第一节 函数的概念及其表示
1.（2025·广州中山大学附属中学月考）函数f（x）＝－log2x的定义域为（ ）
A.（0，2] B.（－∞，2）
C.（－∞，0）∪（0，2] D.[2，＋∞）
2.若f（2x－1）＝x2＋3x－1（0＜x＜2），则（ ）
A.f（x）＝＋2x＋（0＜x＜2）
B.f（x）＝＋2x＋（－1＜x＜3）
C.f（x）＝4x2＋2x－3（0＜x＜2）
D.f（x）＝4x2＋2x－3（－1＜x＜3）
3.网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯称呼的“鞋码”（单位：号），第二行是脚长（单位：mm），请根据表中数据，思考：网店正好有一款“32号”的女鞋在搞打折活动，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是（ ）
鞋码 35 36 37 38 39
脚长 225 230 235 240 245
A.[201，205] B.[206，210]
C.[211，215] D.[216，220]
4.已知函数f（x）＝的定义域是R，则m的取值范围是（ ）
A.（0，4] B.[0，4）
C.[4，＋∞） D.[0，4]
5.设f（x）＝若f（m）＝f（m＋1），则f（）＝（ ）
A.14 B.16
C.2 D.6
6.（新定义）〔多选〕十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数f（x）满足f（x）·f（－x）＝1，则称f（x）为“倒函数”.下列函数为“倒函数”的是（ ）
A.f（x）＝1 B.f（x）＝x2
C.f（x）＝ex D.f（x）＝ln x
7.〔多选〕已知函数f（x）＝则下列说法正确的是（ ）
A.f（x）的定义域为R
B.f（x）的值域为（－∞，4）
C.若f（x）＝3，则x＝－
D.f（x）＜1的解集为（－1，1）
8.已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：
x 1 2 3
f（x） 2 3 1
x 1 2 3
g（x） 3 2 1
则f（g（1））的值为 ；满足f（g（x））＞g（f（x））的x的值是 .
9.求下列函数的解析式：
（1）已知f（x）是一次函数，且满足f（f（x））＝25x＋12，求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）满足2f（x）＋f（）＝3x，求f（x）的解析式.
10.（2025·德阳模拟预测）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）－2f（x－y）＋f（x）－2f（y）＝y－2，则f（2 026）＝（ ）
A.0 B.1
C.2 026 D.2 027
11.已知函数f（x）＝若m＜n且f（n）＝f（m），则n＋m的取值范围是（ ）
A.（1，2] B.［0，］
C.（，2］ D.（，2）
12.〔多选〕德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，函数f（x）＝称为狄利克雷函数，则下列说法中正确的是（ ）
A.f（x）的值域为[0，1]
B.f（x）的定义域为R
C. x∈R，f（f（x））＝1
D.任取一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立
13.设函数f（x）＝则不等式f（x）＋f（x＋2）＞2的解集为 .
14.函数f（x）＝x2－4x－4在区间[t，t＋1]上的最小值记为g（t），求g（t）的表达式.
15.（概念深度理解）给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于k的正整数n，f（n）＝n－k.
（1）设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为 ；
（2）设k＝4，且当n≤4时，2≤f（n）≤3，则不同的函数f的个数为 .
第一节 函数的概念及其表示
1.A 由题意得解得0＜x≤2，所以f（x）的定义域为（0，2].故选A.
2.B 令2x－1＝t，－1＜t＜3，则x＝，∴f（t）＝（）2＋3×－1＝＋2t＋，∴f（x）＝＋2x＋（－1＜x＜3）.故选B.
3.B 设“脚长”为y，“鞋码”为x，根据题意发现x与y满足y＝5x＋50的函数关系，当x＝32时，y＝5×32＋50＝210，故选B.
4.D 因为函数f（x）＝的定义域是R，所以不等式mx2＋mx＋1≥0对任意x∈R恒成立，当m＝0时，1＞0，对任意x∈R恒成立，符合题意；当m≠0时，即解得0＜m≤4，综上，实数m的取值范围是[0，4].故选D.
5.A 由题意知，f（x）的定义域为（0，＋∞），则解得m＞0.若m≥1，则m＋1≥2＞1，可得2（m－1）＝2m－2≠2m，不合题意；若0＜m＜1，则m＋1＞1，可得＝2m，解得m＝.综上所述，m＝.所以f（）＝f（8）＝2×7＝14.故选A.
6.AC 对于A，f（x）＝1，则f（－x）＝1，所以f（x）·f（－x）＝1，故A正确；对于B，f（x）＝x2，则f（2）·f（－2）＝16，故B错误；对于C，f（x）＝ex，则f（－x）＝e－x，所以f（x）·f（－x）＝ex·e－x＝e0＝1，故C正确；对于D，f（x）＝ln x定义域为（0，＋∞），则当x∈（0，＋∞）时，－x∈（－∞，0），此时f（－x）无意义，故D错误.故选A、C.
