第九节 函数的图象
1.函数y＝－ex的图象（ ）
A.与y＝ex的图象关于y轴对称
B.与y＝ex的图象关于坐标原点对称
C.与y＝e－x的图象关于y轴对称
D.与y＝e－x的图象关于坐标原点对称
2.函数g（x）＝x｜x－1｜＋1的单调递减区间为（ ）
A. B.
C.[1，＋∞） D.∪[1，＋∞）
3.（2025·福建适应性练习卷）函数f（x）＝x2＋cos x在[－π，π]上的图象大致为（ ）
4.函数g（x）＝f（x－1）－f（1－x）的图象可能是（ ）
5.已知函数f（x）＝｜lg（x＋1）｜，若f（a）＝f（b）（a＜b），则（ ）
A.（a－1）（b－1）＞1 B.（a－1）（b－1）＝1
C.（a－1）（b－1）＜1 D.以上选项均有可能
6.〔多选〕（2025·南通期初考试）下列曲线平移后可得到曲线y＝2x的是（ ）
A.y＝2x＋3 B.y＝2x－3
C.y＝23x D.y＝
7.将函数y＝log2（2x＋2）的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝ .
8.函数y＝logax（a＞0，且a≠1）与函数y＝－a－x（a＞0，且a≠1）图象的对称关系是 .
9.已知f（x）＝是定义在R上的奇函数.
（1）请画出f（x）的大致图象并在图象上标注零点；
（2）已知a＞1，若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
10.（2024·潍坊二模）已知函数f（x）＝则f（x）图象上关于原点对称的点有（ ）
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
11.（情境创新）“家在花园里，城在山水间，半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园……”一首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境.如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A.y＝｜x｜
B.y＝x
C.y＝
D.y＝
12.〔多选〕某同学在研究函数f（x）＝（x∈R）时，给出了下面几个结论，其中正确的是（ ）
A.f（x）的图象关于点（－1，1）对称
B.f（x）是单调函数
C.f（x）的值域为（－1，1）
D.函数g（x）＝f（x）－x有且只有一个零点
13.设函数f（x）的定义域为R，满足f（x＋1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x－1）.若对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≥－，则m的取值范围是 .
14.（解题路径创新）已知函数f（x）＝
（1）若函数f（x）＝在区间（0，2）内恰有两个零点，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）为R上的奇函数，求函数F（x）＝f（x）－sin x，x∈[－π，π]的零点个数.
15.（情境创新）〔多选〕高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f（x）＝x－[x]，则下列命题中正确的是（ ）
A.函数f（x）的最大值为1
B.函数f（x）的最小值为0
C.函数y＝f（x）的图象与直线y＝有无数个交点
D.f（x＋1）＝f（x）
第九节 函数的图象
1.D 由点（x，y）关于原点的对称点是（－x，－y），可知D正确.
2.B g（x）＝x｜x－1｜＋1＝
画出函数图象，如图所示，由图知函数的单调递减区间为.故选B.
3.A 由题意知，f（－x）＝（－x）2＋cos（－x）＝x2＋cos x＝f（x），所以f（x）为偶函数，排除C、D.下面只需讨论x∈[0，π]时的情况，因为f'（x）＝x－sin x，f″（x）＝1－cos x≥0，所以f'（x）在[0，π]上单调递增，又f'（0）＝0，所以f'（x）≥0在[0，π]上恒成立，因此f（x）在[0，π]上单调递增，排除B，故选A.
4.D 法一 函数g（x）＝f（x－1）－f（1－x），将x代换成2－x，则g（2－x）＝f（1－x）－f（x－1）＝－g（x），所以g（2－x）＋g（x）＝0，则函数g（x）的图象关于点（1，0）对称，故选项A、B、C错误，选项D正确.故选D.
法二 易知y＝f（x）－f（－x）为奇函数，其图象关于原点对称，而g（x）＝f（x－1）－f（1－x）的图象是由函数y＝f（x）－f（－x）的图象向右平移一个单位长度得到的，结合选项可知，选D.
5.C 作出函数f（x）＝｜lg（x＋1）｜的图象，如图，由题意可知，－lg（a＋1）＝lg（b＋1），且由图象可知，－1＜a＜0＜b，ab＜0，所以即lg（a＋1）＋lg（b＋1）＝lg（a＋1）（b＋1）＝0，所以（a＋1）（b＋1）＝1，即ab＋a＋b＝0，a＋b＝－ab，即（a－1）（b－1）＝ab－a－b＋1＝1＋2ab＜1，故选C.
