【高考押题卷】2025年高考数学高频易错题考前冲刺：抛物线（含解析）
文档属性
| 名称 | 【高考押题卷】2025年高考数学高频易错题考前冲刺：抛物线（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 283.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-12 18:38:52 | ||
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文档简介
2025年高考数学高频易错考前冲刺：抛物线
一．选择题（共8小题）
1．（2024 美兰区校级模拟）过点F（0，3），且和直线y+3＝0相切的动圆圆心轨迹方程是（ ）
A．y2＝12x B．y2＝﹣12x C．x2＝﹣12y D．x2＝12y
2．（2024 太原模拟）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2024 全国卷Ⅰ）抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（ ）
A．4 B． C． D．8
4．（2024 全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
5．（2024 黑龙江模拟）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若3，则|QF|＝（ ）
A． B． C．3 D．2
6．（2024 南开区模拟）过点（1，﹣2）的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2＝4x或x2y B．y2＝4x
C．y2＝4x或x2y D．x2y
7．（2024 天津）设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比（ ）
A． B． C． D．
8．（2024 辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023 定远县校级二模）已知F是抛物线C：y2＝x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（ ）
A．若|AF|，则△AOF的面积为
B．若BB'垂直C的准线于点B'，且|BB'|＝2|OF|，则四边形OFBB'周长为
C．若直线AB过点F，则|AB|的最小值为1
D．若，则直线AB恒过定点
（多选）10．（2023 岳麓区校级三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是（ ）
A．p＝4 B． C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
（多选）11．（2024 南山区校级期末）已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．|AB|的最小值为2
B．线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切
C．x1x2为定值
D．若M（﹣1，0），则∠AMF＝∠BMF
（多选）12．（2024 湛江一模）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与C相交于A，B两点，l2与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值
B．以|AB|为直径的圆与l相切
C．|AB|+|DE|的最小值为32
D．当|MN|最小时，MN∥l
三．填空题（共4小题）
13．（2024 大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝ ．
14．（2024 浙江）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为 ．
15．（2024 秦州区校级三模）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 ．
16．（2024 上海）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A在B上方，M为抛物线上一点，λ（λ﹣2），则λ＝ ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2．
（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求的最小值及此时点G的坐标．
18．（2024 北京）已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝﹣1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
19．（2024 福建）已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|＝3，
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
20．（2024 全国卷Ⅱ）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）证明为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f（λ）的表达式，并求S的最小值．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 美兰区校级模拟）过点F（0，3），且和直线y+3＝0相切的动圆圆心轨迹方程是（ ）
A．y2＝12x B．y2＝﹣12x C．x2＝﹣12y D．x2＝12y
【考点】抛物线的定义．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知条件可知：动圆圆心符合抛物线的定义，进而可求出．
【解答】解：由已知条件：过点F（0，3），且和直线y+3＝0相切的动圆圆心轨迹是以点F（0，3）为焦点，直线y＝﹣3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y．
故选：D．
【点评】掌握抛物线的定义是解题的关键．
2．（2024 太原模拟）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|＝a+b，由余弦定理可得|AB|2＝（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．
【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．
由余弦定理得，
|AB|2＝a2+b2﹣2abcos120°＝a2+b2+ab
配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣ab，
又∵ab≤（）2，
∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2
得到|AB|（a+b）．
所以，即的最大值为．
故选：A．
【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．
3．（2024 全国卷Ⅰ）抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（ ）
A．4 B． C． D．8
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】C
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线为l：x＝﹣1，
经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），
AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），
∴△AKF的面积是4
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视．
4．（2024 全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【考点】抛物线的焦点与准线；平面向量的概念与平面向量的模．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】C
【分析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据0，判断点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值．最后根据抛物线的定义求得答案．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x＝﹣1
