【高考押题卷】2025年高考数学高频易错题考前冲刺：排列与组合（含解析）

2025年高考数学高频易错考前冲刺：排列与组合
一．选择题（共8小题）
1．（2024 广东）设集合A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（　　）
A．60 B．90 C．120 D．130
2．（2024 山东）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（　　）
A．243 B．252 C．261 D．279
3．（2024 大纲版）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（　　）
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
4．（2024 全国卷Ⅱ）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（　　）
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
5．（2024 全国卷Ⅰ）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（　　）
A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
6．（2024 柳州一模）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（　　）
A．22种 B．24种 C．25种 D．36种
7．（2024 辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（　　）
A．3×3! B．3×（3!）3 C．（3!）4 D．9!
8．（2024 滨海新区校级模拟）从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（　　）
A．48 B．72 C．90 D．96
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024春 贵池区期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是（　　）
A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种
C．甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种
D．若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种
（多选）10．（2024 南关区校级期末）某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天（　　）
A．若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种
B．若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有种
C．若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有种
D．若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有
（多选）11．（2024 南岸区校级期末）为响应政府部门疫情防控号召．某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，下列选项正确的是（　　）
A．若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法
B．共有64种不同的安排方法
C．若甲乙两人不能去A地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法
D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法
（多选）12．（2024春 诸暨市校级期中）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（　　）
A．所有可能的方法有34种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
三．填空题（共4小题）
13．（2024 北京）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是　 　．
14．（2024 大纲版Ⅰ）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有　 　种．（用数字作答）
15．（2024 大纲版）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　 　种．（用数字作答）
16．（2024 浙江）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有　 　种（用数字作答）．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 新余期末）某兴趣小组有9名学生．若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是．
（1）该小组中男女学生各多少人？
（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生 前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）
（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）
18．（2024 秀屿区校级期末）某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影．
（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种？
（2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种？
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种？
19．（2024 黄埔区校级期中）按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
（3）平均分成三份，每份2本；
（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本．
20．（2024 屯溪区校级期中）用n种不同颜色为下侧两块广告牌着色（如图甲、乙所示），要求在①、②、③、④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色．
（1）若n＝6，为甲着色时共有多少种不同方法？
（2）若为乙着色时共有120种不同方法，求n．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：排列与组合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 广东）设集合A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈{﹣1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为（　　）
A．60 B．90 C．120 D．130