6.ABD 对于A，曲线y＝2x＋3向右平移3个单位长度可得到曲线y＝2x，故A正确；对于B，曲线y＝2x－3向上平移3个单位长度可得到曲线y＝2x，故B正确；对于C，曲线y＝23x横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线y＝2x，故C错误；对于D，曲线y＝＝＝向左平移log23个单位长度可得到曲线y＝2x，故D正确；故选A、B、D.
7.log2x 解析：将函数y＝log2（2x＋2）的图象向下平移1个单位长度，可得函数y＝log2（2x＋2）－1的图象，再向右平移1个单位长度，可得函数y＝log2[2（x－1）＋2]－1＝log2（2x）－1的图象，所以g（x）＝log2（2x）－1＝log2x.
8.关于直线y＝－x对称
解析：法一 在同一平面直角坐标系中，分别画出当0＜a＜1与a＞1时y＝logax（a＞0，且a≠1）和y＝－a－x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，
由图象知，y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象与y＝－a－x（a＞0，且a≠1）的图象关于直线y＝－x对称.
法二 在y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象上任取一点P（x，y），则点（y，x）在函数y＝ax的图象上，点（－y，x）在函数y＝a－x的图象上，点（－y，－x）在y＝－a－x的图象上，而点（x，y）与（－y，－x）关于直线y＝－x对称.
法三 因为函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象与y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象关于直线y＝x对称.而y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象与y＝－a－x（a＞0，且a≠1）的图象关于原点对称，则y＝logax的图象与y＝－a－x的图象关于直线y＝－x对称.
9.解：（1）根据题意，列表如下，
x －2 －1 0 1 2
f（x） 0 －1 0 1 0
f（x）的大致图象如图所示，其中有－2，0，2三个零点.
（2）由（1）的函数图象可知，要使f（x）在[－1，a－2]上单调递增，则－1＜a－2≤1，即1＜a≤3，故a的取值范围为（1，3].
10.C 作出f（x）的图象，函数y＝（）x，x≥0关于原点对称的图象如图所示.因为函数y＝（）x，x≥0关于原点对称的图象与y＝－｜x2＋2x｜，x＜0的图象有三个交点，故f（x）图象上关于原点对称的点有3对.故选C.
11.C 依题意，“心形”图形关于y轴对称，所以x轴上方的图象对应的函数为偶函数，所以函数y＝x和y＝都不满足题意，故排除选项B、D；当0＜x＜2时，y＝｜x｜≤＝2，当且仅当x＝时，等号成立，即函数y＝｜x｜的最大值为2.又“心形”图形对应函数的最大值为1，故排除选项A；y＝的图象过点（0，0），（－2，0），（2，0），且当0＜x＜2时，y＝＝＝≤1，当且仅当x＝1时，等号成立，即函数y＝的最大值为1，满足题意，故选C.
12.BCD 作出y＝f（x）的图象，如图所示，对于A，f（x）的图象关于点（0，0）对称，不关于点（－1，1）对称，故A错误；对于B，f（x）是R上的增函数，故B正确；对于C，由图知，f（x）的值域为（－1，1），故C正确；对于D，令g（x）＝f（x）－x＝0，得x＝0，解得x＝0，所以函数g（x）＝f（x）－x有且只有一个零点，故D正确.
13.
解析：因为f（x＋1）＝2f（x），所以f（x）＝2f（x－1）.因为x∈（0，1]时，f（x）＝x（x－1）∈，所以x∈（1，2]时，x－1∈（0，1]，f（x）＝2f（x－1）＝2（x－1）（x－2）∈；所以x∈（2，3]时，x－1∈（1，2]，f（x）＝2f（x－1）＝4（x－2）（x－3）∈[－1，0].如图，当x∈（2，3]时，由4（x－2）（x－3）＝－，解得x1＝，x2＝.若对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≥－，则m≤，则m的取值范围是.
14.解：（1）如图1，当m＝0时，符合题意；当m＞0时，不符合题意；如图2，当m＝－1时，不符合题意，当－1＜m＜0时，符合题意，
所以符合题意的实数m的取值范围是（－1，0].
（2）因为函数f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，
从而m＝－1，f（x）的图象如图3.
所以F（x）的零点个数为9.
15.BCD 由题意得：f（x）＝x－[x]＝由解析式可得函数图象如图所示，对于A，
函数f（x）＜1，A错误；对于B，函数f（x）的最小值为0，B正确；对于C，函数y＝f（x）的图象与直线y＝有无数个交点，C正确；对于D，函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），D正确；故选B、C、D.