∵，
∴点F是△ABC重心
则x1+x2+x3＝3
y1+y2+y3＝0
而|FA|＝x1﹣（﹣1）＝x1+1
|FB|＝x2﹣（﹣1）＝x2+1
|FC|＝x3﹣（﹣1）＝x3+1
∴|FA|+|FB|+|FC|＝x1+1+x2+1+x3+1＝（x1+x2+x3）+3＝3+3＝6
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解本题的关键是判断出F点为三角形的重心．
5．（2024 黑龙江模拟）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若3，则|QF|＝（ ）
A． B． C．3 D．2
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，由3，可得，又|MF|＝p＝4，根据抛物线的定义即可得出．
【解答】解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，
∵3，
∴，又|MF|＝p＝4，
∴|NQ|，
∵|NQ|＝|QF|，
∴|QF|．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（2024 南开区模拟）过点（1，﹣2）的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2＝4x或x2y B．y2＝4x
C．y2＝4x或x2y D．x2y
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】分别设焦点在x轴和在y轴上的抛物线的方程，然后将点代入即可．
【解答】解：①设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝ax，将点（1，﹣2）代入可得a＝4，
故抛物线的标准方程为y2＝4x
②设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝by，将点（1，﹣2）代入可得b
故抛物线的标准方程为x2y．
综上，过点（1，﹣2）的抛物线的标准方程是y2＝4x或x2y．
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，正确分类是关键．
7．（2024 天津）设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】根据，进而根据两三角形相似，推断出，根据抛物线的定义求得
，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x代入，即可求得A的坐标，进而求得
的值，则三角形的面积之比可得．
【解答】解：如图过B作准线l：x的垂线，垂足分别为A1，B1，
∵，
又∵△B1BC∽△A1AC、
∴，
由抛物线定义．
由|BF|＝|BB1|＝2知xB，yB，
∴AB：y﹣0（x）．
把x代入上式，求得yA＝2，xA＝2，
∴|AF|＝|AA1|．
故．
故选：A．
【点评】本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．
8．（2024 辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】C
【分析】利用点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率．
【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，
∴2，
∴F（2，0），
∴直线AF的斜率为．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023 定远县校级二模）已知F是抛物线C：y2＝x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（ ）
A．若|AF|，则△AOF的面积为
B．若BB'垂直C的准线于点B'，且|BB'|＝2|OF|，则四边形OFBB'周长为
C．若直线AB过点F，则|AB|的最小值为1
D．若，则直线AB恒过定点
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；方程思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据焦半径公式和三角形额的面积公式即可判断A；
根据抛物线的定义和两点之间的距离公式可得周长，即可判断B；
根据当AB⊥x轴时，|AB|最小，即可判断C；
设直线AB：x＝my+t，根据韦达定理和向量的数量积，即可判断D．
【解答】解：对于选项A，设A（x1，y1），由焦半径公式得，解得x1＝1，所以y1＝1，从而，选项A正确；
对于选项B，由题意知，根据抛物线的定义可知．设BB'与y轴的交点为D，易知，，
故，所以四边形OFBB'的周长为，选项B错误；
对于选项C，若直线AB过点F，则当AB⊥x轴时，|AB|最小，且最小值为1，选项C正确；
对于选项D，设直线AB：x＝my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线AB与抛物线方程得y2﹣my﹣t＝0，则y1y2＝﹣t，
所以，
由可得，
即，解得，
故直线AB的方程为，
即直线AB恒过定点，选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．
（多选）10．（2023 岳麓区校级三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是（ ）
A．p＝4 B． C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABC
【分析】由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得A的坐标，再由焦半径公式求p，进一步求出|BF|，|BD|的值，逐一判断四个选项得答案．
【解答】解：如图，F（，0），直线l的斜率为，则直线方程为y（x），
联立，得12x2﹣20px+3p2＝0．
解得：，P，
由|AF|2p＝8，得p＝4．
∴抛物线方程为y2＝8x．
xBp，则|BF|2；
|BD|，∴|BD|＝2|BF|，
|BD|+|BF|8，则F为AD中点．
∴运算结论正确的是A，B，C．
故选：ABC．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
（多选）11．（2024 南山区校级期末）已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．|AB|的最小值为2
B．线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切
C．x1x2为定值
D．若M（﹣1，0），则∠AMF＝∠BMF
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】计算题；对应思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的性质和定义即可判断AB，根据直线和抛物线的位置关系，利用韦达定理可判断CD．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x，焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，过焦点的弦中通径最短，所以|AB|的最小值为2p＝4，故A不正确，
如图：设线段AB的中点为D，过点A，B，D作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，D1，由抛物线的定义可得|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
所以|DD1|（|AA1|+|BB1|）|AB|，
所以以线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切，故B正确；
设直线AB所在的直线方程为x＝ny+1，
由，消去x可得y2﹣4ny﹣4＝0，
所以y1+y2＝4n，y1y2＝﹣4，
所以x1x21，故C正确；
所以kAM+kBM0，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
（多选）12．（2024 湛江一模）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与C相交于A，B两点，l2与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值
