2024-2025学年六年级数学下册培优精练「苏教版」
第二单元专项练习12：
八种问题其八·圆柱圆锥中的注水运动问题
1．一个圆柱体的容器的底部放着一块正方体铅块，现在打开水龙头向容器内注水。15秒时恰好没过铅块的上表面，又过了1分半钟，水注满了容器。若容器的高度是24厘米，铅块高度是6厘米，则容器的底面积是多少平方厘米？
2．水平桌面上放着高度都为10厘米的两个圆柱形容器A和B，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管的容积忽略不计），容器A、B底面直径分别为10厘米和16厘米．关闭连通管，10秒钟可注满容器B，如果打开连通管，水管向B容器注水6秒钟后，容器A中水的高度是多少呢？（π取3.14）
3．一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块．现在打开一个水龙头往容器中注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟，水灌满容器．已知容器的高度是50厘米．长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积与容器底面面积的比等于多少？
4．在一个数学实验活动中。先往一个长方体的容器中注水，水深4.4厘米（如下图）；然后将一根圆柱形冰柱垂直放入其中，于是水的高度上升到5.5厘米，这时刚好有冰柱浸没在水里，如图。
（1）整根冰柱的体积是多少立方厘米？
（2）已知冰化成水，体积减少原来的，这根冰柱融化后将变成多少毫升水？
5．如图30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。
（1）圆锥内漏完水需要多少时间？
（2）请你在图30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。
6．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示（单位：分米）。若用甲容器取水来注满乙容器，至少要注水多少次？（球体体积：）
7．如图①，在底面积为100平方厘米，高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量，体积忽略不计，烧杯在长方体水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（厘米）与注水时间t（秒）之间的关系如图②所示。
（1）图②中，点（ ）表示烧杯中刚好注满水，点（ ）表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）烧杯的高是（ ）厘米。
（3）烧杯的底面积是多少平方厘米？
（4）注满水槽所用的时间是多少秒？
图① 图②
8．科学课上，李老师与同学们一块做实验。
一个无水的长方体水槽（如图）。有一个水龙头从9：00开始向水槽内注水，水的流量为1200立方厘米/分。9：05关闭水龙头停止流水。接着在水槽内放入一个高为9厘米的圆锥铁块，全部浸没于水中。
（1）9：05时水槽的水面高度为多少厘米？
（2）水槽的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示。点 的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择）
（3）圆锥铁块的底面积是多少？
9．一个无盖的长方体玻璃缸，长48厘米，宽25厘米，高30厘米，有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流速为8立方分米/分。8：03关闭水管停止注水，接着在玻璃缸内缓缓放入一个高为16厘米的圆锥铁块，全部浸没在水中。玻璃缸的水面高度从注水到放入圆锥铁块的变化情况如图所示。
（1）上图中，点（ ）的位置表示停止注水。（填“A”“B”或“C”）
（2）8：03时玻璃缸水面的高度为多少厘米？
（3）求圆锥铁块的底面积。
10．在学习圆柱体积公式时，老师会用到下图1，其中圆柱底面半径为r，圆柱的高为h。
（1）请用字母表示长方体中的长是（ ），宽是（ ），体积是（ ）。
（2）请根据上述解决问题的方法探究出图2中四棱柱（上、下底面为等腰梯形，该梯形的上底为b，下底为a，高为h1）的体积公式，请写出你的探究理由（或画图说明）。
（3）如图2，a＝20厘米，b＝12厘米， h1＝5厘米，h2＝15厘米往该容器里注水，水深13厘米，若将一个底面是正方形且边长为4厘米，高为12厘米的长方体铁块放入水中，此时容器里的水深是多少厘米？
