【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺：分式方程（含解析）
文档属性
| 名称 | 【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺：分式方程（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 53.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-12 07:45:37 | ||
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文档简介
2025年中考数学高频易错考前冲刺：分式方程
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 江汉区期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 太仓市期末）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 洛阳期末）把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．x2+x
4．（2024秋 南通期末）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做5个，甲做100个所用的时间与乙做75个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 裕华区期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
6．（2024秋 西山区期末）分式方程的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝5
7．（2024秋 雷州市期末）下列是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 中山市期末）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A．2x﹣3＝3x﹣1 B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1
C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1 D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1
9．（2024秋 武昌区期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
10．（2024秋 延长县期末）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时x公里，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 綦江区期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，根据题意，列方程为 ．
12．（2024秋 开州区期末）若关于x的不等式组，有解且至多有1个偶数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数m的值的和为 ．
13．（2024秋 赵县期末）关于x的方程无解，则k的值为 ．
14．（2024秋 朝阳区期末）方程的解为 ．
15．（2024秋 南通期末）若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 海沧区期末）科学研究表明，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一棵成年银杏树一年的平均滞尘量比一棵成年国槐树一年的平均滞尘量的2倍还多20克，一年滞尘2100克所需的成年银杏树的数量与一年滞尘1000克所需的成年国槐树的数量相同．
（1）求一棵成年国槐树一年的平均滞尘量；
（2）据统计，某工厂平均每年经排尘口排出悬浮颗粒物为6200～7900克．该厂排尘口附近目前已有8棵成年国槐树，要使排尘口附近的悬浮颗粒物全部吸附，至少还需移植多少棵成年银杏树？（假设排尘口所有的悬浮颗粒物全部由附近的国槐树和银杏树吸收，且移植的银杏树全部存活）
17．（2024秋 高坪区期末）某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
（1）若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价．
（2）若小华在乙商店购买，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．小华本打算按照老师的吩咐购买m本硬面笔记本（m为正整数），但她发现：若再多购买5本，所需费用与原来居然相等．求乙商店硬面笔记本的原价．
18．（2024秋 泰兴市期末）
题目：某花店准备购买康乃馨和百合花，康乃馨每枝的单价比百合花每枝的单价多2元，用300元购买康乃馨的数量与用240元购买百合花的数量相同．求康乃馨和百合花每枝的进价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：康乃馨数量＝百合花数量
解法二 设…… 等量关系：康乃馨单价﹣百合花单价＝2
（1）解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的y表示 ；
（2）请选择一种解法，求康乃馨和百合花每枝的进价．
19．（2024秋 朝阳区期末）某地积极利用农业技术创新，改良玉米品种，提高品种适应性和抗病性，玉米平均每亩增产25%，原来总产量60吨的一块土地，现在少种20亩，总产量仍可达到60吨，原来和现在玉米的平均每亩产量各是多少吨？
20．（2024秋 武汉期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
2025年中考数学高频易错考前冲刺：分式方程
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B D D D D A B
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 江汉区期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】等量关系式：绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文，据此列方程，即可求解．
【解答】解：由绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文得方程为：
，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
2．（2024秋 太仓市期末）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个得出等式即可．
【解答】解：根据题意可列方程为：
，
故选：A．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意，列出分式方程是关键．
3．（2024秋 洛阳期末）把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．x2+x