B．以|AB|为直径的圆与l相切
C．|AB|+|DE|的最小值为32
D．当|MN|最小时，MN∥l
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对于A，设直线方程，并联立抛物线，再结合韦达定理，以及抛物线的定义，即可求解，
对于B，利用抛物线的定义可得，|AB|＝|AF|+|BF|，即可求解，
对于C，结合基本不等式的公式，即可求解，
对D，求出|MN|的表达式，采用换元法，以及二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），M（xM，yM），N（xN，yN），
直线l1的方程为x＝my+2，
则直线l2的方程为x，
将直线l1的方程x＝my+2代入y2＝8x，化简整理可得，y2﹣8my﹣16＝0，
则y1+y2＝8m，y1y2＝﹣16，
故x1+x2＝m（y1+y2）+4＝8m2+4，
所以，，
因为点A到直线l的距离d1＝x1+2，点B到直线l的距离d2＝x2+2，点M到直线l的距离dM＝xM+2，
又因为，
所以，故A错误，
因为|AB|＝|AF|+|BF|，
所以以|AB|为直径的圆的圆心M到直线l的距离为，
故|AB|为直径的圆与l相切，故B正确，
同理x3+x4，
所以，，|ED|＝|EF|+|DF|，
则|AB|+|ED|，当且仅当m＝±1时，等号成立，故C正确，
，
设，
则，，|MN|，
当t＝2时，即m＝±1，|MN|最小，这时xN＝xM，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于难题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝ 2 ．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，进而根据，可知M为A、B的中点，
可得p的关系式，解方程即可求得p．
【解答】解：设直线AB：，代入y2＝2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，
又∵，即M为A、B的中点，
∴xB+（）＝2，即xB＝2，
得p2+4P﹣12＝0，
解得p＝2，p＝﹣6（舍去）
故答案为：2
【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．
14．（2024 浙江）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为 ．
【考点】抛物线的定义；抛物线的焦点与准线．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据抛物线方程可表示出焦点F的坐标，进而求得B点的坐标代入抛物线方程求得p，则B点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得B到该抛物线准线的距离．
【解答】解：依题意可知F坐标为（，0）
∴B的坐标为（，1）代入抛物线方程得1，解得p，
∴抛物线准线方程为x
所以点B到抛物线准线的距离为，
故答案为
【点评】本题主要考查抛物线的定义及几何性质，属容易题
15．（2024 秦州区校级三模）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 y2＝3x． ．
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题；数形结合；待定系数法．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，和抛物线的定义，可得∠NCB＝30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|＝x，而，，且，，可求得p的值，即求得抛物线的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，
则|BN|＝|BF|，
又|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BN|，
∴∠NCB＝30°，
有|AC|＝2|AM|＝6，
设|BF|＝x，则2x+x+3＝6 x＝1，
而，，由直线AB：y＝k（x），代入抛物线的方程可得，
k2x2﹣（pk2+2p）xk2p2＝0，
即有，
∴，
得y2＝3x．
故答案为：y2＝3x．
【点评】此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．
16．（2024 上海）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A在B上方，M为抛物线上一点，λ（λ﹣2），则λ＝ 3 ．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】转化思想；函数的性质及应用；平面向量及应用；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标，进一步利用向量的运算求出结果．
【解答】解：过y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与y2＝4x交于A，B，A在B上方，
依题意：得到：A（1，2）B（1，﹣2），
设点M（x，y），
所以：M为抛物线上一点，λ（λ﹣2），
则：（x，y）＝λ（1，2）+（λ﹣2）（1，﹣2）＝（2λ﹣2，4），
代入y2＝4x，
得到：λ＝3．
故答案为：3
【点评】本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用，向量的坐标运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2．
（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求的最小值及此时点G的坐标．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得：1，由此能求出抛物线的准线方程；
（Ⅱ）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重心G（xG，yG），令yA＝2t，t≠0，则，从而直线AB的方程为x，代入y2＝4x，得：，求出B（，），由重心在x轴上，得到0，从而C（（）2，2（）），G（，0），进而直线AC的方程为y﹣2t＝2t（x﹣t2），得Q（t2﹣1，0），由此结合已知条件能求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：1，
∴p＝2，
∴抛物线的准线方程为x＝﹣1；
（Ⅱ）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重心G（xG，yG），
令yA＝2t，t≠0，则，
由于直线AB过F，故直线AB的方程为x，
代入y2＝4x，得：，
∴2tyB＝﹣4，即yB，∴B（，），
又xG（xA+xB+xC），yG（yA+yB+yC），重心在x轴上，
∴0，
∴C（（）2，2（）），G（，0），
∴直线AC的方程为y﹣2t＝2t（x﹣t2），得Q（t2﹣1，0），
∵Q在焦点F的右侧，∴t2＞2，
∴2，
令m＝t2﹣2，则m＞0，
2221，
∴当m时，取得最小值为1，此时G（2，0）．
【点评】本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
18．（2024 北京）已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝﹣1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】（Ⅰ）抛物线C的方程为x2＝﹣4y，准线方程为y＝1；
（Ⅱ）证明：抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），
设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得x2+4kx﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
可得x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，
直线OM的方程为yx，即yx，
直线ON的方程为yx，即yx，
可得A（，﹣1），B（，﹣1），
可得AB的中点的横坐标为2（）＝2 2k，
即有AB为直径的圆心为（2k，﹣1），
半径为||＝2 2，
可得圆的方程为（x﹣2k）2+（y+1）2＝4（1+k2），
化为x2﹣4kx+（y+1）2＝4，
