【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺：二次函数（含解析）

2025年中考数学高频易错考前冲刺：二次函数
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 西湖区期末）已知二次函数y＝kx2+2x+c（k，c为常数，k≠0），当y＞0时，﹣1＜x＜2，则二次函数y＝kx2﹣2x+c的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 惠州期末）抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴交点个数为（　　）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2024秋 济南期末）关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向上
B．函数图象的顶点坐标是（﹣2，3）
C．函数图象与y轴的交点坐标是（0，1）
D．当x＞2时，y的值随x的值的增大而减小
4．（2025 嘉定区一模）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝（x﹣5）2﹣x2
C．y＝x2+1 D．
5．（2025 嘉定区一模）抛物线y＝x2+x一定经过点（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（2，4） D．（﹣2，﹣4）
6．（2025 浦东新区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 m 3 …
①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝1；③m的值为0；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
7．（2025 奉贤区一模）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 天津期末）抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3
9．（2024秋 天津期末）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
10．（2024秋 河西区期末）一位足球运动员将足球沿与地面成一定角度踢出，足球飞行的路线可以近似看作是一条抛物线，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系为h＝﹣t2+9t（0≤t≤9）．有下列结论：
①足球距离地面的最大高度为21m；
②足球被踢出4s和5s时，足球距离地面的高度是一样的；
③足球被踢出9s时落地，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 邗江区期末）将函数y＝﹣x2的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象对应的函数表达式是　 　．
12．（2024秋 赣榆区期末）心理学家研究发现，某年龄段的学生30min内对概念的接受能力y与提出概念所用时间x之间满足函数表达式：y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），则第　 　min时学生接受概念的能力最强．
13．（2024秋 邗江区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y＞0的解集为1＜x＜5，且当﹣1≤x≤4时，函数最大值与最小值的差为2，则a的值为　 　．
14．（2025 嘉定区一模）如果抛物线y＝（2﹣a）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是 　 　．
15．（2025 浦东新区一模）二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），那么y1　 　y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 浦东新区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M1：y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求抛物线M1的解析式；
（2）把抛物线M1向下平移m个单位（m＞0）得到抛物线M2，记抛物线M2的顶点为D，与y轴交于点E，直线DE与x轴交于点P．
①当点P与点A重合时，求m的值；
②记点B平移后的对应点为B′，如果BD∥B′P，求此时点D的坐标．
17．（2024秋 本溪期末）【发现问题】数学兴趣小组春节前50天到某超市进行实践活动，发现该超市销售某品牌灯笼进价是30元/个，在销售过程中，灯笼的销售价格，销售量都随销售天数的变化而变化．
【提出问题】超市销售该品牌灯笼的利润w（元）与销售天数x（天）之间有怎样的关系？
【分析问题】小组成员结合实际销售情况，得到下表所示的数据：
第x天 1 2 3 4 5 …
销售价格y（元/个） 109 108 107 106 105 …
销售量z（个） 11 12 13 14 15 …
经过分析计算，小组成员得到相关信息：
①销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为：y＝﹣x+110．
②销售量z（个）与销售天数x（天）的关系式为：z＝x+10．
【解决问题】（1）求该超市第10天的销售利润；
（2）当40≤x≤50时，求第几天超市的销售利润w（元）最大？最大利润是多少元？
18．（2024秋 大丰区期末）根据以下素材，探索完成任务：
如何确定灌溉方案
素材1 蔬菜大棚里装有1个自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜，如图1所示，喷水口中心O有一喷水管OA垂直于地面并可以随意调节高度，从A点向外喷水，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．
素材2 测量得喷头的高OA米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高EF＝3米，距离喷水口OE＝4米．
素材3 ◆种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间，发现这位农民在与喷水口水平距离是P米时，不会被水淋到． ◆种植农民给蔬菜大棚拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3．
