【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺：尺规作图（含解析）

2025年中考数学高频易错考前冲刺：尺规作图
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 扬州期末）如图，OC是一条射线，将一把直角三角尺（∠OAB＝30°，∠OBA＝60°）的直角顶点放在O处，∠BOC＝40°，将OC绕着点O按每秒15°的速度顺时针旋转360°，设旋转时间为t秒，分别作出∠BOC、∠AOC的角平分线OE、OF．在旋转过程中，当OE或OF中有一条射线与AB平行时，t的值为（　　）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角）
A． B． C．或 D．或
2．（2024秋 海安市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据步骤作图：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN，交AB于点D．若CD＝3，则AB的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024秋 天山区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧交AC，AB于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AB于点E，若DE＝3，∠B＝30°，则AB的长为（　　）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
4．（2024秋 朝阳区期末）下面是“作∠AOB的平分线”的尺规作图方法：
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； （3）作射线OP．
上述方法通过判定△POC≌△POD得到∠POC＝∠POD，其中判定△POC≌△POD 的依据是（　　）
A．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
5．（2024秋 长兴县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点G，F，再分别以G，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BC于点D，已知CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．24
6．（2024秋 裕华区期末）在4×4的正方形网格中，点A、B、C均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边AC上的高．现有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（　　）
方案Ⅰ ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F； ③连接BF，交边AC于点G，BQ即为所求 方案Ⅱ ①取点P，点P为小正方形的顶点； ②连接BP交边AC于点Q．BQ即为所求．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
7．（2024秋 洛阳期末）如图，甲、乙两位同学分别用尺规作∠APB的平分线PQ，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（　　）
A．甲、乙均正确 B．只有甲正确
C．只有乙正确 D．甲、乙均不正确
8．（2024秋 南通期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12．按如图所示作图痕迹作图，在BC上得点D，在AC上得点E，则DE的长为（　　）
A．4 B． C． D．
9．（2024秋 大连期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G．若CG＝6，则点G到AB的距离为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
10．（2024秋 和平区校级期末）如图，圆上有两点A，B，连结AB，分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，CD交于AB点E，交于点F，若EF＝1，AB＝6，则该圆的半径长是（　　）
A．10 B．6 C．5 D．4
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 苏州期末）小明通过画直线分割正方形，在正方形内画1条直线，该直线将正方形分成2个区域（图①）；在正方形内画2条直线，最少可以分成3个区域（图②）；最多可以分成4个区域且2条直线在正方形内（不含边界）有1个交点（图③）；在正方形内画3条直线，最多可以分成7个区域且3条直线在正方形内（不含边界）有3个交点（图④）．
小明又进行了多次试验，其中1次他在正方形内画a条直线，将正方形分成b个区域且a条直线在正方形内（不含边界）有c个交点，则a，b，c之间的数量关系为 　 　．
12．（2024秋 海勃湾区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝4，AB＝10，则△ABD的面积是 　 　．
13．（2024秋 天津期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O，P均在格点上．点M在射线OA上，点N在射线OB上，当△PMN的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出△PMN，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　．
14．（2024秋 河西区期末）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC内接于圆，点A，B均落在格点上，且过点B的网格线为圆的切线，点C为格线上一点．
（Ⅰ）线段AB的长等于 　 　；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出△ABC的内心（点P），并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　．
15．（2024秋 天府新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的角平分线，按以下步骤作图：①分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN分别交边AC，BC于点E，F，连接DE，DF．若BF＝2，则线段DF的长为 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 莲湖区期末）如图，已知∠AOB，利用尺规作∠BOC，使得∠AOB＝∠BOC．（射线OA，OC不重合，保留作图痕迹，不写作法）
