【高考押题卷】2025年高考数学高频易错题考前冲刺：两个基本计数原理（含解析）
文档属性
| 名称 | 【高考押题卷】2025年高考数学高频易错题考前冲刺：两个基本计数原理（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 107.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-12 18:38:02 | ||
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文档简介
2025年高考数学高频易错考前冲刺：两个基本计数原理
一．选择题（共8小题）
1．（2024 兴庆区校级期末）李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（ ）
A．24 B．14 C．10 D．9
2．（2024 洪山区校级期末）有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ）种．
A．21 B．315 C．143 D．153
3．（2024 浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
4．（2024 北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
5．（2024 信阳模拟）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）
A．30种 B．50种 C．60种 D．90种
6．（2024 河西区期中）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（ ）
A．9 B．10 C．20 D．40
7．（2024 临朐县校级月考）某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（ ）
A．9×8×7×6×5×4×3 B．8×96
C．9×106 D．81×105
8．（2024 衡阳三模）为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）
A．150 B．180 C．200 D．280
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 城厢区校级期末）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可组成360个不重复的四位数
B．可组成156个不重复的四位偶数
C．可组成96个能被3整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为2310
（多选）10．（2024 温州期中）某校实行选课走班制度，小A同学选择的是地理、生物、政治这三科，且他的生物课要求在B层上，该校（上午共设置4节课）周一上午选课走班的课程安排如下表所示，小A同学选择的三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（ ）
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班
生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班
物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班
物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班
政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班
A．此人有6种选课方式
B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第1节
D．自习可安排在4节课中的任一节
（多选）11．（2024 高阳县校级月考）有一项活动，需在3名老师，8名男学生和5名女学生中选人参加，则下列结论正确的是（ ）
A．若只需1人参加，则有16种不同的选法
B．若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有16种不同的选法
C．若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有120种不同的选法
D．若需1名老师、1名学生参加，则有16种不同的选法
（多选）12．（2024春 漯河月考）有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（ ）
A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案
B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案
C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案
D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 凉州区校级期末）在如表的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
14．（2024 湖南）给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n：f（n）＝n﹣k
（1）设k＝1，则其中一个函数f（x）在n＝1处的函数值为 ；
（2）设k＝4，且当n≤4时，2≤f（n）≤3，则不同的函数f的个数为 ．
15．（2024 全国）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有 种（用数字作答）．
16．（2024 江苏）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种．（以数字作答）
四．解答题（共4小题）
17．（2024 闵行区校级期中）如图，从左到右有5个空格．
（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？
（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？
（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
18．（2024 宁江区校级期中）三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？
（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？
19．（2024 昆山市校级期中）如图，一个正方形花圃被分成5份．
（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
（2）若将这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？
20．（2024 宝山区校级模拟）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：两个基本计数原理
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 兴庆区校级期末）李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（ ）
A．24 B．14 C．10 D．9
【考点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理．
【专题】转化思想；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用两个计数原理即可得出．
【解答】解：由题意可得：李芳不同的选择方式有4×3+2＝14．
故选：B．
【点评】本题考查了两个计数原理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（2024 洪山区校级期末）有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ）种．
A．21 B．315 C．143 D．153
【考点】计数原理的应用．
【专题】排列组合．
【答案】C
