【高考押题卷】2025年高考数学高频易错题考前冲刺：空间直角坐标系（含解析）
文档属性
| 名称 | 【高考押题卷】2025年高考数学高频易错题考前冲刺：空间直角坐标系（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 307.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-13 22:15:43 | ||
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文档简介
2025年高考数学高频易错考前冲刺：空间直角坐标系
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 台州期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）在坐标平面xOy内射影的坐标为（ ）
A．（0，1，2） B．（1，0，3） C．（1，2，0） D．（0，0，0）
2．（2024秋 绵阳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，3，﹣1）关于平面xOy的对称点B为（ ）
A．（﹣2，3，﹣1） B．（2，3，1） C．（2，﹣3，1） D．（﹣2，3，1）
3．（2024秋 赣州期末）在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣2），B（﹣1，﹣2，1），则A，B两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024秋 邵阳期末）在空间直角坐标系中，点（2，﹣1，3）关于平面xOz的对称点是（ ）
A．（﹣2，﹣1，﹣3） B．（2，1，﹣3）
C．（﹣2，﹣1，3） D．（2，1，3）
5．（2024秋 玉林期末）已知点B是点A（3，7，﹣4）在Ozx平面上的射影，则|OB|＝（ ）
A．（9，0，16） B．5 C．13 D．25
6．（2024秋 四川期末）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M（﹣4，2，﹣3），点N（﹣1，﹣2，2），则（ ）
A． B． C．7 D．
7．（2024秋 广西期末）已知点M是点N（2，1，1）在坐标平面Oxy内的射影，则（ ）
A． B． C． D．5
8．（2024秋 海淀区期末）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，E，F分别是B1C1，AB的中点，则EF的长是（ ）
A． B． C．4 D．6
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 梅县区校级期中）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ）
A．点P（1，﹣1，0）与点Q（1，1，0）关于z轴对称
B．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于y轴对称
C．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于平面xOz对称
D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
（多选）10．（2024秋 惠阳区校级期中）下列关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P（1，2，3）的说法正确的有（ ）
A．线段OP的中点的坐标为
B．点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）
C．点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，2，﹣3）
D．点P关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，2，﹣3）
（多选）11．（2024秋 四川期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，下列叙述正确的是（ ）
A．点（1，﹣1，0）与点（1，1，0）关于x轴对称
B．点（﹣3，﹣1，6）与点（3，﹣1，6）关于z轴对称
C．点（2，5，7）与点（2，5，﹣7）关于平面xOy对称
D．坐标轴两两确定的平面把空间分为12个部分
（多选）12．（2023秋 重庆期末）已知点A（﹣2，3，4），在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（ ）
A．（0，0，10） B．（0，10，0） C．（0，0，﹣2） D．（0，0，2）
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 丰台区期末）在棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，则|MN|＝ ．
14．（2024秋 海南期末）已知A（﹣2，﹣1，1），B（2，3，3），则线段AB的中点坐标为 ．
15．（2024秋 赤峰期末）已知A（1，2，﹣1），B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则 ．
16．（2024秋 石景山区期末）在空间直角坐标系中，已知点A（1，1，2），B（﹣3，1，﹣2），则线段AB的中点坐标是 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 浙江月考）出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），两点之间的曼哈顿距离d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．
（1）已知点A（1，4），B（3，﹣3），求d（A，B）的值；
（2）记d（B，l）为点B与直线l上一点的曼哈顿距离的最小值．已知点B（1，1），直线l：4x﹣y+2＝0，求d（B，l）；
（3）已知三维空间内定点A（1，1，1），动点P满足d（A，P）＝1，求动点P围成的几何体的表面积．
18．（2024秋 海林市校级月考）在长方体OABC﹣D'A'B'C′中，OA＝3，OC＝4，OD'＝3，A'C′与B'D'交T点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
