第二节 函数的单调性与最值
1.若函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，则f（m）与f（1）的大小关系是（ ）
A.f（m）＜f（1） B.f（m）＞f（1）
C.f（m）≤f（1） D.f（m）＝f（1）
2.函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜的单调递增区间是（ ）
A.[1，＋∞） B.（－∞，1]
C.[1，2] D.[2，＋∞）
3.函数f（x）＝在（ ）
A.（－∞，1）∪（1，＋∞）上单调递增
B.（－∞，1）∪（1，＋∞）上单调递减
C.（－∞，1）和（1，＋∞）上单调递增
D.（－∞，1）和（1，＋∞）上单调递减
4.已知函数f（x）＝＋2x，若f（2a2－5a＋4）＜f（a2＋a＋4），则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，）∪（2，＋∞）
B.[2，6）
C.（0，］∪[2，6）
D.（0，6）
5.设函数f（x）＝若函数f（x）在区间（a，a＋1）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，1]
B.[4，＋∞）
C.（－∞，1）∪（4，＋∞）
D.（－∞，1]∪[4，＋∞）
6.〔多选〕设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）＞0，g（x）＞0，f（x）是减函数，g（x）是增函数，则下列说法正确的有（ ）
A.g（x）＋f（x）是增函数
B.f（x）－g（x）是减函数
C.f（x）g（x）是增函数
D.是减函数
7.已知一次函数f（x）＝（4a－2）x＋3在[－2，1]上的最大值为9，则实数a的值为 .
8.若函数f（x）＝在（a，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为 .
9.已知函数f（x）＝－x2＋2x＋1的定义域为（－2，3），求函数f（｜x｜）的单调递增区间.
10.已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，－2），B（3，2）是其图象上的两点，则不等式｜f（x＋1）｜＜2的解集是（ ）
A.（1，4）
B.（－1，2）
C.（－∞，－1）∪[4，＋∞）
D.（－∞，－1）∪[2，＋∞）
11.已知函数f（x）＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，x3＋x1＜0，那么f（x1）＋f（x2）＋f（x3）的值（ ）
A.一定大于0 B.一定小于0
C.等于0 D.正负都有可能
12.〔多选〕已知函数f（x）＝（a≠0）在区间（－2，＋∞）上单调递增，则a，b的取值可以是（ ）
A.a＝－1，b＝2 B.a＝2，b＝1
C.a＝1，b＞ D.0＜a≤1，b＝2
13.（开放创新题）能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是单调函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I为 .
14.已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（）＝f（x1）－f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0.
（1）求f（1）的值；
（2）证明：f（x）为减函数；
（3）若f（3）＝－1，求f（x）在[2，9]上的最小值.
15.（新定义）〔多选〕若对任意x1，x2∈（1，＋∞）（x1≠x2），不等式＜1成立，则称f（x）在（1，＋∞）上为“平方差减函数”，则下列函数中是“平方差减函数”的为（ ）
A.f（x）＝－2x－1 B.f（x）＝x2＋2x＋1
C.f（x）＝x2－log2x D.f（x）＝x2－x＋
第二节 函数的单调性与最值
1.B 因为函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，所以m－1＜0，得m＜1，因为f（x）在R上是减函数，所以f（m）＞f（1）.故选B.
2.D 因为f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜＝所以f（x）的单调递增区间为[2，＋∞），故选D.
3.C 函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，f（x）＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f（x）在（－∞，1）和（1，＋∞）上单调递增.
4.C 由题意可知，函数f（x）在[2，＋∞）上单调递增，∵f（2a2－5a＋4）＜f（a2＋a＋4），∴2≤2a2－5a＋4＜a2＋a＋4，解得2≤a＜6或0＜a≤.
5.D 函数f（x）的图象如图所示，由图象可知f（x）在（a，a＋1）上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
6.BD 对于A，若g（x）＝2x，f（x）＝（）x，则g（1）＋f（1）＝，g（－1）＋f（－1）＝，故g（x）＋f（x）不一定为增函数，A错误；而f（x）·g（x）＝1不是增函数，C错误；对于B，因为g（x）是增函数，所以－g（x）为减函数.又f（x）是减函数，所以f（x）－g（x）＝f（x）＋（－g（x））为减函数，B正确；对于D，因为g（x）是增函数，且g（x）＞0，所以＞0且是减函数.又f（x）＞0，且f（x）为减函数，所以＝f（x）×为减函数，D正确.
7.2或－ 解析：当4a－2＞0时，f（x）在[－2，1]上单调递增，∴∴则a＝2；当4a－2＜0时，f（x）在[－2，1]上单调递减，∴∴则a＝－.综上所述，a＝2或a＝－.