17．（2024秋 江汉区期末）（1）如图（1），已知点A，B，P，Q，按下列要求，画出图形：
①连接AB；②画直线PQ；③画射线AP；④在平面内找一点O，使得AO+BO+PO+QO最小；
（2）如图（2），已知∠MON，画射线OC，使得∠MOC＝∠NOC；
（3）在（2）的条件下，若∠MON＝66°，∠DON＝21°，直接写出∠COD的度数．
18．（2024秋 福州期末）已知△ABC与△CBD相似，点A，B，C分别对应于点C，B，D，其中，，．
（1）求CD的长；
（2）如图，将△ABC放置在7×6的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，△ABC的三个顶点均在格点上，请在给出的格点图中画出△CBD（仅用无刻度直尺画图，并标明点D的位置）．
19．（2024秋 丰台区期末）如图，已知线段AB和点C，D，且点D是线段AB的中点．
（1）使用直尺和圆规，根据要求补全图形（保留作图痕迹）：
①画直线AC；
②画射线CD；
③在CD的延长线上取点E，使DE＝CD；
④连接BE．
（2）经测量，猜想（1）中线段AC，BE之间的数量关系是 　 　．
20．（2024秋 永春县期末）如图，在△ABC中，点D是BA延长线上的一点．
（1）在∠DAC的内部求作一条射线AE，使得AE∥BC（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若射线AE平分∠DAC，判断△ABC的形状，并说明理由．
2025年中考数学高频易错考前冲刺：尺规作图
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D C D C C A C A C
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 扬州期末）如图，OC是一条射线，将一把直角三角尺（∠OAB＝30°，∠OBA＝60°）的直角顶点放在O处，∠BOC＝40°，将OC绕着点O按每秒15°的速度顺时针旋转360°，设旋转时间为t秒，分别作出∠BOC、∠AOC的角平分线OE、OF．在旋转过程中，当OE或OF中有一条射线与AB平行时，t的值为（　　）．（注：本题中所有的角均是指大于0度且小于或等于180度的角）
A． B． C．或 D．或
【考点】作图—基本作图；一元一次方程的应用；平行线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】分两种情况：①当OF∥AB时，②当OE∥AB时，进行讨论即可．
【解答】解：①如图，当OF∥AB时，
∵∠OAB＝30°，
∴∠AOF＝∠OAB＝30°，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOF＝2×30°＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+60°＝150°，
即：15°t+40°＝150°，
解得：t；
②如图，当OE∥AB时，
∵∠OBA＝60°，
∴∠BOE＝∠OBA＝60°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠BOE＝2×60°＝120°，
∴15°t+40°＝360°﹣120°，
解得：t，
综上所述，在旋转过程中，当OE或OF中有一条射线与AB平行时，t的值为秒或秒．
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的定义，周角的定义，角的和差运算，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握角的和差运算，利用分类讨论思想求解是解答的关键．
2．（2024秋 海安市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据步骤作图：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN，交AB于点D．若CD＝3，则AB的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】D
【分析】由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，则点D为AB的中点，结合直角三角形斜边上的中线的性质可得AB＝2CD＝6．
【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段AB的垂直平分线，
∴点D为AB的中点．
∴CD为Rt△ABC斜边上的中线，
∴CD，
∴AB＝2CD＝6．
故选：D．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质是解答本题的关键．
3．（2024秋 天山区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，小于AC的长为半径作弧交AC，AB于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP，交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AB于点E，若DE＝3，∠B＝30°，则AB的长为（　　）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；尺规作图；几何直观．
【答案】C
【分析】由作图过程可知，射线AP为∠BAC的平分线，则∠CAD＝∠BAD．由题意得DE∥AC，可得∠CAD＝∠EDA，则∠BAD＝∠EDA，AE＝DE＝3．根据含30度角的直角三角形的性质可得BE＝2DE＝6，再根据AB＝AE+BE可得答案．
【解答】解：由作图过程可知，射线AP为∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠BAD．
∵∠C＝90°，DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴∠EDA＝∠CAD，
∴∠EDA＝∠BAD，
∴AE＝DE＝3．
在Rt△BDE中，∠B＝30°，
∴BE＝2DE＝6，
∴AB＝AE+BE＝3+6＝9．
故选：C．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握角平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质是解答本题的关键．
4．（2024秋 朝阳区期末）下面是“作∠AOB的平分线”的尺规作图方法：
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P； （3）作射线OP．
上述方法通过判定△POC≌△POD得到∠POC＝∠POD，其中判定△POC≌△POD 的依据是（　　）
A．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】D
【分析】由作图过程可知，OC＝OD，CP＝DP，结合全等三角形的判定可得答案．
【解答】解：由作图过程可知，OC＝OD，CP＝DP，
