浙江省绍兴市2025届高三下学期4月高考科目适应性考试数学试题(含详解)

浙江省绍兴市2025届高三下学期4月高考科目适应性考试数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量满足，，且的夹角为，则（ ）
A． B．3 C． D．7
4．直线被圆截得的弦长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则可以是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，则（ ）
A．当时，是偶函数，且在区间上单调递增
B．当时，是奇函数，且在区间上单调递减
C．当时，是偶函数，且在区间上单调递减
D．当时，是奇函数，且在区间上单调递增
7．已知双曲线的左焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．10 D．14
8．已知的两个内角都是关于的方程的解，其中，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．在某校文艺汇演中，六位评委对某小品节目进行打分，得到一组分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.5，若去掉一个最高分和一个最低分，则（ ）
A．这组分值的极差变小
B．这组分值的均值变大
C．这组分值的方差变小
D．这组分值的第75百分位数不变
10．已知函数，则（ ）
A．在区间内存在零点
B．0是的极小值点
C．在区间内存在极大值
D．在区间上单调递减
11．已知数列满足，则（ ）
A．数列为递增数列
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．记的内角的对边分别为，若，则 .
13．已知偶函数的定义域为，且，则的值域为 .
14．设点在“笑口”型曲线上，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)记的两个零点分别为，求曲线在点处的切线方程.
16．已知数列满足
(1)记，求，并证明数列是等比数列；
(2)记，求满足的所有正整数的值.
17．已知椭圆的焦距为2，且过点.
(1)求的方程；
(2)设为的左、右顶点，在过点且垂直于轴的直线上任取一点，过作的切线，切点为（异于），作，垂足为.记和的面积分别为，求的值.
18．如图，在四面体中，，记二面角为分别为的中点.
(1)求证：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值；
(3)设在四面体内有一个半径为的球，若，求证：.
19．某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中校和校各4名，校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号.
(1)若来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的2名毕业生的面试序号分别为，，且.
（i）求概率；
（ii）记随机变量，求的均值.
(2)经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一 二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59.
参考答案
1．【答案】A
【详解】.
故选A.
2．【答案】B
【详解】.
故选B.
3．【答案】C
【详解】因为，，且的夹角为，
所以，
所以.
故选C.
4．【答案】B
【详解】圆的圆心为，半径，
又圆心到直线的距离，
所以弦长为.
故选B.
5．【答案】A
【详解】因为，
将函数的图象向左平移个单位后得到函数，
所以，则，，
，，当时，，时，，
故选A.
6．【答案】D
【详解】对AB：当时，，其定义域为，，故为偶函数；
又，当时，令，
因为在单调递增，在单调递增，故在单调递增，
故在单调递减，故AB都错误；
对CD：当时，，其定义域为，，故为奇函数；
又，当时，均为减函数，故为上的减函数，
故为上的增函数，故C错误，D正确.
故选D.
7．【答案】C
【详解】对于双曲线，根据双曲线的标准方程（），可得，．则．
设双曲线的右焦点为，由双曲线的定义可知，点在双曲线的右支上，则，即；
同理，点在双曲线的右支上，则，即．
所以．
根据三角形三边关系，，当且仅当，，三点共线时，等号成立．
又，则，即．
所以的最小值为10．
故选C．
8．【答案】B
【详解】方程变形为，
由题，是方程的两根，则，，
又
，
又，所以，
，
又，则，，
.
故选B.
9．【答案】AC
【详解】对于A，原来6个数据的极差为，
去掉一个最高分和一个最低分后这组数据的极差为，极差变小了，故A正确；
对于B，原来6个数据的均值为，
后来这4个数据的均值为，所以均值不变，故B错误；
对于C，原来6个数据的方差为，
后来这4个数据的方差为，
所以这组分值的方差变小，故C正确；
对于D，因为，所以原来6个数据的第75百分位数为，
又，所以后来这4个数据的第75百分位数为，故D错误.
故选AC.
10．【答案】BCD
【详解】函数，令，则或或．
由，解得； 由，解得，；
由，即，解得．
在区间内，不存在上述使的值，所以在区间内不存在零点，A选项错误．
当在附近时，，在上单调递增，且．
当时，，，所以；
当时，，在附近正负交替，但，所以是的极小值点，B选项正确．
对求导，得：．
当时，，，，．
，且在内，随着的变化，会先大于后小于，所以在区间内存在极大值，C选项正确．
当时，，，，则．
对分析，在上，，，，所以；
，，，所以；
，，，所以．
即，所以在区间上单调递减，D选项正确．
故选BCD．
11．【答案】ACD
【详解】设，对其求导可得．
因为恒成立，所以在上单调递增．
已知，则，依次有，,
，设，，对求导得．
当时，，所以，在上单调递减．
则，即，所以为递增数列，A选项正确．
由上述分析可知，所以不存在，使得，B选项错误．
要证，即证．
设，，对求导得．
令，求导得，当时，，
所以在上单调递减．则，
所以在上单调递增．
所以，即，
所以，，C选项正确.
由选项C知，移项可得，
两边同时乘以得.
两边同时取倒数得，移项可得.
因为，所以，即.
利用累加法：
.
已知，则，所以，两边同时取倒数得，
移项可得，选项D正确.
故选ACD.
12．【答案】
【详解】，
由正弦定理可得，，
又由余弦定理可得，，
，.
13．【答案】
【详解】对，令，则，解得；
对，令，则，
又为偶函数，，故，解得；
又，故其值域为.
14．【答案】/-0.125
【详解】当时，，即，平方得，即，
此时
，.
当时，，即，平方得，即，
此时
，
综上，的最小值为.
15．【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，；当时，，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）由（1）知，，
因此函数有两个零点，且，即，
则所求切线的切点坐标为，斜率，切线方程为
所以曲线在点处的切线方程为.
16．【答案】(1)，证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，所以.
又因为
所以数列是首项为5，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知，所以，
所以，
因为单调递增，
且，
所以正整数的所有取值为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，且过点，
即，
解得，
所以的方程为.
（2）设，直线的方程为，
代入的方程得.
因为直线与相切，
所以，
化简得，所以，

所以，代入直线的方程得，
设与交于点，又，直线的方程为，
因为，
代入直线的方程得，
所以，所以为中点.
因此点到直线的距离相等，所以.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）取中点，连接，又分别为的中点，
则，，
因为，
所以，又 ，平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）由（1）知是二面角的平面角，所以.
如图，以为原点，分别为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，
则，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，可取，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）因为与的面积为，
设在平面内的射影为，即平面，
又平面，所以，又，平面，所以平面，
又平面，所以，又，所以为二面角的平面角，
所以点到平面的距离，
因此四面体的体积为.
又，平面，所以，所以到直线的距离等于，
所以边的高，
所以的面积，
注意到，因此的面积也为，
所以四面体的表面积为，
因此四面体的内切球半径，
所以，即.
19．【答案】(1)（i）；（ii）
(2)证明见解析
【详解】（1）（i），
（ii）的可能取值为，则，
所以
（2）①第一种情况，录用了面试得分第一的人.
若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位，
其他个人可以任意排列，在得分第一后面的个人任意排列，这种情况的概率为：
.
②第二种情况，录用了面试得分第二的人.
若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列，
这种情况的概率为.
若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第位，
同样在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列，
在得分第二后面的（含第一）个人任意排列，这种情况的概率为：
综上，面试得分第一 二的两名毕业生之一被录用的概率为：