8.[1，2） 解析：f（x）＝＝＝1＋，且定义域为（－∞，1）∪（1，＋∞）.∵f（x）在（a，＋∞）上单调递增，∴解得1≤a＜2.
9.解：因为函数f（x）＝－x2＋2x＋1的定义域为（－2，3），对称轴为直线x＝1，开口向下，所以函数f（｜x｜）满足－2＜｜x｜＜3，所以－3＜x＜3.又f（｜x｜）＝－x2＋2｜x｜＋1＝且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f（｜x｜）的单调递增区间是（－3，－1）和（0，1）.
10.B 不等式｜f（x＋1）｜＜2即为－2＜f（x＋1）＜2，因为A（0，－2），B（3，2）是函数f（x）图象上的两点，所以－2＜f（x＋1）＜2等价于f（0）＜f（x＋1）＜f（3）.又因为f（x）是定义在R上的增函数，所以0＜x＋1＜3，解得－1＜x＜2.故选B.
11.B 因为f（x）＝x＋x3是增函数，且x1＋x2＜0，所以f（x1）＜f（－x2）.又易验证f（－x）＝－f（x），所以f（x1）＜－f（x2），即f（x1）＋f（x2）＜0.同理f（x2）＋f（x3）＜0，f（x3）＋f（x1）＜0.所以f（x1）＋f（x2）＋f（x3）＝[f（x1）＋f（x2）＋f（x2）＋f（x3）＋f（x3）＋f（x1）]＜0.
12.CD 函数f（x）＝＝＋在区间（－2，＋∞）上单调递增，必有－≤－2且3－＜0，即0＜a≤1且＞3.选项A、B都不满足0＜a≤1；对于选项C，当a＝1，b＞时，满足0＜a≤1且＞3，条件成立；对于选项D，当0＜a≤1，b＝2时，满足0＜a≤1且＞3，条件成立.故选C、D.
13.［，2］（答案不唯一） 解析：当x≥1时，f（x）＝x（x－1）＝x2－x；当x＜1时，f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x，∴f（x）在，（1，＋∞）上单调递增，在上单调递减.令f（x）＝0，解得x＝1或x＝0；令f（x）＝2，解得x＝2，∴只需I＝[a，2]，0≤a＜1或I＝（b，2]，0≤b＜1时，f（x）在I上不单调且函数值的集合为[0，2].
14.解：（1）令x1＝x2＞0，代入得f（1）＝f（x1）－f（x1）＝0，故f（1）＝0.
（2）证明：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＞x2，则＞1，
由于当x＞1时，f（x）＜0，∴f（）＜0，即f（x1）－f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数.
（3）∵f（x）在（0，＋∞）上是减函数.∴f（x）在[2，9]上的最小值为f（9）.
由f（）＝f（x1）－f（x2）得，f（）＝f（9）－f（3），∴f（9）＝2f（3）＝－2.即f（x）在[2，9]上的最小值为－2.
15.ACD 设g（x）＝f（x）－x2，由题意可得－1＝＝·＜0，则函数g（x）＝f（x）－x2在（1，＋∞）上单调递减；反之亦然.对于选项A，f（x）＝－2x－1，g（x）＝f（x）－x2＝－x2－2x－1在（1，＋∞）上单调递减，则f（x）在（1，＋∞）上是“平方差减函数”.对于选项B，f（x）＝x2＋2x＋1，g（x）＝f（x）－x2＝2x＋1在（1，＋∞）上单调递增，则f（x）在（1，＋∞）上不是“平方差减函数”.对于选项C，f（x）＝x2－log2x，g（x）＝f（x）－x2＝－log2x在（1，＋∞）上单调递减，则f（x）在（1，＋∞）上是“平方差减函数”.对于选项D，f（x）＝x2－x＋，g（x）＝f（x）－x2＝－x＋在（1，＋∞）上单调递减，则f（x）在（1，＋∞）上是“平方差减函数”.故选A、C、D.
2 / 2第二节 函数的单调性与最值
课标要求
1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.
2.理解函数的单调性、最大值、最小值的实际意义.
3.掌握函数单调性的简单应用.
1.函数的单调性
（1）单调性的定义
定 义 要求 x1，x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I，当x1＜x2时
要求 f（x1）与 f（x2） 都有 都有
结论 函数f（x）在区间I上 ；若函数f（x）在定义域D上单调递增时，则称f（x）为增函数 函数f（x）在区间I上 ；若函数f（x）在定义域D上单调递减时，则称f（x）为减函数
图象描述 自左向右看图象是 自左向右看图象是
（2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性， 叫做y＝f（x）的单调区间.
提醒 （1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念，显然N M.