【分析】根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况：①一本语文、一本数学，②一本语文、一本英语，③一本数学、一本英语，分别计算各种情况下对的取法数目，再由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况：
①一本语文、一本数学，有9×7＝63种取法，
②一本语文、一本英语，有9×5＝45种取法，
③一本数学、一本英语，有7×5＝35种取法，
则不同的选法有63+45+35＝143种；
故选：C．
【点评】本题考查分类计数原理的运用，是简单的题目；解题时需要注意准确计算即可．
3．（2024 浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
【考点】计数原理的应用．
【专题】排列组合．
【答案】D
【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，
当取得4个偶数时，有1种结果，
当取得4个奇数时，有5种结果，
当取得2奇2偶时有6×10＝60
∴共有1+5+60＝66种结果，
故选：D．
【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题．
4．（2024 北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
【考点】计数原理的应用．
【专题】算法和程序框图．
【答案】B
【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．
【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有6种；
从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有6种；
2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有6种；
故共有318种
故选：B．
【点评】本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．
5．（2024 信阳模拟）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）
A．30种 B．50种 C．60种 D．90种
【考点】计数原理的应用．
【专题】分类讨论；概率与统计．
【答案】B
【分析】讨论甲同学选择的两种不同的情况，确定乙，丙的个数．
【解答】解：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20种，
②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30种，
所以总共有20+30＝50种．
故选：B．
【点评】本题考查分步计数原理，属于简单题．
6．（2024 河西区期中）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（ ）
A．9 B．10 C．20 D．40
【考点】分类加法计数原理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】A
【分析】利用分类加法计数原理求解．
【解答】解：利用第一种方法有：种，利用第二种方法有：种．
故共有：5+4＝9种方法完成工作．
故选：A．
【点评】本题考查分类加法计数原理．属于基础题．
7．（2024 临朐县校级月考）某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（ ）
A．9×8×7×6×5×4×3 B．8×96
C．9×106 D．81×105
【考点】分步乘法计数原理．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】本题是一个分步计数问题，电话号码是六位数字时，根据分步计数原理知该城市可安装电话9×105部，升为七位时可以按照为9×106部，两者做差得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，
同理升为七位时为9×106．
∴可增加的电话部数是9×106﹣9×105＝81×105．
故选：D．
【点评】本题考查分步乘法原理，两次使用分步计数原理，这个问题分步很明确，先排首位，再排列第二位，以此类推．得到结果即可，本题是一个基础题．
8．（2024 衡阳三模）为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）
A．150 B．180 C．200 D．280
【考点】计数原理的应用．
【专题】计算题；分类讨论；数学模型法；排列组合．
【答案】A
【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．
【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．
若是1，1，3，则有C53×A33＝60种，
若是1，2，2，则有A33＝90种
所以共有150种不同的方法．
故选：A．
【点评】本题考查排列、组合的运用，难点在于分组的情况的确定．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 城厢区校级期末）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可组成360个不重复的四位数
B．可组成156个不重复的四位偶数
C．可组成96个能被3整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为2310
【考点】数字问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，用间接法分析：从6个数中，任取4个组成4位数，有A64种情况，
但其中包含0在首位的有A53种情况，
依题意可得，有A64﹣A53＝300个不重复的四位数，A错误；
对于B，分0在末尾与不在末尾两种情况讨论，
0在末尾时，有A53种情况，
0不在末尾时，有A21A42A41种情况，
由加法原理，共有A53+A21A42A41＝156种情况，则可组成156个不重复的四位偶数，B正确；
对于C，根据题意，要求四位数能被3整除，则选出的四个数字有5种情况，
①1，2，4，5；②0，3，4，5；③0，2，3，4；④0，1，3，5；⑤0，1，2，3；
①时，共可以组成A44＝24个四位数；
②时，0不能在首位，此时可以组成3×A33＝3×3×2×1＝18个四位数，
同理，③、④、⑤时，都可以组成18个四位数，
则这样的四位数共24+4×18＝96个，C正确；
对于D，千位是1的四位数有A53＝60个，
千位是2，百位是0或1的四位数有2A42＝24个，
∴第85项是2301．D错误；
故选：BC．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
（多选）10．（2024 温州期中）某校实行选课走班制度，小A同学选择的是地理、生物、政治这三科，且他的生物课要求在B层上，该校（上午共设置4节课）周一上午选课走班的课程安排如下表所示，小A同学选择的三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（ ）
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班
生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班
物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班
物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班
政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班
A．此人有6种选课方式
B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第1节
D．自习可安排在4节课中的任一节
【考点】分类加法计数原理．
【专题】计算题；逻辑思维；数据分析．
【答案】BD
【分析】根据题意分两类：第一类，若生物选第2节，第二类，若生物选第3节，分别求出选法再相加得到选课方式共有5种，再依次判断选项即可．
【解答】解：因为生物课要求在
B
层上，只有第2，3节课，故分两类进行讨论：
第一类，若生物选第2节，则地理可选第1节或第三节，有2种选法，
其他两节政治和自习，有2种选法，故有2×2＝4种选法．
