2025湖北省圆创高三5月联考数学试卷（图片版，含答案）

湖北省高中名校联盟2025届高三第四次联合测评
数学试卷参考答案与详解
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B A D B D A C BCD AC ABD
1.【答案】A
【详解】因为U= x|x+2≥0 ,A= x|x2≤4 ,所以U= x|x≥-2 ,A= x|-2≤x≤2 ,
所以 UA={x|x>2}.故选:A
2.【答案】B
【详解】法一:设z=x+yi x,y∈R ,则z+ z =x+yi+ x2+y2=1+3i.
x+ x2+y2=3,
由复数相等,得 所以x=1.y=3,
即z=1+3i,所以z =1-3i,所以z 的虚部为-3.
法二:由z+ z =1+3i,得z=1- z +3i,所以z =1- z -3i.
所以z 的虚部为-3.故选:B
3.【答案】A
【详解】含x2项的系数分别为C2 23,C4,C25,它们的和为C2 2 23+C4+C5=3+6+10=19.
故选:A
4.【答案】D
【详解】 a S -S因为等差数列 an , bn 的前n项和分别为S
5
n,Tn,所以b =
5 4,
4 T4-T3
S
因为 n= n ,所以可设 2, ( ),则 , ,Tn 2n+1 Sn=kn Tn=kn2n+1 S5-S4=9kT4-T3=15k
a
所以 5=9k 3 故选:b4 15k=5. D
5.【答案】B
【详解】方法一:建立如图所示的直角坐标系,则A(2,0),B(1,3),D
(2cosθ,2sinθ),所以AD→=(2cosθ-2,2sinθ),A→B=(-1,3).
所以AD→·A→B=23sinθ-2cosθ+2=4sin(θ-π)6 +2.
当sin(θ-π) 时,→· →取最小值6 =-1 AD AB -2.
故选:B.
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方法二:如图,作圆的直径EF∥AB,过E 作EC⊥BA 的延长线,垂足为C.
而AD→·A→B 可以看作AD→在A→B 上的投影向量与A→B 的数量积.
由圆的性质知,当D 与E 重合时,AD→·A→B 取得最小值.
因为AB=OA=2,所以∠BAO=∠OAE=∠EAC=π,3
则AC=12×2=1.
所以AD→·A→B 的最小值为A→C·A→B=1×2cos180°=-2.
故选:B.
6.【答案】D
【详解】因为f -x =e-x-ex+sin2x=-f x ,所以f x 为奇函数.
又f' x =ex+e-x-2cos2x≥2 ex·e-x-2cos2x=2-2cos2x≥0,所以f x 在R上单调递增.
由f lnx +f -ax <0,得f lnx <-f -ax =f ax ,所以lnx对任意x∈ 2,+ ,由lnxlnx,所以只需a> lnxx x .max
令g x =
lnx,则 ' x =1-lnxg 2 .所以g x 在(2,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减x x .
所以 1 1g x max=g e = ,所以e a> .
故选:
e D
7.【答案】A
【详解】选取小球x,y有A210=90种选法.
若ix+iy 为实数,则有2种情况:
①x为偶数,则y为偶数,有A25=20种选法;
②x为奇数,则y为奇数,设A= 1,5,9 ,B= 3,7 ,x在A 中任取一个数,y在B 中任取一个数;或
者,x在B 中任取一个数,y在A 中任取一个数,共3×2+2×3=12种选法.
所以,所求概率为20+12=16 故选:90 45. A
8.【答案】C
【详解】如图,取长方体的下底面的各边中点E,F,G,H,上底面的中心为Q,下底面的中心为O.
平面ADP 与平面BCP 的夹角为α,平面ABP 与平面CDP 的夹角为β,过P 作PM⊥A'B'于M,作
PN⊥B'C'于N,则∠AMB=α,∠BNC=β.所以α>β,等价于P 到HF 的距离比到EG 的距离大,所
以P 在如图所示的阴影范围内.