2.函数的最值
前提 设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足
条件 ① x∈D，都有 ； ② x0∈D，使得 ① x∈D，都有 ； ② x0∈D，使得
结论 M是函数y＝f（x）的 值 M是函数y＝f（x）的 值
提醒 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
1.函数单调性的两个等价结论
设 x1，x2∈I（x1≠x2），则：
（1）＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0） f（x）在I上单调递增；
（2）＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0） f（x）在I上单调递减.
2.若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质：
（1）当f（x），g（x）都单调递增（减）时，f（x）＋g（x）单调递增（减）；
（2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f（x）单调性相反；
（3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y＝的单调性相反.
3.对于复合函数y＝f（g（x）），若u＝g（x）在（a，b）上是单调函数，并且y＝f（u）在（g（a），g（b））或（g（b），g（a））上也是单调函数，则y＝f（g（x））在（a，b）上的单调性为“同增异减”.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝在定义域内单调递减.（ ）
（2）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数.（ ）
（3）函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数f（x）的单调递增区间是[1，＋∞）.（ ）
（4）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则函数f（x）在区间（1，3）上单调递增.（ ）
2.下列函数中是增函数的为（ ）
A.f（x）＝－x B.f（x）＝
C.f（x）＝x2 D.f（x）＝
3.（人A必修一P81例5改编）函数y＝在区间[3，5]上的最小值为a，最大值为b，则a－b＝ .
4.（人A必修一P86习题7（1）题改编）函数y＝的单调递减区间是 .
5.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意两个不等的实数a，b∈[0，＋∞），总有＞0，则满足f（2x－3）＜f（1）的实数x的取值范围是 .
函数的单调性
（定向精析突破）
考向1 函数单调性的判断或证明
试讨论函数f（x）＝（a≠0）在（－1，1）上的单调性.
解题技法
定义法证明或判断函数单调性的步骤
提醒 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等.
考向2 求函数的单调区间
求函数f（x）＝｜4－x｜·（x－1）的单调区间.
解题技法
确定函数的单调区间的方法
1.已知函数f（x）＝ax＋1在R上是减函数，则函数g（x）＝a（x2－4x＋3）的单调递增区间为（ ）
A.（－2，＋∞） B.（2，＋∞）
C.（－∞，2） D.（－∞，－2）
2.已知定义域为（－1，1）的函数f（x）＝，判断函数f（x）的单调性，并证明.
函数单调性的应用
（定向精析突破）
考向1 比较函数值的大小
已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f（－），b＝f（2），c＝f（e）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（ ）
A.c＞a＞b B.c＞b＞a
C.a＞c＞b D.b＞a＞c
听课记录 解题技法
利用单调性比较函数值大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用中间值法比较大小.
考向2 解不等式
已知函数f（x）＝ln x＋2x，若f（a2－4）＜2，则实数a的取值范围是 .
听课记录 解题技法
考向3 求参数的值（范围）
已知函数f（x）＝在区间[－1，a－2]上单调递增，则实数a的取值范围为 .
听课记录 解题技法
利用函数的单调性求参数的值（范围）的方法
（1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解；
（2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
1.已知函数f（x）＝（t＞0）是区间（0，＋∞）上的增函数，则实数t的取值范围是（ ）
A.{1} B.（0，＋∞）
C.（1，＋∞） D.[1，＋∞）
2.设函数f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数，a∈R，则（ ）
A.f（a）＞f（2a） B.f（a2）＜f（a）
C.f（a2＋a）＜f（2a） D.f（a2＋1）＜f（a）
函数的值域（最值）
（师生共研过关）
求下列函数的最值：
（1）f（x）＝，x∈[1，4]；
（2）f（x）＝2x2－.
解题技法
求函数最值（值域）的五种常用方法
（1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；
（2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求出最值；
（3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求出最值；
（4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；
（5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
1.已知函数f（x）＝（a＞0）在区间[2，6]上的最大值为5，则a＝（ ）
A.2 B.3
C.15 D.3或15
2.函数f（x）＝的最大值为 .
第二节 函数的单调性与最值
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
1.（1） f（x1）＜f（x2） f（x1）＞f（x2） 单调递增 单调递减 上升的 下降的 （2）单调递增 单调递减 区间I
2.f（x）≤M f（x0）＝M f（x）≥M f（x0）＝M 最大 最小
对点自测诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）×
2.D 3.－2 4.（－∞，－2] 5.（1，2）
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 解：设－1＜x1＜x2＜1，f（x）＝a·＝a（1＋），
则f（x1）－f（x2）＝a（1＋）－a（1＋）＝.
由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
函数f（x）在（－1，1）上单调递减；
当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递增.