7.BC 由题意知函数f（x）的定义域为（－2，＋∞），故A错误；当x≥1时，f（x）的取值范围是（－∞，1]，当－2＜x＜1时，f（x）的取值范围是[0，4），因此f（x）的值域为（－∞，4），故B正确；当x≥1时，－x＋2＝3，解得x＝－1（舍去），当－2＜x＜1时，x2＝3，解得x＝－或x＝（舍去），故C正确；当x≥1时，－x＋2＜1，解得x＞1，当－2＜x＜1时，x2＜1，解得－1＜x＜1，因此f（x）＜1的解集为（－1，1）∪（1，＋∞），故D错误.故选B、C.
8.1 2 解析：∵g（1）＝3，∴f（g（1））＝f（3）＝1.当x＝1时，f（g（1））＝1，g（f（1））＝g（2）＝2，不满足f（g（x））＞g（f（x））；当x＝2时，f（g（2））＝f（2）＝3，g（f（2））＝g（3）＝1，满足f（g（x））＞g（f（x））；当x＝3时，f（g（3））＝f（1）＝2，g（f（3））＝g（1）＝3，不满足f（g（x））＞g（f（x）），∴当x＝2时，f（g（x））＞g（f（x））成立.
9.解：（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0）.
所以f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝25x＋12，
可得
解得或
所以f（x）＝5x＋2或f（x）＝－5x－3.
（2）（方程组法） 由2f（x）＋f（）＝3x， ①
将x用替换，得2f（）＋f（x）＝， ②
由①②解得f（x）＝2x－（x≠0）.
10.D 令x＝y＝0可得－2f（0）＝－2，所以f（0）＝1，再令x＝0可得f（y）－2f（－y）＋f（0）－2f（y）＝y－2，即－f（y）－2f（－y）＝y－3 ①，将上式中的y全部换成－y可得－f（－y）－2f（y）＝－y－3 ②，联立①②可得f（y）＝y＋1，所以f（2 026）＝2 026＋1＝2 027，故选D.
11.B 设f（n）＝f（m）＝t，则m，n为直线y＝t与函数y＝f（x）图象的两个交点的横坐标，作出直线y＝t与函数y＝f（x）的图象如图，由图知，≤t≤2，由f（n）＝f（m），得则n＋m＝t＋－2，根据对勾函数的性质可知g（t）＝t＋－2在［，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，且g（）＝＋4－2＝，g（1）＝1＋1－2＝0，g（2）＝＋2－2＝，所以n＋m的取值范围是［0，］.故选B.
12.BCD 因为函数f（x）＝
所以f（x）的定义域为R，值域为{0，1}，故选项A错误，选项B正确.当x为有理数时，f（x）＝1，f（f（x））＝f（1）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0，f（f（x））＝f（0）＝1，所以 x∈R，f（f（x））＝1，故选项C正确.对任意非零有理数T，若x是有理数，则x＋T是有理数；若x是无理数，则x＋T是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立，故选项D正确.故选B、C、D.
13.（－∞，－2）∪（－1，＋∞）
解析：当x＋2＜0，即x＜－2时，则f（x）＋f（x＋2）＝－x－（x＋2）＝－2x－2＞2，解得x＜－2；当x＋2≥0，x＜0，即－2≤x＜0时，则f（x）＋f（x＋2）＝－x＋（x＋2）2＞2，即x2＋3x＋2＞0，解得－1＜x＜0；当x≥0时，f（x）＋f（x＋2）＝x2＋（x＋2）2≥22＝4＞2恒成立；综上所述，不等式f（x）＋f（x＋2）＞2的解集为（－∞，－2）∪（－1，＋∞）.
14.解：∵f（x）＝x2－4x－4＝（x－2）2－8，∴f（x）在（－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞）上单调递增.
①当t＋1≤2，即t≤1时，f（x）在[t，t＋1]上单调递减，其最小值为g（t）＝f（t＋1）＝t2－2t－7；
②当t≥2时，f（x）在[t，t＋1]上单调递增，其最小值为g（t）＝f（t）＝t2－4t－4；
③当t＜2＜t＋1，即1＜t＜2时，函数f（x）的对称轴x＝2在区间[t，t＋1]内，其最小值g（t）＝f（2）＝－8.
综上所述，f（x）在区间[t，t＋1]上的最小值为g（t）＝
15.（1）a（a为正整数） （2）16
解析：由定义知，该函数满足两个条件，一是定义域为正整数集，值域为正整数集或它的子集，二是对于任意大于k的正整数n有f（n）＝n－k.