问题解决
任务1 模型构建 在图2中建立合适的直角坐标系，求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务2 模型分析 求P的取值范围．
任务3 问题解决 求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是0.2米．1.414，精确到0.1米）
19．（2025 嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为D．
（1）为了确定这条抛物线，需要再添加一个条件，请从以下两个条件中选择一个：
①它与y轴交点的坐标是（0，﹣1）；②顶点D的坐标为．
你选择的条件是 　 　（填写编号），并求b、c的值．
（2）由（1）确定的抛物线与x轴正半轴交于点A，求tan∠DAO的值．
20．（2025 嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点（2，3）和点（﹣4，3）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图，该抛物线上有三个点A、B、C，AB∥x轴，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB与抛物线的对称轴交于点M．（点A在对称轴的左侧）
①如果点C到抛物线对称轴的距离为t，请用含t的代数式表示点B的横坐标；
②求点C的横坐标．
2025年中考数学高频易错考前冲刺：二次函数
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D C B C D B B B
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 西湖区期末）已知二次函数y＝kx2+2x+c（k，c为常数，k≠0），当y＞0时，﹣1＜x＜2，则二次函数y＝kx2﹣2x+c的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据图象分析即可．
【解答】解：∵当y＞0时，﹣1＜x＜2，
∴函数与x轴的交点为（﹣1，0）和（2，0），且开口向下，故A、B、D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2024秋 惠州期末）抛物线y＝x2﹣2x+2与x轴交点个数为（　　）
A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】令y＝0，求出Δ，即可判断．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x+2，
令y＝0，则x2﹣2x+2＝0，
此时Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＜0，
∴抛物线与x轴无交点，
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握二次函数与x轴的交点横坐标即为所对应的一元二次方程的解．
3．（2024秋 济南期末）关于二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，下列说法正确的是（　　）
A．函数图象的开口向上
B．函数图象的顶点坐标是（﹣2，3）
C．函数图象与y轴的交点坐标是（0，1）
D．当x＞2时，y的值随x的值的增大而减小
【考点】二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【解答】解：由条件可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，3），
∴当x＝2时，y最大值＝3，当x＞2，y随x的增大而减小；
当x＝0时，y＝﹣1，即函数图象与y轴的交点坐标是（0，﹣1）．
综上，只有选项D说法正确；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握该知识点是关键．
4．（2025 嘉定区一模）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　）
A．y＝ax2+bx+c B．y＝（x﹣5）2﹣x2
C．y＝x2+1 D．
【考点】二次函数的定义．
【专题】二次函数图象及其性质；数感．
【答案】C
【分析】一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，据此进行判断即可．
【解答】解：y＝ax2+bx+c中当a＝0时，它不是二次函数，则A不符合题意；
y＝（x﹣5）2﹣x2＝﹣10x+25，则B不符合题意；
y＝x2+1符合二次函数的定义，则C符合题意；
y不符合二次函数的定义，则D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．（2025 嘉定区一模）抛物线y＝x2+x一定经过点（　　）
A．（1，0） B．（﹣1，0） C．（2，4） D．（﹣2，﹣4）
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：A、当x＝1时，y＝2，故点（1，0）不在抛物线y＝x2+x上，不符合题意；
B、当x＝﹣1时，y＝0，故点（﹣1，0）在抛物线y＝x2+x上，符合题意；
C、当x＝2时，y＝6，故点（2，4）不在抛物线y＝x2+x上，不符合题意；
D、当x＝﹣2时，y＝2，故点（﹣2，﹣4）不在抛物线y＝x2+x上，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
6．（2025 浦东新区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 m 3 …
①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝1；③m的值为0；④图象不经过第三象限；⑤抛物线在y轴右侧的部分是上升的．上述结论中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：由表格可知，
抛物线的对称轴是直线x1，故②正确；
抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①错误；
当y＝0时，x＝0或x＝2，故m的值为0，故③正确；
∵抛物线开口向上，顶点在第四象限，抛物线与x轴的交点为（0，0）和（2，0），
∴抛物线不经过第三象限，故④正确；
∵抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，