【例2】 解：f（x）＝｜4－x｜·（x－1）＝
作出函数y＝f（x）的图象如图所示，
根据图象可知其单调递增区间为（－∞，），（4，＋∞），单调递减区间为（，4）.
跟踪训练
1.C 由函数f（x）＝ax＋1在R上是减函数，可知a＜0，所以函数g（x）＝a（x2－4x＋3）图象开口向下，对称轴为直线x＝2，因此g（x）在（－∞，2）上单调递增，故选C.
2.解：函数f（x）＝在（－1，1）上为增函数.
证明如下：设－1＜x1＜x2＜1，
则f（x1）－f（x2）＝－
＝，
又－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1x2－1＜0，
则有f（x1）－f（x2）＜0，
故f（x）在（－1，1）上为增函数.
考点2
【例3】 D ∵f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（－）＝f（）.又∵当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，∴f（x）在（1，＋∞）上单调递减.∵2＜＜e，∴f（2）＞f（）＞f（e），∴b＞a＞c.
【例4】 （－，－2）∪（2，） 解析：因为函数f（x）＝ln x＋2x在定义域（0，＋∞）上为增函数，且f（1）＝ln 1＋2＝2，所以由f（a2－4）＜2得，f（a2－4）＜f（1），所以0＜a2－4＜1，解得－＜a＜－2或2＜a＜.
【例5】 （1，3] 解析：由分段函数解析式知：f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单调递减，在[－1，1]上单调递增，由f（x）在[－1，a－2]上单调递增，得－1＜a－2≤1，即a∈（1，3].
跟踪训练
1.D ∵f（x）＝（t＞0）是区间（0，＋∞）上的增函数，∴∴t≥1.
2.D ∵a2＋1－a＝（a－）2＋＞0，∴a2＋1＞a，又∵f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数，∴f（a2＋1）＜f（a），故选D.
考点3
【例6】 解：（1）∵f（x）＝＝＝2－，x∈[1，4]，∴f（x）在[1，4]上单调递增，∴函数的最小值为f（1）＝，最大值为f（4）＝.
（2）令＝t，t≥1，则x2＝t2－1，
∴y＝2（t2－1）－t＝2t2－t－2（t≥1）.
∵y＝2t2－t－2（t≥1）的图象的对称轴为直线t＝，∴当t≥1时，y＝2t2－t－2的图象是上升的，∴ymin＝2×12－1－2＝－1，∴函数f（x）的最小值为－1，无最大值.
跟踪训练
1.B f（x）＝＝＝2＋.因为a＞0，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减，所以函数f（x）在区间[2，6]上的最大值为f（2）＝2＋＝2＋a＝5，解得a＝3.
2.2 解析：作出函数f（x）＝的图象（如图所示），由函数图象可知，f（x）max＝f（0）＝2.
5 / 5(共61张PPT)
第二节 函数的单调性与最值
高中总复习·数学
课标要求
1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.
2. 理解函数的单调性、最大值、最小值的实际意义.
3. 掌握函数单调性的简单应用.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 函数的单调性
（1）单调性的定义
定 义 要求x1，
x2 一般地，设函数f（x）的定义域为D，区间I D，如
果 x1，x2∈I，当x1＜x2时
要求 f（x1）与 f（x2） 都有
都有
结论 函数f（x）在区间I
上 ；若
函数f（x）在定义
域D上单调递增时，
则称f（x）为增函数 函数f（x）在区间I上
；若函数f（x）在定义域
D上单调递减时，则称f（x）为
减函数
f（x1）＜f
（x2）
f（x1）＞f（x2）
单调递增
单调递
减
图象描述 自左向右看图象
是
自左向右看图象是
上升的
下降的
（2）单调区间的定义：如果函数y＝f（x）在区间I上
或 ，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单
调性， 叫做y＝f（x）的单调区间.
提醒 （1）求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义
域；（2）“函数的单调区间为M”与“函数在区间N上单调”是两个不
同的概念，显然N M.
单调递增
单调递减
区间I
2. 函数的最值
前
提 设函数y＝f（x）的定义域为D，如果存在实数M满足
条
件 ① x∈D，都有
； ② x0∈D，使得
① x∈D，都有
；
② x0∈D，使得
结
论 M是函数y＝f（x）的
值 M是函数y＝f（x）的
值
f（x）
≤M
f（x0）＝
M
f（x）
≥M
f（x0）＝
M
最大
最小
提醒 （1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区
间上单调时最值一定在端点处取得；（2）开区间上的“单峰”函数一定
存在最大值或最小值.
1. 函数单调性的两个等价结论
设 x1，x2∈I（x1≠x2），则：
（1） ＞0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＞0） f
（x）在I上单调递增；
（2） ＜0（或（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0） f
（x）在I上单调递减.