由x＝0，可得y＝1或﹣3．
则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，1），（0，﹣3）．
【分析】（Ⅰ）代入点（2，﹣1），解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程；
（Ⅱ）抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，B的坐标，可得AB为直径的圆方程，可令x＝0，解方程，即可得到所求定点．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．可得4＝2p，即p＝2，
可得抛物线C的方程为x2＝﹣4y，准线方程为y＝1；
（Ⅱ）证明：抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），
设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得x2+4kx﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
可得x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，
直线OM的方程为yx，即yx，
直线ON的方程为yx，即yx，
可得A（，﹣1），B（，﹣1），
可得AB的中点的横坐标为2（）＝2 2k，
即有AB为直径的圆心为（2k，﹣1），
半径为||＝2 2，
可得圆的方程为（x﹣2k）2+（y+1）2＝4（1+k2），
化为x2﹣4kx+（y+1）2＝4，
由x＝0，可得y＝1或﹣3．
则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，1），（0，﹣3）．
【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19．（2024 福建）已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|＝3，
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的标准方程．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|＝23，解得p．即可得出抛物线E的方程．
（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2＝0，解得B．又G（﹣1，0），计算kGA，kGB，可得kGA+kGB＝0，∠AGF＝∠BGF，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2＝0，解得B．又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F（1，0）到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【解答】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|＝23，解得p＝2．
∴抛物线E的方程为y2＝4x；
（II）证明：∵点A（2，m）在抛物线E上，
∴m2＝4×2，解得m，不妨取A，F（1，0），
∴直线AF的方程：y＝2（x﹣1），
联立，化为2x2﹣5x+2＝0，解得x＝2或，B．
又G（﹣1，0），∴kGA．kGB，
∴kGA+kGB＝0，
∴∠AGF＝∠BGF，∴x轴平分∠AGB，
因此点F到直线GA，GB的距离相等，
∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）证明：点A（2，m）在抛物线E上，∴m2＝4×2，解得m，不妨取A，F（1，0），
∴直线AF的方程：y＝2（x﹣1），
联立，化为2x2﹣5x+2＝0，解得x＝2或，B．
又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程分别为：x﹣3y+20，0，
点F（1，0）到直线GA的距离d，
同理可得点F（1，0）到直线GB的距离．
因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．
20．（2024 全国卷Ⅱ）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）证明为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f（λ）的表达式，并求S的最小值．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】（Ⅰ）：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦点F（0，1），准线方程为y＝﹣1，
显然AB斜率存在且过F（0，1）
设其直线方程为y＝kx+1，联立4y＝x2消去y得：x2﹣4kx﹣4＝0，
判别式Δ＝16（k2+1）＞0．
x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4
于是曲线4y＝x2上任意一点斜率为y′，则易得切线AM，BM方程分别为y＝（）x1（x﹣x1）+y1，y＝（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1，4y2，联立方程易解得交点M坐标，xo2k，yo1，即M（，﹣1）
从而，（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）
（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）（）﹣2[（）]＝0，（定值）命题得证．
这就说明AB⊥FM．
（Ⅱ）S取得最小值4．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y＝x2上任意一点斜率为y′，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得 的结果为0，进而判断出AB⊥FM．
（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦点F（0，1），准线方程为y＝﹣1，
显然AB斜率存在且过F（0，1）
设其直线方程为y＝kx+1，联立4y＝x2消去y得：x2﹣4kx﹣4＝0，
判别式Δ＝16（k2+1）＞0．
x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4
于是曲线4y＝x2上任意一点斜率为y′，则易得切线AM，BM方程分别为y＝（）x1（x﹣x1）+y1，y＝（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1，4y2，联立方程易解得交点M坐标，xo2k，yo1，即M（，﹣1）
从而，（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）
（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）（）﹣2[（）]＝0，（定值）命题得证．
这就说明AB⊥FM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S|AB||FM|．
∵，
∴（﹣x1，1﹣y1）＝λ（x2，y2﹣1），即，
而4y1，4y2，
则，4λ，
|FM|．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝﹣1的距离，所以
|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+22＝λ2＝（）2．
于是S|AB||FM|（）3，
由2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
【点评】本题主要考查了抛物线的应用．抛物线与直线的关系和抛物线的性质等都是近几年高考的热点，故应重点掌握．
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一．选择题（共8小题）
1．（2024 美兰区校级模拟）过点F（0，3），且和直线y+3＝0相切的动圆圆心轨迹方程是（ ）
A．y2＝12x B．y2＝﹣12x C．x2＝﹣12y D．x2＝12y
2．（2024 太原模拟）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2024 全国卷Ⅰ）抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（ ）
A．4 B． C． D．8