第二类，若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，
自习只能选第2节，故有1种选法．
根据分类加法计数原理得到选课方式共有4+1＝5种，故A错误，B正确；
对选项C，自习课可以安排在4节课的任意一节，故C错误，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，是基础题．
（多选）11．（2024 高阳县校级月考）有一项活动，需在3名老师，8名男学生和5名女学生中选人参加，则下列结论正确的是（ ）
A．若只需1人参加，则有16种不同的选法
B．若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有16种不同的选法
C．若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有120种不同的选法
D．若需1名老师、1名学生参加，则有16种不同的选法
【考点】计数原理的应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据分步计数原理进行计算即可．
【解答】解：若只需要1人参加，则共有3+8+5＝16种不同的方法，故A正确，
若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有120种方法，故B错误，C正确，
若需1名老师、1名学生参加，则有39种不同的方法，故D错误，
故选：AC．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
（多选）12．（2024春 漯河月考）有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（ ）
A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案
B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案
C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案
D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案
【考点】分步乘法计数原理．
【专题】整体思想；转化法；排列组合；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据分步计数原理分别进行计算即可．
【解答】解：若每人报名参加一项，每项的人数不限，则每个人有3个结果，则共有3×3×3×3×3×3＝729种不同的方案，故A正确，B错误，
若每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则每项6个人可报共有6×6×6＝216种，故C正确，
若每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则只能有3个人参加，则有120种，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理以及排列组合公式进行计算是解决本题的关键，是中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 凉州区校级期末）在如表的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 24 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 112 ．
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
【考点】分步乘法计数原理；归纳推理．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】24；112．
【分析】利用分步乘法原理结合题意分析求解即可．
【解答】解：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法，
第二步，从第二行中选一个与第一个数不同列的数，共有3种选法，
第三步，从第三行中选一个与第一、二个数不同列的数，共有2种选法，
第四步，从第四行中选一个与第一、二，三个数不同列的数，只有1种选法，
由分乘法原理可知共有4×3×2×1＝24种不同的选法；
先按列分析，每列必选出一个数，所以所选4个数的十位数字分别为1，2，3，4，
再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，
所以从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大，
所以选中方格中的4个数之和的最大值为21+33+43+15＝112．
故答案为：24；112．
【点评】本题考查分步乘法原理相关知识，属于中档题．
14．（2024 湖南）给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n：f（n）＝n﹣k
（1）设k＝1，则其中一个函数f（x）在n＝1处的函数值为 a（a为正整数） ；
（2）设k＝4，且当n≤4时，2≤f（n）≤3，则不同的函数f的个数为 16 ．
【考点】分步乘法计数原理；函数的概念及其构成要素．
【专题】计算题；压轴题；探究型．
【答案】见试题解答内容
【分析】题中隐含了对于小于或等于K的正整数n，其函数值也应该是一个正整数，但是对应法则由题意而定
（1）n＝k＝1，题中给出的条件“大于k的正整数n”不适合，但函数值必须是一个正整数，故f（1）的值是一个常数（正整数）；
（2）k＝4，且n≤4，与条件“大于k的正整数n”不适合，故f（n）的值在2、3中任选其一，再由乘法原理可得不同函数的个数．
【解答】解：（1）∵函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n：f（n）＝n﹣k，
∴对应法则f是正整数到正整数的映射，
∵k＝1，∴从2开始都是一一对应的，
而且可以和任何一个正整数对应，
∴其中一个函数f（x）在n＝1处的函数值为a（a为正整数），
∴f（1）＝a（a为正整数）
即f（x）在n＝1处的函数值为 a（a为正整数）
（2）∵n≤4，k＝4，f（n）为正整数且2≤f（n）≤3
∴f（1）＝2或3且f（2）＝2或3且f（3）＝2或3且f（4）＝2或3
根据分步计数原理，可得共24＝16个不同的函数
故答案为：a（a为正整数）；16．
【点评】本题题意有点含蓄，发现题中的隐含条件，是解决本题的关键，掌握映射与函数的概念是本题的难点．
15．（2024 全国）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有 144 种（用数字作答）．
【考点】计数原理的应用．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，
恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，
从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列
故共有C42A43＝144种不同的放法．
故答案为144．
【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．
16．（2024 江苏）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 120 种．（以数字作答）
【考点】分步乘法计数原理．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，③与⑤同色，则②④或⑥④同色，②与④且③与⑥同色，根据分类计数原理得到结果．
【解答】解：从题意来看6部分种4种颜色的花，
又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．
（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，
所以共有N1＝4×3×2×2×1＝48种；
（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，
所以共有N2＝4×3×2×2×1＝48种；
（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3＝4×3×2×1＝24种．
∴共有N＝N1+N2+N3＝48+48+24＝120种．
故答案为：120