（1）由k＝1，
∴f（n）＝
故当n＝1时，函数f（1）为任意一个正整数a.
（2）∵k＝4，当n≤4时，2≤f（n）≤3，
∴f（1）＝2或3，
且f（2）＝2或3，且f（3）＝2或3，且f（4）＝2或3，根据分步乘法计数原理可得f的个数为：2×2×2×2＝16.
2 / 2第一节 函数的概念及其表示
课标要求
1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用.
3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
1.函数的概念及其表示
（1）函数的概念
（2）函数的表示法：表示函数的常用方法有 、图象法和列表法；
（3）同一个函数：如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数.
提醒 若两个函数的值域与对应关系相同，这两个函数不一定是同一个函数，如：y＝x2（x≥0）与y＝x2.
2.分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的 取值区间，有着不同的 ，这样的函数叫做分段函数.
提醒 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
3.复合函数
对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的 ，记作y＝f（g（x））.
提醒 函数f（g（x））的定义域是x的取值范围，而不是g（x）的取值范围.
1.直线x＝a与函数y＝f（x）的图象至多有1个交点.
2.在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝1与y＝x0是同一个函数.（ ）
（2）对于函数f：A→B，其值域是集合B.（ ）
（3）函数f（x）＝的定义域为R.（ ）
（4）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数.（ ）
2.（人A必修一P66例3改编）下列各组函数是同一个函数的为（ ）
A.f（x）＝x－1，g（x）＝
B.f（x）＝，g（x）＝x
C.f（x）＝，g（x）＝x
D.f（x）＝x2－2x－1，g（s）＝s2－2s－1
3.（人A必修一P101复习参考题7题改编）已知函数f（x）＝则f（f（））＝（ ）
A.62 B.63
C.64 D.65
4.（苏教必修一P106例3改编）已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为（ ）
A.{－1，1，3，5，7} B.（－1，7）
C.[1，7] D.{1，3，5，7}
5.函数f（）＝，则函数f（x）的解析式为（ ）
A.f（x）＝
B.f（x）＝（x≠0）
C.f（x）＝（x≠0，－1）
D.f（x）＝（x≠－1）
函数的定义域
（师生共研过关）
（1）（人A必修一P65例2改编）函数f（x）＝＋（x－1）0的定义域为（ ）
A.（，＋∞） B.［，1）∪（1，＋∞）
C.（，1）∪（1，＋∞） D.［，＋∞）
（2）已知函数y＝f（x）的定义域为[－8，1]，则函数g（x）＝的定义域是（ ）
A.（－∞，－2）∪（－2，3]
B.（－∞，－2）∪（－2，1]
C.［－，－2）∪（－2，0]
D.［－，－2］
听课记录
解题技法
1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求复合函数定义域的方法
如果函数f（x）＝ln（－2x＋a）的定义域为（－∞，1），那么实数a＝（ ）
A.－2 B.－1 C.1 D.2
函数的解析式
（师生共研过关）
求下列函数的解析式：
（1）已知f（1－sin x）＝cos2x，求f（x）的解析式；
（2）已知f＝x2＋，求f（x）的解析式；
（3）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）的解析式；
（4）已知f（x）满足2f（x）＋f（－x）＝3x，求f（x）的解析式.
解题技法
求函数解析式的4种方法
1.已知f（2x＋1）＝4x2－6x＋5，则f（x）＝ .
2.已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f（x）＝ .
3.定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）.若当0≤x≤1时，f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f（x）＝ .
分段函数
（定向精析突破）
考向1 分段函数求值
（1）（2025·益阳一模）已知f（x）＝则f（f（－3））＝ .
（2）若f（x）＝则f（f（1））＝ .
听课记录 解题技法
分段函数求值的策略
先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值.
考向2 与分段函数有关方程、不等式的求解
已知函数f（x）＝则f（f（－1））＝ ；若f（a）＝－1，则a＝ ；不等式f（x）≤2的解集为 .
听课记录 解题技法
与分段函数有关的方程、不等式的求解思路
解与分段函数有关的方程、不等式，当自变量取值不确定时，往往要分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据自变量的情况，直接代入相应解析式求解.
1.已知函数f（x）＝若f（a）＋f（1）＝0，则实数a＝（ ）
A.－3 B.－1 C.1 D.3
2.（2024·上海春招9题）已知函数f（x）＝x2，g（x）＝若g（x）满足g（x）≤2－x，则x的取值范围为 .
第一节 函数的概念及其表示
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1）非空 唯一确定 （2）解析法
（3）定义域 对应关系
2.不同 对应关系
3.复合函数
对点自测诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.D 3.B 4.A 5.C
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 （1）C （2）C 解析：（1）要使函数f（x）＝＋（x－1）0有意义，则解得x＞且x≠1，因此，函数f（x）的定义域为（，1）∪（1，＋∞）.故选C.