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】分式方程去分母化为整式方程是要先确定几个分母的最简公分母，（x﹣1）和（x+1）的最简公分母是（x﹣1）（x+1），再将方程两边同时乘以几个分母的最简公分母约去分母．
【解答】解：因为（x﹣1）和（x+1）的最简公分母是（x﹣1）（x+1），
所以分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（x﹣1）（x+1），即x2﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式方程去分母，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程去分母的步骤．
4．（2024秋 南通期末）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做5个，甲做100个所用的时间与乙做75个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据甲、乙工作效率间的关系，可得出甲每小时做（x+5）个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲做100个所用的时间与乙做75个所用的时间相等，可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵甲每小时比乙多做5个，且乙每小时做x个，
∴甲每小时做（x+5）个．
根据题意得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．（2024秋 裕华区期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
【考点】分式方程的增根．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．
【解答】解：去分母，得：k﹣3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程，可得：k＝3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．（2024秋 西山区期末）分式方程的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝5
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验的方法解分式方程即可．
【解答】解：，
去分母得：x﹣3＝2，
移项，合并同类项得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的根，
∴原分式方程的解为x＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法，检验根是否符合题意是解题的关键．
7．（2024秋 雷州市期末）下列是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】分式方程的定义．
【专题】分式方程及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数方程，即可得解．
【解答】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程，不符合题意；
B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程，不符合题意；
C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程，不符合题意；
D、分母含有未知数x，所以D是分式方程，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的形式是本题关键．
8．（2024秋 中山市期末）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A．2x﹣3＝3x﹣1 B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1
C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1 D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据解分式方程的方法，把分式方程转化为整式方程即可得出答案．
【解答】解：，
方程两边同时乘（x﹣2），得2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1．
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
9．（2024秋 武昌区期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【考点】由实际问题抽象出分式方程；分式的乘除法．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】结合单价＝总价÷数量，数量＝总价÷单价，即可得出答案．
【解答】解：设采购x个篮球，可得方程为0.7；
设标价都为每个y元，可得方程为；
故选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出等量关系列出方程．
10．（2024秋 延长县期末）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时x公里，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】B
【分析】设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时1.5x公里，根据学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，孔子和学生们同时到达书院，列出分式方程即可．
【解答】解：设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时1.5x公里，
由题意得：1，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 綦江区期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，根据题意，列方程为 ．
【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，可列出相应的方程：
，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
12．（2024秋 开州区期末）若关于x的不等式组，有解且至多有1个偶数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数m的值的和为 1 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】先解不等式组，再根据解集的情况求解m的范围，再解分式方程，根据分式方程的解的情况，确定整式m的值，即可得出答案．
【解答】解：解不等式组得，
∵不等式组有解且最多有1个偶数解，