【点评】这是一道理科的高考题，本题还可以这样解：记颜色为A，B，C，D四色，先安排1，2，3有A43种不同的栽法，
不妨设1，2，3已分别栽种A，B，C，则4，5，6栽种方法共5种，
由以下树状图清晰可见．
根据分步计数原理，不同栽种方法有N＝A43×5＝120．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 闵行区校级期中）如图，从左到右有5个空格．
（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？
（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？
（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
【考点】染色问题．
【专题】计算题；分类讨论；排列组合．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①、分析0，易得0有4种选法；②、将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，由分步计数原理计算可得答案，
（2）根据题意，依次分析5个格子的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2步进行分析：①、将7个小球分成5组，有2种分法：即分成2﹣2﹣1﹣1﹣1的5组或分成3﹣1﹣1﹣1﹣1的5组，②、将分好的5组全排列，对应5个空格，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①、第三个格子不能填0，则0有4种选法；
②、将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有A44种情况，
则一共有种不同的填法；
（2）根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况，
第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况，
同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况，
则五个格子共有3×2×2×2×2＝48种不同的涂法；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①、将7个小球分成5组，有2种分法：
若分成2﹣2﹣1﹣1﹣1的5组，有种分法，
若分成3﹣1﹣1﹣1﹣1的5组，有C73种分组方法，
则有（C73）种分组方法，
②、将分好的5组全排列，对应5个空格，有A55种情况，
则一共有种放法．
【点评】本题考查排列、组合的实际应用，（3）要先分好5组，再对应放到5个格子中．
18．（2024 宁江区校级期中）三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？
（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？
【考点】计数原理的应用．
【专题】计算题；整体思想；数学模型法；排列组合．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据特殊元素优先安排，相邻问题用捆绑，不相邻用插空法，即可求解．
【解答】解：（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看作一个复合元素，再和5个男生全排，故有A33A66＝4320种；
（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有A55A63＝14400种；
（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有A52A66＝14400种；
（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有A83＝336种，
（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，A33A55＝720种
【点评】本题考查排列的应用，相邻问题一般看作一个整体处理，不相邻，用插空法，属于中档题．
19．（2024 昆山市校级期中）如图，一个正方形花圃被分成5份．
（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
（2）若将这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？
【考点】加法计数原理与乘法计数原理的综合应用．
【专题】分类讨论；分析法；排列组合；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先对A部分种植，再对B部分种植，对C部分种植按与B相同及与B不同两种情况进行分类；
（2）先将7个盆栽分成5组，有2种分法，分好后再全排列即可．
【解答】解：（1）先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植进行分类：
①若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×1×2×2＝48（种）；
②若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×2×1×2＝48（种）；
综上所述，共有96种种植方法；
（2）将7个盆栽分成5组，有2种分法：
①若分成2﹣2﹣1﹣1﹣1的5组，有种分法；
②若分成3﹣1﹣1﹣1﹣1的5组，有种分法；
将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有种分法．
【点评】本题考查两个计数原理及排列组合的综合运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．
20．（2024 宝山区校级模拟）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员．
【考点】计数原理的应用．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有C63种选法．再选2名女运动员，有C42种选法．利用乘法原理得到结果．
（2）至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．分别写出这几种结果，利用分类加法原理得到结果．本题也可以从事件的对立面来考虑，写出所有的结果减去都是男运动员的结果数．
（3）只有男队长的选法为C84种，只有女队长的选法为C84种，男、女队长都入选的选法为C83种，把所有的结果数相加．
（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法．其中不含女运动员的选法有C54种，得到结果．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题，
首先选3名男运动员，有C63种选法．
再选2名女运动员，有C42种选法．
共有C63 C42＝120种选法．
（2）法一（直接法）：“至少1名女运动员”包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理可得有C41 C64+C42 C63+C43 C62+C44 C61＝246种选法．
法二（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从10人中任选5人，有C105种选法，其中全是男运动员的选法有C65种．
所以“至少有1名女运动员”的选法有C105﹣C65＝246种．
（3）“只有男队长”的选法为C84种；
“只有女队长”的选法为C84种；
“男、女队长都入选”的选法为C83种；
∴共有2C84+C83＝196种．
∴“至少1名队长”的选法有C105﹣C85＝196种选法．
（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法．
不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法．
其中不含女运动员的选法有C54种，
∴不选女队长时共有C84﹣C54种选法．
既有队长又有女运动员的选法共有C94+C84﹣C54＝191种．
【点评】本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，在比较复杂的题目中，会同时出现分类和分步，本题是一个比较综合的题目．
