【高考押题卷】2025年高考数学高频易错题考前冲刺：空间向量基本定理及坐标表示（含解析）

2025年高考数学高频易错考前冲刺：空间向量基本定理及坐标表示
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 安康期末）已知空间向量，则（　　）
A．（5，9，1） B．（﹣3，6，5） C．（﹣2，﹣9，5） D．（2，﹣9，﹣5）
2．（2024秋 站前区校级期末）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（　　）
A．，，两两垂直 B．λ
C．mn D．0
3．（2024秋 嘉兴期末）在空间直角坐标系中，已知（﹣2，2，1），（2，0，﹣1），则2（　　）
A．（﹣2，4，1） B．（6，4，﹣3） C．（﹣6，4，3） D．（2，4，﹣1）
4．（2024秋 丰台区期末）已知向量（1，0，0），（0，﹣1，1），则2（　　）
A．（1，﹣2，2） B．（1，2，﹣2） C．（1，﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣2，2）
5．（2024秋 无锡期末）已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024秋 宁波期末）已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024秋 广东期末）在空间直角坐标系中，已知向量，若，则m＝（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
8．（2024秋 赣州期末）如图，在四面体OABC中，，，，，，则（　　）
A． B．
C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 肇东市校级期末）已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）10．（2024秋 深圳期末）对于两个空间向量，，下列说法正确的是（　　）
A．若（1，2，2），则||＝3
B．若2，则
C．若（1，1，k），（2，﹣1，1），当，时，k＝﹣1
D．若，分别为平面α，β的法向量，当α∥β时，一定有
（多选）11．（2024秋 四川校级期末）以下说法正确的有（　　）
A．若，λ，μ∈R且λ μ≠0，则一定有A，B，C，D四点共面
B．设是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底
C．若，，则
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面CB1D1上
（多选）12．（2024秋 自贡校级期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（　　）
A． B．
C． D．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 遂宁期末）已知向量（1，1，0），（﹣1，0，1），若k与互相垂直，则实数k的值为 　 　．
14．（2024秋 惠州期末）在空间直角坐标系中，已知向量和向量，如果，则向量的坐标可以是：　 　．（注：写出一个具体的坐标即可）
15．（2024秋 宝山区校级期末）已知向量，向量，若，则实数m的值为 　 　．
16．（2024秋 涪城区校级期末）设，，与垂直，则k等于 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 开封期末）如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，．
（1）用，，表示向量；
（2）求||．
18．（2024秋 松江区校级期中）已知空间中的三点P（1，0，0），M（0，1，0），N（0，﹣1，0），，．
（1）当与垂直，求k的值；
（2）求△PMN的面积．
19．（2024秋 驻马店期中）已知空间中三点A（2，﹣1，1），B（1，1，0），C（4，﹣3，3）．设，．
（1）求和；
（2）若与互相垂直，求实数k的值．
20．（2024秋 正定县校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且2，．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：空间向量基本定理及坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 安康期末）已知空间向量，则（　　）
A．（5，9，1） B．（﹣3，6，5） C．（﹣2，﹣9，5） D．（2，﹣9，﹣5）
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】利用空间向量坐标运算求得答案．
【解答】解：由题意可知，．
故选：D．
【点评】本题主要考查空间向量坐标运算，属于基础题．
2．（2024秋 站前区校级期末）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（　　）
A．，，两两垂直 B．λ
C．mn D．0
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据基底的定义以及向量的共面定理可解．
【解答】解：要使，，构成空间的一个基底，则，，不共面，
结合选项可知，只有选项A，，，两两垂直可得它们不共面，可作为基底，
选项B：，能推出与，共面，则B错误，
选项C：满足向量的共面定理，则，，共面，则C错误，
选项D：，则满足向量的共面定理，则，，共面，则D错误．
故选：A．
【点评】本题考查基底的定义以及向量的共面定理，属于基础题．
3．（2024秋 嘉兴期末）在空间直角坐标系中，已知（﹣2，2，1），（2，0，﹣1），则2（　　）
A．（﹣2，4，1） B．（6，4，﹣3） C．（﹣6，4，3） D．（2，4，﹣1）
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算法则，即可求解．
【解答】解：（﹣2，2，1），（2，0，﹣1），
则2（﹣4，4，2）﹣（2，0，﹣1）＝（﹣6，4，3）．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
4．（2024秋 丰台区期末）已知向量（1，0，0），（0，﹣1，1），则2（　　）