（1）写出点C，B'，P的坐标；
（2）写出向量，的坐标．
19．（2024秋 忻城县校级月考）已知A，B，C，P为空间内不共面的四点，G为△ABC的重心．
（1）若，求k的值．
（2）若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求．
20．（2024秋 高新区校级月考）一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直径长度．
（1）已知△ABC为直角边为1的等腰直角三角形，其中AB⊥AC，求分别以△ABC三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径；
（2）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和△ACB1外接圆构成的几何系统的区径；
（3）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，求正方形ABCD内切圆和正方形ADD1A1内切圆构成的几何系统的区径．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：空间直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 台州期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）在坐标平面xOy内射影的坐标为（ ）
A．（0，1，2） B．（1，0，3） C．（1，2，0） D．（0，0，0）
【考点】空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】C
【分析】根据坐标平面xOy满足竖坐标为0即可解决．
【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）在坐标平面xOy的射影坐标是（1，2，0）．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题．
2．（2024秋 绵阳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，3，﹣1）关于平面xOy的对称点B为（ ）
A．（﹣2，3，﹣1） B．（2，3，1） C．（2，﹣3，1） D．（﹣2，3，1）
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据关于面xOy对称的点的特征求解即可．
【解答】解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，3，﹣1）关于平面xOy的对称点B为（2，3，1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了空间直角坐标系中点的坐标，属于基础题．
3．（2024秋 赣州期末）在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣2），B（﹣1，﹣2，1），则A，B两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】C
【分析】由空间两点间的距离公式即可求得．
【解答】解：由A（1，﹣1，﹣2），B（﹣1，﹣2，1），
可得．
故选：C．
【点评】本题考查空间两点间的距离公式，属基础题．
4．（2024秋 邵阳期末）在空间直角坐标系中，点（2，﹣1，3）关于平面xOz的对称点是（ ）
A．（﹣2，﹣1，﹣3） B．（2，1，﹣3）
C．（﹣2，﹣1，3） D．（2，1，3）
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计．
【答案】D
【分析】在空间直角坐标系中，点（a，b，c）关于平面xOz的对称点是（a，﹣b，c）．
【解答】解：在空间直角坐标系中，
点（2，﹣1，3）关于平面xOz的对称点是（2，1，3）．
故选：D．
【点评】本题考查空间直角坐标系中一个点关于平面xoz对称点的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2024秋 玉林期末）已知点B是点A（3，7，﹣4）在Ozx平面上的射影，则|OB|＝（ ）
A．（9，0，16） B．5 C．13 D．25
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】B
【分析】确定射影坐标，再由空间两点间距离计算．
【解答】解：点B是点A（3，7，﹣4）在Ozx平面上的射影，
则B（3，0，﹣4），
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间两点之间的距离，属于基础题．
6．（2024秋 四川期末）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M（﹣4，2，﹣3），点N（﹣1，﹣2，2），则（ ）
A． B． C．7 D．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】D
【分析】根据空间两点间的距离公式求解即可．
【解答】解：因为M（﹣4，2，﹣3），N（﹣1，﹣2，2），
所以．
故选：D．
【点评】本题考查空间两点间的距离求法，属基础题．
7．（2024秋 广西期末）已知点M是点N（2，1，1）在坐标平面Oxy内的射影，则（ ）
A． B． C． D．5
【考点】空间中的点在坐标平面内的射影；空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】结合射影的定义，求出点M，再结合向量模公式，即可求解．
【解答】解：点M是点N（2，1，1）在坐标平面Oxy内的射影，
则M（2，1，0），
故，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量模公式，属于基础题．
8．（2024秋 海淀区期末）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，E，F分别是B1C1，AB的中点，则EF的长是（ ）
A． B． C．4 D．6
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】用向量的方法可得的表达式，两边平方可得2的表达式，进而求出EF的值．