3 / 3第九节 函数的图象
课标要求
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析式法）表示函数.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解集的问题.
1.利用描点法作函数图象的步骤
2.函数图象的变换
描述 结论
f（a－x）＝f（a＋x）或f（2a－x）＝f（x） y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称
f（a－x）＝f（b＋x）或f（a＋b－x）＝f（x） y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
f（a－x）＋f（a＋x）＝2b或f（2a－x）＋f（x）＝2b y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称
f（a－x）＋f（c＋x）＝2b或f（a＋c－x）＋f（x）＝2b y＝f（x）的图象关于点（，b）对称
y＝f（x）的图象同时关于直线x＝a，x＝b对称 f（x）是周期函数，周期T＝2｜b－a｜
y＝f（x）的图象同时关于点（a，m），（b，n）对称 f（x）是周期函数，周期T＝2｜b－a｜
y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称，且关于点（b，c）对称 f（x）是周期函数，周期T＝4｜b－a｜
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝f（x）＋1的图象可由y＝f（x）的图象向下平移1个单位长度得到.（ ）
（2）函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称.（ ）
（3）将函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f（－x－1）的图象.（ ）
2.将函数y＝x2的图象向右平移2个单位长度，纵坐标不变，再向下平移1个单位长度后所得函数的解析式为（ ）
A.y＝（x＋2）2＋1 B.y＝（x－2）2＋1
C.y＝（x－2）2－1 D.y＝（x＋2）2－1
3.（人A必修一 P85练习1题改编）已知图1中的图象是函数y＝f（x）的图象，则图2中的图象对应的函数可能是（ ）
A.y＝f（｜x｜） B.y＝｜f（x）｜
C.y＝f（－｜x｜） D.y＝－f（－｜x｜）
4.函数y＝f（－2－x）与y＝f（x＋2）的图象关于直线 对称.
5.若关于x的方程｜x｜＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是 .
作函数图象
（师生共研过关）
作出下列函数的图象：
（1）y＝2x＋1－1；
（2）y＝｜lg（x－1）｜.
解题技法
作函数图象的两种常用方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征直接作出；
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出.
提醒 （1）画函数的图象时一定要注意定义域；（2）利用图象变换法时要注意变换顺序.
作出下列函数的图象：
（1）y＝；
（2）y＝（）｜x＋2｜.
函数图象的识别
（师生共研过关）
（1）（2024·全国甲卷理7题）函数y＝－x2＋（ex－e－x）sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为（ ）
（2）函数f（x）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A.a＞0，b＞0，c＞0 B.a＜0，b＞0，c＜0
C.a＜0，b＞0，c＞0 D.a＜0，b＜0，c＜0
听课记录 解题技法
1.抓住函数的性质，定性分析
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的周期性，判断图象的循环往复；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算
利用函数的特殊点、特殊值的计算，分析解决问题.
1.（2025·湖南师大附中二模）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能为（ ）
A.f（x）＝－ B.f（x）＝－
C.f（x）＝－ D.f（x）＝－
2.已知函数f（x）＝xln x的图象如图所示，则函数f（1－x）的图象为（ ）
函数图象的应用
（定向精析突破）
考向1 研究函数的性质
〔多选〕对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f（x）＝2－x2，g（x）＝x2，下列关于函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的说法正确的是（ ）
A.函数F（x）是偶函数 B.方程F（x）＝0有3个解
C.函数F（x）在区间[－1，1]上单调递增 D.函数F（x）有4个单调区间
听课记录 解题技法
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：
（1）从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.
考向2 探究不等式问题
若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（－∞，0）上单调递减，f（3）＝0，则满足不等式xf（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A.（－3，0）∪（3，＋∞） B.（－3，0）∪（0，3）
C.（－∞，－3）∪（3，＋∞） D.（－∞，－3）∪（0，3）
听课记录
解题技法
利用函数图象研究不等式问题的方法
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象（图象易得）的上、下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解.
1.〔多选〕关于函数f（x）＝，下列结论正确的是（ ）
A.f（x）的图象过原点
B.f（x）是奇函数
C.f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减
D.f（x）是定义域上的增函数
2.若关于x的不等式4ax－1＜3x－4（a＞0，且a≠1）对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为 .