A．（1，﹣2，2） B．（1，2，﹣2） C．（1，﹣2，﹣2） D．（﹣1，﹣2，2）
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】结合空间向量的坐标运算法则，即可求解．
【解答】解：向量（1，0，0），（0，﹣1，1），
则2（1，0，0）+（0，﹣2，2）＝（1，﹣2，2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
5．（2024秋 无锡期末）已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可．
【解答】解：由，点N为BC中点，
可得
．
故选：C．
【点评】本题考查空间向量的线性运算，属基础题．
6．（2024秋 宁波期末）已知是空间的一个基底，则下列向量中与向量，能构成空间基底的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据空间向量的共面定理进行判定即可．
【解答】解：选项A，，故不能与向量，构成空间基底；
选项B，，故不能与向量，构成空间基底；
选项C，若，
则有，此方程组无解，故能与向量，构成空间基底；
选项D，，故不能与向量，构成空间基底．
故选：C．
【点评】本题考查空间向量的共面定理，属基础题．
7．（2024秋 广东期末）在空间直角坐标系中，已知向量，若，则m＝（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据空间向量垂直的坐标表示运算求解．
【解答】解：已知向量，
则，
即（﹣3，2，2﹣m） （m，9，3）＝﹣3m+18+6﹣3m＝0，
则m＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了空间向量数量积的坐标运算，属基础题．
8．（2024秋 赣州期末）如图，在四面体OABC中，，，，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据空间向量的线性运算即可求得结论．
【解答】解：由题意，，，，，，
则
．
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的线性运算，属基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 肇东市校级期末）已知，则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的坐标运算求解．
【解答】解：由题意，（10，﹣5，﹣2），（﹣2，1，﹣6）， 24+6﹣8＝22，||6．
故选：ACD．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
（多选）10．（2024秋 深圳期末）对于两个空间向量，，下列说法正确的是（　　）
A．若（1，2，2），则||＝3
B．若2，则
C．若（1，1，k），（2，﹣1，1），当，时，k＝﹣1
D．若，分别为平面α，β的法向量，当α∥β时，一定有
【考点】空间向量线性运算的坐标表示；空间向量及其线性运算．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】结合向量模公式，向量共线的性质，向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：若（1，2，2），则||，故A正确；
2，
则，故B正确；
当，时，
则，解得k＝﹣1，故C正确；
若，分别为平面α，β的法向量，当α∥β时，一定有，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
（多选）11．（2024秋 四川校级期末）以下说法正确的有（　　）
A．若，λ，μ∈R且λ μ≠0，则一定有A，B，C，D四点共面
B．设是空间中的一组基底，则，，也是空间的一组基底
C．若，，则
D．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为1，如图所示建立坐标系，则点在平面CB1D1上
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；空间向量的共线与共面；空间向量的数量积运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】A中，分A，B，C三点共线和三点不共线两种情况讨论，由题意可证得A，B，C，D四点共面，判断出选项A的真假；B中，可得（[）+（）]，判断出B的真假；C中，由题意可得，判断出C的真假；D中，由题意求出平面CB1D1的方程，将点代入平面方程，判断出D的真假．
【解答】解：A中，当与共线时，则A，B，C三点共线，因为λμ，显然D在直线直线AB上，即A，B，C，D共面，
当与不共线时，则，可以做为一组基底，则存在唯一的有序实数对λ，μ，使得λμ成立，
即，，共面，即A，B，C，D四点共面，所以A正确；
B中，（[）+（）]，所以，，不能作为空间的一组基底，所以B不正确；
C中，因为，，所以，
即，两式相加可得 （）＝0，
即 0，所以C正确；
D中，可得C（1，0，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），
可得（0，1，1），（﹣1，0，1），设平面B1CD1的法向量为（x1，y1，z1），
则，即，
令z1＝1，即（1，﹣1，1），
在平面B1CD1上取任意一点P（x，y，z），
则（x﹣1，y，z），
则平面B1CD1的方程为1 （x﹣1）+（﹣1） y+1 z＝0，即x﹣y+z﹣1＝0，
将点代入可得：1＝0，所以点在平在平面上，所以D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查用空间向量的数量积为0来判断向量垂直及平面方程的求法，属于中档题．
（多选）12．（2024秋 自贡校级期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用空间基底的定义以及空间向量共面定理依次判断可得结论．
【解答】解：对于A，向量分别与共线，所以不共面，能构成空间一个基底；
对于B，不存在实数x，y满足，因此不共面，能构成空间一个基底；
对于C，由于，因此这三个向量是共面的，不能构成基底．