2. 若函数f（x），g（x）在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下
性质：
（1）当f（x），g（x）都单调递增（减）时，f（x）＋g（x）单调递
增（减）；
（2）若k＞0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k＜0，则kf（x）与f
（x）单调性相反；
（3）函数y＝f（x）（f（x）＞0）在公共定义域内与y＝－f（x），y
＝ 的单调性相反.
3. 对于复合函数y＝f（g（x）），若u＝g（x）在（a，b）上是单调
函数，并且y＝f（u）在（g（a），g（b））或（g（b），g（a））
上也是单调函数，则y＝f（g（x））在（a，b）上的单调性为“同增异
减”.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝ 在定义域内单调递减. （ × ）
（2）对于函数y＝f（x），若f（1）＜f（3），则f（x）为增函数.
（ × ）
（3）函数y＝f（x）在[1，＋∞）上单调递增，则函数f（x）的单调递
增区间是[1，＋∞）. （ × ）
（4）若函数f（x）在区间（1，2]和（2，3）上均单调递增，则函数f
（x）在区间（1，3）上单调递增. （ × ）
×
×
×
×
2. 下列函数中是增函数的为（ ）
A. f（x）＝－x B. f（x）＝
C. f（x）＝x2 D. f（x）＝
解析： 取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以
A项不符合题意；对于B项有f（x1）＝ ，f（x2）＝1，所以B项不符合题
意；对于C项有f（x1）＝1，f（x2）＝0，所以C项不符合题意.故选D.
√
3. （人A必修一P81例5改编）函数y＝ 在区间[3，5]上的最小值为a，
最大值为b，则a－b＝ .
解析：由y＝ 在[3，5]上单调递减，故a＝ ＝1，b＝ ＝3，即a
－b＝1－3＝－2.
－2
4. （人A必修一P86习题7（1）题改编）函数y＝ 的单调递减区
间是 .
解析：由题意，要使函数y＝ 有意义，需满足x2＋2x≥0，解得
x≤－2或x≥0，又由t＝x2＋2x在（－∞，－2]上单调递减，在[0，＋
∞）上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数y＝
的单调递减区间是（－∞，－2].
（－∞，－2]
5. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意两个不等的实数a，
b∈[0，＋∞），总有 ＞0，则满足f（2x－3）＜f（1）的实
数x的取值范围是 .
解析：由题意知，函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，又函数为偶
函数，则在（－∞，0]上单调递减，故f（2x－3）＜f（1）即｜2x－3｜
＜1，解得1＜x＜2，故实数x的取值范围是（1，2）.
（1，2）
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
函数的单调性（定向精析突破）
考向1 函数单调性的判断或证明
试讨论函数f（x）＝ （a≠0）在（－1，1）上的单调性.
解：设－1＜x1＜x2＜1，f（x）＝a· ＝a（1＋ ），则f（x1）－
f（x2）＝a（1＋ ）－a（1＋ ）＝ .
由于－1＜x1＜x2＜1，
所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0，
故当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），
函数f（x）在（－1，1）上单调递减；
当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在（－1，1）上单调递增.
解题技法
定义法证明或判断函数单调性的步骤
提醒 判断函数的单调性还有图象法、导数法、性质法等.
考向2 求函数的单调区间
求函数f（x）＝｜4－x｜·（x－1）的单调区间.
解：f（x）＝｜4－x｜·（x－1）＝
作出函数y＝f（x）的图象如图所示，
根据图象可知其单调递增区间为（－∞， ），（4，＋
∞），单调递减区间为（ ，4）.
解题技法
确定函数的单调区间的方法
1. 已知函数f（x）＝ax＋1在R上是减函数，则函数g（x）＝a（x2－4x
＋3）的单调递增区间为（ ）
A. （－2，＋∞） B. （2，＋∞）
C. （－∞，2） D. （－∞，－2）
解析： 由函数f（x）＝ax＋1在R上是减函数，可知a＜0，所以函数g
（x）＝a（x2－4x＋3）图象开口向下，对称轴为直线x＝2，因此g
（x）在（－∞，2）上单调递增，故选C.
√
2. 已知定义域为（－1，1）的函数f（x）＝ ，判断函数f（x）的单
调性，并证明.
解：函数f（x）＝ 在（－1，1）上为增函数.
证明如下：设－1＜x1＜x2＜1，则f（x1）－f（x2）＝ －
＝ ，
又－1＜x1＜x2＜1，所以x2－x1＞0，x1x2－1＜0，
则有f（x1）－f（x2）＜0，
故f（x）在（－1，1）上为增函数.