第九节 函数的图象
【知识·逐点夯实】
知识梳理夯基
2.y＝f（x－a） y＝f（x＋a） y＝f（x）＋b y＝f（x）－b A A x轴
y轴 原点 x轴下方 右 y轴
对点自测诊断
1.（1）× （2）× （3）×
2.C 3.C 4.x＝－2 5.（0，＋∞）
【考点·分类突破】
考点1
【例1】 解：（1）将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1所示.
（2）首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg（x－1）的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝｜lg（x－1）｜的图象，如图2所示（实线部分）.
跟踪训练
解：（1）y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图1所示.
（2）作出y＝（）x的图象，保留y＝（）x的图象中x≥0的部分，加上y＝（）x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝（）｜x｜的图象，再向左平移2个单位长度，即得y＝（）｜x＋2｜的图象，如图2所示.
考点2
【例2】 （1）B （2）B 解析：（1）由题知函数y＝f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（－x）＝－（－x）2＋（e－x－ex）sin（－x）＝－x2＋（ex－e－x）sin x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、C；f（1）＝－1＋（e－）sin 1＞－1＋（e－）sin＝－1＋－＞0，排除D.故选B.
（2）函数在点P处无意义，由题图可知，点P在y轴右边，所以－c＞0，则c＜0；f（0）＝＞0，则b＞0；由f（x）＝0得ax＋b＝0，则x＝－，根据题图得，－＞0，则a＜0.综上，a＜0，b＞0，c＜0.故选B.
跟踪训练
1.A 由题图可知，函数f（x）为偶函数，应排除C；由图象可知，f（x）的定义域不是全体实数，应排除B；对于D选项，当x＞1时，f（x）＝－，f'（x）＝＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单调递增，故排除D.故选A.
2.D 易知函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.由1－x＞0，得x＜1，所以函数f（1－x）的定义域为（－∞，1），故排除A、C；又当x＝－1时，f（1－（－1））＝f（2）＝2ln 2＞0，故排除B.故选D.
考点3
【例3】 ABD 根据函数f（x）＝2－x2与g（x）＝x2，画出函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的图象，如图.由图象可知，函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的图象关于y轴对称，所以A项正确；函数F（x）的图象与x轴有3个交点，所以方程F（x）＝0有3个解，所以B项正确；函数F（x）在（－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减，所以C项错误，D项正确.
【例4】 C 因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（－∞，0）上单调递减，f（3）＝0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（－3）＝0，作出简图，如图所示，当x＞0时，由xf（x）＜0得f（x）＜0，即x＞3，当x＜0时，由xf（x）＜0得f（x）＞0，即x＜－3，当x＝0时，xf（x）＝0不合题意，所以满足不等式xf（x）＜0的x的取值范围是（－∞，－3）∪（3，＋∞），故选C.
跟踪训练
1.AC f（x）＝＝＝1＋，将y＝的图象向右平移1个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，即可得到f（x）＝的图象，如图所示.由图可得A、C正确，故选A、C.
2. 解析：不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1＜x－1.令f（x）＝ax－1，g（x）＝x－1，当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图2所示，由题意知，f（2）≤g（2），即a2－1≤×2－1，解得a≤.综上，a的取值范围是.
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第九节 函数的图象
高中总复习·数学
课标要求
1. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表
法、解析式法）表示函数.
2. 会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解
集的问题.
目 录
CONTENTS
知识·逐点夯实
01.
考点·分类突破
02.
课时·跟踪检测
03.
PART 01
知识·逐点夯实
必备知识 | 课前自修
1. 利用描点法作函数图象的步骤
2. 函数图象的变换
描述 结论
f（a－x）＝f（a＋x）或f（2a－x）＝f
（x） y＝f（x）的图象关于直线
x＝a对称
f（a－x）＝f（b＋x）或f（a＋b－x）
＝f（x）
f（a－x）＋f（a＋x）＝2b或f（2a－
x）＋f（x）＝2b y＝f（x）的图象关于点
（a，b）对称
描述 结论
f（a－x）＋f（c＋x）＝2b或f（a＋c
－x）＋f（x）＝2b
y＝f（x）的图象同时关于直线x＝a，x＝
b对称 f（x）是周期函数，周期T
＝2｜b－a｜
y＝f（x）的图象同时关于点（a，m），
（b，n）对称 f（x）是周期函数，周期T
＝2｜b－a｜
y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称，且
关于点（b，c）对称 f（x）是周期函数，周期T
＝4｜b－a｜
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝f（x）＋1的图象可由y＝f（x）的图象向下平移1个单位长
度得到. （ × ）
（2）函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称. （ × ）
（3）将函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f（－
x－1）的图象. （ × ）
×
×
×
2. 将函数y＝x2的图象向右平移2个单位长度，纵坐标不变，再向下平移1
个单位长度后所得函数的解析式为（ ）
A. y＝（x＋2）2＋1 B. y＝（x－2）2＋1
C. y＝（x－2）2－1 D. y＝（x＋2）2－1
解析： 将函数y＝x2的图象向右平移2个单位长度，纵坐标不变，可得
函数y＝（x－2）2的图象，再将函数y＝（x－2）2的图象向下平移1个单
位长度后得到函数y＝（x－2）2－1的图象.故选C.