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第二单元专项练习12：
八种问题其八·圆柱圆锥中的注水运动问题
1．一个圆柱体的容器的底部放着一块正方体铅块，现在打开水龙头向容器内注水。15秒时恰好没过铅块的上表面，又过了1分半钟，水注满了容器。若容器的高度是24厘米，铅块高度是6厘米，则容器的底面积是多少平方厘米？
【答案】72平方厘米
【分析】根据题意可知，水龙头往容器内的每秒钟的注水量是一定的，因此可得到等量关系式：15秒钟的注水量÷15秒＝1分半钟的注水量÷1分半钟，已知正方体的高度是6厘米，容器内注入与正方体等高的水用15秒钟，此时的注水高度是6厘米，注水底面积是容器的底面积减去正方体的底面积，用底面积乘高可得到此时的注水量；又过了1分钟，水灌满容器，此时容器空间的高为（24－6）厘米，注水底面积是即是圆柱的底面积，因此可设圆柱的底面积是x平方厘米，把未知数代入等量关系式进行解答即可得到答案。
【详解】解：设容器底面积为x平方厘米。
6（x－6 ）÷15＝（24－6）x÷90
6（x－6 ）÷15×90＝（24－6）x÷90×90
6（x－6 ）×6＝18x
36x－1296＝18x
18x÷18＝1296÷18
x＝72
答：容器的底面积是72平方厘米。
【点睛】解答此题的关键是利用圆柱的体积公式V＝sh确定两次分别注入的水量，然后再利用每秒钟的注水量相等进行解答即可
2．水平桌面上放着高度都为10厘米的两个圆柱形容器A和B，在它们高度的一半处有一连通管相连（连通管的容积忽略不计），容器A、B底面直径分别为10厘米和16厘米．关闭连通管，10秒钟可注满容器B，如果打开连通管，水管向B容器注水6秒钟后，容器A中水的高度是多少呢？（π取3.14）
【答案】2.56厘米
【分析】根据圆柱的体积公式V＝Sh，求出B容器的容积是：3.14×（16÷2）2×10＝2009.6（立方厘米），A容器的底面积是：3.14×（10÷2）2＝78.5（平方厘米），5秒钟后B中的水流到A容器了，用流到A容器中水的体积除以A容器的底面积，即为容器A中水的高度，据此解答即可。
【详解】B容器的容积是：：3.14×（16÷2）2×10＝3.14×64×10＝2009.6（立方厘米）
A容器的底面积是：3.14×（10÷2）2＝3.14×25＝78.5（平方厘米）
流到A容器的体积是：2009.6×＝2009.6×＝200.96（立方厘米）
容器A中水的高度是：200.96÷78.5＝2.56（厘米）
答：容器A中水的高度是2.56厘米。
【点睛】此题主要考查圆柱的体积（容积）的计算，解答本题的关键是求出流到A容器中水的体积。
3．一个圆柱体的容器中，放有一个长方体铁块．现在打开一个水龙头往容器中注水，3分钟时，水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟，水灌满容器．已知容器的高度是50厘米．长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积与容器底面面积的比等于多少？
【答案】3：4
【详解】已知长方体的高度是20厘米，容器内注入与长方体等高的水用3分钟，又过了18分钟，水灌满容器，此时容器空间的高为（50-20）厘米；这样就可以求出两次注水所用时间的比．由于长方体占据了圆柱体容器的部分空间，由此可以推导出长方体底面积与容器底面积的比．
解：注满容器20厘米高的水与30厘米高的水所用时间之比为20：30=2：3．
注20厘米的水的时间为18×2 3 =12（分），这说明注入长方体铁块所占空间的水要用时间为12-3=9（分）．
已知长方体铁块高为20厘米，因此它们底的面积比等于它们的体积之比，而它们的体积比等于所注入时间之比，故长方形底面面积：容器底面面积=9：12=3：4．
答：长方体底面积与容器底面面积的比是3：4．
考点：长方体、正方体表面积．
点评：1、求出两次注水时间的比．
2、再求出长方体铁块所占容器空间的注水时间是几分钟．
4．在一个数学实验活动中。先往一个长方体的容器中注水，水深4.4厘米（如下图）；然后将一根圆柱形冰柱垂直放入其中，于是水的高度上升到5.5厘米，这时刚好有冰柱浸没在水里，如图。
（1）整根冰柱的体积是多少立方厘米？
（2）已知冰化成水，体积减少原来的，这根冰柱融化后将变成多少毫升水？
【答案】（1）330立方厘米；
（2）297毫升
【分析】（1）由题意可知：水面上升了5.5－4.4＝1.1厘米，且上升的水的体积等于冰柱的体积，用长方体容器的底面积×水面上升的高度求出冰柱的体积，再乘3即可得解；
（2）将冰柱的体积看成单位“1”，冰化成水体积减少原来的，则化成的水的体积是冰柱体积的（1－），求水的体积用冰柱的体积×（1－）即可。