∴13，
解得：0＜m≤4，
解分式方程：
，
mx﹣3﹣1＝2﹣x，
mx+x＝6，
x，
∵分式方程的解为正整数，
∴，且为整数，，
∴m的值为0，1，5，
又∵0＜m≤4，
∴m＝1，
∴符合条件的整数m的值的和为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是分式方程的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，理解题意构建新的不等式是解本题的关键．
13．（2024秋 赵县期末）关于x的方程无解，则k的值为 3 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】先解方程得x＝6﹣k，再由方程无解，可得6﹣k＝3，求出k的值即可．
【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣3）+k，
解得：x＝6﹣k，
∵原方程无解，
∴x＝6﹣k，x﹣3＝0，
解得k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解时满足的条件是解题的关键．
14．（2024秋 朝阳区期末）方程的解为 y＝5 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】y＝5．
【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，然后再解答，最后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母，得5（y﹣2）﹣3y＝0，
即5y﹣10﹣3y＝0，
解得：y＝5，
检验：当y＝5，y（y﹣2）≠0，
∴y＝5是原分式方程的解．
故答案为：y＝5．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
15．（2024秋 南通期末）若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 m＜﹣2且m≠﹣3 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】m＜﹣2且m≠﹣3．
【分析】根据分式方程的解法求出分式方程的解，再根据分式方程的增根以及解为负数进一步确定m的取值范围即可．
【解答】解：关于x的分式方程的解为x＝m+2，
由于分式方程的解为负数，
所以m+2＜0，
解得m＜﹣2，
又因为分式方程的增根为x＝﹣1，
当x＝﹣1时，即m+2＝﹣1，
解得m＝﹣3，
所以m≠﹣3，
综上所述，m的取值范围为m＜﹣2且m≠﹣3．
故答案为：m＜﹣2且m≠﹣3．
【点评】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，掌握一元一次不等式的解法，分式方程的解法以及增根的定义是正确解答的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 海沧区期末）科学研究表明，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一棵成年银杏树一年的平均滞尘量比一棵成年国槐树一年的平均滞尘量的2倍还多20克，一年滞尘2100克所需的成年银杏树的数量与一年滞尘1000克所需的成年国槐树的数量相同．
（1）求一棵成年国槐树一年的平均滞尘量；
（2）据统计，某工厂平均每年经排尘口排出悬浮颗粒物为6200～7900克．该厂排尘口附近目前已有8棵成年国槐树，要使排尘口附近的悬浮颗粒物全部吸附，至少还需移植多少棵成年银杏树？（假设排尘口所有的悬浮颗粒物全部由附近的国槐树和银杏树吸收，且移植的银杏树全部存活）
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）200克；
（2）15棵．
【分析】（1）设一棵成年国槐树一年的平均滞尘量为x克，则一棵成年银杏树一年的平均滞尘量为（2x+20）克，根据一年滞尘2100克所需的成年银杏树的数量与一年滞尘1000克所需的成年国槐树的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设还需移植y棵成年银杏树，根据8棵成年国槐树及移植的成年银杏树一年的滞尘量不少于7900克，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设一棵成年国槐树一年的平均滞尘量为x克，则一棵成年银杏树一年的平均滞尘量为（2x+20）克，
根据题意得：，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意．
答：一棵成年国槐树一年的平均滞尘量为200克；
（2）设还需移植y棵成年银杏树，
根据题意得：200×8+（2×200+20）y≥7900，
解得：y≥15，
∴y的最小值为15．
答：至少还需移植15棵成年银杏树．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
17．（2024秋 高坪区期末）某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
（1）若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价．
（2）若小华在乙商店购买，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．小华本打算按照老师的吩咐购买m本硬面笔记本（m为正整数），但她发现：若再多购买5本，所需费用与原来居然相等．求乙商店硬面笔记本的原价．
【考点】分式方程的应用；二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）16元；
（2）18元．
【分析】（1）设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为（x﹣3）元，根据用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为y元，则乙商店软面笔记本的原价为（y﹣3）元，利用总价＝单价×数量，结合再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，可列出关于y、m的二元一次方程，结合且m、y均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为（x﹣3）元，
根据题意得：，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意．
答：甲商店硬面笔记本的单价为16元；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为y元，则乙商店软面笔记本的原价为（y﹣3）元，
根据题意得：my＝（m+5）（y﹣3），
整理得：5y﹣3m＝15，
∴ym+3，
∵，且m、y均为正整数，
∴．
答：乙商店硬面笔记本的原价为18元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
18．（2024秋 泰兴市期末）
题目：某花店准备购买康乃馨和百合花，康乃馨每枝的单价比百合花每枝的单价多2元，用300元购买康乃馨的数量与用240元购买百合花的数量相同．求康乃馨和百合花每枝的进价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：康乃馨数量＝百合花数量
