【中考押题卷】2025年中考数学高频易错考前冲刺：命题与证明（含解析）

2025年中考数学高频易错考前冲刺：命题与证明
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 柯桥区期末）对于命题“若|x|＞|y|，则x＞y”，下面四组关于x，y的值中，能说明它是假命题的是（　　）
A．x＝﹣4，y＝﹣1 B．x＝5，y＝﹣2 C．x＝1，y＝0 D．x＝﹣3，y＝﹣4
2．（2024秋 义乌市期末）下列选项中，可以用来说明命题|a|＝a是假命题的反例是（　　）
A．a＝2 B．a＝﹣4 C．a＝0 D．a＝5
3．（2024秋 仁寿县期末）下列命题的逆命题正确的有（　　）
①等边三角形的三个内角相等；②等腰三角形的两个底角相等；③若a是有理数，b是无理数，则a+b是无理数；④若a＝b，则a2＝b2．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．（2025 嘉定区一模）下列命题正确的是（　　）
A．如果，那么
B．如果和都是单位向量，那么
C．
D．如果，那么
5．（2024秋 永春县期末）“证明：若a2≠b2，则a≠b”，用反证法证明这个结论时，应先假设（　　）
A．a2＝b2 B．a＝b C．a＝﹣b D．a≠b
6．（2024秋 市北区期末）下列四个命题中，是真命题的是（　　）
A．有理数与数轴上的点是一一对应的
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称
7．（2024秋 永春县期末）下列命题中，属于真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．一个角的补角小于这个角
C．内错角相等
D．一个三角形至少有两个内角是锐角
8．（2024秋 兴宁市期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．如果x2＞0，那么x＞0
C．两个锐角之和一定是钝角
D．边长为1，，的三角形是直角三角形
9．（2024秋 泉港区期末）“若a＝b，则a2＝b2”为原命题，则下列判定正确的是（　　）
A．原命题为真命题，逆命题为假命题
B．原命题与逆命题均为真命题
C．原命题为假命题，逆命题为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
10．（2024秋 郑州校级期末）下列四个命题：①的算术平方根是9；②实数与数轴上的点是一一对应的；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称．其中真命题是（　　）
A．②④ B．①②④ C．②③ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 普陀区期末）命题“底边及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等”是 　 　命题．（填“真”或“假”）
12．（2024秋 二七区期末）命题“如果a＝b，那么a+c＝b+c”的逆命题为　 　．
13．（2024秋 吴兴区期末）命题“是无理数”是　 　命题．（填“真”或“假”）
14．（2024秋 南安市期末）命题“﹣8的立方根等于﹣2”是　 　命题（填“真”或“假”）．
15．（2024秋 包河区期末）某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651；B：105263；C：612305；D：316250．
已知编码A、B、C各恰有两个数字的位置与M和N相同．D恰有三个数字的位置与M和N相同．则编码M是 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 沛县期末）小明在学习定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”时，提出如下命题：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，若，则CD是AB的中线．经过小组合作学习，大家发现该命题为假命题．
（1）请你画出该命题的一个反例；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若要该命题为真命题，只需补充条件：∠B的取值范围是 　 　．
17．（2024秋 靖江市期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，连接AC．
（1）从①AE＝AF；②CE＝CF；③AC平分∠DAB这三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成一个命题．试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由；
你选择的条件是 　 　，　 　；结论是 　 　．（只要填写序号）
（2）在（1）的条件下，若∠CBA＝∠CDA＝90°，猜想∠DAB+∠ECF与∠DFC之间的数量关系，并证明你的猜想．
18．（2024秋 二七区期末）求证：全等三角形对应边上的中线相等．
在证明几何文字命题时，通常会经历：“画示意图→写已知、求证→写证明过程”这三个步骤，请按照以上步骤完善下面相应内容．
（1）结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示：
（2）结合（1）中的示意图，请完善已知、求证：
已知：如图，　 　，线段AD，A'D'分别是边BC，B'C'上的中线．
求证：　 　．
（3）写出证明过程．
19．（2024秋 洛阳期末）如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB＝CD，③CE＝BF．用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，得到你认为成立的一个命题，然后再证明．