∵OP＝OP，
∴△OPC≌△OPD（SSS），
∴判定△OPC≌△OPD的依据是三边分别相等的两个三角形全等．
故选：D．
【点评】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．
5．（2024秋 长兴县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点G，F，再分别以G，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE，交BC于点D，已知CD＝3，AB＝8，则△ABD的面积为（　　）
A．8 B．10 C．12 D．24
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】C
【分析】过点D作DH⊥AB于点H．利用角平分线的性质证明DH＝DC＝3可得结论．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H．
∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DH⊥AB，
∴DH＝DC＝3，
∴△ABD的面积 AB DH8×3＝12．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质定理．
6．（2024秋 裕华区期末）在4×4的正方形网格中，点A、B、C均为小正方形的顶点，老师要求同学们作边AC上的高．现有无刻度的直尺和圆规，两同学提供了如下两种方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是（　　）
方案Ⅰ ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC于点D，E； ②分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F； ③连接BF，交边AC于点G，BQ即为所求 方案Ⅱ ①取点P，点P为小正方形的顶点； ②连接BP交边AC于点Q．BQ即为所求．
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行 D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【考点】作图—复杂作图；勾股定理．
【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，网格线的特征进行判断即可．
【解答】解：方案I是过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，故方案I可行，
方案II是根据网格线的特征作图，故方案II可行，
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图与勾股定理，掌握网格线的特征和过直线外一点作已知直线的垂线的基本做法是解题的关键．
7．（2024秋 洛阳期末）如图，甲、乙两位同学分别用尺规作∠APB的平分线PQ，则关于两人的作图方法，下列判断正确的是（　　）
A．甲、乙均正确 B．只有甲正确
C．只有乙正确 D．甲、乙均不正确
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】A
【分析】利用全等三角形的判定和性质以及角平分线的定义判断即可．
【解答】解：如图甲中，根据SSS可以证明△POM≌△PON，推出∠OPM＝∠OPN，即PQ平分APB．
如图乙中，根据HL可以证明△PKE≌△PKF，推出∠KPE＝∠KPF，即PQ平分∠APB．
故选：A．
【点评】本题考查基本作图，解题的关键是读懂图象信息．
8．（2024秋 南通期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12．按如图所示作图痕迹作图，在BC上得点D，在AC上得点E，则DE的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【考点】作图—复杂作图；勾股定理．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出AC，再利用面积法求出DE．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12．
∴AC13，
∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC，
∴DE＝DB，
∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，
∴ AB CB AB DB AC DE，
∴DE．
故选：C．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，解题的关键是学会利用面积法解决问题．
9．（2024秋 大连期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G．若CG＝6，则点G到AB的距离为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．10
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】A
【分析】过点G作GH⊥AB于点H，由作图过程可知，射线AF为∠BAC的平分线，可得GH＝CG＝6，则点G到AB的距离为6．
【解答】解：过点G作GH⊥AB于点H，
由作图过程可知，射线AF为∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴GH＝CG＝6，
∴点G到AB的距离为6．
故选：A．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
10．（2024秋 和平区校级期末）如图，圆上有两点A，B，连结AB，分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，两弧相交于点C，D，CD交于AB点E，交于点F，若EF＝1，AB＝6，则该圆的半径长是（　　）
A．10 B．6 C．5 D．4
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理；垂径定理．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】先利用基本作图可判断CD垂直平分AB，AE＝BE＝3，根据垂径定理的推论可判断过AB的圆的圆心O在CD上，连接OA，如图设⊙O的半径为r，利用勾股定理得到32+（r﹣1）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】解：根据作法得CD垂直平分AB，
∴AE＝BEAB＝3，过AB的圆的圆心O在CD上，
连接OA，如图，
设⊙O的半径为r，则OA＝r，OE＝r﹣1，
在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，
解得r＝5，