∴当x＞1时，抛物线呈上升趋势，故⑤错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
7．（2025 奉贤区一模）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+2与二次函数y＝x2﹣a的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】D
【分析】根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
【解答】解：当a＜0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．
8．（2024秋 天津期末）抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3
C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【答案】B
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝2（x+1）2﹣3．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
9．（2024秋 天津期末）若A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】把x＝﹣4、﹣3、2分别代入y＝x2+4x﹣5，计算出对应的函数值，然后比较大小即可．
【解答】解：∵A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，
∴y1＝（﹣4）2+4×（﹣4）﹣5＝﹣5；
y2＝（﹣3）2+4×（﹣3）﹣5＝﹣8；
y3＝22+4×2﹣5＝7，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
10．（2024秋 河西区期末）一位足球运动员将足球沿与地面成一定角度踢出，足球飞行的路线可以近似看作是一条抛物线，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系为h＝﹣t2+9t（0≤t≤9）．有下列结论：
①足球距离地面的最大高度为21m；
②足球被踢出4s和5s时，足球距离地面的高度是一样的；
③足球被踢出9s时落地，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据函数解析式求出抛物线的对称轴及顶点坐标，根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：h＝﹣t2+9t＝﹣（t﹣4.5）2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，抛物线的对称轴为直线t＝4.5，
故①错误；
∵抛物线的对称轴直线t＝4.5，
∴当t＝4和t＝5时，足球距离地面的高度是一样的，
故②正确；
当h＝0时，﹣t2+9t＝0，
解得t＝0或t＝9，
∴足球被踢出9s时落地，
故③正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 邗江区期末）将函数y＝﹣x2的图象先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象对应的函数表达式是　y＝﹣（x+1）2+3　．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】y＝﹣（x+1）2+3．
【分析】利用二次函数平移规律“左加右减，上加下减”求出答案即可．
【解答】解：由“左加右减，上加下减”的法则可知，二次函数y＝﹣x2平移后的函数表达式是：y＝﹣（x+1）2+3．
故答案为：y＝﹣（x+1）2+3．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
12．（2024秋 赣榆区期末）心理学家研究发现，某年龄段的学生30min内对概念的接受能力y与提出概念所用时间x之间满足函数表达式：y＝﹣0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），则第　13　min时学生接受概念的能力最强．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】13．
【分析】根据二次项系数小于零，判断该二次函数的图象开口向下，y有最大值，求出对称轴即可．
【解答】解：所用时间为13min时，学生接受概念的能力最强，理由如下：
∵a＝﹣0.1，
∴该二次函数的图象开口向下，y有最大值，
此时 x13，
所用时间为13min时，学生接受概念的能力最强．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了二次函数性质的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
13．（2024秋 邗江区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y＞0的解集为1＜x＜5，且当﹣1≤x≤4时，函数最大值与最小值的差为2，则a的值为　　．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】．
【分析】根据题意可以根据a的正负得到关于a的方程，从而可以求得a的值即可．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0），y＞0的解集为1＜x＜5，
∴a＜0，方程ax2+bx+c＝0的解集为x1＝1，x2＝5，
∴，即b＝﹣6a，
∵a＜0，
∴当x＝3时，有最大值y＝ax2﹣6ax+c＝9a﹣18a+c，
∵3﹣（﹣1）＝4＞1＝4﹣1，
∴当x＝﹣1时，有最小值y＝a+6a+c＝a+6a+c，
由题意可得：
∴9a﹣18a+c﹣（a+6a+c）＝2，
解得：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次函数的性质、二次函数的最值等知识点，灵活利用二次函数的性质是解答本题的关键．
14．（2025 嘉定区一模）如果抛物线y＝（2﹣a）x2+x﹣1的开口向下，那么a的取值范围是 　a＞2　．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】a＞2．
【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2﹣a＜0．
【解答】解：∵抛物线y＝（2﹣a）x2+x﹣1开口向下，