函数单调性的应用（定向精析突破）
考向1 比较函数值的大小
已知函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x2＞x1＞1时，[f
（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，设a＝f（－ ），b＝f（2），
c＝f（e）（e为自然对数的底数），则a，b，c的大小关系为（ ）
A. c＞a＞b B. c＞b＞a
C. a＞c＞b D. b＞a＞c
√
解析： ∵f（x）的图象关于直线x＝1对称，∴f（－ ）＝f（ ）.又
∵当x2＞x1＞1时，[f（x2）－f（x1）]（x2－x1）＜0恒成立，∴f（x）
在（1，＋∞）上单调递减.∵2＜ ＜e，∴f（2）＞f（ ）＞f（e），
∴b＞a＞c.
解题技法
利用单调性比较函数值大小的方法
比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利
用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间内进行比较，或采用
中间值法比较大小.
考向2 解不等式
已知函数f（x）＝ln x＋2x，若f（a2－4）＜2，则实数a的取值范
围是 .
解析：因为函数f（x）＝ln x＋2x在定义域（0，＋∞）上为增函数，且f
（1）＝ln 1＋2＝2，所以由f（a2－4）＜2得，f（a2－4）＜f（1），所
以0＜a2－4＜1，解得－ ＜a＜－2或2＜a＜ .
（－ ，－2）∪（2， ）
解题技法
考向3 求参数的值（范围）
已知函数f（x）＝ 在区间[－1，a－2]上单调递
增，则实数a的取值范围为 .
解析：由分段函数解析式知：f（x）在（－∞，－1）和（1，＋∞）上单
调递减，在[－1，1]上单调递增，由f（x）在[－1，a－2]上单调递增，
得－1＜a－2≤1，即a∈（1，3].
（1，3]
解题技法
利用函数的单调性求参数的值（范围）的方法
（1）根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或
先得到其图象的升降，再结合图象求解；
（2）对于分段函数，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
1. 已知函数f（x）＝ （t＞0）是区间（0，＋∞）上的增函
数，则实数t的取值范围是（ ）
A. {1} B. （0，＋∞）
C. （1，＋∞） D. [1，＋∞）
解析： ∵f（x）＝ （t＞0）是区间（0，＋∞）上的增
函数，∴ ∴t≥1.
√
2. 设函数f（x）在（－∞，＋∞）上为减函数，a∈R，则（ ）
A. f（a）＞f（2a） B. f（a2）＜f（a）
C. f（a2＋a）＜f（2a） D. f（a2＋1）＜f（a）
解析： ∵a2＋1－a＝（a－ ）2＋ ＞0，∴a2＋1＞a，又∵f（x）在
（－∞，＋∞）上为减函数，∴f（a2＋1）＜f（a），故选D.
√
函数的值域（最值）
（师生共研过关）
求下列函数的最值：
（1）f（x）＝ ，x∈[1，4]；
解： ∵f（x）＝ ＝ ＝2－ ，x∈[1，4]，
∴f（x）在[1，4]上单调递增，
∴函数的最小值为f（1）＝ ，最大值为f（4）＝ .
（2）f（x）＝2x2－ .
解： 令 ＝t，t≥1，则x2＝t2－1，
∴y＝2（t2－1）－t＝2t2－t－2（t≥1）.
∵y＝2t2－t－2（t≥1）的图象的对称轴为直线t＝ ，
∴当t≥1时，y＝2t2－t－2的图象是上升的，
∴ymin＝2×12－1－2＝－1，
∴函数f（x）的最小值为－1，无最大值.
解题技法
求函数最值（值域）的五种常用方法
（1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最
值；
（2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求出最值；
（3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相
应的方法求出最值；
（4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的
条件后用基本不等式求出最值；
（5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点
值，求出最值.
1. 已知函数f（x）＝ （a＞0）在区间[2，6]上的最大值为
5，则a＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 15 D. 3或15
解析： f（x）＝ ＝ ＝2＋ .因为a＞0，所
以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递减，所以函数f（x）在区间[2，6]
上的最大值为f（2）＝2＋ ＝2＋a＝5，解得a＝3.
√
2. 函数f（x）＝ 的最大值为 .
解析：作出函数f（x）＝ 的图象
（如图所示），由函数图象可知，f（x）max＝f
（0）＝2.
2
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 若函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，则f（m）与f（1）
的大小关系是（ ）
A. f（m）＜f（1） B. f（m）＞f（1）
C. f（m）≤f（1） D. f（m）＝f（1）
解析： 因为函数f（x）＝（m－1）x＋b在R上是减函数，所以m－1
＜0，得m＜1，因为f（x）在R上是减函数，所以f（m）＞f（1）.故选
B.