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】排列组合．
【答案】D
【分析】从条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”入手，讨论xi所有取值的可能性，分为5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况进行讨论．
【解答】解：由于|xi|只能取0或1，且“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”，因此5个数值中有2个是0，3个是0和4个是0三种情况：
①xi中有2个取值为0，另外3个从﹣1，1中取，共有方法数：；
②xi中有3个取值为0，另外2个从﹣1，1中取，共有方法数：；
③xi中有4个取值为0，另外1个从﹣1，1中取，共有方法数：．
∴总共方法数是130．
即元素个数为130．
故选：D．
【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法．
2．（2024 山东）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（　　）
A．243 B．252 C．261 D．279
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】排列组合．
【答案】B
【分析】求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．
【解答】解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，
其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8＝648，
所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648＝252．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力．
3．（2024 大纲版）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（　　）
A．240种 B．360种 C．480种 D．720种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】直接从中间的4个演讲的位置，选1个给甲，其余全排列即可．
【解答】解：因为6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，甲先安排在除开始与结尾的位置还有个选择，剩余的元素与位置进行全排列有，所以甲只能在中间的4个位置，所以不同的演讲次序有480种．
故选：C．
【点评】本题考查排列、组合以及简单的计数原理的应用，考查计算能力．
4．（2024 全国卷Ⅱ）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（　　）
A．6种 B．12种 C．24种 D．30种
【考点】组合及组合数公式．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】根据题意，分两步，①先求所有两人各选修2门的种数，②再求两人所选两门都相同与都不同的种数，进而由事件间的相互关系，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，分两步分析：，
①由题意可得，所有两人各选修2门的种数C42C42＝36，
②两人所选两门都相同的有为C42＝6种，都不同的种数为C42＝6，
则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有36﹣6﹣6＝24种，
故选：C．
【点评】本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，选用直接法或间接法．
5．（2024 全国卷Ⅰ）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（　　）
A．6种 B．12种 C．24种 D．48种
【考点】排列及排列数公式．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】填好第一行和第一列，其他的行和列就确定，因此只要选好第一行的顺序再确定第一列的顺序，就可以得到符合要求的排列．
【解答】解：填好第一行和第一列，
其他的行和列就确定，
∴A33A22＝12，
故选：B．
【点评】排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．
6．（2024 柳州一模）某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i（i＝1，2，…6），则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有（　　）
A．22种 B．24种 C．25种 D．36种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】C
【分析】抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，列举出在点数中三个数字能够使得和为12的1，5，6；2，4，6；3，3，6；5，5，2；4，4，4，共有4种组合，前四种组合又可以排列出A33种结果，由此利用分类计数原理能得到结果．
【解答】解：由题意知正方形ABCD（边长为3个单位）的周长是12，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是12，
列举出在点数中三个数字能够使得和为12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5；3，3，6；5，5，2；4，4，4；共有6种组合，
前三种组合1，5，6；2，4，6；3，4，5；又可以排列出A33＝6种结果，
3，3，6；5，5，2；有6种结果，4，4，4；有1种结果．
根据分类计数原理知共有24+1＝25种结果，
故选：C．
【点评】排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．
7．（2024 辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（　　）
A．3×3! B．3×（3!）3 C．（3!）4 D．9!
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】完成任务可分为两步，第一步，三口之家内部排序，第二步，三家排序，由分步计数原理计数公式，将两步结果相乘即可
【解答】解：第一步，分别将三口之家“捆绑”起来，共有3！×3！×3！种排法；
第二步，将三个整体排列顺序，共有3！种排法
故不同的作法种数为3！×3！×3！×3！＝3!4
故选：C．
【点评】本题主要考查了分步计数原理及其应用，排列数及排列数公式的应用，捆绑法计数的技巧，属基础题
8．（2024 滨海新区校级模拟）从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（　　）
A．48 B．72 C．90 D．96
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；排列组合．
【答案】D
【分析】根据题意，分2种情况讨论选出参加竞赛的4人，①、选出的4人没有甲，②、选出的4人有甲，分别求出每一种情况下分选法数目，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，