4．（2024 全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
5．（2024 黑龙江模拟）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若3，则|QF|＝（ ）
A． B． C．3 D．2
6．（2024 南开区模拟）过点（1，﹣2）的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2＝4x或x2y B．y2＝4x
C．y2＝4x或x2y D．x2y
7．（2024 天津）设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比（ ）
A． B． C． D．
8．（2024 辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023 定远县校级二模）已知F是抛物线C：y2＝x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（ ）
A．若|AF|，则△AOF的面积为
B．若BB'垂直C的准线于点B'，且|BB'|＝2|OF|，则四边形OFBB'周长为
C．若直线AB过点F，则|AB|的最小值为1
D．若，则直线AB恒过定点
（多选）10．（2023 岳麓区校级三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是（ ）
A．p＝4 B． C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
（多选）11．（2024 南山区校级期末）已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．|AB|的最小值为2
B．线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切
C．x1x2为定值
D．若M（﹣1，0），则∠AMF＝∠BMF
（多选）12．（2024 湛江一模）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与C相交于A，B两点，l2与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值
B．以|AB|为直径的圆与l相切
C．|AB|+|DE|的最小值为32
D．当|MN|最小时，MN∥l
三．填空题（共4小题）
13．（2024 大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝ ．
14．（2024 浙江）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为 ．
15．（2024 秦州区校级三模）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 ．
16．（2024 上海）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A在B上方，M为抛物线上一点，λ（λ﹣2），则λ＝ ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2．
（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求的最小值及此时点G的坐标．
18．（2024 北京）已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝﹣1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
19．（2024 福建）已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|＝3，
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
20．（2024 全国卷Ⅱ）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）证明为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f（λ）的表达式，并求S的最小值．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024 美兰区校级模拟）过点F（0，3），且和直线y+3＝0相切的动圆圆心轨迹方程是（ ）
A．y2＝12x B．y2＝﹣12x C．x2＝﹣12y D．x2＝12y
【考点】抛物线的定义．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知条件可知：动圆圆心符合抛物线的定义，进而可求出．
【解答】解：由已知条件：过点F（0，3），且和直线y+3＝0相切的动圆圆心轨迹是以点F（0，3）为焦点，直线y＝﹣3为准线的抛物线，故其方程为x2＝12y．
故选：D．
【点评】掌握抛物线的定义是解题的关键．
2．（2024 太原模拟）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|＝a+b，由余弦定理可得|AB|2＝（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．
【解答】解：设|AF|＝a，|BF|＝b，连接AF、BF
由抛物线定义，得|AF|＝|AQ|，|BF|＝|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|＝|AQ|+|BP|＝a+b．
由余弦定理得，
|AB|2＝a2+b2﹣2abcos120°＝a2+b2+ab
配方得，|AB|2＝（a+b）2﹣ab，
又∵ab≤（）2，
∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2（a+b）2（a+b）2
得到|AB|（a+b）．
所以，即的最大值为．
故选：A．
【点评】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．
3．（2024 全国卷Ⅰ）抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（ ）
A．4 B． C． D．8
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】C
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点F（1，0），准线为l：x＝﹣1，
经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），
AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），
∴△AKF的面积是4
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线的基本性质和直线和抛物线的综合问题．直线和圆锥曲线的综合题是高考的热点要重视．
4．（2024 全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【考点】抛物线的焦点与准线；平面向量的概念与平面向量的模．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】C
【分析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据0，判断点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值．最后根据抛物线的定义求得答案．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）
抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x＝﹣1
∵，
∴点F是△ABC重心
则x1+x2+x3＝3
y1+y2+y3＝0
而|FA|＝x1﹣（﹣1）＝x1+1
|FB|＝x2﹣（﹣1）＝x2+1
|FC|＝x3﹣（﹣1）＝x3+1
∴|FA|+|FB|+|FC|＝x1+1+x2+1+x3+1＝（x1+x2+x3）+3＝3+3＝6
故选：C．
【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．解本题的关键是判断出F点为三角形的重心．
5．（2024 黑龙江模拟）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若3，则|QF|＝（ ）
A． B． C．3 D．2