【解答】解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，E，F分别是B1C1，AB的中点，
连接B1F，由题意可得B1F|2，
，且 0，，，
可得2222+2 2 2
＝22+42+22+0+0+2|| ||cos24+2×2×2×（）＝20，
所以EF＝||2．
故选：A．
【点评】本题考查空间中两点间的距离的求法及向量的方法求线段的值，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 梅县区校级期中）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ）
A．点P（1，﹣1，0）与点Q（1，1，0）关于z轴对称
B．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于y轴对称
C．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于平面xOz对称
D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】结合空间直角坐标系的概念对选项逐一分析即可．
【解答】解：点P（1，﹣1，0）与点Q（1，1，0）关于x轴对称，故A错误；
点A（﹣3，﹣1，4）与B（3，﹣1，﹣4）关于y轴对称，故B正确；
点A（﹣3，﹣1，4）与B（3，﹣1，﹣4）不关于平面xOz对称，故C错误；
空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查空间点对称的性，属于基础题．
（多选）10．（2024秋 惠阳区校级期中）下列关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P（1，2，3）的说法正确的有（ ）
A．线段OP的中点的坐标为
B．点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）
C．点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，2，﹣3）
D．点P关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，2，﹣3）
【考点】空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标．
【专题】对应思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据空间坐标系中点的对称性的相关性质分别判断即可．
【解答】解：由题意可知线段OP的中点的坐标为，所以A中说法正确；
点P关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3），所以B中说法错误；
点P关于坐标原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），所以C中说法错误；
点P关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，2，﹣3），所以D中说法正确．
故选：AD．
【点评】本题考查空间直角坐标系，属于基础题．
（多选）11．（2024秋 四川期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，下列叙述正确的是（ ）
A．点（1，﹣1，0）与点（1，1，0）关于x轴对称
B．点（﹣3，﹣1，6）与点（3，﹣1，6）关于z轴对称
C．点（2，5，7）与点（2，5，﹣7）关于平面xOy对称
D．坐标轴两两确定的平面把空间分为12个部分
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】整体思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】ABC选项，根据空间直角坐标系内点的坐标特征得到AC正确，B错误；D选项，坐标轴确定的平面把空间分为8个部分．
【解答】解：（1，﹣1，0）与（1，1，0）关于x轴对称，A正确；
（﹣3，﹣1，6）关于z轴的对称点是（3，1，6），B错误；
（2，5，7）与（2，5，﹣7）关于平面xOy对称，C正确；
坐标轴两两确定的平面分空间为8个部分，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查空间中的点的应用，属于基础题．
（多选）12．（2023秋 重庆期末）已知点A（﹣2，3，4），在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（ ）
A．（0，0，10） B．（0，10，0） C．（0，0，﹣2） D．（0，0，2）
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】对应思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】AC
【分析】设点B的坐标为（0，0，c），根据空间两点间距离公式列式求解．
【解答】解：设点B的坐标为（0，0，c），
由空间两点间距离公式可得，
解得：c＝﹣2或10，
所以B点的坐标为（0，0，10）或（0，0，﹣2）．
故选：AC．
【点评】本题考查了空间两点间距离公式，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 丰台区期末）在棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，则|MN|＝ ．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】．
【分析】本题主要利用正四面体的性质，通过构建直角三角形，运用勾股定理来求解线段长度．先取AD中点E，连接ME、NE，把MN置于△MEN中，再利用勾股定理求出|MN|．
【解答】解：因为M是AB中点，E是AD中点，所以，
已知正四面体棱长为2，即|BD|＝2，所以，
同理，N是CD中点，E是AD中点，在△ACD中，NE是△ACD的中位线，
所以，|AC|＝2，则|NE|＝1，
由于正四面体各个面都是正三角形，ME平行于BD，NE平行于AC，
而正四面体中异面直线AC与BD所成角为90°，所以∠MEN＝90°，
在Rt△MEN中，根据勾股定理，所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间中两点之间的距离，属于基础题．