（2）∵f（x）的定义域为[－8，1]，∴解得－≤x≤0，且x≠－2.∴g（x）的定义域为［－，－2）∪（－2，0].
跟踪训练
D 因为－2x＋a＞0，所以x＜，所以＝1，所以a＝2.
考点2
【例2】 解：（1）（换元法） 设1－sin x＝t，t∈[0，2]，
则sin x＝1－t，
∵f（1－sin x）＝cos2x＝1－sin2x，
∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2].
即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2].
（2）（配凑法） ∵f＝x2＋＝（x＋）2－2，∴f（x）＝x2－2，x∈（－∞，－2]∪[2，＋∞）.
（3）（待定系数法） ∵f（x）是一次函数，可设f（x）＝ax＋b（a≠0），
∴3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17.
即ax＋（5a＋b）＝2x＋17，
∴解得
∴f（x）＝2x＋7.
（4）（解方程组法） ∵2f（x）＋f（－x）＝3x， ①
∴将x用－x替换，得2f（－x）＋f（x）＝－3x， ②
由①②解得f（x）＝3x.
跟踪训练
1.x2－5x＋9 解析：法一（换元法） 令2x＋1＝t（t∈R），则x＝，所以f（t）＝4（）2－6·＋5＝t2－5t＋9（t∈R），所以f（x）＝x2－5x＋9.
法二（配凑法） 因为f（2x＋1）＝4x2－6x＋5＝（2x＋1）2－10x＋4＝（2x＋1）2－5（2x＋1）＋9，所以f（x）＝x2－5x＋9.
2.2x2－x＋1 解析：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），因为f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝5ax2＋（3b－2a）x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以所以所以f（x）＝2x2－x＋1.
3.－x（x＋1） 解析：因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f（x）＝f（x＋1）＝（x＋1）[1－（x＋1）]＝－x（x＋1）.故当－1≤x≤0时，f（x）＝－x（x＋1）.
考点3
【例3】 （1） （2）0 解析：（1）根据已知f（－3）＝－（－3）－1＝，所以f（f（－3））＝f（）＝sin＝.
（2）因为f（x）＝所以f（1）＝－1，f（－1）＝f（－1＋3）＝f（2）＝0，所以f（f（1））＝0.
【例4】 －3 2 [1－，0）∪［，＋∞）
解析：由题意得f（－1）＝1＋2＝3，所以f（f（－1））＝f（3）＝－3.当a＜0时，f（a）＝a2－2a＝－1，得a＝1（舍去），当a≥0时，f（a）＝－2a＋3＝－1，得a＝2，所以若f（a）＝－1，则a＝2.当x＜0时，由f（x）≤2，得1－≤x＜0，当x≥0时，由f（x）≤2，得x≥，故不等式f（x）≤2的解集为[1－，0）∪［，＋∞）.
跟踪训练
1.A 因为f（1）＝21＝2，所以f（a）＋2＝0，所以f（a）＝－2，当a≤0时，f（a）＝a＋1＝－2，解得a＝－3；当a＞0时，f（a）＝2a＝－2，无解.综上，a＝－3.
2.（－∞，1] 解析：由已知得g（x）＝当x≥0时，x2≤2－x，解得－2≤x≤1，因此0≤x≤1；当x＜0时，－x2≤2－x，不等式恒成立，因此x＜0.综上，x的取值范围为x≤1.
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第一节 函数的概念及其表示
高中总复习·数学
课标要求
1. 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域.
2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表
法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用.
3. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 函数的概念及其表示
（1）函数的概念
（2）函数的表示法：表示函数的常用方法有 、图象法和列
表法；
（3）同一个函数：如果两个函数的 相同，并且
完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一
个函数.
提醒 若两个函数的值域与对应关系相同，这两个函数不一定是同一个函
数，如：y＝x2（x≥0）与y＝x2.
解析法
定义域
对应关系
2. 分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的 取值区间，有着不同
的 ，这样的函数叫做分段函数.
提醒 分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定
义域的并集，值域是各段值域的并集.
不同
对应关系
3. 复合函数
对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表
示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的
，记作y＝f（g（x））.
提醒 函数f（g（x））的定义域是x的取值范围，而不是g（x）的取值
范围.
复合
函数
1. 直线x＝a与函数y＝f（x）的图象至多有1个交点.
2. 在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B
的子集.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝1与y＝x0是同一个函数. （ × ）
（2）对于函数f：A→B，其值域是集合B. （ × ）
（3）函数f（x）＝ 的定义域为R. （ √ ）
（4）若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数.