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，由3，可得，又|MF|＝p＝4，根据抛物线的定义即可得出．
【解答】解：设l与x轴的交点为M，过Q向准线l作垂线，垂足为N，
∵3，
∴，又|MF|＝p＝4，
∴|NQ|，
∵|NQ|＝|QF|，
∴|QF|．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（2024 南开区模拟）过点（1，﹣2）的抛物线的标准方程是（ ）
A．y2＝4x或x2y B．y2＝4x
C．y2＝4x或x2y D．x2y
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】分别设焦点在x轴和在y轴上的抛物线的方程，然后将点代入即可．
【解答】解：①设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝ax，将点（1，﹣2）代入可得a＝4，
故抛物线的标准方程为y2＝4x
②设焦点在y轴上的抛物线的标准方程为x2＝by，将点（1，﹣2）代入可得b
故抛物线的标准方程为x2y．
综上，过点（1，﹣2）的抛物线的标准方程是y2＝4x或x2y．
故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线的标准方程，考查学生的计算能力，正确分类是关键．
7．（2024 天津）设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】A
【分析】根据，进而根据两三角形相似，推断出，根据抛物线的定义求得
，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，把x代入，即可求得A的坐标，进而求得
的值，则三角形的面积之比可得．
【解答】解：如图过B作准线l：x的垂线，垂足分别为A1，B1，
∵，
又∵△B1BC∽△A1AC、
∴，
由抛物线定义．
由|BF|＝|BB1|＝2知xB，yB，
∴AB：y﹣0（x）．
把x代入上式，求得yA＝2，xA＝2，
∴|AF|＝|AA1|．
故．
故选：A．
【点评】本题主要考查了抛物线的应用，抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的综合运用和综合分析问题的能力．
8．（2024 辽宁）已知点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）
A． B．﹣1 C． D．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】C
【分析】利用点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，确定焦点F的坐标，即可求出直线AF的斜率．
【解答】解：∵点A（﹣2，3）在抛物线C：y2＝2px的准线上，
∴2，
∴F（2，0），
∴直线AF的斜率为．
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线斜率的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2023 定远县校级二模）已知F是抛物线C：y2＝x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则（ ）
A．若|AF|，则△AOF的面积为
B．若BB'垂直C的准线于点B'，且|BB'|＝2|OF|，则四边形OFBB'周长为
C．若直线AB过点F，则|AB|的最小值为1
D．若，则直线AB恒过定点
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；方程思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据焦半径公式和三角形额的面积公式即可判断A；
根据抛物线的定义和两点之间的距离公式可得周长，即可判断B；
根据当AB⊥x轴时，|AB|最小，即可判断C；
设直线AB：x＝my+t，根据韦达定理和向量的数量积，即可判断D．
【解答】解：对于选项A，设A（x1，y1），由焦半径公式得，解得x1＝1，所以y1＝1，从而，选项A正确；
对于选项B，由题意知，根据抛物线的定义可知．设BB'与y轴的交点为D，易知，，
故，所以四边形OFBB'的周长为，选项B错误；
对于选项C，若直线AB过点F，则当AB⊥x轴时，|AB|最小，且最小值为1，选项C正确；
对于选项D，设直线AB：x＝my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线AB与抛物线方程得y2﹣my﹣t＝0，则y1y2＝﹣t，
所以，
由可得，
即，解得，
故直线AB的方程为，
即直线AB恒过定点，选项D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．
（多选）10．（2023 岳麓区校级三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线的斜率为且经过点F，直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论正确的是（ ）
A．p＝4 B． C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝4
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABC
【分析】由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得A的坐标，再由焦半径公式求p，进一步求出|BF|，|BD|的值，逐一判断四个选项得答案．
【解答】解：如图，F（，0），直线l的斜率为，则直线方程为y（x），
联立，得12x2﹣20px+3p2＝0．
解得：，P，
由|AF|2p＝8，得p＝4．
∴抛物线方程为y2＝8x．
xBp，则|BF|2；
|BD|，∴|BD|＝2|BF|，
|BD|+|BF|8，则F为AD中点．
∴运算结论正确的是A，B，C．
故选：ABC．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
（多选）11．（2024 南山区校级期末）已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，过焦点的直线l抛物线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．|AB|的最小值为2
B．线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切
C．x1x2为定值
D．若M（﹣1，0），则∠AMF＝∠BMF
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】计算题；对应思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据抛物线的性质和定义即可判断AB，根据直线和抛物线的位置关系，利用韦达定理可判断CD．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x，焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，过焦点的弦中通径最短，所以|AB|的最小值为2p＝4，故A不正确，
如图：设线段AB的中点为D，过点A，B，D作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，D1，由抛物线的定义可得|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，
所以|DD1|（|AA1|+|BB1|）|AB|，
所以以线段AB为直径的圆与直线x＝﹣1相切，故B正确；
设直线AB所在的直线方程为x＝ny+1，
由，消去x可得y2﹣4ny﹣4＝0，
所以y1+y2＝4n，y1y2＝﹣4，
所以x1x21，故C正确；
所以kAM+kBM0，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
（多选）12．（2024 湛江一模）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l1，l2，l1与C相交于A，B两点，l2与C相交于E，D两点，M为A，B中点，N为E，D中点，直线l为抛物线C的准线，则（ ）
A．点M到直线l的距离为定值
B．以|AB|为直径的圆与l相切
C．|AB|+|DE|的最小值为32
D．当|MN|最小时，MN∥l
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BCD