在△APC 和△BPD 中,AC=BD,PQ 公共,Q 为共同的中点,∠APC,∠BPD 的大小由PQ 与AC,
BD 所成的角大小所决定.所成角越小,则对应角越大.
显然PQ 与AC 和BD 所成的角的大小关系不确定,当P 在靠近A'时PQ 与直线AC 所成的角较小,
与直线BD 所成的角则接近于90°,此时∠BPD>∠APC.同样当P 接近于D'时∠APC>∠BPD,故
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A、B错误;
∠APD 与∠BPC 的大小关系实际上是看P 在EG 的左侧还是右侧.
若P 在EG 左侧,则∠APD>∠BPC;若P 在EG 右侧,则∠APD<
∠BPC,若是在EG 上,则∠APD=∠BPC.
同样,P 在HF 的前面,则∠APB>∠CPD;P 在HF 上,
则∠APB=∠CPD;P 在HF 的后面,则∠APB<∠CPD.
所以当P 在A'OE 内时,max{∠APD,∠BPC}=∠APD,
min{∠APD,∠BPC}=∠BPC,max{∠APB,∠CPD}=∠APB,
min{∠APB,∠CPD}=∠CPD.
因为PH>PE,所以∠APD<∠APB.因为PG>PF,所以∠BPC>∠CPD.
因此max{∠APD,∠BPC}min{∠APD,∠BPC}>min{∠APB,∠CPD},
根据对称性,在其余区域内,具有相同的结论.故选:C
9.【答案】BCD
【 x详解】方法一:设曲线y=2ex 与y=2ax+b相切于点(x0,2e0),
x
2e0
x
=2ax0+b, a=e
0,
则 所以
x0 , x x2e =2a b=2e0-2xe00 .
( )x则a+b=3-2x0e0.令g(x)=(3-2x)ex,则g'(x)=(1-2x)ex.
所以g(x)在(-,
1)上单调递增,在(1,
2 2 +
)上单调递减,所以 1g(x)max=g( )2 =2e.
所以a+b≤2e,则B、C、D选项满足.
方法二:令x=1,则2 2e≥a+b
,则B、C、D选项满足.
10.【答案】AC
【详解】f(x)与y=tanx的零点均为x=kπ,k∈Z,显然A正确;
f(x)的图象仅有x=0一条对称轴,所以B错误;
当x∈ 0,π 时,f(x)=sinx,所以x∈ 0,π 时,f(x)∈ 0,1 .
对 x∈ 0,+ ,总有f(x+π)=2f(x)成立,
所以x∈ π,2π 时,有x-π∈ 0,π ,
所以f(x)=f(x-π+π)=2f(x-π)=2sin(x-π),f(x)∈ 0,2 .
同理,当x∈ 2π,3π 时,f(x)=4sin(x-2π),f(x)∈ 0,4 .
当x∈ 3π,4π 时,f(x)=8sin(x-3π),f(x)∈ 0,8 ,所以C正确;
对于D选项,显然原点为一个交点.当x∈ 5π,6π 时,设g(x)=f(x)-x=32sin(x-5π)-x,
则g(5π)=f(5π)-5π=-5π<0,
11 11
g( π)2 =32-2π>0
,
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所以,当x∈ 5π,11 2π 时g(x)有零点.
则f(x)与y=x的图象在 5π
,11
2π 上也有一个交点,D错误.故选:AC
11.【答案】ABD
【详解】由 PF1 + PF2 =2a,PF1 - PF2 =2m,得 PF1 =a+m,PF2 =a-m.
所以|PF|·|PF|=a2-m21 2 ,则A正确.