14．（2024秋 海南期末）已知A（﹣2，﹣1，1），B（2，3，3），则线段AB的中点坐标为 （0，1，2） ．
【考点】空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（0，1，2）．
【分析】根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解．
【解答】解：由题意A＝（﹣2，﹣1，1），B＝（2，3，3），由中点坐标公式可得：
线段AB的中点坐标为（0，1，2），
故答案为：（0，1，2）．
【点评】本题考查空间中点坐标的求法，是基础题．
15．（2024秋 赤峰期末）已知A（1，2，﹣1），B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则 （﹣2，0，﹣2） ．
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】（﹣2，0，﹣2）．
【分析】根据已知条件，结合空间对称的性质，以及向量的坐标运算法则，即可求解．
【解答】解：A（1，2，﹣1），B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于y轴的对称点，
则B（1，2，1），C（﹣1，2，﹣1），
故（﹣2，0，﹣2）．
故答案为：（﹣2，0，﹣2）．
【点评】本题主要考查空间对称的性质，以及向量的坐标运算法则，属于基础题．
16．（2024秋 石景山区期末）在空间直角坐标系中，已知点A（1，1，2），B（﹣3，1，﹣2），则线段AB的中点坐标是 （﹣1，1，0） ．
【考点】空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（﹣1，1，0）．
【分析】直接利用中点坐标公式求解即可．
【解答】解：因为点A（1，1，2），B（﹣3，1，﹣2），
所以线段AB的中点坐标是（﹣1，1，0）．
故答案为：（﹣1，1，0）．
【点评】本题主要考查中点坐标公式的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 浙江月考）出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），两点之间的曼哈顿距离d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．
（1）已知点A（1，4），B（3，﹣3），求d（A，B）的值；
（2）记d（B，l）为点B与直线l上一点的曼哈顿距离的最小值．已知点B（1，1），直线l：4x﹣y+2＝0，求d（B，l）；
（3）已知三维空间内定点A（1，1，1），动点P满足d（A，P）＝1，求动点P围成的几何体的表面积．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）9；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可；
（2）设直线4x﹣y+2＝0上任意一点坐标为P（x，y），然后表示d（B，l），分类讨论求d（C，B）的最小值即可；
（3）不妨将A平移到A（0，0，0）处，利用曼哈顿距离定义求得P围成的图形为八面体，即可求解其表面积．
【解答】解：（1）∵A（1，4），B（3，﹣3），
∴d（A，B）＝|1﹣3|+|4﹣（﹣3）|＝9；
（2）设动点P（x，y）为直线l上一点，则y＝4x+2，
∴d（B，l）＝|x﹣1|+|4x+2﹣1|＝|x﹣1|+|4x+1|，
即，
当x≥1时，d（B，l）≥5；
当时，；
当时，；
综上所述，d（B，l）为；
（3）动点P围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形，
其表面积为．
证明如下：
不妨将A平移到A（0，0，0）处，设P（x，y，z），
若d（A，P）＝1，则|x|+|y|+|z|＝1，
当x，y，z≥0时，有x+y+z＝1（0≤x，y，z≤1），
设M1（1，0，0），M2（0，1，0），M3（0，0，1），
则，，
∴，
∴P，M1，M2，M3四点共面，
则当x，y，z≥0时，P在边长为的等边三角形M1M2M3内部（含边界），
同理可知等边三角形内部任意一点Q（x′，y′，z′），均满足x′+y′+z′＝1，
可得满足方程x+y+z＝1（0≤x，y，z≤1）的点P构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界），
由对称性可知，P围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形，
故该几何体表面积．
【点评】本题考查了新概念问题，考查共面向量基本定理及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（2024秋 海林市校级月考）在长方体OABC﹣D'A'B'C′中，OA＝3，OC＝4，OD'＝3，A'C′与B'D'交T点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
（1）写出点C，B'，P的坐标；
（2）写出向量，的坐标．
【考点】空间中的点的坐标；空间向量运算的坐标表示．
【专题】整体思想；综合法；坐标系和参数方程；直观想象．
【答案】（1）点C的坐标为（0，4，0），点B'的坐标为（3，4，3），点P的坐标为（，2，3），（2）（0，0，3），（﹣3，4，0）．
【分析】（1）直接写坐标，
（2）（0，0，3），（0，4，0）﹣（3，0，0）＝（﹣3，4，0）．
【解答】解：（1）点C的坐标为（0，4，0），点B'的坐标为（3，4，3），点P的坐标为（，2，3），
（2）（0，0，3），（0，4，0）﹣（3，0，0）＝（﹣3，4，0）．
【点评】本题考查坐标，向量，属于基础题．
19．（2024秋 忻城县校级月考）已知A，B，C，P为空间内不共面的四点，G为△ABC的重心．
（1）若，求k的值．
（2）若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）3；
（2）．
【分析】（1）结合重心的性质，以及向量的线性运算法则，即可求解；
（2）结合（1）的结论，以及向量的数量积运算，即可求解．
【解答】解：（1）G为△ABC的重心，
则，
故，
，
则k＝3；
（2）向量，，的模长均为2，且两两夹角为，
则，同理可得，，
由（1）可知，，
故．
【点评】本题主要考查空间两点之间距离的求解，属于基础题．