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2. 函数f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜的单调递增区间是（ ）
A. [1，＋∞） B. （－∞，1]
C. [1，2] D. [2，＋∞）
解析： 因为f（x）＝｜x－1｜＋｜x－2｜＝ 所以f
（x）的单调递增区间为[2，＋∞），故选D.
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3. 函数f（x）＝ 在（ ）
A. （－∞，1）∪（1，＋∞）上单调递增
B. （－∞，1）∪（1，＋∞）上单调递减
C. （－∞，1）和（1，＋∞）上单调递增
D. （－∞，1）和（1，＋∞）上单调递减
解析： 函数f（x）的定义域为{x｜x≠1}，f（x）＝ ＝ －1，
根据函数y＝－ 的单调性及有关性质，可知f（x）在（－∞，1）和
（1，＋∞）上单调递增.
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4. 已知函数f（x）＝ ＋2x，若f（2a2－5a＋4）＜f（a2＋a＋
4），则实数a的取值范围是（ ）
A. （－∞， ）∪（2，＋∞） B. [2，6）
C. （0， ］∪[2，6） D. （0，6）
解析： 由题意可知，函数f（x）在[2，＋∞）上单调递增，∵f（2a2
－5a＋4）＜f（a2＋a＋4），∴2≤2a2－5a＋4＜a2＋a＋4，解得2≤a
＜6或0＜a≤ .
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5. 设函数f（x）＝ 若函数f（x）在区间（a，a＋
1）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. （－∞，1]
B. [4，＋∞）
C. （－∞，1）∪（4，＋∞）
D. （－∞，1]∪[4，＋∞）
解析：D 函数f（x）的图象如图所示，由图
象可知f（x）在（a，a＋1）上单调递增，
需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
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6. 〔多选〕设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）＞0，g
（x）＞0，f（x）是减函数，g（x）是增函数，则下列说法正确的有
（ ）
A. g（x）＋f（x）是增函数
B. f（x）－g（x）是减函数
C. f（x）g（x）是增函数
D. 是减函数
√
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解析： 对于A，若g（x）＝2x，f（x）＝（ ）x，则g（1）＋f
（1）＝ ，g（－1）＋f（－1）＝ ，故g（x）＋f（x）不一定为增函
数，A错误；而f（x）·g（x）＝1不是增函数，C错误；对于B，因为g
（x）是增函数，所以－g（x）为减函数.又f（x）是减函数，所以f
（x）－g（x）＝f（x）＋（－g（x））为减函数，B正确；对于D，因
为g（x）是增函数，且g（x）＞0，所以 ＞0且 是减函数.
又f（x）＞0，且f（x）为减函数，所以 ＝f（x）× 为减
函数，D正确.
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7. 已知一次函数f（x）＝（4a－2）x＋3在[－2，1]上的最大值为9，则
实数a的值为 .
解析：当4a－2＞0时，f（x）在[－2，1]上单调递增，∴
∴ 则a＝2；当4a－2＜0时，f（x）在[－2，1]上单调递减，
∴ ∴ 则a＝－ .综上所述，a＝2或
a＝－ .
2或－
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8. 若函数f（x）＝ 在（a，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范
围为 .
解析：f（x）＝ ＝ ＝1＋ ，且定义域为（－∞，1）∪
（1，＋∞）.∵f（x）在（a，＋∞）上单调递增，∴ 解得
1≤a＜2.
[1，2）
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9. 已知函数f（x）＝－x2＋2x＋1的定义域为（－2，3），求函数f（｜
x｜）的单调递增区间.
解：因为函数f（x）＝－x2＋2x＋1的定义域为（－2，3），对称轴为直
线x＝1，开口向下，所以函数f（｜x｜）满足－2＜｜x｜＜3，所以－3
＜x＜3.又f（｜x｜）＝－x2＋2｜x｜＋1＝
且y＝－x2－2x＋1图象的对称轴为直线x＝
－1，所以由二次函数的图象与性质可知，函数f（｜x｜）的单调递增区
间是（－3，－1）和（0，1）.
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10. 已知函数f（x）是定义在R上的增函数，A（0，－2），B（3，2）
是其图象上的两点，则不等式｜f（x＋1）｜＜2的解集是（ ）
A. （1，4） B. （－1，2）
C. （－∞，－1）∪[4，＋∞） D. （－∞，－1）∪[2，＋∞）
解析： 不等式｜f（x＋1）｜＜2即为－2＜f（x＋1）＜2，因为A
（0，－2），B（3，2）是函数f（x）图象上的两点，所以－2＜f（x＋
1）＜2等价于f（0）＜f（x＋1）＜f（3）.又因为f（x）是定义在R上的
增函数，所以0＜x＋1＜3，解得－1＜x＜2.故选B.