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一．选择题（共8小题）
1．（2024 兴庆区校级期末）李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（ ）
A．24 B．14 C．10 D．9
2．（2024 洪山区校级期末）有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ）种．
A．21 B．315 C．143 D．153
3．（2024 浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
4．（2024 北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
5．（2024 信阳模拟）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）
A．30种 B．50种 C．60种 D．90种
6．（2024 河西区期中）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（ ）
A．9 B．10 C．20 D．40
7．（2024 临朐县校级月考）某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（ ）
A．9×8×7×6×5×4×3 B．8×96
C．9×106 D．81×105
8．（2024 衡阳三模）为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）
A．150 B．180 C．200 D．280
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 城厢区校级期末）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可组成360个不重复的四位数
B．可组成156个不重复的四位偶数
C．可组成96个能被3整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为2310
（多选）10．（2024 温州期中）某校实行选课走班制度，小A同学选择的是地理、生物、政治这三科，且他的生物课要求在B层上，该校（上午共设置4节课）周一上午选课走班的课程安排如下表所示，小A同学选择的三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（ ）
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班
生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班
物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班
物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班
政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班
A．此人有6种选课方式
B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第1节
D．自习可安排在4节课中的任一节
（多选）11．（2024 高阳县校级月考）有一项活动，需在3名老师，8名男学生和5名女学生中选人参加，则下列结论正确的是（ ）
A．若只需1人参加，则有16种不同的选法
B．若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有16种不同的选法
C．若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有120种不同的选法
D．若需1名老师、1名学生参加，则有16种不同的选法
（多选）12．（2024春 漯河月考）有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（ ）
A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案
B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案
C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案
D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 凉州区校级期末）在如表的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 ．
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
14．（2024 湖南）给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n：f（n）＝n﹣k
（1）设k＝1，则其中一个函数f（x）在n＝1处的函数值为 ；
（2）设k＝4，且当n≤4时，2≤f（n）≤3，则不同的函数f的个数为 ．
15．（2024 全国）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有 种（用数字作答）．
16．（2024 江苏）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 种．（以数字作答）
四．解答题（共4小题）
17．（2024 闵行区校级期中）如图，从左到右有5个空格．
（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？
（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？
（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
18．（2024 宁江区校级期中）三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？
（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？
19．（2024 昆山市校级期中）如图，一个正方形花圃被分成5份．
（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
（2）若将这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？
20．（2024 宝山区校级模拟）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：两个基本计数原理
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 兴庆区校级期末）李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有几种不同的选择方式（ ）
A．24 B．14 C．10 D．9
【考点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理．
【专题】转化思想；概率与统计；运算求解．
【答案】B
【分析】利用两个计数原理即可得出．
【解答】解：由题意可得：李芳不同的选择方式有4×3+2＝14．
故选：B．
【点评】本题考查了两个计数原理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（2024 洪山区校级期末）有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有（ ）种．
A．21 B．315 C．143 D．153
【考点】计数原理的应用．
【专题】排列组合．
【答案】C
【分析】根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况：①一本语文、一本数学，②一本语文、一本英语，③一本数学、一本英语，分别计算各种情况下对的取法数目，再由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从中选出不属于同一学科的书2本，包括3种情况：
①一本语文、一本数学，有9×7＝63种取法，
②一本语文、一本英语，有9×5＝45种取法，
③一本数学、一本英语，有7×5＝35种取法，