即该圆的半径长是5．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和垂径定理．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 苏州期末）小明通过画直线分割正方形，在正方形内画1条直线，该直线将正方形分成2个区域（图①）；在正方形内画2条直线，最少可以分成3个区域（图②）；最多可以分成4个区域且2条直线在正方形内（不含边界）有1个交点（图③）；在正方形内画3条直线，最多可以分成7个区域且3条直线在正方形内（不含边界）有3个交点（图④）．
小明又进行了多次试验，其中1次他在正方形内画a条直线，将正方形分成b个区域且a条直线在正方形内（不含边界）有c个交点，则a，b，c之间的数量关系为 　b＝c+1+a　．
【考点】作图—应用与设计作图；完全平方式．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】b＝c+1+a．
【分析】由图形总结出画1条直线，2条直线，3条直线，……，a条直线时最多的区域数和交点数，据此即可得出结论．
【解答】解：由图可知：当画1条直线时：直线数为1，最多区域数为，交点数为，
当画2条直线时：直线数为2，最多区域数为，交点数为，
当画3条直线时：直线数为3，最多区域数为，交点数为，
……，
当画a条直线时：直线数为a，最多区域数为，交点数为，
∴b＝c+1+a，
故答案为：b＝c+1+a．
【点评】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现并总结出一般规律是解题的关键．
12．（2024秋 海勃湾区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D，若CD＝4，AB＝10，则△ABD的面积是 　20　．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】20．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作图过程可知，射线AP为∠BAC的平分线，结合角平分线的性质可得DE＝CD＝4，再根据△ABD的面积公式可得答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由作图过程可知，射线AP为∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝CD＝4．
∴△ABD的面积是AB DE10×4＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
13．（2024秋 天津期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，O，P均在格点上．点M在射线OA上，点N在射线OB上，当△PMN的周长最小时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出△PMN，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 　作点P关于直线OA的对称点P′，点P关于直线OB的对称点P″，连接P′P″交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，△PMN即为所求　．
【考点】作图—复杂作图；轴对称﹣最短路线问题；勾股定理．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解析．
【分析】利用轴对称的性质解决最短问题．
【解答】解：如图，△PMN即为所求．
方法：作点P关于直线OA的对称点P′，点P关于直线OB的对称点P″，连接P′P″交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，△PMN即为所求．
故答案为：作点P关于直线OA的对称点P′，点P关于直线OB的对称点P″，连接P′P″交OA，OB于点M，N，连接PM，PN，△PMN即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称最短问题，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
14．（2024秋 河西区期末）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC内接于圆，点A，B均落在格点上，且过点B的网格线为圆的切线，点C为格线上一点．
（Ⅰ）线段AB的长等于 　　；
（Ⅱ）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出△ABC的内心（点P），并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） 　作直径MN交网格线于点O（点O与点B在同一水平网格线上），作出AC的中点T，连接OT，延长OT交⊙O于点K，连接BK，取AB的中点J（AB与网格线的交点），连接OJ，延长OJ交⊙O于点Q，连接CQ，CQ交BK于得到P，点P即为所求（∠ABC，∠ACB都是角平分线的交点即为内心）　．
【考点】作图—复杂作图；勾股定理；三角形的外接圆与外心；切线的性质；三角形的内切圆与内心．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）作直径MN交网格线于点O（点O与点B在同一水平网格线上），作出AC的中点T，连接OT，延长OT交⊙O于点K，连接BK，取AB的中点J（AB与网格线的交点），连接OJ，延长OJ交⊙O于点Q，连接CQ，CQ交BK于得到P，点P即为所求（∠ABC，∠ACB都是角平分线的交点即为内心）．
【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解；
（Ⅱ）作直径MN交网格线于点O（点O与点B在同一水平网格线上），作出AC的中点T，连接OT，延长OT交⊙O于点K，连接BK，取AB的中点J（AB与网格线的交点），连接OJ，延长OJ交⊙O于点Q，连接CQ，CQ交BK于得到P，点P即为所求（∠ABC，∠ACB都是角平分线的交点即为内心）．
【解答】解：（Ⅰ）AB．
故答案为：；
（Ⅱ）如图，点P即为所求．
方法：作直径MN交网格线于点O（点O与点B在同一水平网格线上），作出AC的中点T，连接OT，延长OT交⊙O于点K，连接BK，取AB的中点J（AB与网格线的交点），连接OJ，延长OJ交⊙O于点Q，连接CQ，CQ交BK于得到P，点P即为所求（∠ABC，∠ACB都是角平分线的交点即为内心）．
故答案为：作直径MN交网格线于点O（点O与点B在同一水平网格线上），作出AC的中点T，连接OT，延长OT交⊙O于点K，连接BK，取AB的中点J（AB与网格线的交点），连接OJ，延长OJ交⊙O于点Q，连接CQ，CQ交BK于得到P，点P即为所求（∠ABC，∠ACB都是角平分线的交点即为内心）．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，三角形的外接圆与外心，切线的性质，三角形的内切圆与内心，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