20．（2024秋 高新区校级月考）一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直径长度．
（1）已知△ABC为直角边为1的等腰直角三角形，其中AB⊥AC，求分别以△ABC三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径；
（2）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和△ACB1外接圆构成的几何系统的区径；
（3）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，求正方形ABCD内切圆和正方形ADD1A1内切圆构成的几何系统的区径．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解；新定义类．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）分类讨论几何系统中的两点分别在两圆上时|MN|的值即可求解；
（2）讨论圆O1与球O的位置关系，求出对应的|MN|即可求解；
（3）分类讨论两点分别在两圆上和两点在同一个圆上时|MN|的值即可求解．
【解答】解：（1）如图，若几何系统中的两点分别在两圆上，
不妨设其中一点N在⊙D上，
若另一点M在⊙E上，则，
当M，E，D，N共线时取到等号；
若另一点M在⊙F上，则，
当 M，F，D，N共线时取到等号；
若两点在同一圆上，则最大距离为⊙E直径，即，
综上，该几何系统的区径为 ；
（2）记棱切球的球心为O，即为正方体的中心，
易求得棱切球的半径为，
因为△AB1C为正三角形，记它的外接圆圆心为O1，
得其半径为，又，
则球心O到△AB1C的外接圆上任意一点的距离均为，圆O1与球O的位置关系如图：
若两点分别在球上和圆上，
设点M在球O上，点N在⊙O1 上，则有，，
所以，当M，O，N三点共线，且M，N在O的异侧时取到等号，
若两点同时在球上或圆上，则最大距离为⊙O1的直 径，即，
综上，该几何系统的区径为；
（3）如图以D为原点建立空间直角坐标系，
在xDy平面上，⊙O1的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1；
在xDz平面上，⊙O2的方程为（x﹣1）2+（z﹣1）2＝1，
若两点分别在两圆上，设点M在⊙O1上，点N在⊙O2上，
且M（1+cosα，1+sinα，0），N（1+cosβ，0，1+sinβ），
则|MN|2＝（cosα﹣cosβ）2+（1+sinα）2+（1+sinβ）2
＝4+2（sinα+sinβ﹣cosαcosβ）
（其中φ为辅助角），
即，等号成立当且仅当，
若两点在同一个圆上，则最大距离为⊙O1 的直径，即2．
综上，该几何系统的区径为．
【点评】本题考查新概念、新法则（公式）的应用，考查运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题，属于难题．
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一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 台州期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）在坐标平面xOy内射影的坐标为（ ）
A．（0，1，2） B．（1，0，3） C．（1，2，0） D．（0，0，0）
2．（2024秋 绵阳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，3，﹣1）关于平面xOy的对称点B为（ ）
A．（﹣2，3，﹣1） B．（2，3，1） C．（2，﹣3，1） D．（﹣2，3，1）
3．（2024秋 赣州期末）在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣2），B（﹣1，﹣2，1），则A，B两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024秋 邵阳期末）在空间直角坐标系中，点（2，﹣1，3）关于平面xOz的对称点是（ ）
A．（﹣2，﹣1，﹣3） B．（2，1，﹣3）
C．（﹣2，﹣1，3） D．（2，1，3）
5．（2024秋 玉林期末）已知点B是点A（3，7，﹣4）在Ozx平面上的射影，则|OB|＝（ ）
A．（9，0，16） B．5 C．13 D．25
6．（2024秋 四川期末）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M（﹣4，2，﹣3），点N（﹣1，﹣2，2），则（ ）
A． B． C．7 D．
7．（2024秋 广西期末）已知点M是点N（2，1，1）在坐标平面Oxy内的射影，则（ ）
A． B． C． D．5
8．（2024秋 海淀区期末）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，E，F分别是B1C1，AB的中点，则EF的长是（ ）
A． B． C．4 D．6
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 梅县区校级期中）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ）
A．点P（1，﹣1，0）与点Q（1，1，0）关于z轴对称
B．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于y轴对称
C．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于平面xOz对称
D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
（多选）10．（2024秋 惠阳区校级期中）下列关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P（1，2，3）的说法正确的有（ ）
A．线段OP的中点的坐标为
B．点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）
C．点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，2，﹣3）
D．点P关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，2，﹣3）