则不同的选法有63+45+35＝143种；
故选：C．
【点评】本题考查分类计数原理的运用，是简单的题目；解题时需要注意准确计算即可．
3．（2024 浙江）若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）
A．60种 B．63种 C．65种 D．66种
【考点】计数原理的应用．
【专题】排列组合．
【答案】D
【分析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，当取得4个偶数时，当取得4个奇数时，当取得2奇2偶时，分别用组合数表示出各种情况的结果，再根据分类加法原理得到不同的取法．
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是偶数，需要分成三种不同的情况，
当取得4个偶数时，有1种结果，
当取得4个奇数时，有5种结果，
当取得2奇2偶时有6×10＝60
∴共有1+5+60＝66种结果，
故选：D．
【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是根据题意把符合条件的取法分成三种情况，利用组合数表示出结果，本题是一个基础题．
4．（2024 北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
【考点】计数原理的应用．
【专题】算法和程序框图．
【答案】B
【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．
【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有6种；
从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有6种；
2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有6种；
故共有318种
故选：B．
【点评】本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．
5．（2024 信阳模拟）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ）
A．30种 B．50种 C．60种 D．90种
【考点】计数原理的应用．
【专题】分类讨论；概率与统计．
【答案】B
【分析】讨论甲同学选择的两种不同的情况，确定乙，丙的个数．
【解答】解：①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20种，
②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30种，
所以总共有20+30＝50种．
故选：B．
【点评】本题考查分步计数原理，属于简单题．
6．（2024 河西区期中）一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是（ ）
A．9 B．10 C．20 D．40
【考点】分类加法计数原理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】A
【分析】利用分类加法计数原理求解．
【解答】解：利用第一种方法有：种，利用第二种方法有：种．
故共有：5+4＝9种方法完成工作．
故选：A．
【点评】本题考查分类加法计数原理．属于基础题．
7．（2024 临朐县校级月考）某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（ ）
A．9×8×7×6×5×4×3 B．8×96
C．9×106 D．81×105
【考点】分步乘法计数原理．
【专题】计算题．
【答案】D
【分析】本题是一个分步计数问题，电话号码是六位数字时，根据分步计数原理知该城市可安装电话9×105部，升为七位时可以按照为9×106部，两者做差得到结果．
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，
同理升为七位时为9×106．
∴可增加的电话部数是9×106﹣9×105＝81×105．
故选：D．
【点评】本题考查分步乘法原理，两次使用分步计数原理，这个问题分步很明确，先排首位，再排列第二位，以此类推．得到结果即可，本题是一个基础题．
8．（2024 衡阳三模）为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ）
A．150 B．180 C．200 D．280
【考点】计数原理的应用．
【专题】计算题；分类讨论；数学模型法；排列组合．
【答案】A
【分析】根据题意，分析可得人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3，分别计算两种情况下的情况数目，相加可得答案．
【解答】解：人数分配上有两种方式即1，2，2与1，1，3．
若是1，1，3，则有C53×A33＝60种，
若是1，2，2，则有A33＝90种
所以共有150种不同的方法．
故选：A．
【点评】本题考查排列、组合的运用，难点在于分组的情况的确定．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024 城厢区校级期末）用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可组成360个不重复的四位数
B．可组成156个不重复的四位偶数
C．可组成96个能被3整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第85个数字为2310
【考点】数字问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，用间接法分析：从6个数中，任取4个组成4位数，有A64种情况，
但其中包含0在首位的有A53种情况，
依题意可得，有A64﹣A53＝300个不重复的四位数，A错误；
对于B，分0在末尾与不在末尾两种情况讨论，
0在末尾时，有A53种情况，
0不在末尾时，有A21A42A41种情况，
由加法原理，共有A53+A21A42A41＝156种情况，则可组成156个不重复的四位偶数，B正确；
对于C，根据题意，要求四位数能被3整除，则选出的四个数字有5种情况，
①1，2，4，5；②0，3，4，5；③0，2，3，4；④0，1，3，5；⑤0，1，2，3；
①时，共可以组成A44＝24个四位数；
②时，0不能在首位，此时可以组成3×A33＝3×3×2×1＝18个四位数，
同理，③、④、⑤时，都可以组成18个四位数，
则这样的四位数共24+4×18＝96个，C正确；
对于D，千位是1的四位数有A53＝60个，
千位是2，百位是0或1的四位数有2A42＝24个，
∴第85项是2301．D错误；
故选：BC．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
（多选）10．（2024 温州期中）某校实行选课走班制度，小A同学选择的是地理、生物、政治这三科，且他的生物课要求在B层上，该校（上午共设置4节课）周一上午选课走班的课程安排如下表所示，小A同学选择的三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（ ）
第1节 第2节 第3节 第4节
地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班
生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班
物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班
物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班
政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班
A．此人有6种选课方式
B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第1节
D．自习可安排在4节课中的任一节
【考点】分类加法计数原理．
【专题】计算题；逻辑思维；数据分析．
【答案】BD
【分析】根据题意分两类：第一类，若生物选第2节，第二类，若生物选第3节，分别求出选法再相加得到选课方式共有5种，再依次判断选项即可．
【解答】解：因为生物课要求在
B
层上，只有第2，3节课，故分两类进行讨论：
第一类，若生物选第2节，则地理可选第1节或第三节，有2种选法，
其他两节政治和自习，有2种选法，故有2×2＝4种选法．