（ × ）
×
×
√
×
2. （人A必修一P66例3改编）下列各组函数是同一个函数的为（ ）
A. f（x）＝x－1，g（x）＝
B. f（x）＝ ，g（x）＝x
C. f（x）＝ ，g（x）＝x
D. f（x）＝x2－2x－1，g（s）＝s2－2s－1
√
解析： 对于A，因为f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为{x｜
x≠－1}，所以两函数的定义域不相同，所以这两个函数不是同一个函
数，所以A错误；对于B，f（x），g（x）的定义域都为R，因为f（x）
＝ ＝｜x｜≠g（x），所以这两个函数不是同一个函数，所以B错
误；对于C，f（x），g（x）的定义域都为{x｜x≤0}，因为f（x）＝
＝｜x｜ ＝－x ≠g（x），所以这两个函数不是同一个函
数，所以C错误；对于D，因为f（x），g（s）的定义域都为R，且对应
关系相同，所以f（x），g（s）是同一个函数，所以D正确.故选D.
3. （人A必修一P101复习参考题7题改编）已知函数f（x）＝
则f（f（ ））＝（ ）
A. 62 B. 63
C. 64 D. 65
解析： f（ ）＝－ ＋1＝－4，所以f（f（ ））＝f（－4）＝4×16
－1＝63.
√
4. （苏教必修一P106例3改编）已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜
1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为（ ）
A. {－1，1，3，5，7} B. （－1，7）
C. [1，7] D. {1，3，5，7}
解析： 由f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，得f（1）＝－1，
f（2）＝1，f（3）＝3，f（4）＝5，f（5）＝7，所以函数f（x）的值域
为{－1，1，3，5，7}.
√
5. 函数f（ ）＝ ，则函数f（x）的解析式为（ ）
A. f（x）＝
B. f（x）＝ （x≠0）
C. f（x）＝ （x≠0，－1）
D. f（x）＝ （x≠－1）
解析： 令t＝ ，t≠0，－1.则有x＝ ，所以f（t）＝ ＝ ，
t≠0，－1，所以f（x）＝ ，x≠0，－1.
√
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
函数的定义域（师生共研过关）
（1）（人A必修一P65例2改编）函数f（x）＝ ＋（x－1）0的
定义域为（ C ）
A. （ ，＋∞） B. ［ ，1）∪（1，＋∞）
C. （ ，1）∪（1，＋∞） D. ［ ，＋∞）
C
解析： 要使函数f（x）＝ ＋（x－1）0有意义，则
解得x＞ 且x≠1，因此，函数f（x）的定义域为（ ，1）
∪（1，＋∞）.故选C.
（2）已知函数y＝f（x）的定义域为[－8，1]，则函数g（x）＝
的定义域是（ C ）
A. （－∞，－2）∪（－2，3]
B. （－∞，－2）∪（－2，1]
C. ［－ ，－2）∪（－2，0]
D. ［－ ，－2］
C
解析： ∵f（x）的定义域为[－8，1]，∴ 解得－
≤x≤0，且x≠－2.∴g（x）的定义域为［－ ，－2）∪（－2，0].
解题技法
1. 求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运
算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域
应使实际问题有意义.
2. 求复合函数定义域的方法
如果函数f（x）＝ln（－2x＋a）的定义域为（－∞，1），那么实数a＝
（ ）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析： 因为－2x＋a＞0，所以x＜ ，所以 ＝1，所以a＝2.
√
函数的解析式（师生共研过关）
求下列函数的解析式：
（1）已知f（1－ sin x）＝ cos 2x，求f（x）的解析式；
解： （换元法） 设1－ sin x＝t，t∈[0，2]，
则 sin x＝1－t，
∵f（1－ sin x）＝ cos 2x＝1－ sin 2x，
∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2].
即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2].
（2）已知f ＝x2＋ ，求f（x）的解析式；
解： （配凑法） ∵f ＝x2＋ ＝（x＋ ）2－2，∴f（x）
＝x2－2，x∈（－∞，－2]∪[2，＋∞）.
（3）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f
（x）的解析式；
解： （待定系数法） ∵f（x）是一次函数，可设f（x）＝ax＋b
（a≠0），
∴3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17.
即ax＋（5a＋b）＝2x＋17，
∴ 解得
∴f（x）＝2x＋7.
（4）已知f（x）满足2f（x）＋f（－x）＝3x，求f（x）的解析式.
解： （解方程组法） ∵2f（x）＋f（－x）＝3x， ①
∴将x用－x替换，得2f（－x）＋f（x）＝－3x， ②
由①②解得f（x）＝3x.
解题技法
求函数解析式的4种方法
1. 已知f（2x＋1）＝4x2－6x＋5，则f（x）＝ .