选择 　 　（填序号）为条件，　 　为结论．
20．（2024秋 思明区校级期末）对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“ ”：a b＝a﹣b+ab．
例如，2 5＝2﹣5+2×5＝7．
（1）求3 （﹣1）的值；
（2）若（﹣4） x＝6，求x的值；
（3）试探究这种特别的运算“ ”是否具有交换律？若具有，请说明理由；若不具有，请举一个反例说明．
2025年中考数学高频易错考前冲刺：命题与证明
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D B D D D A A
一．选择题（共10小题）
1．（2024秋 柯桥区期末）对于命题“若|x|＞|y|，则x＞y”，下面四组关于x，y的值中，能说明它是假命题的是（　　）
A．x＝﹣4，y＝﹣1 B．x＝5，y＝﹣2 C．x＝1，y＝0 D．x＝﹣3，y＝﹣4
【考点】命题与定理；绝对值．
【专题】实数；推理能力．
【答案】A
【分析】根据绝对值的性质、有理数的大小比较以及假命题的概念解答即可．
【解答】解：A、当x＝﹣4，y＝﹣1时，|x|＞|y|，而x＜y，
说明命题“若|x|＞|y|，则x＞y”是假命题，符合题意；
B、当x＝5，y＝﹣2时，|x|＞|y|，x＞y，
不能说明命题“若|x|＞|y|，则x＞y”是假命题，不符合题意；
C、当x＝1，y＝0时，|x|＞|y|，x＞y，
不能说明命题“若|x|＞|y|，则x＞y”是假命题，不符合题意；
D、当x＝﹣3，y＝﹣4时，|x|＜|y|，
不能说明命题“若|x|＞|y|，则x＞y”是假命题，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
2．（2024秋 义乌市期末）下列选项中，可以用来说明命题|a|＝a是假命题的反例是（　　）
A．a＝2 B．a＝﹣4 C．a＝0 D．a＝5
【考点】命题与定理；绝对值．
【专题】实数；推理能力．
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质判断即可．
【解答】解：A、当a＝2时，|a|＝a，不能说明命题|a|＝a是假命题，不符合题意；
B、当a＝﹣4时，|a|＝﹣a，能说明命题|a|＝a是假命题，符合题意；
C、当a＝0时，|a|＝a，不能说明命题|a|＝a是假命题，不符合题意；
D、当a＝5时，|a|＝a，不能说明命题|a|＝a是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
3．（2024秋 仁寿县期末）下列命题的逆命题正确的有（　　）
①等边三角形的三个内角相等；②等腰三角形的两个底角相等；③若a是有理数，b是无理数，则a+b是无理数；④若a＝b，则a2＝b2．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【考点】命题与定理；无理数；等边三角形的性质．
【专题】运算能力．
【答案】C
【分析】先分别确定各选项的逆命题，再判断即可．
【解答】解：∵①的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”是正确的，
∴①符合题意；
∵②的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”是正确的，
∴②符合题意；
∵③的逆命题是“若a+b是无理数，则a是有理数，b是无理数”不一定正确，
∴③不符合题意；
∵④的逆命题是若a2＝b2，则a＝b”不一定正确，
∴④不符合题意．
所以正确的有2个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了逆命题，掌握命题与定理是解题的关键．
4．（2025 嘉定区一模）下列命题正确的是（　　）
A．如果，那么
B．如果和都是单位向量，那么
C．
D．如果，那么
【考点】命题与定理；*平面向量．
【专题】新定义；推理能力．
【答案】D
【分析】由平面向量的基本概念和性质，即可判断．
【解答】解：A、两向量的模相等，方向不一定相同，故A不符合题意；
B、两单位向量的方向可能不同，故B不符合题意；
C、（），故C不符合题意；
D、命题正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查命题与定理，平面向量，关键是掌握平面向量的基本概念和性质．
5．（2024秋 永春县期末）“证明：若a2≠b2，则a≠b”，用反证法证明这个结论时，应先假设（　　）
A．a2＝b2 B．a＝b C．a＝﹣b D．a≠b
【考点】反证法．
【专题】反证法．
【答案】B
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，a≠b的反面是a＝b．
【解答】解：“证明：若a2≠b2，则a≠b”，用反证法证明这个结论时，应先假设a＝b，
故选：B．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6．（2024秋 市北区期末）下列四个命题中，是真命题的是（　　）
A．有理数与数轴上的点是一一对应的
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称
【考点】命题与定理；关于x轴、y轴对称的点的坐标；数轴；同位角、内错角、同旁内角；三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据三角形外角性质，对称的性质，平行线的性质，实数判断即可．
【解答】解：A．实数与数轴上的点是一一对应的，是假命题；
B．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，原命题是假命题；
C．两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题；