解法二 设…… 等量关系：康乃馨单价﹣百合花单价＝2
（1）解法一所列方程中的x表示 康乃馨的单价 ，解法二所列方程中的y表示 康乃馨或百合花的数量 ；
（2）请选择一种解法，求康乃馨和百合花每枝的进价．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）康乃馨的单价，康乃馨或百合花的数量；
（2）康乃馨每枝10元，百合花每枝8元．
【分析】（1）根据等量关系结合方程即可求解；
（2）解方程，并检验，即可求解．
【解答】解：（1）解法一所列方程中的x表示康乃馨的单价，解法二所列方程中的y表示康乃馨或百合花的数量；
故答案为：康乃馨的单价；康乃馨或百合花的数量；
（2）设康乃馨的单价为x元，根据题意得：
，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是方程的解且符合题意，
百合花的单价为：10﹣2＝8，
答：康乃馨每枝10元，百合花每枝8元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键．
19．（2024秋 朝阳区期末）某地积极利用农业技术创新，改良玉米品种，提高品种适应性和抗病性，玉米平均每亩增产25%，原来总产量60吨的一块土地，现在少种20亩，总产量仍可达到60吨，原来和现在玉米的平均每亩产量各是多少吨？
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】原来玉米的平均每亩产量是0.6吨，现在玉米的平均每亩产量是0.75吨．
【分析】设原来玉米的平均每亩产量是x吨，则现在玉米的平均每亩产量是（1+25%）x吨，利用种植亩数＝总产量÷平均每亩的产量，结合改良玉米品种后可少种20亩，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（及原料玉米的平均每亩的产量），再将其代入（1+25%）x中，即可求出现在玉米的平均每亩产量．
【解答】解：设原来玉米的平均每亩产量是x吨，则现在玉米的平均每亩产量是（1+25%）x吨，
根据题意得：20，
解得：x＝0.6，
经检验，x＝0.6是所列方程的解，且符合题意，
∴（1+25%）x＝（1+25%）×0.6＝0.75（吨）．
答：原来玉米的平均每亩产量是0.6吨，现在玉米的平均每亩产量是0.75吨．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20．（2024秋 武汉期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝9；
（2）无解．
【分析】（1）方程两边同乘以最简公分母x（x﹣3），把分式方程转化为整式方程进行求解，然后把x的值代入到最简公分母进行检验，确定原方程的解；
（2）方程两边同乘以最简公分母3（x+1），把分式方程转化为整式方程后求解，最后把x的值代入到最简公分母进行检验，确定原方程的解．
【解答】解：（1）方程两边同乘以x（x﹣3）得：2x＝3x﹣9，
解得：x＝9；
检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，
所以，x＝9是原方程的解，
（2）方程两边同乘以3（x+1）得：3（3x+2）＝x﹣2﹣2（x+1），
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，3（x+1）＝0，
所以，x＝﹣1是原方程的增根，
所以，原方程无解．
【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是明确解分式方程的一般步骤，注意最后要检验．
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一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 江汉区期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 太仓市期末）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024秋 洛阳期末）把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．x2+x
4．（2024秋 南通期末）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做5个，甲做100个所用的时间与乙做75个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 裕华区期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
6．（2024秋 西山区期末）分式方程的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝5
7．（2024秋 雷州市期末）下列是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024秋 中山市期末）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A．2x﹣3＝3x﹣1 B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1
C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1 D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1
9．（2024秋 武昌区期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
10．（2024秋 延长县期末）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时x公里，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 綦江区期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，根据题意，列方程为 ．
12．（2024秋 开州区期末）若关于x的不等式组，有解且至多有1个偶数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数m的值的和为 ．
13．（2024秋 赵县期末）关于x的方程无解，则k的值为 ．
14．（2024秋 朝阳区期末）方程的解为 ．
15．（2024秋 南通期末）若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 ．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 海沧区期末）科学研究表明，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一棵成年银杏树一年的平均滞尘量比一棵成年国槐树一年的平均滞尘量的2倍还多20克，一年滞尘2100克所需的成年银杏树的数量与一年滞尘1000克所需的成年国槐树的数量相同．
（1）求一棵成年国槐树一年的平均滞尘量；
（2）据统计，某工厂平均每年经排尘口排出悬浮颗粒物为6200～7900克．该厂排尘口附近目前已有8棵成年国槐树，要使排尘口附近的悬浮颗粒物全部吸附，至少还需移植多少棵成年银杏树？（假设排尘口所有的悬浮颗粒物全部由附近的国槐树和银杏树吸收，且移植的银杏树全部存活）