解析：法一（换元法） 令2x＋1＝t（t∈R），则x＝ ，所以f（t）＝
4（ ）2－6· ＋5＝t2－5t＋9（t∈R），所以f（x）＝x2－5x＋9.
法二（配凑法） 因为f（2x＋1）＝4x2－6x＋5＝（2x＋1）2－10x＋4＝
（2x＋1）2－5（2x＋1）＋9，所以f（x）＝x2－5x＋9.
x2－5x＋9
2. 已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f
（x）＝ .
解析：设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），因为f（2x）＋f（x－1）＝
10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝5ax2
＋（3b－2a）x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以 所
以 所以f（x）＝2x2－x＋1.
2x2－x＋1
3. 定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）.若当0≤x≤1时，
f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f（x）＝ .
解析：因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f（x）＝ f（x＋1）＝
（x＋1）[1－（x＋1）]＝－ x（x＋1）.故当－1≤x≤0时，f（x）＝
－ x（x＋1）.
－ x（x＋1）
分段函数（定向精析突破）
考向1 分段函数求值
（1）（2025·益阳一模）已知f（x）＝ 则f（f（－
3））＝ .
解析： 根据已知f（－3）＝－（－3）－1＝ ，所以f（f（－3））＝
f（ ）＝ sin ＝ .
（2）若f（x）＝ 则f（f（1））＝ .
解析： 因为f（x）＝ 所以f（1）＝－1，f（－
1）＝f（－1＋3）＝f（2）＝0，所以f（f（1））＝0.
0
解题技法
分段函数求值的策略
先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析
式求值.当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值.
考向2 与分段函数有关方程、不等式的求解
已知函数f（x）＝ 则f（f（－1））＝ ；
若f（a）＝－1，则a＝ ；不等式f（x）≤2的解集为
.
－ 3
2
[1－
，0）∪［ ，＋∞）
解析：由题意得f（－1）＝1＋2＝3，所以f（f（－1））＝f（3）＝－3.
当a＜0时，f（a）＝a2－2a＝－1，得a＝1（舍去），当a≥0时，f
（a）＝－2a＋3＝－1，得a＝2，所以若f（a）＝－1，则a＝2.当x＜0
时，由f（x）≤2，得1－ ≤x＜0，当x≥0时，由f（x）≤2，得
x≥ ，故不等式f（x）≤2的解集为[1－ ，0）∪［ ，＋∞）.
解题技法
与分段函数有关的方程、不等式的求解思路
解与分段函数有关的方程、不等式，当自变量取值不确定时，往往要
分类讨论求解；当自变量取值确定，但分段函数中含有参数时，只需依据
自变量的情况，直接代入相应解析式求解.
1. 已知函数f（x）＝ 若f（a）＋f（1）＝0，则实数a＝
（ ）
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
解析： 因为f（1）＝21＝2，所以f（a）＋2＝0，所以f（a）＝－2，
当a≤0时，f（a）＝a＋1＝－2，解得a＝－3；当a＞0时，f（a）＝2a
＝－2，无解.综上，a＝－3.
√
2. （2024·上海春招9题）已知函数f（x）＝x2，g（x）＝
若g（x）满足g（x）≤2－x，则x的取值范围
为 .
解析：由已知得g（x）＝ 当x≥0时，x2≤2－x，解得－
2≤x≤1，因此0≤x≤1；当x＜0时，－x2≤2－x，不等式恒成立，因此x
＜0.综上，x的取值范围为x≤1.
（－∞，1]
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. （2025·广州中山大学附属中学月考）函数f（x）＝ －log2x的定义
域为（ ）
A. （0，2] B. （－∞，2）
C. （－∞，0）∪（0，2] D. [2，＋∞）
解析： 由题意得 解得0＜x≤2，所以f（x）的定义域为
（0，2].故选A.
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2. 若f（2x－1）＝x2＋3x－1（0＜x＜2），则（ ）
A. f（x）＝ ＋2x＋ （0＜x＜2）
B. f（x）＝ ＋2x＋ （－1＜x＜3）
C. f（x）＝4x2＋2x－3（0＜x＜2）
D. f（x）＝4x2＋2x－3（－1＜x＜3）
解析： 令2x－1＝t，－1＜t＜3，则x＝ ，∴f（t）＝（ ）2＋
3× －1＝ ＋2t＋ ，∴f（x）＝ ＋2x＋ （－1＜x＜3）.故选B.
