重庆市荣昌中学校2024-2025学年高三下学期4月月考数学试题(含详解)

重庆市荣昌中学校2024 2025学年高三下学期4月月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．为深入推进“五育”并举，促进学生身心全面和谐发展，某校于上周六举办跳绳比赛.现通过简单随机抽样获得了22名学生在1分钟内的跳绳个数如下（单位：个）：
估计该校学生在1分钟内跳绳个数的第65百分位数为（ ）
A．124 B． C． D．
3．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．若则等于（ ）
A． B．
C． D．＋
5．展开式中的常数项为（ ）
A．80 B．-80 C．40 D．-40
6．在中，，点在边上，则“”是“为中点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知直线：上存在点A，使得过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知定义在R的函数对任意的x满足，当，．函数 ，若函数在上有6个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．在上的值域为
C．若在上单调递减，则
D．若，则在定义域上单调递增
11．若正实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线互相垂直，则 ．
13．已知数列的通项公式为，则 ．
14．已知三棱锥满足，且，则该三棱锥外接球的表面积为 ，异面直线与所成夹角的余弦值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设的内角所对边的长分别为，且．
(1)求的大小；
(2)若，，为的中点，求的长．
16．如图，三棱台，，，平面平面，， ，与相交于点，，且∥平面.
(1)求三棱锥的体积；
(2)平面与平面所成角为，与平面所成角为，求证：.
17．京东配送机器人是由京东研发，进行快递包裹配送的人工智能机器人.年月日，京东配送机器人在中国人民大学顺利完成全球首单配送任务，作为整个物流系统中末端配送的最后一环，配送机器人所具备的高负荷 全天候工作 智能等优点，将为物流行业的“最后一公里”带去全新的解决方案.已知某市区年到月的京东快递机器人配送的比率图如图所示，对应数据如下表所示：
年 月 月 月 月 月
时间代码
配送比率
(1)如果用回归方程进行模拟，请利用以下数据与公式，计算回归方程；
，，.
参考公式：若，则
(2)已知某收件人一天内收到件快递，其中京东快递件，菜鸟包裹件，邮政快递件，现从这些快递中任取件，表示这四件快递里属于京东快递的件数，求随机变量的分布列以及随机变量的数学期望.
18．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且.
(1)求曲线和曲线的标准方程；
(2)过的直线交曲线于两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值.
19．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【详解】解：因为，所以复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限.
故选A.
2．【答案】C
【详解】解：因为，22名学生的跳绳成绩从小到大第15个数为，
所以，该校学生在1分钟内跳绳个数的第65百分位数为
故选C.
3．【答案】C
【详解】根据对数函数在定义域内为单调递增可知，即；
由三角函数单调性可知；
利用指数函数为单调递增可得；
所以.
故选C.
4．【答案】D
【详解】∵，
∴，∴，
∴.
故选D.
5．【答案】C
【详解】 展开式的通项公式为:，化简得，令，即，故展开式中的常数项为.
故选C.
6．【答案】B
【详解】若，不妨设，，则，
则
满足条件有两个，一个是中点，一个是点，
故“”不能推出“为中点”，
若为中点，，则，
即“为中点”能推出“”，
“”是“是中点”的必要不充分条件，
故选B．
7．【答案】C
【详解】由可得，
圆心，半径，
过点A可作两条直线与圆：分别切于点M，N，
连接，如图，
由知，，又，
所以，
由题意，只需直线上存在与圆心距离为的点即可，
即圆心到直线的距离，
解得，
故选C.
8．【答案】C
【详解】因为，所以周期为，
如图作出的图象与的图象，在有两个不同的交点，
故的图象与在有4个不同的交点，
由此时的图象应如图所示：
故 ，当 时，解得，当 时，解得，
故或，
故选C．
9．【答案】AD
【详解】显然A正确；
由面面垂直的性质定理可知，只有当时，才能推出，B错误；
当时，与矛盾，C错误；
借助直二面角的定义及法向量的定义可知成立，即D正确.
故选AD.
10．【答案】AC
【详解】选项A：由得，则的定义域为.判断正确；
选项B：，
由，可得，则，
当时，，则在上的值域为；
当时，，，
即在上的值域为；
当时，，，
即在上的值域为.
综上，当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为；
当时，在上的值域为.判断错误；
选项C：，
若在上单调递减，则，解之得.判断正确；
选项D：，
则时，在和上单调递增.判断错误.
故选AC.
11．【答案】BCD
【详解】由可得，由可得，则，可知选项A错误；
由指对数互化可得，，则，即可知选项B正确；
又，由，可知等号不成立，即，可知选项C正确；
由得，
令，由，，则在上单调递增，故，选项D正确．
故选BCD.
12．【答案】
【详解】由曲线得，，
曲线在点处的切线斜率为，
曲线得，
由已知可得，
解得.
13．【答案】
【详解】因为，所以，
当时，，当时，，所以数列有最小值，
则
.
14．【答案】
【详解】由题意可知都是直角三角形，可补形为长方体如下图所示：
则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，故球心为体对角线的中点，且，
即外接球半径，故该外接球的表面积；
补形如图，
作，故与所成夹角即为或的补角，
在中，易求，
则．
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
又，所以，
所以，又，所以，所以．
（2）由余弦定理，
所以，所以，所以，即，
在中，．

16．【答案】(1)2
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意，
∵平面平面，且平面平面，，平面ABC
∴平面，
∵平面，
∴，
又，，平面ABC
∴平面，
连接，
∵平面，平面，平面平面，
∴，
∵，
∴，
∴.
∴三棱锥底面的面积，高，
∴其体积为：.
（2）证明：由题意及（1）得，
以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图.
则.
设平面的法向量为，
由，取，则，
平面的一个法向量为，
所以
又因为，所以
又，所以.
17．【答案】(1)
(2)分布列见解析；数学期望
【详解】（1）由题意得：；
设，则，，，
，，
回归方程为：.
（2）由题意知：所有可能的取值为，
；；；；
的分布列为：
数学期望.
18．【答案】(1)，
(2).
【详解】（1）椭圆，
又,
椭圆,
抛物线
（2）因为直线斜率不为0，设为，
设，联立
整理得，.
所以，
所以，
，
设四边形的面积为，
则，
令，再令，
则在单调递增，
所以时，，
此时取得最小值4，所以.
19．【答案】（1）答案见解析；（2）．
【详解】（1）根据题意可知的定义域为，
，令，得．
当时，时，，时；
当时，时，，时．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）依题意，，即在上恒成立，
令，则．
对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为，
则两个零点一正一负，设其正零点为，
则，即，
且在上单调递减，在上单调递增，
故，即．
令，
则，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
又，故，
显然函数在上是关于的单调递增函数，
则，
所以实数的取值范围为．