【详解】（1）10×10×（5.5－4.4）
＝100×1.1
＝110（立方厘米）
110×3＝330（立方厘米）
答：整根冰柱的体积是整根冰柱的体积是330立方厘米。
（2）330×（1－）
＝330×
＝297（立方厘米）
297立方厘米＝297毫升
答：这根冰柱融化后将变成297毫升水。
【点睛】明确“上升的水的体积等于冰柱的体积”是解答本题的关键。
5．如图30－1，这是一个由等底等高的圆柱和圆锥组合而成的计时工具，圆锥内灌满了有颜色水。其中圆锥的高为6厘米，底面半径为3厘米。已知水的流速是1.57立方厘米/分钟。
（1）圆锥内漏完水需要多少时间？
（2）请你在图30－2中用阴影表示出此时圆柱内的水。
【答案】（1）36分钟；（2）见详解
【分析】（1）根据圆锥的体积公式：V＝，代入公式求出圆锥容器内水的体积，然后用水的体积除以水的流速，即可求出圆锥内漏完水需要的时间。
（2）因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此解答即可。
【详解】（1）×3.14×32×6÷1.57
＝×3.14×9×6÷1.57
＝56.52÷1.57
＝36（分钟）
答：圆锥内漏完水需要36分钟。
（2）根据分析得，6×＝2（厘米）
所以圆柱容器内水深2厘米。
作图如下：
【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
6．一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示（单位：分米）。若用甲容器取水来注满乙容器，至少要注水多少次？（球体体积：）
【答案】8次
【分析】根据球体体积公式，半球形容器的体积：÷2，圆锥体积＝底面积×高÷3，分别计算出两个容器的容积，用半球形容器的容积÷圆锥形容器的容积即可。
【详解】
（次）
答：至少要注水8次。
7．如图①，在底面积为100平方厘米，高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量，体积忽略不计，烧杯在长方体水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（厘米）与注水时间t（秒）之间的关系如图②所示。
（1）图②中，点（ ）表示烧杯中刚好注满水，点（ ）表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）烧杯的高是（ ）厘米。
（3）烧杯的底面积是多少平方厘米？
（4）注满水槽所用的时间是多少秒？
图① 图②
【答案】（1）A；B
（2）10
（3）20平方厘米
（4）180秒
【分析】（1）烧杯注满水之前水槽中没有水，因此烧杯注满水之前水槽内水的高度是0，当水槽内水的高度开始上升时，表示烧杯中刚好注满水；因为烧杯占据了一定空间，水槽中水面开始上升比较快，即折线坡度较陡，当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，水面上升速度开始下降，即折线坡度变缓，据此分析。
（2）水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时的高度是烧杯的高度。
（3）通过观察图②发现：注满烧杯用18秒，注满和烧杯同高的水槽用90秒，即烧杯的底面积是水槽底面积的。用水槽的底面积×即可求出烧杯的底面积。
（4）通过观察图②发现：90秒能注满高度是10厘米的水槽。先用水槽的底面积×10求出90秒注入的水的体积，再用90秒注入的水的体积÷90求出注水的速度。
用水槽的底面积×水槽的高求出水槽的容积，再用水槽的容积÷注水的速度求出注满水槽所用的时间。
【详解】（1）图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。
（2）烧杯的高是10厘米。
（3）100×＝20（平方厘米）
答：烧杯的底面积是20平方厘米。
（4）100×10÷90
＝1000÷90
＝（立方厘米）
100×20÷
＝2000×
＝180（秒）
答：注满水槽所用的时间是180秒。
8．科学课上，李老师与同学们一块做实验。
一个无水的长方体水槽（如图）。有一个水龙头从9：00开始向水槽内注水，水的流量为1200立方厘米/分。9：05关闭水龙头停止流水。接着在水槽内放入一个高为9厘米的圆锥铁块，全部浸没于水中。
（1）9：05时水槽的水面高度为多少厘米？
（2）水槽的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示。点 的位置表示停止注水。（从A、B、C中选择）
（3）圆锥铁块的底面积是多少？