17．（2024秋 高坪区期末）某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
（1）若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价．
（2）若小华在乙商店购买，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．小华本打算按照老师的吩咐购买m本硬面笔记本（m为正整数），但她发现：若再多购买5本，所需费用与原来居然相等．求乙商店硬面笔记本的原价．
18．（2024秋 泰兴市期末）
题目：某花店准备购买康乃馨和百合花，康乃馨每枝的单价比百合花每枝的单价多2元，用300元购买康乃馨的数量与用240元购买百合花的数量相同．求康乃馨和百合花每枝的进价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：康乃馨数量＝百合花数量
解法二 设…… 等量关系：康乃馨单价﹣百合花单价＝2
（1）解法一所列方程中的x表示 ，解法二所列方程中的y表示 ；
（2）请选择一种解法，求康乃馨和百合花每枝的进价．
19．（2024秋 朝阳区期末）某地积极利用农业技术创新，改良玉米品种，提高品种适应性和抗病性，玉米平均每亩增产25%，原来总产量60吨的一块土地，现在少种20亩，总产量仍可达到60吨，原来和现在玉米的平均每亩产量各是多少吨？
20．（2024秋 武汉期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
2025年中考数学高频易错考前冲刺：分式方程
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C B D D D D A B
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 江汉区期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】等量关系式：绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文，据此列方程，即可求解．
【解答】解：由绫布出售一尺收入+罗布出售一尺共收入＝120文得方程为：
，
故选：B．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系式是解题的关键．
2．（2024秋 太仓市期末）为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】直接利用根据单价，表示出篮球与足球价格，再利用1800元购进篮球的数量比用900元购进足球的数量多4个得出等式即可．
【解答】解：根据题意可列方程为：
，
故选：A．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意，列出分式方程是关键．
3．（2024秋 洛阳期末）把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ）
A．x﹣1 B．x+1 C．x2﹣1 D．x2+x
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】分式方程去分母化为整式方程是要先确定几个分母的最简公分母，（x﹣1）和（x+1）的最简公分母是（x﹣1）（x+1），再将方程两边同时乘以几个分母的最简公分母约去分母．
【解答】解：因为（x﹣1）和（x+1）的最简公分母是（x﹣1）（x+1），
所以分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（x﹣1）（x+1），即x2﹣1．
故选：C．
【点评】本题主要考查分式方程去分母，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程去分母的步骤．
4．（2024秋 南通期末）甲、乙二人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做5个，甲做100个所用的时间与乙做75个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据甲、乙工作效率间的关系，可得出甲每小时做（x+5）个，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合甲做100个所用的时间与乙做75个所用的时间相等，可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵甲每小时比乙多做5个，且乙每小时做x个，
∴甲每小时做（x+5）个．
根据题意得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
5．（2024秋 裕华区期末）已知关于x的分式方程有增根，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3
【考点】分式方程的增根．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出k的值即可．
【解答】解：去分母，得：k﹣3＝x﹣2，
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程，可得：k＝3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
6．（2024秋 西山区期末）分式方程的解是（ ）
A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝5
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验的方法解分式方程即可．
【解答】解：，
去分母得：x﹣3＝2，
移项，合并同类项得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的根，
∴原分式方程的解为x＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法，检验根是否符合题意是解题的关键．
7．（2024秋 雷州市期末）下列是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】分式方程的定义．
【专题】分式方程及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数方程，即可得解．
【解答】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程，不符合题意；
B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程，不符合题意；
C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程，不符合题意；
D、分母含有未知数x，所以D是分式方程，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的形式是本题关键．
8．（2024秋 中山市期末）解分式方程时，去分母正确的是（ ）
A．2x﹣3＝3x﹣1 B．2x﹣3（x﹣2）＝3x﹣1