（多选）11．（2024秋 四川期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，下列叙述正确的是（ ）
A．点（1，﹣1，0）与点（1，1，0）关于x轴对称
B．点（﹣3，﹣1，6）与点（3，﹣1，6）关于z轴对称
C．点（2，5，7）与点（2，5，﹣7）关于平面xOy对称
D．坐标轴两两确定的平面把空间分为12个部分
（多选）12．（2023秋 重庆期末）已知点A（﹣2，3，4），在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（ ）
A．（0，0，10） B．（0，10，0） C．（0，0，﹣2） D．（0，0，2）
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 丰台区期末）在棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，则|MN|＝ ．
14．（2024秋 海南期末）已知A（﹣2，﹣1，1），B（2，3，3），则线段AB的中点坐标为 ．
15．（2024秋 赤峰期末）已知A（1，2，﹣1），B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则 ．
16．（2024秋 石景山区期末）在空间直角坐标系中，已知点A（1，1，2），B（﹣3，1，﹣2），则线段AB的中点坐标是 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 浙江月考）出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），两点之间的曼哈顿距离d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．
（1）已知点A（1，4），B（3，﹣3），求d（A，B）的值；
（2）记d（B，l）为点B与直线l上一点的曼哈顿距离的最小值．已知点B（1，1），直线l：4x﹣y+2＝0，求d（B，l）；
（3）已知三维空间内定点A（1，1，1），动点P满足d（A，P）＝1，求动点P围成的几何体的表面积．
18．（2024秋 海林市校级月考）在长方体OABC﹣D'A'B'C′中，OA＝3，OC＝4，OD'＝3，A'C′与B'D'交T点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
（1）写出点C，B'，P的坐标；
（2）写出向量，的坐标．
19．（2024秋 忻城县校级月考）已知A，B，C，P为空间内不共面的四点，G为△ABC的重心．
（1）若，求k的值．
（2）若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求．
20．（2024秋 高新区校级月考）一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直径长度．
（1）已知△ABC为直角边为1的等腰直角三角形，其中AB⊥AC，求分别以△ABC三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径；
（2）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和△ACB1外接圆构成的几何系统的区径；
（3）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，求正方形ABCD内切圆和正方形ADD1A1内切圆构成的几何系统的区径．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：空间直角坐标系
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 台州期末）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）在坐标平面xOy内射影的坐标为（ ）
A．（0，1，2） B．（1，0，3） C．（1，2，0） D．（0，0，0）
【考点】空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】C
【分析】根据坐标平面xOy满足竖坐标为0即可解决．
【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，2，3）在坐标平面xOy的射影坐标是（1，2，0）．
故选：C．
【点评】本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题．
2．（2024秋 绵阳期末）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，3，﹣1）关于平面xOy的对称点B为（ ）
A．（﹣2，3，﹣1） B．（2，3，1） C．（2，﹣3，1） D．（﹣2，3，1）
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据关于面xOy对称的点的特征求解即可．
【解答】解：在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（2，3，﹣1）关于平面xOy的对称点B为（2，3，1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了空间直角坐标系中点的坐标，属于基础题．
3．（2024秋 赣州期末）在空间直角坐标系中，A（1，﹣1，﹣2），B（﹣1，﹣2，1），则A，B两点间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】C
【分析】由空间两点间的距离公式即可求得．
【解答】解：由A（1，﹣1，﹣2），B（﹣1，﹣2，1），
可得．
故选：C．
【点评】本题考查空间两点间的距离公式，属基础题．
4．（2024秋 邵阳期末）在空间直角坐标系中，点（2，﹣1，3）关于平面xOz的对称点是（ ）
A．（﹣2，﹣1，﹣3） B．（2，1，﹣3）
C．（﹣2，﹣1，3） D．（2，1，3）
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】计算题；方程思想；定义法；概率与统计．
【答案】D
【分析】在空间直角坐标系中，点（a，b，c）关于平面xOz的对称点是（a，﹣b，c）．
【解答】解：在空间直角坐标系中，
点（2，﹣1，3）关于平面xOz的对称点是（2，1，3）．
故选：D．