2 2 2 2 2
因为cosθ=2a +2m -4c =b-n2 2 2 2,其中a22 a -m a -m -b
2=c2,m2+n2=c2,
所以PF→ →1·PF2=(a+m)(a-m)cosθ=b2-n2,则B正确;
2 2 2 2
对于C,将cosθ=b-n ,e2 c 2 c2 2 1= 2,e2= 2,代入,可得
1-cosθ+1+cosθa -m a m e2 e2 =2
,则C错误;
1 2
对于D,因为θ=π,所以 PF 21 + PF 22 = 2c 2,即 a+m 2+ a-m 2=4c2,2
2 2
化简得a2+m2=2c2,即ac2+
m
2=2,即
1
c e2+
1
e2=2.1 2
令1
e =2cosα
,1=2sinα,则1+ 2=2cosα+2sinα,其中cosα>0,sinα>0,取α∈0,π .
1 e2 e1 e2 2
因为e1∈ 0,1 ,e2∈ 1,+ ,所以2cosα>1,0<2sinα<1,
所以cosα> 2,0因为f(α)=2cosα+2sinα=6sin(α+
6 2 π
φ),其中cosφ=3>
,
2 0<φ<
,
4
所以f(α)在α∈ 0,π 上单调递增,故1 24 e +e ∈ 2,2+1 ,则D正确.故选:ABD1 2
12.【答案】1
【详解】sin50°(1+3tan10°)=sin50°·cos10°+3sin10°=2sin50°cos50° sin100° cos10°cos10° cos10° =cos10°=cos10°=1.
13.【答案】1.2
【详解】设P ξ=1 =a,P ξ=2 =b,则0.3+a+b=1,即a+b=0.7.
所以E ξ =0×0.3+1×a+2×b=a+2b,E ξ2 =02×0.3+12×a+22×b=a+4b,
由D ξ =E(ξ2)-E2(ξ)=a+4b- a+2b 2=3b+0.7- b+0.7 2=0.76,解得b=0.5,a=0.2.
所以E ξ =a+2b=1.2.
14.【答案】65;9173(第一空2分,第2空3分)
【详解】由x1=1,得x2=x1+2[x1]=1+2[1]=1+2×1=3.同理可得x3=5,x4=9,x5=15,
x6=21,x7=29,x8=39,x9=51,x10=65.
若xi=m2+k,其中1≤k≤2m,则x =m2i+1 +k+2m= m+1 2+k-1.
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则对1≤j≤k,xi+j=(xi+j-xi+j-1)+…+(xi+1-xi)+xi
=2([xi+j-1]+…+[xi])+xi
=2[m+(m+1)+…+(m+j-1)]+m2+k
=(2m+j-1)j+m2+k=(m+j)2+k-j,
即x 2i+j= m+j +k-j. ①
若xi=m2,则xi+1=m2+2m.则由①知x 2 2i+1+2m= m+2m +2m-2m= 3m . ②
由x1=1,结合②知x4=32,x 2 2 2 211=9,x30=27,x85=81,x86=81+162.
再由①知x100=x86+14= 81+14 2+162-14=9173.
15.(1)由f x =
1
2x
2+alnx- a+1 x,x>0,a>0,
得f' x =x+
a- a+1 =x-a x-1 . ………………………………………………… (x x 1
分)
当00,解得01;由f' x <0,解得a当a=1时,f' x ≥0恒成立.…………………………………………………………………… (3分)
当a>1时,由f' x >0,解得0a;由f' x <0,解得1综上,当0当a=1时,f x 的在(0,+)单调递增;
当a>1时,f x 在(0,1),(a,+)上单调递增,在(1,a)上单调递减. ……………………… (7分)
(2)由(1)知,当a>1时,函数f x 在 1,a 单调递减,在 a,+ 单调递增,
2
所以 af x ≥f a =alna- -a.……………………………………………………………… (分)2 8
2
令h a =alna-a2-a
,a≥1,得h' a =lna-a.