【答案】（1）10厘米
（2）B
（3）400平方厘米
【分析】（1）用每分钟的注水量乘时间等于总的注水量，注水量除以长方体底面积等于高。
（2）从时间与注水量的变化对应关系可得B的位置是停止注水点。
（3）圆锥的底面积等于上升水的体积乘3除以圆锥高。
【详解】（1）1200×5÷（40×15）
＝6000÷600
＝10（厘米）
答：9：05时水槽的水面高度为10厘米。
（2）水槽的水面高度从注水到放入铁块的变化情况如图所示。
点B的位置表示停止注水。
（3）40×15×（12－10）×3÷9
＝600×2×3÷9
＝1200×3÷9
＝3600÷9
＝400（平方厘米）
答：圆锥铁块的底面积是400平方厘米。
【点睛】熟悉长方体与圆锥体体积计算公式是解决本题的关键。
9．一个无盖的长方体玻璃缸，长48厘米，宽25厘米，高30厘米，有一个水龙头从8：00开始向玻璃缸内注水，水的流速为8立方分米/分。8：03关闭水管停止注水，接着在玻璃缸内缓缓放入一个高为16厘米的圆锥铁块，全部浸没在水中。玻璃缸的水面高度从注水到放入圆锥铁块的变化情况如图所示。
（1）上图中，点（ ）的位置表示停止注水。（填“A”“B”或“C”）
（2）8：03时玻璃缸水面的高度为多少厘米？
（3）求圆锥铁块的底面积。
【答案】（1）B；（2）20厘米；（3）900平方厘米
【分析】（1）根据图中右半部分，从B的位置开始，线段的倾斜度开始变化，代表水面高度上升的速度变化，表示停止注水；
（2）先计算出注水的时间，乘水的流速，可得到注水量的体积，再利用长方体的体积公式：V＝abh，用体积除以玻璃缸的长和宽，即可求出此时玻璃缸水面的高度。
（3）圆锥铁块全部浸没在水中，水面上升的体积等于圆锥铁块的体积，用玻璃缸的底面积乘上升的高度，计算出体积后，再利用圆锥的体积公式：V＝Sh，可得S＝V÷÷h代入即可求出圆锥铁块的底面积。
【详解】（1）根据分析得，在图中，点B的位置表示停止注水；
（2）注水时间为：8时3分－8时＝3（分钟）
注水量：3×8＝24（立方分米）＝24000（立方厘米）
24000÷48÷25
＝500÷25
＝20（厘米）
答：8：03时玻璃缸水面的高度为20厘米。
（3）48×25×（24－20）
＝1200×4
＝4800（立方厘米）
4800÷÷16
＝14400÷16
＝900（平方厘米）
答：圆锥铁块的底面积是900平方厘米。
【点睛】此题的解题关键是根据折线统计图的特点，从图中获取数据，灵活运用长方体和圆锥的体积公式解决问题。
10．在学习圆柱体积公式时，老师会用到下图1，其中圆柱底面半径为r，圆柱的高为h。
（1）请用字母表示长方体中的长是（ ），宽是（ ），体积是（ ）。
（2）请根据上述解决问题的方法探究出图2中四棱柱（上、下底面为等腰梯形，该梯形的上底为b，下底为a，高为h1）的体积公式，请写出你的探究理由（或画图说明）。
（3）如图2，a＝20厘米，b＝12厘米， h1＝5厘米，h2＝15厘米往该容器里注水，水深13厘米，若将一个底面是正方形且边长为4厘米，高为12厘米的长方体铁块放入水中，此时容器里的水深是多少厘米？
【答案】（1）πr；r；πr2h
（2）V四棱柱＝（a＋b）h1h2；说明见详解
（3）15厘米
【分析】（1）将圆柱拼插成长方体，长方体的长＝圆柱底面周长的一半，长方体的宽＝圆柱底面半径，长方体的高＝圆柱的高，根据圆周长的一半＝圆周率×半径，长方体体积＝长×宽×高，据此分别用字母表示出长方体的长、宽和体积即可。
（2）这个四棱柱也可以拼成一个长方体，拼成的长方体的体积＝四棱柱的体积，长方体的底面积＝四棱柱的底面积，长方体的高＝四棱柱的高，根据长方体体积＝底面积×高，即可推导出四棱柱的体积公式。
（3）根据长方体体积＝底面积×高，求出铁块体积，铁块体积÷容器底面积＋原来水深＝放入铁块后的水深，与容器的高比较一下，如果大于容器的高，说明水会溢出，水深最多就是容器的高，据此列式解答。
【详解】（1）长方体中的长是πr，宽是r，体积是πr2h。
（2）拼成的长方体的底面积：（a＋b）h1
拼成的长方体的高：h2
拼成的长方体的体积公式：V长方体＝S底h＝（a＋b）h1h2
这个四棱柱的体积公式：V四棱柱＝（a＋b）h1h2
（3）4×4×12＝192（立方厘米）
192÷[×（20＋12）×5]
＝192÷[×32×5]
＝192÷80
＝2.4（厘米）
2.4＋13＝15.4（厘米）
15.4＞15
答：此时容器里的水深是15厘米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式，熟悉圆柱体积公式推导过程。
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