D．平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称，是真命题；
故选：D．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外角性质，对称的性质，平行线的性质，实数等相关知识，难度不大．
7．（2024秋 永春县期末）下列命题中，属于真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．一个角的补角小于这个角
C．内错角相等
D．一个三角形至少有两个内角是锐角
【考点】命题与定理；余角和补角；对顶角、邻补角；同位角、内错角、同旁内角；三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】利用对顶角的定义、补角的定义、平行线的性质及三角形的内角和定理分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、一个角的补角不一定小于这个角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、一个三角形至少有两个内角是锐角，正确，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
8．（2024秋 兴宁市期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．如果x2＞0，那么x＞0
C．两个锐角之和一定是钝角
D．边长为1，，的三角形是直角三角形
【考点】命题与定理；非负数的性质：偶次方；对顶角、邻补角；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据对顶角、实数的平方、锐角和钝角的概念、勾股定理的逆定理判断即可．
【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、如果x2＞0，那么x＞0或x＜0，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、两个锐角之和不一定是钝角，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、∵12+（）2＝（）2，
∴边长为1，，的三角形是直角三角形，故本选项命题是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．（2024秋 泉港区期末）“若a＝b，则a2＝b2”为原命题，则下列判定正确的是（　　）
A．原命题为真命题，逆命题为假命题
B．原命题与逆命题均为真命题
C．原命题为假命题，逆命题为真命题
D．原命题与逆命题均为假命题
【考点】命题与定理．
【专题】实数；推理能力．
【答案】A
【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．
【解答】解：原命题“若a＝b，则a2＝b2”正确，为真命题；
其逆命题为若a2＝b2，则a＝b，错误，为假命题，
故选：A．
【点评】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平方与开平方的意义，难度不大．
10．（2024秋 郑州校级期末）下列四个命题：①的算术平方根是9；②实数与数轴上的点是一一对应的；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称．其中真命题是（　　）
A．②④ B．①②④ C．②③ D．①②③④
【考点】命题与定理；关于x轴、y轴对称的点的坐标；算术平方根；实数与数轴；三角形的外角性质．
【专题】实数；三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据算术平方根、实数与数轴、三角形的外角性质、关于x轴对称的点的坐标特征判断即可．
【解答】解：①的算术平方根是3，故本小题命题是假命题；
②实数与数轴上的点是一一对应的，是真命题；
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角，故本小题命题是假命题；
④平面内点A（﹣1，2）与点B（﹣1，﹣2）关于x轴对称，是真命题；
故选：A．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二．填空题（共5小题）
11．（2024秋 普陀区期末）命题“底边及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等”是 　真　命题．（填“真”或“假”）
【考点】命题与定理；等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】真．
【分析】证明△ABG≌△DEH，根据全等三角形的性质得到AB＝DE，证明△ABC≌△DEF，得出结论．
【解答】解：∵AB＝AC，AG⊥BC，
∴BGBC，
同理：EHEF，
∵BC＝EF，
∴BG＝EH，
在△ABG和△DEH中，
，
∴△ABG≌△DEH（SAS），
∴AB＝DE，
∵AB＝AC，DE＝DF，
∴AC＝DF，
∵BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
则命题“底边及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等”是真命题，
故答案为：真．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．（2024秋 二七区期末）命题“如果a＝b，那么a+c＝b+c”的逆命题为　如果a+c＝b+c，那么a＝b　．
【考点】命题与定理；等式的性质．
【专题】数与式；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】将原命题的结论改为条件，条件改为结论即可得出逆命题．