第二类，若生物选第3节，则地理只能选第1节，政治只能选第4节，
自习只能选第2节，故有1种选法．
根据分类加法计数原理得到选课方式共有4+1＝5种，故A错误，B正确；
对选项C，自习课可以安排在4节课的任意一节，故C错误，D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，是基础题．
（多选）11．（2024 高阳县校级月考）有一项活动，需在3名老师，8名男学生和5名女学生中选人参加，则下列结论正确的是（ ）
A．若只需1人参加，则有16种不同的选法
B．若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有16种不同的选法
C．若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有120种不同的选法
D．若需1名老师、1名学生参加，则有16种不同的选法
【考点】计数原理的应用．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据分步计数原理进行计算即可．
【解答】解：若只需要1人参加，则共有3+8+5＝16种不同的方法，故A正确，
若需老师、男学生、女学生各1人参加，则有120种方法，故B错误，C正确，
若需1名老师、1名学生参加，则有39种不同的方法，故D错误，
故选：AC．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
（多选）12．（2024春 漯河月考）有6名同学参加3个智力竞赛项目，则下列说法正确的是（ ）
A．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有729种不同的报名方案
B．若每人报名参加一项，每项的人数不限，则共有216种不同的报名方案
C．每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则共有216种不同的报名方案
D．每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则共有120种不同的报名方案
【考点】分步乘法计数原理．
【专题】整体思想；转化法；排列组合；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据分步计数原理分别进行计算即可．
【解答】解：若每人报名参加一项，每项的人数不限，则每个人有3个结果，则共有3×3×3×3×3×3＝729种不同的方案，故A正确，B错误，
若每项只报一人，每人报名参加的项目不限，则每项6个人可报共有6×6×6＝216种，故C正确，
若每项只报一人，且每人至多报名参加一项，则只能有3个人参加，则有120种，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理以及排列组合公式进行计算是解决本题的关键，是中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 凉州区校级期末）在如表的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 24 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是 112 ．
11 21 31 40
12 22 33 42
13 22 33 43
15 24 34 44
【考点】分步乘法计数原理；归纳推理．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】24；112．
【分析】利用分步乘法原理结合题意分析求解即可．
【解答】解：第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法，
第二步，从第二行中选一个与第一个数不同列的数，共有3种选法，
第三步，从第三行中选一个与第一、二个数不同列的数，共有2种选法，
第四步，从第四行中选一个与第一、二，三个数不同列的数，只有1种选法，
由分乘法原理可知共有4×3×2×1＝24种不同的选法；
先按列分析，每列必选出一个数，所以所选4个数的十位数字分别为1，2，3，4，
再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，
所以从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大，
所以选中方格中的4个数之和的最大值为21+33+43+15＝112．
故答案为：24；112．
【点评】本题考查分步乘法原理相关知识，属于中档题．
14．（2024 湖南）给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n：f（n）＝n﹣k
（1）设k＝1，则其中一个函数f（x）在n＝1处的函数值为 a（a为正整数） ；
（2）设k＝4，且当n≤4时，2≤f（n）≤3，则不同的函数f的个数为 16 ．
【考点】分步乘法计数原理；函数的概念及其构成要素．
【专题】计算题；压轴题；探究型．
【答案】见试题解答内容
【分析】题中隐含了对于小于或等于K的正整数n，其函数值也应该是一个正整数，但是对应法则由题意而定
（1）n＝k＝1，题中给出的条件“大于k的正整数n”不适合，但函数值必须是一个正整数，故f（1）的值是一个常数（正整数）；
（2）k＝4，且n≤4，与条件“大于k的正整数n”不适合，故f（n）的值在2、3中任选其一，再由乘法原理可得不同函数的个数．
【解答】解：（1）∵函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n：f（n）＝n﹣k，
∴对应法则f是正整数到正整数的映射，
∵k＝1，∴从2开始都是一一对应的，
而且可以和任何一个正整数对应，
∴其中一个函数f（x）在n＝1处的函数值为a（a为正整数），
∴f（1）＝a（a为正整数）
即f（x）在n＝1处的函数值为 a（a为正整数）
（2）∵n≤4，k＝4，f（n）为正整数且2≤f（n）≤3
∴f（1）＝2或3且f（2）＝2或3且f（3）＝2或3且f（4）＝2或3
根据分步计数原理，可得共24＝16个不同的函数
故答案为：a（a为正整数）；16．
【点评】本题题意有点含蓄，发现题中的隐含条件，是解决本题的关键，掌握映射与函数的概念是本题的难点．
15．（2024 全国）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有 144 种（用数字作答）．
【考点】计数原理的应用．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意知需要先选两个元素作为一组再排列，恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，
恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，
从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列
故共有C42A43＝144种不同的放法．
故答案为144．
【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，解题的过程中注意这种有条件的排列要分两步走，先选元素再排列．
16．（2024 江苏）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 120 种．（以数字作答）
【考点】分步乘法计数原理．
【专题】压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，③与⑤同色，则②④或⑥④同色，②与④且③与⑥同色，根据分类计数原理得到结果．
【解答】解：从题意来看6部分种4种颜色的花，
又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求．
（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，
所以共有N1＝4×3×2×2×1＝48种；
（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，
所以共有N2＝4×3×2×2×1＝48种；
（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3＝4×3×2×1＝24种．
∴共有N＝N1+N2+N3＝48+48+24＝120种．
故答案为：120