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3. 网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯
称呼的“鞋码”（单位：号），第二行是脚长（单位：mm），请根据表
中数据，思考：网店正好有一款“32号”的女鞋在搞打折活动，那么适合
购买这款鞋的脚长的取值范围是（ ）
鞋码 35 36 37 38 39
脚长 225 230 235 240 245
A. [201，205] B. [206，210]
C. [211，215] D. [216，220]
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解析： 设“脚长”为y，“鞋码”为x，根据题意发现x与y满足y＝5x
＋50的函数关系，当x＝32时，y＝5×32＋50＝210，故选B.
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4. 已知函数f（x）＝ 的定义域是R，则m的取值范围是
（ ）
A. （0，4] B. [0，4）
C. [4，＋∞） D. [0，4]
解析： 因为函数f（x）＝ 的定义域是R，所以不等式
mx2＋mx＋1≥0对任意x∈R恒成立，当m＝0时，1＞0，对任意x∈R恒成
立，符合题意；当m≠0时， 即 解得0＜
m≤4，综上，实数m的取值范围是[0，4].故选D.
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5. 设f（x）＝ 若f（m）＝f（m＋1），则f（ ）＝
（ ）
A. 14 B. 16
C. 2 D. 6
解析： 由题意知，f（x）的定义域为（0，＋∞），则
解得m＞0.若m≥1，则m＋1≥2＞1，可得2（m－1）＝2m－2≠2m，不
合题意；若0＜m＜1，则m＋1＞1，可得 ＝2m，解得m＝ .综上所
述，m＝ .所以f（ ）＝f（8）＝2×7＝14.故选A.
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6. （新定义）〔多选〕十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概
念：若函数f（x）满足f（x）·f（－x）＝1，则称f（x）为“倒函数”.
下列函数为“倒函数”的是（ ）
A. f（x）＝1 B. f（x）＝x2
C. f（x）＝ex D. f（x）＝ln x
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解析： 对于A，f（x）＝1，则f（－x）＝1，所以f（x）·f（－x）
＝1，故A正确；对于B，f（x）＝x2，则f（2）·f（－2）＝16，故B错
误；对于C，f（x）＝ex，则f（－x）＝e－x，所以f（x）·f（－x）＝
ex·e－x＝e0＝1，故C正确；对于D，f（x）＝ln x定义域为（0，＋∞），
则当x∈（0，＋∞）时，－x∈（－∞，0），此时f（－x）无意义，故D
错误.故选A、C.
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7. 〔多选〕已知函数f（x）＝ 则下列说法正确的是
（ ）
A. f（x）的定义域为R
B. f（x）的值域为（－∞，4）
C. 若f（x）＝3，则x＝－
D. f（x）＜1的解集为（－1，1）
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解析： 由题意知函数f（x）的定义域为（－2，＋∞），故A错误；
当x≥1时，f（x）的取值范围是（－∞，1]，当－2＜x＜1时，f（x）的
取值范围是[0，4），因此f（x）的值域为（－∞，4），故B正确；当
x≥1时，－x＋2＝3，解得x＝－1（舍去），当－2＜x＜1时，x2＝3，解
得x＝－ 或x＝ （舍去），故C正确；当x≥1时，－x＋2＜1，解得
x＞1，当－2＜x＜1时，x2＜1，解得－1＜x＜1，因此f（x）＜1的解集
为（－1，1）∪（1，＋∞），故D错误.故选B、C.
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8. 已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：
x 1 2 3
f（x） 2 3 1
x 1 2 3
g（x） 3 2 1
则f（g（1））的值为 ；满足f（g（x））＞g（f（x））的x的值
是 .
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解析：∵g（1）＝3，∴f（g（1））＝f（3）＝1.当x＝1时，f（g
（1））＝1，g（f（1））＝g（2）＝2，不满足f（g（x））＞g（f
（x））；当x＝2时，f（g（2））＝f（2）＝3，g（f（2））＝g（3）
＝1，满足f（g（x））＞g（f（x））；当x＝3时，f（g（3））＝f
（1）＝2，g（f（3））＝g（1）＝3，不满足f（g（x））＞g（f
（x）），∴当x＝2时，f（g（x））＞g（f（x））成立.
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9. 求下列函数的解析式：
（1）已知f（x）是一次函数，且满足f（f（x））＝25x＋12，求f
（x）的解析式；
解： 设f（x）＝kx＋b（k≠0）.
所以f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝25x＋12，
可得 解得 或
所以f（x）＝5x＋2或f（x）＝－5x－3.
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（2）已知f（x）满足2f（x）＋f（ ）＝3x，求f（x）的解析式.
解： （方程组法） 由2f（x）＋f（ ）＝3x， ①
将x用 替换，得2f（ ）＋f（x）＝ ， ②
由①②解得f（x）＝2x－ （x≠0）.