分2种情况讨论：
①、选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有24种情况，
②、选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，
在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有24种选法，
则此时共有3×24＝72种选法，
则有24+72＝96种不同的参赛方案；
故选：D．
【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意优先考虑特殊元素．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024春 贵池区期中）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是（　　）
A．如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有24种
B．甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有78种
C．甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有36种
D．若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有42种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有48种不同的排法，A错误；
对于B，若甲站在正中间，乙有4种站法，剩下3人全排列，有424种排法，
若甲不站在正中间，甲有3种站法，乙有3种站法，剩下3人全排列，有3×354种排法，
则有24+54＝78种不同的站法，B正确；
对于C，将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有72种排法，
其余乙在甲的右边和乙在甲的左边的情况数目相同，则有72＝36种不同的排法，C正确；
对于D，若五人已站好，后来情况有变，需加上2人，第一个人有6种插法，第二个人有7种插法，则有6×7＝42种不同的安排方法，D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
（多选）10．（2024 南关区校级期末）某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天（　　）
A．若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有种
B．若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有种
C．若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有种
D．若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】综合题；转化思想；分析法；排列组合；逻辑思维．
【答案】AC
【分析】对于A，利用排列的定义直接判断即可；
对于BCD，按照先特殊后一般、先分组后排列的顺序，结合排列组合的知识求解．
【解答】解：显然，A正确；
对于B，先从甲乙丙三人中选一人，然后将该人和除甲乙丙之外的两人进行全排列即可：即种，故B错误；
对于C，将甲乙看成一个人，连同去掉丙之后的两人，共三组进行全排列即可，即种排法，故C正确；
对于D，先将五人分成人数分别2，2，1的三组，再进行全排列，即90，而1800，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题综合考查排列、组合的概念和方法，同时考查了排列数、组合数的计算，属于中档题．
（多选）11．（2024 南岸区校级期末）为响应政府部门疫情防控号召．某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，下列选项正确的是（　　）
A．若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法
B．共有64种不同的安排方法
C．若甲乙两人不能去A地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法
D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，将4人安排到这两个地方，有C32（24﹣2）＝42种选取方法，A正确；
对于B，安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴A，B，C三地参加防控工作，每人有3种安排方法，则有3×3×3×3＝81种安排方法，B错误；
对于C，根据题意，需要将4人分为3组，
若甲乙在同一组，有1种分组方法，则甲乙所在的组不能去A地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有A22＝2种情况，此时有2×2＝4种安排方法；
若甲乙不在同一组，有C42﹣1＝5种分组方法，若甲乙两人不能去A地，只能安排没有甲乙的1组去A地，甲乙所在的两组安排到B、C两地，有A22＝2种情况，此时有5×2＝10种安排方法；
则一共有4+10＝14种安排方法，C错误；
对于D，只需要将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入挡板，就可以将20辆救护车分为3组，依次对应A，B，C三地即可，有C192＝171种安排方法；
故选：AD．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
（多选）12．（2024春 诸暨市校级期中）现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（　　）
A．所有可能的方法有34种
B．若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C．若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，每人有4种选择，则三人一共有4×4×4＝43种方法，A错误，
对于B，分三种情况讨论：①若有1名同学去甲工厂，则去甲工厂的同学情况为，另外两名同学的安排方法有3×3＝9种，此种情况共有种，
②若有两名同学去甲工厂，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，
③若三名同学都去甲工厂，此种情况唯一，则共有27+9+1＝37种安排方法，B正确
对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有4×4＝16种安排，C正确，
对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确
故选：BCD．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 北京）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是　96　．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】排列组合．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．
【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有496种．