√
3. （人A必修一 P85练习1题改编）已知图1中的图象是函数y＝f（x）的
图象，则图2中的图象对应的函数可能是（ ）
A. y＝f（｜x｜） B. y＝｜f（x）｜
C. y＝f（－｜x｜） D. y＝－f（－｜x｜）
√
解析： 因为题图2中的图象是在题图1的基础上，去掉函数y＝f（x）
图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧的图象翻折到y轴右侧得到的，所
以题图2中的图象对应的函数可能是y＝f（－｜x｜）.故选C.
4. 函数y＝f（－2－x）与y＝f（x＋2）的图象关于直线 对
称.
解析：由题意知，－2－x＝x＋2，得x＝－2，所以函数y＝f（－2－x）
与y＝f（x＋2）的图象关于直线x＝－2对称.
5. 若关于x的方程｜x｜＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围
是 .
解析：由题意得a＝｜x｜＋x，令y＝｜x｜＋x＝
其图象如图所示，故要使a＝｜x｜＋x只有一个解，则a＞0.
x＝－2
（0，＋∞）
PART 02
考点·分类突破
精选考点 | 课堂演练
作函数图象（师生共研过关）
作出下列函数的图象：
（1）y＝2x＋1－1；
解： 将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再
将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1所示.
（2）y＝｜lg（x－1）｜.
解： 首先作出y＝lg x的图象，然
后将其向右平移1个单位长度，得到y＝
lg（x－1）的图象，再把所得图象在x
轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所
求函数y＝｜lg（x－1）｜的图象，如
图2所示（实线部分）.
解题技法
作函数图象的两种常用方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本初等函
数时，可根据这些函数的特征直接作出；
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、
翻折、对称得到，可利用图象变换作出.
提醒 （1）画函数的图象时一定要注意定义域；（2）利用图象变换法时要
注意变换顺序.
作出下列函数的图象：
（1）y＝ ；
解： y＝ ＝2＋ ，故函数的图象可由y＝
的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
得到，如图1所示.
（2）y＝（ ）｜x＋2｜.
解： 作出y＝（ ）x的图象，保留y＝（ ）x
的图象中x≥0的部分，加上y＝（ ）x的图象中x＞
0部分关于y轴的对称部分，即得y＝（ ）｜x｜的图
象，再向左平移2个单位长度，即得y＝（ ）｜x＋2｜的图象，如图2所示.
函数图象的识别（师生共研过关）
（1）（2024·全国甲卷理7题）函数y＝－x2＋（ex－e－x） sin x在区
间[－2.8，2.8]的图象大致为（ B ）
√
解析： 由题知函数y＝f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（－
x）＝－（－x）2＋（e－x－ex） sin （－x）＝－x2＋（ex－e－x） sin x＝
f（x），所以函数f（x）为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、
C；f（1）＝－1＋（e－ ） sin 1＞－1＋（e－ ） sin ＝－1＋ － ＞
0，排除D. 故选B.
（2）函数f（x）＝ 的图象如图所示，则下列结论成立的是
（ B ）
A. a＞0，b＞0，c＞0 B. a＜0，b＞0，c＜0
C. a＜0，b＞0，c＞0 D. a＜0，b＜0，c＜0
√
解析： 函数在点P处无意义，由题图可知，点P在y轴右边，所以－
c＞0，则c＜0；f（0）＝ ＞0，则b＞0；由f（x）＝0得ax＋b＝0，
则x＝－ ，根据题图得，－ ＞0，则a＜0.综上，a＜0，b＞0，c＜0.
故选B.
解题技法
1. 抓住函数的性质，定性分析
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象
的上下位置；
（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（3）从函数的周期性，判断图象的循环往复；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2. 抓住函数的特征，定量计算
利用函数的特殊点、特殊值的计算，分析解决问题.