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10. （2025·德阳模拟预测）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）
－2f（x－y）＋f（x）－2f（y）＝y－2，则f（2 026）＝（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 026 D. 2 027
解析： 令x＝y＝0可得－2f（0）＝－2，所以f（0）＝1，再令x＝0可
得f（y）－2f（－y）＋f（0）－2f（y）＝y－2，即－f（y）－2f（－
y）＝y－3 ①，将上式中的y全部换成－y可得－f（－y）－2f（y）＝
－y－3 ②，联立①②可得f（y）＝y＋1，所以f（2 026）＝2 026＋1＝
2 027，故选D.
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11. 已知函数f（x）＝ 若m＜n且f（n）＝f（m），则
n＋m的取值范围是（ ）
A. （1，2] B. ［0， ］
C. （ ，2］ D. （ ，2）
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解析： 设f（n）＝f（m）＝t，则m，n为直线y
＝t与函数y＝f（x）图象的两个交点的横坐标，作出
直线y＝t与函数y＝f（x）的图象如图，由图知，
≤t≤2，由f（n）＝f（m），得 则n＋
m＝t＋ －2，根据对勾函数的性质可知g（t）＝t＋ －2在［ ，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，且g（ ）＝ ＋4－2＝ ，g（1）＝1＋1－2＝0，g（2）＝ ＋2－2＝ ，所以n＋m的取值范围是［0， ］.故
选B.
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12. 〔多选〕德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论
的创始人之一，函数f（x）＝ 称为狄利克雷函数，则下
列说法中正确的是（ ）
A. f（x）的值域为[0，1]
B. f（x）的定义域为R
C. x∈R，f（f（x））＝1
D. 任取一个非零有理数T，f（x＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立
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解析： 因为函数f（x）＝ 所以f（x）的定义域为
R，值域为{0，1}，故选项A错误，选项B正确.当x为有理数时，f（x）
＝1，f（f（x））＝f（1）＝1；当x为无理数时，f（x）＝0，f（f
（x））＝f（0）＝1，所以 x∈R，f（f（x））＝1，故选项C正确.对
任意非零有理数T，若x是有理数，则x＋T是有理数；若x是无理数，则
x＋T是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x
＋T）＝f（x）对任意x∈R恒成立，故选项D正确.故选B、C、D.
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13. 设函数f（x）＝ 则不等式f（x）＋f（x＋2）＞2的解
集为 .
解析：当x＋2＜0，即x＜－2时，则f（x）＋f（x＋2）＝－x－（x＋
2）＝－2x－2＞2，解得x＜－2；当x＋2≥0，x＜0，即－2≤x＜0时，
则f（x）＋f（x＋2）＝－x＋（x＋2）2＞2，即x2＋3x＋2＞0，解得－1
＜x＜0；当x≥0时，f（x）＋f（x＋2）＝x2＋（x＋2）2≥22＝4＞2恒
成立；综上所述，不等式f（x）＋f（x＋2）＞2的解集为（－∞，－2）
∪（－1，＋∞）.
（－∞，－2）∪（－1，＋∞）
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14. 函数f（x）＝x2－4x－4在区间[t，t＋1]上的最小值记为g（t），求
g（t）的表达式.
解：∵f（x）＝x2－4x－4＝（x－2）2－8，∴f（x）在（－∞，2]上单
调递减，在[2，＋∞）上单调递增.
①当t＋1≤2，即t≤1时，f（x）在[t，t＋1]上单调递减，其最小值为g
（t）＝f（t＋1）＝t2－2t－7；
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③当t＜2＜t＋1，即1＜t＜2时，函数f（x）的对称轴x＝2在区间[t，t＋
1]内，其最小值g（t）＝f（2）＝－8.
综上所述，f（x）在区间[t，t＋1]上的最小值为g（t）＝
②当t≥2时，f（x）在[t，t＋1]上单调递增，其最小值为g（t）＝f
（t）＝t2－4t－4；
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15. （概念深度理解）给定k∈N*，设函数f：N*→N*满足：对于任意大于
k的正整数n，f（n）＝n－k.
（1）设k＝1，则其中一个函数f在n＝1处的函数值为
；
（1）由k＝1，∴f（n）＝
故当n＝1时，函数f（1）为任意一个正整数a.
a（a为正整
数）
解析：由定义知，该函数满足两个条件，一是定义域为正整数集，值域为
正整数集或它的子集，二是对于任意大于k的正整数n有f（n）＝n－k.
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（2）设k＝4，且当n≤4时，2≤f（n）≤3，则不同的函数f的个数
为 .
解析： ∵k＝4，当n≤4时，2≤f（n）≤3，∴f（1）＝2或3，
且f（2）＝2或3，且f（3）＝2或3，且f（4）＝2或3，根据分步乘法计数
原理可得f的个数为：2×2×2×2＝16.
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