故答案为：96．
【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．
14．（2024 大纲版Ⅰ）某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有　30　种．（用数字作答）
【考点】组合及组合数公式．
【专题】计算题；压轴题；分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意分类：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，确定选法；
（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，确定选法；然后求和即可．
【解答】解：分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；
（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．
所以不同的选法共有C31C42+C32C41＝18+12＝30种．
故答案为：30
【点评】本小题主要考查分类计数原理、组合知识，以及分类讨论的数学思想．
15．（2024 大纲版）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有　480　种．（用数字作答）
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】排列好甲、乙两人外的4人，然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可．
【解答】解：6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法：排列好甲、乙两人外的4人，有中方法，
然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位，有种方法，
所以共有：480．
故答案为：480．
【点评】本题考查了乘法原理，以及排列的简单应用，插空法解答不相邻问题．
16．（2024 浙江）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有　264　种（用数字作答）．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】排列组合．
【答案】见试题解答内容
【分析】法一：先安排上午的测试方法，有A44种，再安排下午的测试方式，由于上午的测试结果对下午有影响，故需要选定一位同学进行分类讨论，得出下午的测试种数，再利用分步原理计算出结果
法二：假定没有限制条件，无论是上午或者下午5个项目都可以选．组合总数为：4×5×4×4＝320．再考虑限制条件：上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目．在总组合为320种的组合中，上午为握力的种类有32种；同样下午为台阶的组合有32种．最后还要考虑那去掉的64种中重复去掉的，如A同学的一种组合，上午握力，下午台阶（这种是被去掉了2次），A同学上午台阶，下午握力（也被去掉了2次），这样的情况还要考虑B．C．D三位，所以要回加2×4＝8．进而可得答案．
【解答】解：解法一：先安排4位同学参加上午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“台阶”测试，共有A44种不同安排方式；接下来安排下午的“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”测试，假设A、B、C同学上午分别安排的是“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试，若D同学选择“握力”测试，安排A、B、C同学分别交叉测试，有2种；若D同学选择“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试中的1种，有A31种方式，安排A、B、C同学进行测试有3种；根据计数原理共有安排方式的种数为A44（2+A31×3）＝264，
故答案为264
解法二：假定没有这个限制条件：上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目．无论是上午或者下午5个项目都可以选．上午每人有五种选法，下午每人仅有四种选法，上午的测试种数是4×5＝20，下午的测试种数是4×4＝16故我们可以很轻松的得出组合的总数：4×5×4×4＝320．
再考虑这个限制条件：上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目．在总组合为320种的组合中，上午为握力的种类是总数的，32种；同样下午为台阶的组合也是总数的，32种．所以320﹣32﹣32＝256种．
但是最后还要考虑那去掉的64种中重复去掉的，好像A同学的一种组合，上午握力，下午台阶（这种是被去掉了2次），A同学上午台阶，下午握力（也被去掉了2次），这样的情况还要B．C．D三位，所以要回加2×4＝8．
所以最后的计算结果是4×5×4×4﹣32﹣32+8＝264．
答案：264．
【点评】本题主要考查了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考查，属较难题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 新余期末）某兴趣小组有9名学生．若从9名学生中选取3人，则选取的3人中恰好有一个女生的概率是．
（1）该小组中男女学生各多少人？
（2）9个学生站成一列队，现要求女生保持相对顺序不变（即女生 前后顺序保持不变）重新站队，问有多少种重新站队的方法？（要求用数字作答）
（3）9名学生站成一列，要求男生必须两两站在一起，有多少种站队的方法？（要求用数字作答）
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】方程思想；数学模型法；概率与统计；排列组合．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设男生有x人，由，可解得，x＝6，于是可知该小组中男女学生的人数；
（2）（方法一）按坐座位的方法：第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，第二步：余下的座位让3个女生去坐，利用分步乘法计数原理可得答案；
（方法二）除序法：第一步：9名学生站队共有种站队方法；第二步：3名女生有种站队顺序，依题意可得答案；
（3）第一步：将6名男生分成3组；第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，第三步：3组男生中每组男生站队，利用分步乘法计数原理可得答案．
【解答】解：（1）设男生有x人，则，即x（x﹣1）（9﹣x）＝90，解之得，x＝6
故男生有6人，女生有3人．…4分
（2）（方法一）按坐座位的方法：
第一步：让6名男生先从9个位置中选6个位置坐，共有60480种；
第二步：余下的座位让3个女生去坐，因为要保持相对顺序不变，故只有1种选择；
故，一共有60480×1﹣1＝60479种重新站队方法．…8分
（方法二）除序法：
第一步：9名学生站队共有种站队方法；
第二步：3名女生有种站队顺序；
故一共有1＝60480﹣1＝60479种重新站队方法．…8分
（3）第一步：将6名男生分成3组，共有种；
第二步：三名女生站好队，然后将3组男生插入其中，共有种
第三步：3组男生中每组男生站队方法共有种