C．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x﹣1 D．2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据解分式方程的方法，把分式方程转化为整式方程即可得出答案．
【解答】解：，
方程两边同时乘（x﹣2），得2x﹣3（x﹣2）＝﹣3x+1．
故选：D．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
9．（2024秋 武昌区期末）某学校篮球社团准备了720元经费去商店采购x个篮球．甲、乙两个商店销售同种品牌篮球，标价都为每个y元，但有不同的促销活动．甲商店：购买篮球，消费满688元，送两个篮球；乙商店：篮球打七折销售．小明通过计算发现，如果去甲商店购买，经费正好用完；如果去乙商店购买，还能剩余48元．下面四个方程：①；②；③；④．正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【考点】由实际问题抽象出分式方程；分式的乘除法．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】结合单价＝总价÷数量，数量＝总价÷单价，即可得出答案．
【解答】解：设采购x个篮球，可得方程为0.7；
设标价都为每个y元，可得方程为；
故选项A符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出等量关系列出方程．
10．（2024秋 延长县期末）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次孔子和学生们到距离他们住的驿站12公里的书院参观，学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，牛车的速度是步行的速度的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院．设学生们步行的速度为每小时x公里，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【答案】B
【分析】设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时1.5x公里，根据学生们步行出发，1小时后，孔子乘牛车出发，孔子和学生们同时到达书院，列出分式方程即可．
【解答】解：设学生步行的速度为每小时x公里，则牛车的速度是每小时1.5x公里，
由题意得：1，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 綦江区期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，根据题意，列方程为 ．
【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，即可列出相应的方程，本题得以解决．
【解答】解：根据题意可知慢马的速度为，快马的速度为，再根据快马的速度是慢马的倍，可列出相应的方程：
，
故答案为：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
12．（2024秋 开州区期末）若关于x的不等式组，有解且至多有1个偶数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则符合条件的整数m的值的和为 1 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】先解不等式组，再根据解集的情况求解m的范围，再解分式方程，根据分式方程的解的情况，确定整式m的值，即可得出答案．
【解答】解：解不等式组得，
∵不等式组有解且最多有1个偶数解，
∴13，
解得：0＜m≤4，
解分式方程：
，
mx﹣3﹣1＝2﹣x，
mx+x＝6，
x，
∵分式方程的解为正整数，
∴，且为整数，，
∴m的值为0，1，5，
又∵0＜m≤4，
∴m＝1，
∴符合条件的整数m的值的和为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是分式方程的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，理解题意构建新的不等式是解本题的关键．
13．（2024秋 赵县期末）关于x的方程无解，则k的值为 3 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】3．
【分析】先解方程得x＝6﹣k，再由方程无解，可得6﹣k＝3，求出k的值即可．
【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣3）+k，
解得：x＝6﹣k，
∵原方程无解，
∴x＝6﹣k，x﹣3＝0，
解得k＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解分式方程无解时满足的条件是解题的关键．
14．（2024秋 朝阳区期末）方程的解为 y＝5 ．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】y＝5．
【分析】先去分母把分式方程化为整式方程，然后再解答，最后进行检验即可．
【解答】解：原方程去分母，得5（y﹣2）﹣3y＝0，
即5y﹣10﹣3y＝0，
解得：y＝5，
检验：当y＝5，y（y﹣2）≠0，
∴y＝5是原分式方程的解．
故答案为：y＝5．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
15．（2024秋 南通期末）若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围为 m＜﹣2且m≠﹣3 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】m＜﹣2且m≠﹣3．
【分析】根据分式方程的解法求出分式方程的解，再根据分式方程的增根以及解为负数进一步确定m的取值范围即可．
【解答】解：关于x的分式方程的解为x＝m+2，
由于分式方程的解为负数，
所以m+2＜0，
解得m＜﹣2，
又因为分式方程的增根为x＝﹣1，
当x＝﹣1时，即m+2＝﹣1，
解得m＝﹣3，
所以m≠﹣3，
综上所述，m的取值范围为m＜﹣2且m≠﹣3．
故答案为：m＜﹣2且m≠﹣3．
【点评】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，掌握一元一次不等式的解法，分式方程的解法以及增根的定义是正确解答的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 海沧区期末）科学研究表明，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一棵成年银杏树一年的平均滞尘量比一棵成年国槐树一年的平均滞尘量的2倍还多20克，一年滞尘2100克所需的成年银杏树的数量与一年滞尘1000克所需的成年国槐树的数量相同．
（1）求一棵成年国槐树一年的平均滞尘量；
（2）据统计，某工厂平均每年经排尘口排出悬浮颗粒物为6200～7900克．该厂排尘口附近目前已有8棵成年国槐树，要使排尘口附近的悬浮颗粒物全部吸附，至少还需移植多少棵成年银杏树？（假设排尘口所有的悬浮颗粒物全部由附近的国槐树和银杏树吸收，且移植的银杏树全部存活）
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）200克；