【点评】这是一道理科的高考题，本题还可以这样解：记颜色为A，B，C，D四色，先安排1，2，3有A43种不同的栽法，
不妨设1，2，3已分别栽种A，B，C，则4，5，6栽种方法共5种，
由以下树状图清晰可见．
根据分步计数原理，不同栽种方法有N＝A43×5＝120．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 闵行区校级期中）如图，从左到右有5个空格．
（1）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？
（2）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂法？
（3）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
【考点】染色问题．
【专题】计算题；分类讨论；排列组合．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，分2步进行分析：①、分析0，易得0有4种选法；②、将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，由分步计数原理计算可得答案，
（2）根据题意，依次分析5个格子的涂色方法数目，由分步计数原理计算可得答案；
（3）根据题意，分2步进行分析：①、将7个小球分成5组，有2种分法：即分成2﹣2﹣1﹣1﹣1的5组或分成3﹣1﹣1﹣1﹣1的5组，②、将分好的5组全排列，对应5个空格，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①、第三个格子不能填0，则0有4种选法；
②、将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有A44种情况，
则一共有种不同的填法；
（2）根据题意，第一个格子有3种颜色可选，即有3种情况，
第二个格子与第一个格子的颜色不能相同，有2种颜色可选，即有2种情况，
同理可得：第三、四、五个格子都有2种情况，
则五个格子共有3×2×2×2×2＝48种不同的涂法；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①、将7个小球分成5组，有2种分法：
若分成2﹣2﹣1﹣1﹣1的5组，有种分法，
若分成3﹣1﹣1﹣1﹣1的5组，有C73种分组方法，
则有（C73）种分组方法，
②、将分好的5组全排列，对应5个空格，有A55种情况，
则一共有种放法．
【点评】本题考查排列、组合的实际应用，（3）要先分好5组，再对应放到5个格子中．
18．（2024 宁江区校级期中）三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？
（4）如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？
（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？
【考点】计数原理的应用．
【专题】计算题；整体思想；数学模型法；排列组合．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据特殊元素优先安排，相邻问题用捆绑，不相邻用插空法，即可求解．
【解答】解：（1）女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看作一个复合元素，再和5个男生全排，故有A33A66＝4320种；
（2）女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有A55A63＝14400种；
（3）两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有A52A66＝14400种；
（4）男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有A83＝336种，
（5）三个女生站在前排，五个男生站在后排，A33A55＝720种
【点评】本题考查排列的应用，相邻问题一般看作一个整体处理，不相邻，用插空法，属于中档题．
19．（2024 昆山市校级期中）如图，一个正方形花圃被分成5份．
（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
（2）若将这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？
【考点】加法计数原理与乘法计数原理的综合应用．
【专题】分类讨论；分析法；排列组合；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先对A部分种植，再对B部分种植，对C部分种植按与B相同及与B不同两种情况进行分类；
（2）先将7个盆栽分成5组，有2种分法，分好后再全排列即可．
【解答】解：（1）先对A部分种植，有4种不同的种植方法；再对B部分种植，有3种不同的种植方法；对C部分种植进行分类：
①若与B相同，D有2种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×1×2×2＝48（种）；
②若与B不同，C有2种不同的种植方法，D有1种不同的种植方法，E有2种不同的种植方法，共有4×3×2×1×2＝48（种）；
综上所述，共有96种种植方法；
（2）将7个盆栽分成5组，有2种分法：
①若分成2﹣2﹣1﹣1﹣1的5组，有种分法；
②若分成3﹣1﹣1﹣1﹣1的5组，有种分法；
将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有种分法．
【点评】本题考查两个计数原理及排列组合的综合运用，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．
20．（2024 宝山区校级模拟）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员．
【考点】计数原理的应用．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有C63种选法．再选2名女运动员，有C42种选法．利用乘法原理得到结果．
（2）至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．分别写出这几种结果，利用分类加法原理得到结果．本题也可以从事件的对立面来考虑，写出所有的结果减去都是男运动员的结果数．
（3）只有男队长的选法为C84种，只有女队长的选法为C84种，男、女队长都入选的选法为C83种，把所有的结果数相加．
（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法．其中不含女运动员的选法有C54种，得到结果．
【解答】解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题，
首先选3名男运动员，有C63种选法．
再选2名女运动员，有C42种选法．
共有C63 C42＝120种选法．
（2）法一（直接法）：“至少1名女运动员”包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理可得有C41 C64+C42 C63+C43 C62+C44 C61＝246种选法．
法二（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从10人中任选5人，有C105种选法，其中全是男运动员的选法有C65种．
所以“至少有1名女运动员”的选法有C105﹣C65＝246种．
（3）“只有男队长”的选法为C84种；
“只有女队长”的选法为C84种；
“男、女队长都入选”的选法为C83种；
∴共有2C84+C83＝196种．
∴“至少1名队长”的选法有C105﹣C85＝196种选法．
（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法．
不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法．
其中不含女运动员的选法有C54种，
∴不选女队长时共有C84﹣C54种选法．
既有队长又有女运动员的选法共有C94+C84﹣C54＝191种．
【点评】本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，在比较复杂的题目中，会同时出现分类和分步，本题是一个比较综合的题目．
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