1. （2025·湖南师大附中二模）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则
函数f（x）的解析式可能为（ ）
√
解析： 由题图可知，函数f（x）为偶函数，应排除C；由图象可知，f
（x）的定义域不是全体实数，应排除B；对于D选项，当x＞1时，f
（x）＝－ ，f'（x）＝ ＞0，则f（x）在（1，＋∞）上单
调递增，故排除D. 故选A.
2. 已知函数f（x）＝xln x的图象如图所示，则函数f（1－x）的图象为（ ）
√
解析： 易知函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.由1－x＞0，得x＜
1，所以函数f（1－x）的定义域为（－∞，1），故排除A、C；又当x＝
－1时，f（1－（－1））＝f（2）＝2ln 2＞0，故排除B. 故选D.
函数图象的应用（定向精析突破）
考向1 研究函数的性质
〔多选〕对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝ 若f
（x）＝2－x2，g（x）＝x2，下列关于函数F（x）＝min{f（x），g
（x）}的说法正确的是（ ）
A. 函数F（x）是偶函数
B. 方程F（x）＝0有3个解
C. 函数F（x）在区间[－1，1]上单调递增
D. 函数F（x）有4个单调区间
√
√
√
解析： 根据函数f（x）＝2－x2与g（x）＝x2，画
出函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的图象，如图.
由图象可知，函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的图
象关于y轴对称，所以A项正确；函数F（x）的图象与x
轴有3个交点，所以方程F（x）＝0有3个解，所以B项正确；函数F（x）在（－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减，所以C项错误，D项正确.
解题技法
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图
象研究：
（1）从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；
（2）从图象的对称性，分析函数的奇偶性；
（3）从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.
考向2 探究不等式问题
若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（－∞，0）上单
调递减，f（3）＝0，则满足不等式xf（x）＜0的x的取值范围是（ ）
A. （－3，0）∪（3，＋∞）
B. （－3，0）∪（0，3）
C. （－∞，－3）∪（3，＋∞）
D. （－∞，－3）∪（0，3）
√
解析： 因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f
（x）在（－∞，0）上单调递减，f（3）＝0，所以f
（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（－3）＝0，作
出简图，如图所示，当x＞0时，由xf（x）＜0得f
（x）＜0，即x＞3，当x＜0时，由xf（x）＜0得f
（x）＞0，即x＜－3，当x＝0时，xf（x）＝0不合题意，所以满足不等式xf（x）＜0的x的取值范围是（－∞，－3）∪（3，＋∞），故选C.
解题技法
利用函数图象研究不等式问题的方法
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式
问题转化为两函数图象（图象易得）的上、下关系问题，利用图象法求
解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解.
1. 〔多选〕关于函数f（x）＝ ，下列结论正确的是（ ）
A. f（x）的图象过原点
B. f（x）是奇函数
C. f（x）在区间（1，＋∞）上单调递减
D. f（x）是定义域上的增函数
√
√
解析：AC f（x）＝ ＝ ＝1＋ ，
将y＝ 的图象向右平移1个单位长度，然后再向
上平移1个单位长度，即可得到f（x）＝ 的
图象，如图所示.由图可得A、C正确，故选A、
C.
2. 若关于x的不等式4ax－1＜3x－4（a＞0，且a≠1）对于任意的x＞2恒
成立，则a的取值范围为 .
解析：不等式4ax－1＜3x－4等价于
ax－1＜ x－1.令f（x）＝ax－1，g
（x）＝ x－1，当a＞1时，在同一
坐标系中作出两个函数的图象如图1
所示，由图知不满足条件；当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函
数的图象如图2所示，由题意知，f（2）≤g（2），即a2－1≤ ×2－
1，解得a≤ .综上，a的取值范围是 .
PART 03
课时·跟踪检测
关键能力 | 课后练习
1. 函数y＝－ex的图象（ ）
A. 与y＝ex的图象关于y轴对称
B. 与y＝ex的图象关于坐标原点对称
C. 与y＝e－x的图象关于y轴对称
D. 与y＝e－x的图象关于坐标原点对称
解析： 由点（x，y）关于原点的对称点是（－x，－y），可知D正
确.
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2. 函数g（x）＝x｜x－1｜＋1的单调递减区间为（ ）
C. [1，＋∞）
解析： g（x）＝x｜x－1｜＋1＝ 画出函数图象，如图所示，由图知函数的单调递减区间为 .故选B.