（2）15棵．
【分析】（1）设一棵成年国槐树一年的平均滞尘量为x克，则一棵成年银杏树一年的平均滞尘量为（2x+20）克，根据一年滞尘2100克所需的成年银杏树的数量与一年滞尘1000克所需的成年国槐树的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
（2）设还需移植y棵成年银杏树，根据8棵成年国槐树及移植的成年银杏树一年的滞尘量不少于7900克，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设一棵成年国槐树一年的平均滞尘量为x克，则一棵成年银杏树一年的平均滞尘量为（2x+20）克，
根据题意得：，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意．
答：一棵成年国槐树一年的平均滞尘量为200克；
（2）设还需移植y棵成年银杏树，
根据题意得：200×8+（2×200+20）y≥7900，
解得：y≥15，
∴y的最小值为15．
答：至少还需移植15棵成年银杏树．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
17．（2024秋 高坪区期末）某校举行“二十大知识竞赛”活动，老师让班长小华到商店购买笔记本作为奖品．甲、乙两家商店的售价不同，但每本硬面笔记本比软面笔记本都贵3元（单价均为整数）．
（1）若小华在甲商店购买，她发现：用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同．求甲商店硬面笔记本的单价．
（2）若小华在乙商店购买，乙商店给出了硬面笔记本的优惠条件（软面笔记本单价不变）：一次购买的数量少于30本，按原价售出；不少于30本按软面笔记本的单价售出．小华本打算按照老师的吩咐购买m本硬面笔记本（m为正整数），但她发现：若再多购买5本，所需费用与原来居然相等．求乙商店硬面笔记本的原价．
【考点】分式方程的应用；二元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）16元；
（2）18元．
【分析】（1）设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为（x﹣3）元，根据用240元购买硬面笔记本与用195元购买软面笔记本的数量相同，列出分式方程，解方程即可；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为y元，则乙商店软面笔记本的原价为（y﹣3）元，利用总价＝单价×数量，结合再多购买5本的费用恰好与按原价购买的费用相同，可列出关于y、m的二元一次方程，结合且m、y均为正整数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲商店硬面笔记本的单价为x元，则甲商店软面笔记本的单价为（x﹣3）元，
根据题意得：，
解得：x＝16，
经检验，x＝16是所列方程的解，且符合题意．
答：甲商店硬面笔记本的单价为16元；
（2）设乙商店硬面笔记本的原价为y元，则乙商店软面笔记本的原价为（y﹣3）元，
根据题意得：my＝（m+5）（y﹣3），
整理得：5y﹣3m＝15，
∴ym+3，
∵，且m、y均为正整数，
∴．
答：乙商店硬面笔记本的原价为18元．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
18．（2024秋 泰兴市期末）
题目：某花店准备购买康乃馨和百合花，康乃馨每枝的单价比百合花每枝的单价多2元，用300元购买康乃馨的数量与用240元购买百合花的数量相同．求康乃馨和百合花每枝的进价各是多少元？
方法 分析问题 列出方程
解法一 设…… 等量关系：康乃馨数量＝百合花数量
解法二 设…… 等量关系：康乃馨单价﹣百合花单价＝2
（1）解法一所列方程中的x表示 康乃馨的单价 ，解法二所列方程中的y表示 康乃馨或百合花的数量 ；
（2）请选择一种解法，求康乃馨和百合花每枝的进价．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）康乃馨的单价，康乃馨或百合花的数量；
（2）康乃馨每枝10元，百合花每枝8元．
【分析】（1）根据等量关系结合方程即可求解；
（2）解方程，并检验，即可求解．
【解答】解：（1）解法一所列方程中的x表示康乃馨的单价，解法二所列方程中的y表示康乃馨或百合花的数量；
故答案为：康乃馨的单价；康乃馨或百合花的数量；
（2）设康乃馨的单价为x元，根据题意得：
，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是方程的解且符合题意，
百合花的单价为：10﹣2＝8，
答：康乃馨每枝10元，百合花每枝8元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意是关键．
19．（2024秋 朝阳区期末）某地积极利用农业技术创新，改良玉米品种，提高品种适应性和抗病性，玉米平均每亩增产25%，原来总产量60吨的一块土地，现在少种20亩，总产量仍可达到60吨，原来和现在玉米的平均每亩产量各是多少吨？
【考点】分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【答案】原来玉米的平均每亩产量是0.6吨，现在玉米的平均每亩产量是0.75吨．
【分析】设原来玉米的平均每亩产量是x吨，则现在玉米的平均每亩产量是（1+25%）x吨，利用种植亩数＝总产量÷平均每亩的产量，结合改良玉米品种后可少种20亩，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（及原料玉米的平均每亩的产量），再将其代入（1+25%）x中，即可求出现在玉米的平均每亩产量．
【解答】解：设原来玉米的平均每亩产量是x吨，则现在玉米的平均每亩产量是（1+25%）x吨，
根据题意得：20，
解得：x＝0.6，
经检验，x＝0.6是所列方程的解，且符合题意，
∴（1+25%）x＝（1+25%）×0.6＝0.75（吨）．
答：原来玉米的平均每亩产量是0.6吨，现在玉米的平均每亩产量是0.75吨．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20．（2024秋 武汉期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝9；
（2）无解．
【分析】（1）方程两边同乘以最简公分母x（x﹣3），把分式方程转化为整式方程进行求解，然后把x的值代入到最简公分母进行检验，确定原方程的解；
（2）方程两边同乘以最简公分母3（x+1），把分式方程转化为整式方程后求解，最后把x的值代入到最简公分母进行检验，确定原方程的解．
【解答】解：（1）方程两边同乘以x（x﹣3）得：2x＝3x﹣9，
解得：x＝9；
检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，
所以，x＝9是原方程的解，
（2）方程两边同乘以3（x+1）得：3（3x+2）＝x﹣2﹣2（x+1），
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，3（x+1）＝0，
所以，x＝﹣1是原方程的增根，
所以，原方程无解．
【点评】本题考查解分式方程，解题的关键是明确解分式方程的一般步骤，注意最后要检验．
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