√
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11. 已知函数f（x）＝x＋x3，x1，x2，x3∈R，x1＋x2＜0，x2＋x3＜0，
x3＋x1＜0，那么f（x1）＋f（x2）＋f（x3）的值（ ）
A. 一定大于0 B. 一定小于0
C. 等于0 D. 正负都有可能
解析： 因为f（x）＝x＋x3是增函数，且x1＋x2＜0，所以f（x1）＜f
（－x2）.又易验证f（－x）＝－f（x），所以f（x1）＜－f（x2），即f
（x1）＋f（x2）＜0.同理f（x2）＋f（x3）＜0，f（x3）＋f（x1）＜0.
所以f（x1）＋f（x2）＋f（x3）＝ [f（x1）＋f（x2）＋f（x2）＋f
（x3）＋f（x3）＋f（x1）]＜0.
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12. 〔多选〕已知函数f（x）＝ （a≠0）在区间（－2，＋∞）上单
调递增，则a，b的取值可以是（ ）
A. a＝－1，b＝2 B. a＝2，b＝1
C. a＝1，b＞ D. 0＜a≤1，b＝2
√
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解析： 函数f（x）＝ ＝ ＋ 在区间（－2，＋∞）上单调递
增，必有－ ≤－2且3－ ＜0，即0＜a≤1且 ＞3.选项A、B都不满足0
＜a≤1；对于选项C，当a＝1，b＞ 时，满足0＜a≤1且 ＞3，条件成
立；对于选项D，当0＜a≤1，b＝2时，满足0＜a≤1且 ＞3，条件成
立.故选C、D.
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13. （开放创新题）能使“函数f（x）＝x｜x－1｜在区间I上不是单调
函数，且在区间I上的函数值的集合为[0，2]”是真命题的一个区间I
为 .
解析：当x≥1时，f（x）＝x（x－1）＝x2－x；当x＜1时，f（x）＝x
（1－x）＝－x2＋x，∴f（x）在 ，（1，＋∞）上单调递增，
在 上单调递减.令f（x）＝0，解得x＝1或x＝0；令f（x）＝2，
解得x＝2，∴只需I＝[a，2]，0≤a＜1或I＝（b，2]，0≤b＜1时，f
（x）在I上不单调且函数值的集合为[0，2].
［ ，2］（答案不唯一）
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14. 已知定义在区间（0，＋∞）上的函数f（x）满足f（ ）＝f（x1）
－f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0.
（1）求f（1）的值；
解： 令x1＝x2＞0，代入得f（1）＝f（x1）－f（x1）＝0，故f（1）
＝0.
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（2）证明：f（x）为减函数；
解： 证明：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＞x2，则 ＞1，
由于当x＞1时，f（x）＜0，∴f（ ）＜0，即f（x1）－f（x2）＜0，
因此f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在区间（0，＋∞）上是减函数.
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（3）若f（3）＝－1，求f（x）在[2，9]上的最小值.
解： ∵f（x）在（0，＋∞）上是减函数.∴f（x）在[2，9]上的最
小值为f（9）.
由f（ ）＝f（x1）－f（x2）得，f（ ）＝f（9）－f（3），∴f（9）
＝2f（3）＝－2.即f（x）在[2，9]上的最小值为－2.
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15. （新定义）〔多选〕若对任意x1，x2∈（1，＋∞）（x1≠x2），不等
式 ＜1成立，则称f（x）在（1，＋∞）上为“平方差减函
数”，则下列函数中是“平方差减函数”的为（ ）
A. f（x）＝－2x－1 B. f（x）＝x2＋2x＋1
C. f（x）＝x2－log2x D. f（x）＝x2－x＋
√
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解析： 设g（x）＝f（x）－x2，由题意可得 －1＝
＝ · ＜0，则函数g（x）＝f
（x）－x2在（1，＋∞）上单调递减；反之亦然.对于选项A，f（x）＝
－2x－1，g（x）＝f（x）－x2＝－x2－2x－1在（1，＋∞）上单调递
减，则f（x）在（1，＋∞）上是“平方差减函数”.对于选项B，f（x）
＝x2＋2x＋1，g（x）＝f（x）－x2＝2x＋1在（1，＋∞）上单调递
增，则f（x）在（1，＋∞）上不是“平方差减函数”.对于选项C，f
（x）＝x2－log2x，g（x）＝f（x）－x2＝－log2x在（1，＋∞）上单调
递减，则f（x）在（1，＋∞）上是“平方差减函数”.对于选项D，f（x）＝x2－x＋ ，g（x）＝f（x）－x2＝－x＋ 在（1，＋∞）上单调递减，则f（x）在（1，＋∞）上是“平方差减函数”.故选A、C、D.
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