故一共有：15×144×8＝17280种站队方法．…12分．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，突出考查分步乘法计数原理的理解与运用，考查分析、运算能力，属于难题．
18．（2024 秀屿区校级期末）某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人，这5人站成一排留影．
（1）求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种？
（2）求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种？
（3）求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种？
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意甲乙两人必须相邻的站法，把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有A44种，且甲、乙的位置还可以互换根据分步计数原理，得到结果．
（2）除甲乙两人外其余3人的排列数为A33，而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻；且甲、乙位置可以互换．故有C42A22种排列方式
（3）若甲站最右端，则乙与其余三人可任意排，则此时的排法数为A44种；若甲不站最右端，则先从中间3个位置中选一个给甲，再从除最右端的省余的3个位置给乙，其余的三个人任意排，则此时的排法数为C31C31A33种；
【解答】解：（1）把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有A44种，
且甲、乙的位置还可以互换
∴不同站法有A44 A22＝48种．
（2）除甲乙两人外其余3人的排列数为A33，
而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻；
且甲、乙位置可以互换．故有C42A22种排列方式．
∴不同站法有A33 C42A22＝72种．
（3）优先考虑甲：
若甲站最右端，则乙与其余三人可任意排，则此时的排法数为A44种；
若甲不站最右端，则先从中间3个位置中选一个给甲，
再从除最右端的省余的3个位置给
乙，其余的三个人任意排，则此时的排法数为C31C31A33种；
∴不同站法有A44+C31C31A33＝78种．
【点评】本题考查排列组合的实际应用，是一个排列问题，注意相邻问题的排法，有限制条件的元素，要优先考虑，本题是一个送分题目．
19．（2024 黄埔区校级期中）按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
（3）平均分成三份，每份2本；
（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
（6）甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
（7）甲得1本，乙得1本，丙得4本．
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】综合题；转化思想；数学模型法；排列组合．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，是无序不均匀分组问题，直接利用组合数公式求解即可．
（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，甲、乙、丙三人有序不均匀分组问题．直接求出即可．
（3）平均分成三份，每份2本．这是平均分组问题，求出组合总数除以A33即可．
（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本，甲、乙、丙三人有序均匀分组问题．直接求出即可，
（5）分成三份，1份4本，另外两份每份1本．这是部分平均分组问题，求出组合总数除以A22即可，
（6）甲、乙、丙三人有序部分均匀分组问题．直接求出即可，
（7）由有序定向分配问题，直接求解即可．
【解答】解：（1）无序不均匀分组问题．先选1本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；最后余下3本全选有C33种方法，故共有C16C25C33＝60种．
（2）有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）题基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33＝360种．
（3）无序均匀分组问题．先分三步，则应是C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则C26C24C22种分法中还有（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD），共A33种情况，而这A33种情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有15种．
（4）在（3）的基础上，还应考虑再分配，共有15A33＝90种．
（5）无序均匀分组问题，15种，
（6）在（5）的基础上，还应考虑再分配，共有15A33＝90种，
（7）从6本中选4本分配给丙，再选1本分配给甲，剩下的一本给乙，故有C64C21＝30．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，正确区分无序不均匀分组问题．有序不均匀分组问题．无序均匀分组问题．是解好组合问题的一部分；本题考查计算能力，理解能力
20．（2024 屯溪区校级期中）用n种不同颜色为下侧两块广告牌着色（如图甲、乙所示），要求在①、②、③、④四个区域中相邻（有公共边界）的区域不用同一种颜色．
（1）若n＝6，为甲着色时共有多少种不同方法？
（2）若为乙着色时共有120种不同方法，求n．
【考点】排列组合的综合应用；计数原理的应用．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意，分分四个步骤来完成着色，即依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，由乘法原理计算可得答案．
（2）分析与（1）的不同，其区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，由（1）的思路可得，n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）＝120；计算可得答案．
【解答】解：（1）完成着色这件事，共分四个步骤，即依次考虑为①、②、③、④着色时各自的方法数，
为①着色有6种方法，
为②着色有5种方法，
为③着色有4种方法，
为④着色也只有4种方法．
∴共有着色方法6×5×4×4＝480种．
（2）与（1）的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块，
同理，不同的着色方法数是n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）．
由n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）＝120
∴（n2﹣3n）（n2﹣3n+2）﹣120＝0，
即（n2﹣3n）2+2（n2﹣3n）﹣12×10＝0，
∴n2﹣3n﹣10＝0，
∴n＝5．
【点评】本题考查涂色问题，是排列、组合的典型题目，一般涉及分类加法原理与分步乘法原理，注意认真分析题意，把握好限制条件．
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