【点评】本题考查空间直角坐标系中一个点关于平面xoz对称点的求法，考查空间直角坐标系的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2024秋 玉林期末）已知点B是点A（3，7，﹣4）在Ozx平面上的射影，则|OB|＝（ ）
A．（9，0，16） B．5 C．13 D．25
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】B
【分析】确定射影坐标，再由空间两点间距离计算．
【解答】解：点B是点A（3，7，﹣4）在Ozx平面上的射影，
则B（3，0，﹣4），
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间两点之间的距离，属于基础题．
6．（2024秋 四川期末）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点M（﹣4，2，﹣3），点N（﹣1，﹣2，2），则（ ）
A． B． C．7 D．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】D
【分析】根据空间两点间的距离公式求解即可．
【解答】解：因为M（﹣4，2，﹣3），N（﹣1，﹣2，2），
所以．
故选：D．
【点评】本题考查空间两点间的距离求法，属基础题．
7．（2024秋 广西期末）已知点M是点N（2，1，1）在坐标平面Oxy内的射影，则（ ）
A． B． C． D．5
【考点】空间中的点在坐标平面内的射影；空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】结合射影的定义，求出点M，再结合向量模公式，即可求解．
【解答】解：点M是点N（2，1，1）在坐标平面Oxy内的射影，
则M（2，1，0），
故，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查向量模公式，属于基础题．
8．（2024秋 海淀区期末）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，E，F分别是B1C1，AB的中点，则EF的长是（ ）
A． B． C．4 D．6
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】用向量的方法可得的表达式，两边平方可得2的表达式，进而求出EF的值．
【解答】解：正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，E，F分别是B1C1，AB的中点，
连接B1F，由题意可得B1F|2，
，且 0，，，
可得2222+2 2 2
＝22+42+22+0+0+2|| ||cos24+2×2×2×（）＝20，
所以EF＝||2．
故选：A．
【点评】本题考查空间中两点间的距离的求法及向量的方法求线段的值，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 梅县区校级期中）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（ ）
A．点P（1，﹣1，0）与点Q（1，1，0）关于z轴对称
B．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于y轴对称
C．点A（﹣3，﹣1，4）与点B（3，﹣1，﹣4）关于平面xOz对称
D．空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】BD
【分析】结合空间直角坐标系的概念对选项逐一分析即可．
【解答】解：点P（1，﹣1，0）与点Q（1，1，0）关于x轴对称，故A错误；
点A（﹣3，﹣1，4）与B（3，﹣1，﹣4）关于y轴对称，故B正确；
点A（﹣3，﹣1，4）与B（3，﹣1，﹣4）不关于平面xOz对称，故C错误；
空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查空间点对称的性，属于基础题．
（多选）10．（2024秋 惠阳区校级期中）下列关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P（1，2，3）的说法正确的有（ ）
A．线段OP的中点的坐标为
B．点P关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3）
C．点P关于坐标原点对称的点的坐标为（1，2，﹣3）
D．点P关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，2，﹣3）
【考点】空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标．
【专题】对应思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据空间坐标系中点的对称性的相关性质分别判断即可．
【解答】解：由题意可知线段OP的中点的坐标为，所以A中说法正确；
点P关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2，﹣3），所以B中说法错误；
点P关于坐标原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2，﹣3），所以C中说法错误；
点P关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，2，﹣3），所以D中说法正确．
故选：AD．
【点评】本题考查空间直角坐标系，属于基础题．
（多选）11．（2024秋 四川期中）在空间直角坐标系O﹣xyz中，下列叙述正确的是（ ）
A．点（1，﹣1，0）与点（1，1，0）关于x轴对称
B．点（﹣3，﹣1，6）与点（3，﹣1，6）关于z轴对称
C．点（2，5，7）与点（2，5，﹣7）关于平面xOy对称
D．坐标轴两两确定的平面把空间分为12个部分
【考点】空间中的点的坐标．
【专题】整体思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】ABC选项，根据空间直角坐标系内点的坐标特征得到AC正确，B错误；D选项，坐标轴确定的平面把空间分为8个部分．
【解答】解：（1，﹣1，0）与（1，1，0）关于x轴对称，A正确；
（﹣3，﹣1，6）关于z轴的对称点是（3，1，6），B错误；
（2，5，7）与（2，5，﹣7）关于平面xOy对称，C正确；