∴2﹣a＜0，
解得a＞2，
故答案为：a＞2．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向下．
15．（2025 浦东新区一模）二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），那么y1　＞　y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】＞．
【分析】求得二次函数的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质判断即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＞1时，y随x的增大而减小，
∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），且1＜2＜3，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 浦东新区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线M1：y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求抛物线M1的解析式；
（2）把抛物线M1向下平移m个单位（m＞0）得到抛物线M2，记抛物线M2的顶点为D，与y轴交于点E，直线DE与x轴交于点P．
①当点P与点A重合时，求m的值；
②记点B平移后的对应点为B′，如果BD∥B′P，求此时点D的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）；
（2）①m＝4；②．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①利用抛物线的平移思想，待定系数法，点重合的意义，解答即可；
②利用分类思想，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，整理解方程解答即可．
【解答】解：（1）将A（﹣3，0），C（0，5）分别代入解析式，
得：，
解得：，c＝5，
∴抛物线M1的解析式为：；
（2）①由题意，得，抛物线M1向下平移m个单位（m＞0）得到抛物线M2，
故抛物线M2的解析式可设为：，
∴，E（0，5﹣m），
设直线DE的解析式为：y＝kx+5﹣m，
∴，
解得，
∴直线DE的解析式为，
∴P（3m﹣15，0），
又∵点P与点A（﹣3，0）重合，
∴3m﹣15＝﹣3，
∴m＝4；
②记抛物线对称轴与x轴交于点H，那么H（1，0），且DH∥BB′∥y轴，
∵，
∴B（5，0），
当点P在点B左侧时，
∴BH＝5﹣1＝4，，BP＝5﹣（3m﹣15）＝20﹣3m，BB′＝m，
∵DH∥BB′∥y轴，
∴∠DBH＝∠B′PB，
∵∠DHB＝∠B'BP＝90°，
∴△B′PB∽△DBH，
∴，
∴，
解得；
同理可证，当点P在点B右侧时，仍有成立，
有：，
解得：，
∴点D的坐标为．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的平移，三角形相似的判定和性质，解方程，分类思想，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质是解题的关键．
17．（2024秋 本溪期末）【发现问题】数学兴趣小组春节前50天到某超市进行实践活动，发现该超市销售某品牌灯笼进价是30元/个，在销售过程中，灯笼的销售价格，销售量都随销售天数的变化而变化．
【提出问题】超市销售该品牌灯笼的利润w（元）与销售天数x（天）之间有怎样的关系？
【分析问题】小组成员结合实际销售情况，得到下表所示的数据：
第x天 1 2 3 4 5 …
销售价格y（元/个） 109 108 107 106 105 …
销售量z（个） 11 12 13 14 15 …
经过分析计算，小组成员得到相关信息：
①销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为：y＝﹣x+110．
②销售量z（个）与销售天数x（天）的关系式为：z＝x+10．
【解决问题】（1）求该超市第10天的销售利润；
（2）当40≤x≤50时，求第几天超市的销售利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）1400元；
（2）第40天销售利润最大，最大销售利润是2000元．
【分析】（1）根据已知函数解析式求出第10天的销售价格y＝100，销售量z＝20，再由销售利润＝（销售价格﹣成本）×销量即可计算利润；
（2）根据利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质得出最大利润即可．
【解答】解：（1）∵销售价格y（元/个）与销售天数x（天）的关系式为y＝﹣x+110，销售量z（个）与销售天数x（天）的关系式为z＝x+10，
当x＝10时，y＝﹣10+110＝100；z＝10+10＝20，
∴（100﹣30）×20＝1400元，
答：第10天销售利润是1400元．
（2）∵w＝（y﹣30）z＝（﹣x+100﹣30）（x+10），
∴w＝﹣x2+70x+800．
∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下．
∵对称轴是，
∴x＞35时，w随x的增大而减小．
又∵40≤x≤50，
∴x＝40时，w有最大值，此时w＝2000．
答：第40天销售利润最大，最大销售利润是2000元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式并熟知函数的基本性质是解题关键．
18．（2024秋 大丰区期末）根据以下素材，探索完成任务：
如何确定灌溉方案
素材1 蔬菜大棚里装有1个自动旋转式洒水喷头灌溉蔬菜，如图1所示，喷水口中心O有一喷水管OA垂直于地面并可以随意调节高度，从A点向外喷水，观察喷头可顺、逆时针往返喷洒，喷出的水柱最外层的形状为抛物线．
素材2 测量得喷头的高OA米，喷水口中心点O到水柱的最外落水点D水平距离为8米，其中喷出的水正好经过一个直立木杆EF的顶部F处，木杆高EF＝3米，距离喷水口OE＝4米．
素材3 ◆种植农民的身高为1.75米，他常常往返于菜地之间，发现这位农民在与喷水口水平距离是P米时，不会被水淋到． ◆种植农民给蔬菜大棚拉一层塑料薄膜用来保温保湿，以便蔬菜更好地生长．测量发现薄膜所在平面和地面的夹角是45°，截面如图3．
问题解决
任务1 模型构建 在图2中建立合适的直角坐标系，求出水柱所在抛物线的函数解析式．
任务2 模型分析 求P的取值范围．