令g a =h' a =lna-a,a≥1,得 ' a =
1
g a-1≤0
,
所以g a 在 1,+ 单调递减.………………………………………………………………… (10分)
所以g a e2 2因为h e =- 且2 h a ≥-
e,所以
2 1所以a的取值范围为(1,e].……………………………………………………………………… (13分)
16.(1)如图,取AD 的中点O,连接OP,OB.
因为三角形PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形,不妨设AD=2,
则PA=2,PO=12AD=1.
…………………………………… (2分)
因为AO=OD=BC=12AD=1
,OD∥BC,
所以四边形ODCB 为平行四边形,所以BO=1,BO∥CD.
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因为CD⊥AD,所以BO⊥AO,AB=2.
因为∠PAB=60°,则ΔPAB 为等边三角形.得PB=2.
又BO=1,PO=1,所以PO2+BO2=PB2,所以PO⊥OB.…………………………………… (3分)
又PO⊥AD,AD∩OB=O,AD,OB 平面ADCB,则PO⊥平面ADCB
所以平面PAD⊥平面ABCD.…………………………………………………………………… (7分)
(2)过E 作EF∥AD.因为BC∥AD,所以EF∥BC.所以EFBC 共面.平面EFBC∩平面PAB=BF.
又CE∥平面PAB,所以EC∥BF.
所以四边形BCEF 为平行四边形,EF=BC=1 , 为 中点2AD E PD .
………………………… (9分)
建立如图所示的空间直角坐标系.设AD=2,
则O 0,0,0 ,B 1,0,0 ,D 0,1,0 ,A 0,-1,0 ,C 1,1,0 ,P 0,0,1 .
因为E 为PD 的中点,所以E 0,1,12 2 .
所以C→E= -1,-1,12 2 ,P→B= 1,0,-1 ,P→C= 1,1,-1 .……………………………… (11分)
P→B·n=x-z=0,
设平面PBC 的法向量为n= x,y,z ,则 P→C·n=x+y-z=0.
取x=1,得n= 1,0,1 .………………………………………………………………………… (13分)
设直线CE 与平面PBC 的夹角为θ,
-1+1
则sinθ= cos = 2 = 36.
1+1 14+4×2
所以cosθ= 1-sin2θ= 33 …………………………………………………………………… (6 15
分)
c a2+c2-b217.(1)因为 = ,所以 c =2accosB=ccosB2a-c a2+b2-c2 2a-c 2abcosC bcosC.
即 b cosB sinB ………………………………………………………………… (分)
2a-c=cosC=2sinA-sinC. 4
所以sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,即sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB.
所以sinA=2sinAcosB.故cosB=12.
因为0分)
(2)根据正弦定理,得ac-ab-bc=sinAsinC-sinAsinB-sinBsinC2 2 ………………………… (分)b sinB 8
4 =3 sinAsin
(A+π) 3 3 ( π)3 -2sinA-2sinA+3
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=4 33 2sinAcosA+12sin2A-34cosA-334sinA
= 3 13sin2A-3cos2A-cosA-3sinA+
1
3
=23sin 12A-π -2sin A+π + .………………………………………………………… ( 分)6 6 3 10
令x=A+π,则 π6 2A-6=2x-
π,因为
2 02π,所以π所以sin 2A-π π6 =sin 2x-2 =2sin2x-1.
所以2sin 2A-π -2sin A+π 13 6 6 +3=23 2sin2x-1 -2sinx+13
=4
2
3sin
2x-2sinx-1=4(sinx-3)-13.………………………………………………… (3 3 4 12 13
分)
因为π
65π,所以1
6 2所以ac-ab-bc 13
b2
的取值范围是[- ,-1].…………………………………………………… (12 15
分)
2
18.(1)由题意得M(1,2p1
),MF =1+p=1+p 52p 2 2p =4.
解得p=2(其中P=
1舍去).所以Γ的方程为y22 =4x.
……………………………………… (4分)
(2)由题意,知M→O=1MF→'+1M→F=1M→F+3M→2 2 2 4 P.