【分析】对于A，设直线方程，并联立抛物线，再结合韦达定理，以及抛物线的定义，即可求解，
对于B，利用抛物线的定义可得，|AB|＝|AF|+|BF|，即可求解，
对于C，结合基本不等式的公式，即可求解，
对D，求出|MN|的表达式，采用换元法，以及二次函数的性质，即可求解．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），M（xM，yM），N（xN，yN），
直线l1的方程为x＝my+2，
则直线l2的方程为x，
将直线l1的方程x＝my+2代入y2＝8x，化简整理可得，y2﹣8my﹣16＝0，
则y1+y2＝8m，y1y2＝﹣16，
故x1+x2＝m（y1+y2）+4＝8m2+4，
所以，，
因为点A到直线l的距离d1＝x1+2，点B到直线l的距离d2＝x2+2，点M到直线l的距离dM＝xM+2，
又因为，
所以，故A错误，
因为|AB|＝|AF|+|BF|，
所以以|AB|为直径的圆的圆心M到直线l的距离为，
故|AB|为直径的圆与l相切，故B正确，
同理x3+x4，
所以，，|ED|＝|EF|+|DF|，
则|AB|+|ED|，当且仅当m＝±1时，等号成立，故C正确，
，
设，
则，，|MN|，
当t＝2时，即m＝±1，|MN|最小，这时xN＝xM，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查直线与抛物线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于难题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024 大纲版Ⅱ）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线l，过M（1，0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p＝ 2 ．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设直线AB的方程与抛物线方程联立消去y得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，进而根据，可知M为A、B的中点，
可得p的关系式，解方程即可求得p．
【解答】解：设直线AB：，代入y2＝2px得3x2+（﹣6﹣2p）x+3＝0，
又∵，即M为A、B的中点，
∴xB+（）＝2，即xB＝2，
得p2+4P﹣12＝0，
解得p＝2，p＝﹣6（舍去）
故答案为：2
【点评】本题考查了抛物线的几何性质．属基础题．
14．（2024 浙江）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2）．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为 ．
【考点】抛物线的定义；抛物线的焦点与准线．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据抛物线方程可表示出焦点F的坐标，进而求得B点的坐标代入抛物线方程求得p，则B点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得B到该抛物线准线的距离．
【解答】解：依题意可知F坐标为（，0）
∴B的坐标为（，1）代入抛物线方程得1，解得p，
∴抛物线准线方程为x
所以点B到抛物线准线的距离为，
故答案为
【点评】本题主要考查抛物线的定义及几何性质，属容易题
15．（2024 秦州区校级三模）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为 y2＝3x． ．
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】计算题；数形结合；待定系数法．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，作AM、BN垂直准线于点M、N，根据|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，和抛物线的定义，可得∠NCB＝30°，设A（x1，y1），B（x2，y2），|BF|＝x，而，，且，，可求得p的值，即求得抛物线的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），作AM、BN垂直准线于点M、N，
则|BN|＝|BF|，
又|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BN|，
∴∠NCB＝30°，
有|AC|＝2|AM|＝6，
设|BF|＝x，则2x+x+3＝6 x＝1，
而，，由直线AB：y＝k（x），代入抛物线的方程可得，
k2x2﹣（pk2+2p）xk2p2＝0，
即有，
∴，
得y2＝3x．
故答案为：y2＝3x．
【点评】此题是个中档题．考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算．
16．（2024 上海）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A在B上方，M为抛物线上一点，λ（λ﹣2），则λ＝ 3 ．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】转化思想；函数的性质及应用；平面向量及应用；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标，进一步利用向量的运算求出结果．
【解答】解：过y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与y2＝4x交于A，B，A在B上方，
依题意：得到：A（1，2）B（1，﹣2），
设点M（x，y），
所以：M为抛物线上一点，λ（λ﹣2），
则：（x，y）＝λ（1，2）+（λ﹣2）（1，﹣2）＝（2λ﹣2，4），
代入y2＝4x，
得到：λ＝3．
故答案为：3
【点评】本题考查的知识要点：直线和抛物线的位置关系的应用，向量的坐标运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 浙江）如图，已知点F（1，0）为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记△AFG，△CQG的面积分别为S1，S2．
（Ⅰ）求p的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求的最小值及此时点G的坐标．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得：1，由此能求出抛物线的准线方程；
（Ⅱ）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重心G（xG，yG），令yA＝2t，t≠0，则，从而直线AB的方程为x，代入y2＝4x，得：，求出B（，），由重心在x轴上，得到0，从而C（（）2，2（）），G（，0），进而直线AC的方程为y﹣2t＝2t（x﹣t2），得Q（t2﹣1，0），由此结合已知条件能求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：1，
∴p＝2，
∴抛物线的准线方程为x＝﹣1；
（Ⅱ）设A（xA，yA），B（xB，yB），C（xC，yC），重心G（xG，yG），
令yA＝2t，t≠0，则，
由于直线AB过F，故直线AB的方程为x，
代入y2＝4x，得：，
∴2tyB＝﹣4，即yB，∴B（，），
又xG（xA+xB+xC），yG（yA+yB+yC），重心在x轴上，
∴0，
∴C（（）2，2（）），G（，0），
∴直线AC的方程为y﹣2t＝2t（x﹣t2），得Q（t2﹣1，0），
∵Q在焦点F的右侧，∴t2＞2，
∴2，
令m＝t2﹣2，则m＞0，
2221，
∴当m时，取得最小值为1，此时G（2，0）．
【点评】本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
18．（2024 北京）已知抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝﹣1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【答案】（Ⅰ）抛物线C的方程为x2＝﹣4y，准线方程为y＝1；
（Ⅱ）证明：抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），
设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得x2+4kx﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
