，若数列满足，则数列中最大项的值为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，的对边为，，，且．
求；
若的面积为；
已知为的中点且，求底边上中线长；
求内角的角平分线长的最大值．
16.本小题分
垃圾分类是普惠民生的一项重要国策．垃圾分类不仅能够减少有害垃圾对环境的破坏，减少污染，同时也能够提高资源循环利用的效率．垃圾分类共分四类，即有害垃圾，厨余垃圾，可回收垃圾与其他垃圾．某校为了解学生对垃圾分类的了解程度，按照了解程度分为等级和等级，随机抽取了名学生作为样本进行调查．已知样本中等级的男生人数占总人数的，两个等级的女生人数一样多，在样本中随机抽取名学生，该生是等级男生的概率为．
根据题意，完成下面的二维列联表．并根据小概率值独立性检验，判断学生对垃圾分类的了解程度是否与性别有关？
男 女
等级
等级
附：
，其中．
为了进一步加强垃圾分类工作的宣传力度，学校特举办垃圾分类知识问答比赛活动．每局比赛由二人参加，主持人和轮流提问，先赢局者获得第一名并结束比赛．甲，乙两人参加比赛，已知主持人提问甲赢的概率为，主持人提问甲赢的概率为，每局比赛互相独立，且每局都分输赢．抽签决定第一局由主持人提问．
求比赛只进行局就结束的概率；
设为结束比赛时甲赢的局数，求的分布列和数学期望．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，，，平面平面，，．
证明：
若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是求：
直线与平面所成角的正弦值
三棱锥外接球的表面积．
18.本小题分
设函数．
若不等式的解集，求，的值；
若，
，，求的最小值；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系内定义，两点之间的“距离”为，记到定点，的距离之和为的点的轨迹为“椭圆”，其中，为“椭圆”的离心率．已知椭圆的离心率为，面积为．
求椭圆的方程；
已知椭圆的所有顶点都在椭圆上．
(ⅰ)若，是上关于原点对称的两点，求的最大值；
(ⅱ)若过点斜率存在且不为零的直线与交于，，与直线交于点，点满足轴，由直线，，的斜率构成的集合为，证明：存在公差不为零的等差数列，使得，，，并求出的斜率为，且时点的坐标．
参考答案及解析
1.【答案】
根据题意，集合，而，
则，
则，
故选：．
2.【答案】
由知：为中点，
又为外接圆圆心，，，
，，，，．
向量在向量上的投影为．
故选：．
3.【答案】
，，
，，
得：，．
当时，，符合上式，
，，，
是以为首项，为公比的等比数列，
．
故选B．
4.【答案】
，
又，
，
，
在复平面上复数对应的点的坐标为．
故选D．
5.【答案】
人分三组可分为人，人，人和人，人，人，共两种情况．
第一种情况分成人，人，人：女生去同一处景点，当成人组时，
其他人分成人，人两组且男生甲与女生不同组，有种方法；
当在人组时，有种方法．
第二种情况分成人，人，人：当成人组时，有种方法；
当在人组时，有种方法．
故这名同学游玩行程的方法数为．
故选：．
6.【答案】
因为，，，所以三角形是以为斜边的直角三角形，
由棱锥体积公式，再由若点到，，的距离相等得出点在底面上投影到各边距离也相等，从而是的内心，则到各边距离为内切圆半径，由底面为直角三角形，所以内切圆的半径为
则三棱锥侧面上的高为，从而，
故选C．
7.【答案】
由题意知两条动直线 和 交于点 ，
联立直线方程消去可得 ，
由于 ，即 ，
该直线过定点 ，但不会过点 ，
故点轨迹方程为 去掉点 ，
圆心为 ，半径为 ；
上两点 ， 间的距离为 ，
为线段 的中点，则圆的圆心 到的距离为 ，
则点轨迹方程为 ，圆心为 ，半径为 ；
由于 与圆 的圆心距满足 ，
则 的最小值为 ，
故选：．
8.【答案】
由且恒成立可得
，即函数在上单调递增，
令，则恒成立，
即在上恒成立，
令，则有，
则可得时，，即函数在上单调递增；
时，，即函数在上单调递减；
即时，函数取得最小值，
则可得，即．
综上可得实数的取值范围为．
9.【答案】
对于选项A：由图象，得函数的最小正周期，所以选项A错误；
对于选项B：，即，
又，
所以，结合，得，
即，又，
所以，即，
所以函数的最大值为，所以选项B正确；
对于选项C：，所以选项C正确；
对于选项D：为奇函数，所以选项D错误．
故选：．
10.【答案】
由正四面体各棱都相等，即各面都为正三角形，故棱长为，如下图所示，

为底面中心，则 共线， 为四面体的高，
，
所以 ，故正四面体的体积为 ，A错误；
正四面体的外接球球心在上，且半径 ，
所以 ，则 ，
故外接球的表面积为 ，B正确；
由题意知：将平面与平面沿翻折，使它们在同一个平面，如下图所示，
所以 且 ， ，
又 ，
则 ，
要使 最小，只需 共线，则 ，
所以 ，C正确；