【解答】解：逆命题为：如果a+c＝b+c，那么a＝b．
故答案为：如果a+c＝b+c，那么a＝b．
【点评】本题考查根据原命题写逆命题，熟练掌握逆命题与原命题的关系是解题的关键．
13．（2024秋 吴兴区期末）命题“是无理数”是　真　命题．（填“真”或“假”）
【考点】命题与定理；算术平方根；无理数．
【专题】实数；推理能力．
【答案】真．
【分析】根据无理数的概念判断即可．
【解答】解：命题“是无理数”是真命题，
故答案为：真．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
14．（2024秋 南安市期末）命题“﹣8的立方根等于﹣2”是　真　命题（填“真”或“假”）．
【考点】命题与定理；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】真．
【分析】根据立方根的概念判断即可．
【解答】解：∵﹣8的立方根等于﹣2，
∴命题“﹣8的立方根等于﹣2”是真命题，
故答案为：真．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
15．（2024秋 包河区期末）某个信封上的两个邮政编码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651；B：105263；C：612305；D：316250．
已知编码A、B、C各恰有两个数字的位置与M和N相同．D恰有三个数字的位置与M和N相同．则编码M是 　610253或310265　．
【考点】推理与论证．
【专题】证明题；推理能力．
【答案】610253或310265．
【分析】由已知，编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同，逐一进行分析，分多种情况推理论证得出．
【解答】解：对于编码M考虑编码A中恰有两个数位上的数字与M中相应数位上的数字相同，设这两位是x1、x2．观察编码A、B、C，六个数位上的数都不同，于是B中与M中数字相同的数位必异于x1、x2，不妨设x3、x4，同理C中与M中数字相同的数位只能是异于x1、x2，x3、x4，设为x5、x6．
对于编码N也有类似的结论．
这就是说，在每个数位上，A、B、C在该数位上的数字中，必有一个与M在该数位上的数字相同．同样地，也必有一个与N在该数位上的数字相同．
观察编码D，它各个数位上的数与A、B、C、相比，只有0，6完全不同，因此，0，6这两个数字必不是M、N，在相应数位上的数字，于是D、中的3、1、2、5四个数字中，只有一个数字与M在相应数位上的数字不同，与N相比，也有类似的结果．
（1）若3不同，则1，2，5与M相应数位上的数相同，而个位不能为0，千位不能为6，因此只有两个可能610253，013256；
（2）若1不同，则3，2，5与M相应数位上的数相同，同样个位上不能为0，千位不能为6，因此只有两个可能：
360251，301256；
同样地，若2不同，也有两个可能：
312056，310652；
若5不同，也只有两个可能：
315206，310256．
对上述八种可能进行检验，知该信封上的编码M、N或者同为610253，或者同为310265，或者一个是610253，另一个是310265，
故答案为：610253或310265．
【点评】此题考查的知识点是推理与论证．解题的关键是由已知，编码A、B、C、D各恰有两个数字的位置与M和N相同，D恰有三个数字的位置与M和N相同，逐一进行分析，分多种情况推理论证．
三．解答题（共5小题）
16．（2024秋 沛县期末）小明在学习定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”时，提出如下命题：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，若，则CD是AB的中线．经过小组合作学习，大家发现该命题为假命题．
（1）请你画出该命题的一个反例；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）若要该命题为真命题，只需补充条件：∠B的取值范围是 　∠B＝45°或0°＜∠B＜30°或60°＜∠B＜90°　．
【考点】命题与定理；直角三角形斜边上的中线．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）见解析；
（2）∠B＝45°或0°＜∠B＜30°或60°＜∠B＜90°
【分析】（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，CD′是斜边上的中线，CD＝CD′AB，CD不是斜边上的中线；
（2）利用图象法判断即可．
【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，CD′是斜边上的中线，CD＝CD′AB，CD不是斜边上的中线；
（2）观察下面三个图可知：当∠B＝45°或0°＜∠B＜30°或60°＜∠B＜90°时，该命题为真命题．
故答案为：∠B＝45°或0°＜∠B＜30°或60°＜∠B＜90°
【点评】本题考查命题与定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
17．（2024秋 靖江市期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，连接AC．
（1）从①AE＝AF；②CE＝CF；③AC平分∠DAB这三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成一个命题．试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由；
你选择的条件是 　①　，　②　；结论是 　③　．（只要填写序号）