可得x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，
直线OM的方程为yx，即yx，
直线ON的方程为yx，即yx，
可得A（，﹣1），B（，﹣1），
可得AB的中点的横坐标为2（）＝2 2k，
即有AB为直径的圆心为（2k，﹣1），
半径为||＝2 2，
可得圆的方程为（x﹣2k）2+（y+1）2＝4（1+k2），
化为x2﹣4kx+（y+1）2＝4，
由x＝0，可得y＝1或﹣3．
则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，1），（0，﹣3）．
【分析】（Ⅰ）代入点（2，﹣1），解方程可得p，求得抛物线的方程和准线方程；
（Ⅱ）抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及直线的斜率和方程，求得A，B的坐标，可得AB为直径的圆方程，可令x＝0，解方程，即可得到所求定点．
【解答】解：（Ⅰ）抛物线C：x2＝﹣2py经过点（2，﹣1）．可得4＝2p，即p＝2，
可得抛物线C的方程为x2＝﹣4y，准线方程为y＝1；
（Ⅱ）证明：抛物线x2＝﹣4y的焦点为F（0，﹣1），
设直线方程为y＝kx﹣1，联立抛物线方程，可得x2+4kx﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
可得x1+x2＝﹣4k，x1x2＝﹣4，
直线OM的方程为yx，即yx，
直线ON的方程为yx，即yx，
可得A（，﹣1），B（，﹣1），
可得AB的中点的横坐标为2（）＝2 2k，
即有AB为直径的圆心为（2k，﹣1），
半径为||＝2 2，
可得圆的方程为（x﹣2k）2+（y+1）2＝4（1+k2），
化为x2﹣4kx+（y+1）2＝4，
由x＝0，可得y＝1或﹣3．
则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点（0，1），（0，﹣3）．
【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及圆方程的求法，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19．（2024 福建）已知点F为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点，点A（2，m）在抛物线E上，且|AF|＝3，
（Ⅰ）求抛物线E的方程；
（Ⅱ）已知点G（﹣1，0），延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的标准方程．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|＝23，解得p．即可得出抛物线E的方程．
（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2＝0，解得B．又G（﹣1，0），计算kGA，kGB，可得kGA+kGB＝0，∠AGF＝∠BGF，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）由点A（2，m）在抛物线E上，解得m，不妨取A，F（1，0），可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为2x2﹣5x+2＝0，解得B．又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点F（1，0）到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【解答】解法一：（I）由抛物线定义可得：|AF|＝23，解得p＝2．
∴抛物线E的方程为y2＝4x；
（II）证明：∵点A（2，m）在抛物线E上，
∴m2＝4×2，解得m，不妨取A，F（1，0），
∴直线AF的方程：y＝2（x﹣1），
联立，化为2x2﹣5x+2＝0，解得x＝2或，B．
又G（﹣1，0），∴kGA．kGB，
∴kGA+kGB＝0，
∴∠AGF＝∠BGF，∴x轴平分∠AGB，
因此点F到直线GA，GB的距离相等，
∴以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
解法二：（I）同解法一．
（II）证明：点A（2，m）在抛物线E上，∴m2＝4×2，解得m，不妨取A，F（1，0），
∴直线AF的方程：y＝2（x﹣1），
联立，化为2x2﹣5x+2＝0，解得x＝2或，B．
又G（﹣1，0），可得直线GA，GB的方程分别为：x﹣3y+20，0，
点F（1，0）到直线GA的距离d，
同理可得点F（1，0）到直线GB的距离．
因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切．
【点评】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．
20．（2024 全国卷Ⅱ）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）证明为定值；
（Ⅱ）设△ABM的面积为S，写出S＝f（λ）的表达式，并求S的最小值．
【考点】抛物线的焦点与准线．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】（Ⅰ）：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦点F（0，1），准线方程为y＝﹣1，
显然AB斜率存在且过F（0，1）
设其直线方程为y＝kx+1，联立4y＝x2消去y得：x2﹣4kx﹣4＝0，
判别式Δ＝16（k2+1）＞0．
x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4
于是曲线4y＝x2上任意一点斜率为y′，则易得切线AM，BM方程分别为y＝（）x1（x﹣x1）+y1，y＝（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1，4y2，联立方程易解得交点M坐标，xo2k，yo1，即M（，﹣1）
从而，（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）
（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）（）﹣2[（）]＝0，（定值）命题得证．
这就说明AB⊥FM．
（Ⅱ）S取得最小值4．
【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y＝x2上任意一点斜率为y′，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得 的结果为0，进而判断出AB⊥FM．
（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和λ的关系式，进而求得弦长AB，可表示出△ABM面积．最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值．
【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦点F（0，1），准线方程为y＝﹣1，
显然AB斜率存在且过F（0，1）
设其直线方程为y＝kx+1，联立4y＝x2消去y得：x2﹣4kx﹣4＝0，
判别式Δ＝16（k2+1）＞0．
x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4
于是曲线4y＝x2上任意一点斜率为y′，则易得切线AM，BM方程分别为y＝（）x1（x﹣x1）+y1，y＝（）x2（x﹣x2）+y2，其中4y1，4y2，联立方程易解得交点M坐标，xo2k，yo1，即M（，﹣1）
从而，（，﹣2），（x2﹣x1，y2﹣y1）
（x1+x2）（x2﹣x1）﹣2（y2﹣y1）（）﹣2[（）]＝0，（定值）命题得证．
这就说明AB⊥FM．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM中，FM⊥AB，因而S|AB||FM|．
∵，
∴（﹣x1，1﹣y1）＝λ（x2，y2﹣1），即，
而4y1，4y2，
则，4λ，
|FM|．
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y＝﹣1的距离，所以
|AB|＝|AF|+|BF|＝y1+y2+22＝λ2＝（）2．
于是S|AB||FM|（）3，
由2知S≥4，且当λ＝1时，S取得最小值4．
【点评】本题主要考查了抛物线的应用．抛物线与直线的关系和抛物线的性质等都是近几年高考的热点，故应重点掌握．
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