15．（2024秋 天府新区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的角平分线，按以下步骤作图：①分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN分别交边AC，BC于点E，F，连接DE，DF．若BF＝2，则线段DF的长为 　　．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】．
【分析】由作图过程可知，直线MN为线段CD的垂直平分线，可得CF＝DF，则∠CDF＝∠DCF，结合角平分线的定义可得∠CDF＝∠ACD，则AC∥DF，进而可得∠BFD＝∠ACB＝90°，∠BDF＝∠A＝30°，则DF．
【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段CD的垂直平分线，
∴CF＝DF，
∴∠CDF＝∠DCF．
∵CD为△ABC的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠CDF＝∠ACD，
∴AC∥DF，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠BFD＝∠ACB＝90°，∠BDF＝∠A＝30°，
∴DF．
故答案为：．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 莲湖区期末）如图，已知∠AOB，利用尺规作∠BOC，使得∠AOB＝∠BOC．（射线OA，OC不重合，保留作图痕迹，不写作法）
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解析．
【分析】在BC的下方作∠BOC＝∠AOB即可，
【解答】解：如图，∠BOC即为所求．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
17．（2024秋 江汉区期末）（1）如图（1），已知点A，B，P，Q，按下列要求，画出图形：
①连接AB；②画直线PQ；③画射线AP；④在平面内找一点O，使得AO+BO+PO+QO最小；
（2）如图（2），已知∠MON，画射线OC，使得∠MOC＝∠NOC；
（3）在（2）的条件下，若∠MON＝66°，∠DON＝21°，直接写出∠COD的度数．
【考点】作图—复杂作图；线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）见解答；
（3）12°或54°．
【分析】（1）根据线段、直线、射线及两点之间线段最短进行作图；
（2）根据作角平分线的基本作法作图；
（3）根据角平分线的性质及角的和差求解．
【解答】解：（1）线段AB、直线PQ、射线AP、点O即为所求；
（2）射线OC即为所求；
（3）∵∠MON＝66°，∴∠CON＝∠COM＝33°，
∵∠DON＝21°，
∴当OD在∠CON内部时：∠COD＝33°﹣21°＝12°，
当OD在∠CON内部时：∠COD＝33°+21°＝54°．
12°或54°．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握角的和差及线段、直线、射线的特征是解题的关键．
18．（2024秋 福州期末）已知△ABC与△CBD相似，点A，B，C分别对应于点C，B，D，其中，，．
（1）求CD的长；
（2）如图，将△ABC放置在7×6的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，△ABC的三个顶点均在格点上，请在给出的格点图中画出△CBD（仅用无刻度直尺画图，并标明点D的位置）．
【考点】作图—应用与设计作图；相似三角形的性质．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】（1）2；
（2）见解答．
【分析】（1）根据相似三角形的性质求解；
（2）先根据相似三角形的性质得出△BCD为直角三角形，再根据玩个性的特点作图．
【解答】解：（1）∵△ABC与△CBD相似，
∴，即，
解得：CD＝2；
（2）如图所示：
∵AB2+BC2＝2+8＝10＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
∵△ABC与△CBD相似，
∴∠CBD＝∠ABC＝90°，
△CBD即为所求．
【点评】本题考查了作图的应用与设计，掌握相似三角形的性质和网格线的特征是解题的关键．
19．（2024秋 丰台区期末）如图，已知线段AB和点C，D，且点D是线段AB的中点．
（1）使用直尺和圆规，根据要求补全图形（保留作图痕迹）：
①画直线AC；
②画射线CD；
③在CD的延长线上取点E，使DE＝CD；
④连接BE．
（2）经测量，猜想（1）中线段AC，BE之间的数量关系是 　AC＝BE　．
【考点】作图—复杂作图；直线、射线、线段．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】（1）见解答．
（2）AC＝BE．
【分析】（1）①根据直线的定义画图即可．
②根据射线的定义画图即可．
③延长CD，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交CD的延长线于点E即可．
④直接画线段BE即可．
（2）由测量可得AC＝BE．
【解答】解：（1）①如图，直线AC即为所求．
②如图，射线CD即为所求．
③如图，延长CD，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交CD的延长线于点E，
则点E即为所求．
④如图，线段BE即为所求．
（2）由测量得，AC＝BE．
故答案为：AC＝BE．
【点评】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段，熟练掌握直线、射线、线段的定义是解答本题的关键．
20．（2024秋 永春县期末）如图，在△ABC中，点D是BA延长线上的一点．
（1）在∠DAC的内部求作一条射线AE，使得AE∥BC（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若射线AE平分∠DAC，判断△ABC的形状，并说明理由．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）△ABC为等腰三角形．
【分析】（1）作∠CAE＝∠C，射线AE即为所求；
（2）结论：△ABC为等腰三角形．证明∠B＝∠C即可．
【解答】解：（1）如图，射线AE为所求作的图形；
（2）结论：△ABC为等腰三角形．
理由：∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠CAE，
∵AE∥BC，
∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC为等腰三角形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
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