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3. （2025·福建适应性练习卷）函数f（x）＝ x2＋ cos x在[－π，π]上的
图象大致为（ ）
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解析： 由题意知，f（－x）＝ （－x）2＋ cos （－x）＝ x2＋ cos x
＝f（x），所以f（x）为偶函数，排除C、D. 下面只需讨论x∈[0，π]时
的情况，因为f'（x）＝x－ sin x，f″（x）＝1－ cos x≥0，所以f'（x）在
[0，π]上单调递增，又f'（0）＝0，所以f'（x）≥0在[0，π]上恒成立，因
此f（x）在[0，π]上单调递增，排除B，故选A.
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4. 函数g（x）＝f（x－1）－f（1－x）的图象可能是（ ）
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解析： 法一 函数g（x）＝f（x－1）－f（1－x），将x代换成2－
x，则g（2－x）＝f（1－x）－f（x－1）＝－g（x），所以g（2－
x）＋g（x）＝0，则函数g（x）的图象关于点（1，0）对称，故选项
A、B、C错误，选项D正确.故选D.
法二 易知y＝f（x）－f（－x）为奇函数，其图象关于原点对称，而g
（x）＝f（x－1）－f（1－x）的图象是由函数y＝f（x）－f（－x）的
图象向右平移一个单位长度得到的，结合选项可知，选D.
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5. 已知函数f（x）＝｜lg（x＋1）｜，若f（a）＝f（b）（a＜b），
则（ ）
A. （a－1）（b－1）＞1 B. （a－1）（b－1）＝1
C. （a－1）（b－1）＜1 D. 以上选项均有可能
解析： 作出函数f（x）＝｜lg（x＋1）｜的图象，
如图，由题意可知，－lg（a＋1）＝lg（b＋1），且
由图象可知，－1＜a＜0＜b，ab＜0，所以即lg（a＋
1）＋lg（b＋1）＝lg（a＋1）（b＋1）＝0，所以
（a＋1）（b＋1）＝1，即ab＋a＋b＝0，a＋b＝－ab，即（a－1）（b－1）＝ab－a－b＋1＝1＋2ab＜1，故选C.
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6. 〔多选〕（2025·南通期初考试）下列曲线平移后可得到曲线y＝2x的是
（ ）
A. y＝2x＋3 B. y＝2x－3
C. y＝23x
解析： 对于A，曲线y＝2x＋3向右平移3个单位长度可得到曲线y＝
2x，故A正确；对于B，曲线y＝2x－3向上平移3个单位长度可得到曲线y
＝2x，故B正确；对于C，曲线y＝23x横坐标伸长为原来的3倍可得到曲线
y＝2x，故C错误；对于D，曲线y＝ ＝ ＝ 向左平移log23个
单位长度可得到曲线y＝2x，故D正确；故选A、B、D.
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7. 将函数y＝log2（2x＋2）的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个
单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝ .
解析：将函数y＝log2（2x＋2）的图象向下平移1个单位长度，可得函数y
＝log2（2x＋2）－1的图象，再向右平移1个单位长度，可得函数y＝
log2[2（x－1）＋2]－1＝log2（2x）－1的图象，所以g（x）＝log2
（2x）－1＝log2x.
log2x
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8. 函数y＝logax（a＞0，且a≠1）与函数y＝－a－x（a＞0，且a≠1）
图象的对称关系是 .
解析：法一 在同一平面直角坐标系中，分别画出当0＜
a＜1与a＞1时y＝logax（a＞0，且a≠1）和y＝－a－
x（a＞0，且a≠1）的图象如图所示，由图象知，y＝
logax（a＞0，且a≠1）的图象与y＝－a－x（a＞0，
且a≠1）的图象关于直线y＝－x对称.
法二 在y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象上任取一点P（x，y），则点（y，x）在函数y＝ax的图象上，点（－y，x）在函数y＝a－x的图象上，点（－y，－x）在y＝－a－x的图象上，而点（x，y）与（－y，－x）关于直线y＝－x对称.
关于直线y＝－x对称
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法三 因为函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象与y＝ax（a＞0，且
a≠1）的图象关于直线y＝x对称.而y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象与y
＝－a－x（a＞0，且a≠1）的图象关于原点对称，则y＝logax的图象与y
＝－a－x的图象关于直线y＝－x对称.
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9. 已知f（x）＝ 是定义在R上的奇函数.
（1）请画出f（x）的大致图象并在图象上标注零点；
解： 根据题意，列表如下，
x －2 －1 0 1 2
f（x） 0 －1 0 1 0
f（x）的大致图象如图所示，其中有－2，0，2三个零点.
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（2）已知a＞1，若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数
a的取值范围.