对于D，不存在实数x，y满足，因此不共面，能构成空间一个基底．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查空间基底的定义以及空间向量共面定理，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 遂宁期末）已知向量（1，1，0），（﹣1，0，1），若k与互相垂直，则实数k的值为 　2　．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；空间想象．
【答案】2．
【分析】根据空间垂直向量的坐标表示建立关于k的方程，解之即可求解．
【解答】解：向量（1，1，0），（﹣1，0，1），
则，
k与互相垂直，
则，解得k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查空间垂直向量的坐标表示，属于基础题．
14．（2024秋 惠州期末）在空间直角坐标系中，已知向量和向量，如果，则向量的坐标可以是：　（0，1，0）（答案不唯一）　．（注：写出一个具体的坐标即可）
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（0，1，0）（答案不唯一）．
【分析】根据已知条件，结合空间向量的夹角公式，即可求解．
【解答】解：如果，向量，向量，
则，即，
不妨令x＝0，y＝1，则z＝0，
故向量的坐标可以是（0，1，0）．
故答案为：（0，1，0）（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
15．（2024秋 宝山区校级期末）已知向量，向量，若，则实数m的值为 　8　．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】8．
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：向量，向量，，
则2×4﹣m+0＝0，解得m＝8．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查空间向量垂直的性质，属于基础题．
16．（2024秋 涪城区校级期末）设，，与垂直，则k等于 　﹣14　．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】﹣14．
【分析】根据已知条件，结合空间向量垂直的性质，即可求解．
【解答】解：，，
则，
与垂直，
则﹣3（k﹣3）+（﹣2k+1）+2（3k+2）＝0，解得k＝﹣14．
故答案为：﹣14．
【点评】本题主要考查空间向量垂直的性质，是基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 开封期末）如图，已知正四面体OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，记，，．
（1）用，，表示向量；
（2）求||．
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由空间向量的线性运算即可求解；
（2）由向量的模长公式，结合空间向量数量积运算即可求解．
【解答】解：（1）由题意，，，，
且M是棱BC的中点，N是线段OM的中点，
则
；
（2）因为正四面体OABC的棱长为1，
则，，
所以
．
【点评】本题考查空间向量的线性运算及数量积运算，属基础题．
18．（2024秋 松江区校级期中）已知空间中的三点P（1，0，0），M（0，1，0），N（0，﹣1，0），，．
（1）当与垂直，求k的值；
（2）求△PMN的面积．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）k＝±1；
（2）1．
【分析】（1）根据给定重要人物，利用向量的坐标表示，再利用向量模的坐标表示及垂直关系的向量表示列式计算即得．
（2）由（1）求出向量夹角，进而求出三角形面积．
【解答】解：（1）P（1，0，0），M（0，1，0），N（0，﹣1，0），，．
则，
故，
当与垂直时，，
所以k＝±1．
（2）由（1）知，，则，即∠MPN＝90°，
所以△PMN的面积．
【点评】本题主要考查空间向量垂直的性质，属于基础题．
19．（2024秋 驻马店期中）已知空间中三点A（2，﹣1，1），B（1，1，0），C（4，﹣3，3）．设，．
（1）求和；
（2）若与互相垂直，求实数k的值．
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）（﹣5，6，﹣5）；2．
（2）．
【分析】（1）利用空间向量的坐标运算和模的运算，即可求出结果；
（2）利用向量的垂直关系等价于数量积为0，再结合空间向量的坐标运算，即可求出结果．
【解答】解：（1）∵空间中三点A（2，﹣1，1），B（1，1，0），C（4，﹣3，3），
，．
∴，，
∴，
，
∴|2|＝2．
（2）∵，，
∴，
，
与互相垂直，
∴由向量垂直的性质得：，
∴（﹣2k﹣2）（2k﹣1）+（4k+2）（2﹣2k）+（﹣2k﹣2）（2k﹣1）＝0，
整理得，解得．
∴实数k的值为．
【点评】本题考查空间向量的坐标运算、模的运算、向量的垂直关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20．（2024秋 正定县校级期中）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且2，．设，，．
（1）试用，，表示向量；
（2）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
【考点】空间向量基底表示空间向量；异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；综合法；空间角；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）由已知，根据向量的线性运算即可求得；
（2）利用向量的夹角公式求得和夹角的余弦值，即可得异面直线MN与AC的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）由2，
可得
，
由，
可得，
则；
（2）由∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，
可得，，，
则1，
，
则，
则异面直线MN与AC的夹角的余弦值为．
【点评】本题考查利用空间向量求解异面直线所成角，属中档题．
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