设M→O=tMG→1,则MG
→ 1 → 3 →
1= MF+ MP. ………… (分)2t 4t 6
因为P,G1,F 三点共线,所以
1 3 ,
2t+4t=1
即t=5.……………………………………………… (4 8
分)
设G1(x,y),由M
→O=54MG
→
1,得x0=5x,y0=5y,
所以y20=25y2=4x 2
4
0=20x,即y = x(y>0)5 .
所以G1的轨迹方程y2=
4
5x
(y>0).…………………………………………………………… (10分)
(3)因为M→P=2PF→',所以F→P=23FF
→'+1 →3FM.
因为FG→=F→O+OG→=1FF→'+1OM→=1FF→'+1(FM→1 1 2 5 2 5 -F
→O)=2 →5FF'+
1FM→,5
所以FG→=3F→P.同理FG→=3 →1 5 2 5FQ.
…………………………………………………………… (12分)
数学试卷参考答案与详解 第 7页(共8页)
设SΔMFF'=S1,SΔNFF'=S2,
则S =3S =3ΔMNG2 5 ΔMNQ 5×
2S 33 ΔMNF'=5×
2(
3S1+S
)=22 ( ),5S1+S2
SΔNF'G1=SΔMNF'-SΔMF'G1-SΔMNG1=S1+S2-
2
5S1-
2(
5S +S
)=1 31 2 5S1+
………… ( 分)
5S2. 14
S
所以4(S 31+S2)≤ S1+
9S 82≤ (S1+S2),解得
1 1
5 5 5 5 5≤S ≤5.2
S 2
又M(x0,y0),设N(x , 2
1 1 y0 y0 y0
1y1),有y0y1=-p .于是5≤S = = 2= 2≤5
,
2 -y1 p p
y0

解得25≤y0≤25,即y0的取值范围是 255 , 5 25
. ……………………………………… (17分)

19.(1)A+B= 0,3 ,n=5是“好的”. ……………………………………………………………… (2分)
(2)n=8时,取A= 1,2 ,B= 3,6 ,则x+y的值为4,7,5,8,除以8的余数为4,7,5,0.
所以A+B= 4,5,7,0 满足条件; ……………………………………………………………… (4分)
n=16时,取A= 1,2,9,10 ,B= 3,6,11,14 ,
x+y的值分别为4,7,12,15,5,8,13,16,20,23,21,24,除以16的余数为4,7,12,15,5,8,13,0.
所以A+B= 4,5,7,8,12,13,15,0 满足条件.………………………………………………… (6分)
(3)①首先证明:若正整数n是“好的”,则2n也是“好的”. (*)
事实上,若正整数n是“好的”,
设A= a1,a2,…,as ,B= b1,b2,…,bt ,A+B= c1,c2,…,cr ,此时集合A,B 满足n时条件.
2n时,考虑C= a1,a2,…,as,a1+n,a2+n,…,as+n ,
D= b1,b2,…,bt,b1+n,b2+n,…,bt+n ,
则C+D= c1,c2,…,cr,c1+n,c2+n,…,cr+n 也满足条件,(*)得证. ………………… (10分)
②再证:n≥3为奇数是“好的”. (**)
事实上,取A= 1 ,B= 2,4,6,…,n-1 ,则A+B= 3,5,7,…,n-2,0 满足条件,(**)得证.
由(*)(**)及(2)知除1,2,4外的正整数均为“好的”.……………………………………… (12分)
③再证:n=4不是“好的”.
对集合A,记 A 为A 中元素个数,由条件,A + B + A+B =n.
若 A = B =1,则 A+B =1,矛盾.………………………………………………………… (14分)
若 A ≥2或 B ≥2,则 A+B ≥2,则 A + B + A+B ≥5,矛盾.
于是n=4不是“好的”.…………………………………………………………………………… (16分)
同理易知n=1,2不是“好的”.
所以,所求为除1,2,4外的正整数.……………………………………………………………… (17分)
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