解： 由（1）的函数图象可知，要使f（x）在[－1，a－2]上单调递
增，则－1＜a－2≤1，即1＜a≤3，故a的取值范围为（1，3].
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10. （2024·潍坊二模）已知函数f（x）＝ 则f（x）
图象上关于原点对称的点有（ ）
A. 1对 B. 2对
C. 3对 D. 4对
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解析： 作出f（x）的图象，函数y＝（ ）x，
x≥0关于原点对称的图象如图所示.因为函数y＝
（ ）x，x≥0关于原点对称的图象与y＝－｜x2＋
2x｜，x＜0的图象有三个交点，故f（x）图象上关于原点对称的点有3对.故选C.
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11. （情境创新）“家在花园里，城在山水间，半城山色半城湖，美丽惠
州和谐家园……”一首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和
秀美可人的城市环境.如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状
如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由
两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可
能为（ ）
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解析： 依题意，“心形”图形关于y轴对称，所以x轴上方的图象对应
的函数为偶函数，所以函数y＝x 和y＝ 都不满足题
意，故排除选项B、D；当0＜x＜2时，y＝｜x｜ ≤ ＝2，
当且仅当x＝ 时，等号成立，即函数y＝｜x｜ 的最大值为2.又
“心形”图形对应函数的最大值为1，故排除选项A；y＝
的图象过点（0，0），（－2，0），（2，0），且当0＜x＜2时，y＝
＝ ＝ ≤1，当且仅当x＝1时，
等号成立，即函数y＝ 的最大值为1，满足题意，故选C.
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12. 〔多选〕某同学在研究函数f（x）＝ （x∈R）时，给出了下
面几个结论，其中正确的是（ ）
A. f（x）的图象关于点（－1，1）对称
B. f（x）是单调函数
C. f（x）的值域为（－1，1）
D. 函数g（x）＝f（x）－x有且只有一个零点
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解析： 作出y＝f（x）的图象，如图所
示，对于A，f（x）的图象关于点（0，0）对
称，不关于点（－1，1）对称，故A错误；对于
B，f（x）是R上的增函数，故B正确；对于C，由图知，f（x）的值域为（－1，1），故C正确；对于D，令g（x）＝f（x）－x＝0，得x ＝0，解得x＝0，所以函数g（x）＝f（x）－x有且只有一个零点，故D正确.
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13. 设函数f（x）的定义域为R，满足f（x＋1）＝2f（x），且当x∈
（0，1]时，f（x）＝x（x－1）.若对任意x∈（－∞，m]，都有f
（x）≥－ ，则m的取值范围是 .
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解析：因为f（x＋1）＝2f（x），所以f（x）
＝2f（x－1）.因为x∈（0，1]时，f（x）＝
x（x－1）∈ ，所以x∈（1，2]时，
x－1∈（0，1]，f（x）＝2f（x－1）＝
2（x－1）（x－2）∈ ；
所以x∈（2，3]时，x－1∈（1，2]，f（x）＝2f（x－1）＝4（x－2）
（x－3）∈[－1，0].如图，当x∈（2，3]时，由4（x－2）（x－3）＝
－ ，解得x1＝ ，x2＝ .若对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≥－
，则m≤ ，则m的取值范围是 .
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14. （解题路径创新）已知函数f（x）＝
（1）若函数f（x）＝ 在区间（0，2）内恰有两个零点，求实数m的取
值范围；
解： 如图1，当m＝0时，符合题
意；当m＞0时，不符合题意；如图
2，当m＝－1时，不符合题意，当－1
＜m＜0时，符合题意，
所以符合题意的实数m的取值范围是（－1，0].
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（2）若函数f（x）为R上的奇函数，求函数F（x）＝f（x）－ sin x，
x∈[－π，π]的零点个数.
解： 因为函数f（x）为R上的奇函
数，所以f（0）＝0，
从而m＝－1，f（x）的图象如图3.
所以F（x）的零点个数为9.
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15. （情境创新）〔多选〕高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之
一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学
家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号[x]表示不超过x
的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定
义函数f（x）＝x－[x]，则下列命题中正确的是（ ）
A. 函数f（x）的最大值为1
B. 函数f（x）的最小值为0
D. f（x＋1）＝f（x）
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解析： 由题意得：f（x）＝x－[x]＝ 由解
析式可得函数图象如图所示，对于A，
函数f（x）＜1，A错误；对于B，函数f（x）的最
小值为0，B正确；对于C，函数y＝f（x）的图象
与直线y＝ 有无数个交点，C正确；对于D，函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），D正确；故选B、C、D.
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