任务3 问题解决 求薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是0.2米．1.414，精确到0.1米）
【考点】二次函数的应用；坐标与图形变化﹣旋转．
【专题】待定系数法；二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）yx2x；
（2）P的取值范围为：1＜p＜6.5；
（3）薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约是8.6米时，喷出的水与薄膜的距离至少是0.2米．
【分析】（1）以点O为原点，OD所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易得点A、F、D的坐标，代入所设的函数解析式，即可得到相关的函数解析式；
（2）取y＝1.75，代入（1）中得到的函数解析式，求得对应的x的值，即可得到P的取值范围；
（3）设出与抛物线相切的直线MN的解析式，进而根据只有一个交点，可得直线MN的解析式，取y＝0，可得对应的x的值，加上MM′的长度，即为薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离是多少米时，喷出的水与薄膜的距离至少是0.2米．
【解答】解：（1）以点O为原点，OD所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
设二次函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
∵经过点A（0，），F（4，3），D（8，0），
∴，
解得：，
∴yx2x；
（2）1.75x2x；x2﹣7.5x+6.5＝0，
（x﹣1）（x﹣6.5）＝0，
解得：x1＝1，x2＝6.5，
∴P的取值范围为：1＜p＜6.5；
（3）如图：直线MN与二次函数相切，与x轴的夹角为45°，
∴设直线MN的解析式为：y＝﹣x+b，
∴，
∴x2xx+b，
x2﹣13.5x+（6b﹣4）＝0，
∴（﹣13.5）2﹣4（6b﹣4）＝0，
24b＝198.25，
b≈8.3，
∴y＝﹣x+8.3，
当y＝0时，x＝8.3，
∴OM＝8.3，
由题意得：MF＝0.2，MF⊥M′F，
∴MM′＝0.20.2×1.414≈0.2828，
∴OM′＝8.3+0.2828≈8.6（米）．
答：薄膜与地面接触点与喷水口的水平距离约是8.6米时，喷出的水与薄膜的距离至少是0.2米．
【点评】本题考查二次函数的应用．理解喷出的水与薄膜的距离至少是0.2米时薄膜所在的位置是解决本题的难点．
19．（2025 嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点为D．
（1）为了确定这条抛物线，需要再添加一个条件，请从以下两个条件中选择一个：
①它与y轴交点的坐标是（0，﹣1）；②顶点D的坐标为．
你选择的条件是 　②　（填写编号），并求b、c的值．
（2）由（1）确定的抛物线与x轴正半轴交于点A，求tan∠DAO的值．
【考点】抛物线与x轴的交点；解直角三角形；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】（1）②，b，c＝1．
（2）．
【分析】（1）由题意得，选择的条件是②，可得抛物线的对称轴为直线x＝1，即1，可求出b的值，再将代入抛物线的解析式，可得c的值．
（2）由（1）得，抛物线的解析式为y1，可得A（3，0），设抛物线的对称轴与x轴交于点B，则B（1，0），BD，AB＝2，再根据tan∠DAO可得答案．
【解答】解：（1）选择的条件是②．
∵顶点D的坐标为，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴1，
解得b，
∴yc．
将代入yc，
得，
解得c＝1．
故答案为：②．
（2）由（1）得，抛物线的解析式为y1．
如图，
设抛物线的对称轴与x轴交于点B，
则B（1，0）．
∵顶点D的坐标为，
∴BD．
令1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（3，0），
∴AB＝2，
∴tan∠DAO．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（2025 嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过点（2，3）和点（﹣4，3）．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）如图，该抛物线上有三个点A、B、C，AB∥x轴，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AB与抛物线的对称轴交于点M．（点A在对称轴的左侧）
①如果点C到抛物线对称轴的距离为t，请用含t的代数式表示点B的横坐标；
②求点C的横坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】函数的综合应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）该抛物线的表达式为y．
（2）①点B的横坐标为2t﹣1．
②点C的横坐标为．
【分析】（1）由点（2，3）和点（﹣4，3）可得对称轴为直线x＝﹣1，从而可得b＝2a，故而y＝ax2+bx﹣1＝ax2+2ax﹣1，再代入（2，3）得a，从而可得解析式；
（2）①连接MC，证明△BMC为等边三角形．作CD⊥直线x＝﹣1于点D，则∠BMC＝∠MCD＝60°，得MC2t，从而可知BM＝MC＝2t，最后可求得B点的横坐标；
②点B的横坐标为2t﹣1，则点B的纵坐标为，点C的横坐标为t﹣1，点C纵坐标为，最后根据tan∠DCM＝tan60°列方程求解即可得t，进而可得C点横坐标．
【解答】解：（1）对称轴为直线x，
∴b＝2a，故而y＝ax2+bx﹣1＝ax2+2ax﹣1，
再代入（2，3）得a，
故该抛物线的表达式为y．
（2）①连接MC，如图1所示：
由M为AB中点，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°，由斜边中线定理知CM＝BM，进而△BMC为等边三角形．
作CD⊥直线x＝﹣1于点D，则∠BMC＝∠MCD＝60°，
∴MC2t，
则BM＝MC＝2t，
故点B的横坐标为2t﹣1．
②∵点B的横坐标为2t﹣1，则点B的纵坐标为，
点C的横坐标为t﹣1，点C纵坐标为，
∵tan∠DCM＝tan60°，
解得：t，
故点C的横坐标为．
【点评】本题考查了二次函数的性质，待定系数法，直角三角形的性质，三角函数，熟练运用以上知识是解题关键．
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