如下图，棱锥中一个平行于底面的截面所成正三角形的内切圆为正四面体 内接一个圆柱的上底面，
若截面所成正三角形边长为 ，则圆柱体的高 ，圆柱底面半径为 ，
所以其侧面积 ，
故当 时， ，D正确．
故选：
11.【答案】
【解析】解：由题设得：曲线 为 ，
曲线是由两段双曲线弧
，
以及一段椭圆弧
组合而成且易知双曲线渐近线为，如图所示，
对于，由双曲线性质可知，，故A错误；
对于，表示点到原点距离的平方，
由图知当点位于
部分时，为短轴的端点时，最小，此时，
而当在双曲线部分时，，故，故B正确；
对于，
表示曲线上的点与原点构成直线的斜率，而双曲线渐近线为，结合图形易得的取值范围为 ，故C正确；
对于，
表示曲线上的点到直线即双曲线部分的渐近线的距离的倍，
显然点在椭圆部分时，才能取到最大值，而双曲线部分的点无限地向直线靠近，
从而设，，则
．
当时等号成立，
所以的取值范围为，故D正确．
故选：．
12.【答案】
，满足，
，可解得：．
，
，
的展开式中的系数为．
故答案为：．
13.【答案】
，
则，
易知在上单调递增，所以，
所以，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得最小值，且，
即的最小值为，即的最小值为．
14.【答案】
，
得：，
又，，
，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，
，即，又，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
，
，
当时，取到最大值，为．
故答案为：．
15.由正弦定理，得 ，即 ，
故 ，
因为 ，所以 ，
所以 ；
由知 ，
因为 的面积为 ，所以 ，解得 ，又 ，所以
由于 ，所以
，
所以 ；
因为 为角 的角平分线，所以 ，
由于 ，
所以 ，
由于 ，所以 ，
由于 ，
又 ，所以
由于 ，当且仅当 时，等号取得到，
故 ，故 ，
故AD长的最大值为
16.由题意得， 等级的男生人数为 ， 等级男生的人数为 ，
等级的女生人数相同，均为 人，
故列联表如下：
男生 女生 总计
等级
等级
总计
故
，
故根据小概率值 独立性检验，学生对垃圾分类的了解程度与性别无关；
比赛只进行局就结束，甲赢得比赛的概率为 ，
比赛只进行局就结束，乙赢得比赛的概率为 ，
故比赛只进行局就结束的概率为 ；
的可能取值为 ，
，即进行了场比赛，且乙赢得比赛，故 ，
，即进行了场比赛，且乙赢得比赛，前场中，甲赢得场比赛，乙第场赢，
故 ，
，即进行了场比赛，且乙赢得比赛，前场中，甲赢得场比赛，乙第场赢，
故
，
，即最后甲赢得比赛，由概率性质得 ，
所以分布为
故数学期望为 ．
17.证明：取的中点，连接．
在梯形中，，，，
所以四边形为正方形，所以，
在中，，有，
在中，有，
又，所以，在中有：，即．
又平面平面，平面平面，平面，得平面，
因平面，得．
又因为，直线和有公共点，
平面，平面，
得平面，
又平面，得．
解：以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，，，
设，则点坐标为，
则，，
设平面的法向量，则有，
令，，则，
由点到平面的距离是，可得：，
有，解得，
此时，，
设直线与平面所成角为，则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
设线段的中点为，则直角三角形外心为，则点坐标为，
三棱锥的球心为，则必在过直角三角形外心且垂直平面的直线上，
由平面，设点坐标为，
由得，，解得．
故外接球半径，
球的表面积为．
故三棱锥外接球的表面积为．
18.【答案】解：由的解集，
则的两根是，
所以
解得．
，
，
当时等号成立，
因为，，，
解得，时等号成立，
此时的最小值是．
在上恒成立，
又因为代入上式可得
解得：．
19.解：由题意，设椭圆的方程为，
因为椭圆的离心率为，所以，，
代入，得，
令，得，令，得，
所以椭圆是以，，，，，为顶点的六边形，
该六边形面积等于两个上底为，下底为，高为的梯形面积之和，
所以，解得，
所以，椭圆的方程为．
解：由对称性可知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，
设椭圆的方程为，
由知椭圆经过点，，
所以，，，所以椭圆的方程为．
设，则，由椭圆的对称性，不妨设，
所以，
，
其中在第一象限，且，
因为，所以的最大值为．
证明：由，轴，设，
因为直线斜率存在且不为，设直线，
则，设，，
由得，，
所以，，，
因为，，，
所以
，
所以，，依次成等差数列，令，，或，，，
显然，，不全相等，
所以存在公差不为零的等差数列，使得，，，
若，则，，
因为直线的斜率为，所以，
故可化为，解得或，
不妨设，由，得，
整理得，
所以或，
所以点的坐标为或