（2）在（1）的条件下，若∠CBA＝∠CDA＝90°，猜想∠DAB+∠ECF与∠DFC之间的数量关系，并证明你的猜想．
【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（1）①，②；③；命题正确；理由见解析；
（2）∠DAB+∠ECF＝2∠DFC，理由见解析．
【分析】（1）判定△ACF≌△ACE（SSS），推出∠FAC＝∠EAC，即可证明AC平分∠DAB；
（2）由全等三角形的性质推出∠ACF＝∠ACE，得到∠ECF＝2∠ACF，由角平分线定义得到∠DAB＝2∠FAC，由三角形的外角性质即可证明∠DAB+∠ECF＝2∠DFC．
【解答】解：（1）选择的条件是①，②；结论是③；命题正确；理由如下：
∵在△ACF和△ACE中，
，
∴△ACF≌△ACE（SSS），
∴∠FAC＝∠EAC，
∴AC平分∠DAB，
故答案为：①，②；③；
（2）∠DAB+∠ECF＝2∠DFC，理由如下：
由（1）知△ACF≌△ACE（SSS），
∴∠ACF＝∠ACE，
∴∠ECF＝2∠ACF，
∵∠FAC＝∠EAC，
∠DAB＝2∠FAC，
∴∠DAB+∠ECF＝2（∠ACF+∠FAC），
∵∠DFC＝∠ACF+∠FAC，
∴∠DAB+∠ECF＝2∠DFC．
【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质，关键是判定△ACF≌△ACE（SSS）．
18．（2024秋 二七区期末）求证：全等三角形对应边上的中线相等．
在证明几何文字命题时，通常会经历：“画示意图→写已知、求证→写证明过程”这三个步骤，请按照以上步骤完善下面相应内容．
（1）结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形，如图所示：
（2）结合（1）中的示意图，请完善已知、求证：
已知：如图，　△ABC≌△A′B′C′　，线段AD，A'D'分别是边BC，B'C'上的中线．
求证：　AD＝A′D′　．
（3）写出证明过程．
【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】（2）△ABC≌△A′B′C′，AD＝A′D′；
（3）证明见解析．
【分析】（2）由条件和图形即可得到答案；
（3）由SAS即可判定△ABD≌△A′B′D′（SAS），推出AD＝A′D′．
【解答】解：（2）已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，线段AD，A'D'分别是边BC，B'C'上的中线．
求证：AD＝A′D′．
故答案为：△ABC≌△A′B′C′，AD＝A′D′；
（3）证明：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，
∵AD，A'D'分别是边BC，B'C'上的中线，
∴BDBC，B′D′B′C′，
∴BD＝B′D′，
在△ABD和△A′B′D′中，
，
∴△ABD≌△A′B′D′（SAS），
∴AD＝A′D′．
【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质，关键是由SAS判定△ABD≌△A′B′D．
19．（2024秋 洛阳期末）如图，在△AEC和△DFB中，∠E＝∠F，点A，B，C，D在同一直线上，有如下三个关系式：①AE∥DF，②AB＝CD，③CE＝BF．用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，得到你认为成立的一个命题，然后再证明．
选择 　①②　（填序号）为条件，　③　为结论．
【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质．
【专题】推理填空题；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】选择①②为条件，③为结论，利用平行线的性质得出∠A＝∠D，结合图形得出AC＝BD，利用全等三角形的判定和性质即可证明．
【解答】解：选择①②为条件，③为结论，
证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AB+BC＝BC+CD，即AC＝BD，
∵∠E＝∠F，
∴△AEC≌△DFB（AAS），
∴CE＝BF．
【点评】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解题意，结合图形，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
20．（2024秋 思明区校级期末）对于任意有理数a，b，规定一种特别的运算“ ”：a b＝a﹣b+ab．
例如，2 5＝2﹣5+2×5＝7．
（1）求3 （﹣1）的值；
（2）若（﹣4） x＝6，求x的值；
（3）试探究这种特别的运算“ ”是否具有交换律？若具有，请说明理由；若不具有，请举一个反例说明．
【考点】命题与定理；有理数的混合运算；解一元一次方程．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）x＝﹣2；
（3）这种特别的运算“ ”不具有交换律，举例见解析．
【分析】（1）根据新定义计算；
（2）根据新定义列出方程，解方程得到答案；
（3）根据新定义计算2 5、2 5，根据计算结果判断即可．
【解答】解：（1）3 （﹣1）＝3﹣（﹣1）+3×（﹣1）＝3+1﹣3＝1；
（2）（﹣4） x＝6，
则﹣4﹣x﹣4x＝6，
解得：x＝﹣2；
（3）这种特别的运算“ ”不具有交换律，
例如：2 5＝2﹣5+2×5＝7，5 2＝5﹣2+5×2＝13，
∴2 5≠2 5，
∴这种特别的运算“ ”不具有交换律．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确理解特别的运算“ ”是解题的关键．
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