坐标轴两两确定的平面分空间为8个部分，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查空间中的点的应用，属于基础题．
（多选）12．（2023秋 重庆期末）已知点A（﹣2，3，4），在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（ ）
A．（0，0，10） B．（0，10，0） C．（0，0，﹣2） D．（0，0，2）
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】对应思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】AC
【分析】设点B的坐标为（0，0，c），根据空间两点间距离公式列式求解．
【解答】解：设点B的坐标为（0，0，c），
由空间两点间距离公式可得，
解得：c＝﹣2或10，
所以B点的坐标为（0，0，10）或（0，0，﹣2）．
故选：AC．
【点评】本题考查了空间两点间距离公式，是基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 丰台区期末）在棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，则|MN|＝ ．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】．
【分析】本题主要利用正四面体的性质，通过构建直角三角形，运用勾股定理来求解线段长度．先取AD中点E，连接ME、NE，把MN置于△MEN中，再利用勾股定理求出|MN|．
【解答】解：因为M是AB中点，E是AD中点，所以，
已知正四面体棱长为2，即|BD|＝2，所以，
同理，N是CD中点，E是AD中点，在△ACD中，NE是△ACD的中位线，
所以，|AC|＝2，则|NE|＝1，
由于正四面体各个面都是正三角形，ME平行于BD，NE平行于AC，
而正四面体中异面直线AC与BD所成角为90°，所以∠MEN＝90°，
在Rt△MEN中，根据勾股定理，所以．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间中两点之间的距离，属于基础题．
14．（2024秋 海南期末）已知A（﹣2，﹣1，1），B（2，3，3），则线段AB的中点坐标为 （0，1，2） ．
【考点】空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（0，1，2）．
【分析】根据条件，利用空间两点中点坐标公式，即可求解．
【解答】解：由题意A＝（﹣2，﹣1，1），B＝（2，3，3），由中点坐标公式可得：
线段AB的中点坐标为（0，1，2），
故答案为：（0，1，2）．
【点评】本题考查空间中点坐标的求法，是基础题．
15．（2024秋 赤峰期末）已知A（1，2，﹣1），B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则 （﹣2，0，﹣2） ．
【考点】关于空间直角坐标系原点坐标轴坐标平面对称点的坐标．
【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】（﹣2，0，﹣2）．
【分析】根据已知条件，结合空间对称的性质，以及向量的坐标运算法则，即可求解．
【解答】解：A（1，2，﹣1），B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于y轴的对称点，
则B（1，2，1），C（﹣1，2，﹣1），
故（﹣2，0，﹣2）．
故答案为：（﹣2，0，﹣2）．
【点评】本题主要考查空间对称的性质，以及向量的坐标运算法则，属于基础题．
16．（2024秋 石景山区期末）在空间直角坐标系中，已知点A（1，1，2），B（﹣3，1，﹣2），则线段AB的中点坐标是 （﹣1，1，0） ．
【考点】空间中两点中点坐标及点关于点对称点坐标．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（﹣1，1，0）．
【分析】直接利用中点坐标公式求解即可．
【解答】解：因为点A（1，1，2），B（﹣3，1，﹣2），
所以线段AB的中点坐标是（﹣1，1，0）．
故答案为：（﹣1，1，0）．
【点评】本题主要考查中点坐标公式的应用，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 浙江月考）出租车几何或曼哈顿距离（ManhattanDistance）是由十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），两点之间的曼哈顿距离d（A，B）＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．
（1）已知点A（1，4），B（3，﹣3），求d（A，B）的值；
（2）记d（B，l）为点B与直线l上一点的曼哈顿距离的最小值．已知点B（1，1），直线l：4x﹣y+2＝0，求d（B，l）；
（3）已知三维空间内定点A（1，1，1），动点P满足d（A，P）＝1，求动点P围成的几何体的表面积．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）9；
（2）；
（3）．
【分析】（1）由曼哈顿距离定义直接计算即可；
（2）设直线4x﹣y+2＝0上任意一点坐标为P（x，y），然后表示d（B，l），分类讨论求d（C，B）的最小值即可；
（3）不妨将A平移到A（0，0，0）处，利用曼哈顿距离定义求得P围成的图形为八面体，即可求解其表面积．
【解答】解：（1）∵A（1，4），B（3，﹣3），
∴d（A，B）＝|1﹣3|+|4﹣（﹣3）|＝9；
（2）设动点P（x，y）为直线l上一点，则y＝4x+2，
∴d（B，l）＝|x﹣1|+|4x+2﹣1|＝|x﹣1|+|4x+1|，
即，
当x≥1时，d（B，l）≥5；
当时，；
当时，；
综上所述，d（B，l）为；
（3）动点P围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形，
其表面积为．
证明如下：
不妨将A平移到A（0，0，0）处，设P（x，y，z），
若d（A，P）＝1，则|x|+|y|+|z|＝1，
当x，y，z≥0时，有x+y+z＝1（0≤x，y，z≤1），
设M1（1，0，0），M2（0，1，0），M3（0，0，1），
则，，
∴，
∴P，M1，M2，M3四点共面，
则当x，y，z≥0时，P在边长为的等边三角形M1M2M3内部（含边界），
同理可知等边三角形内部任意一点Q（x′，y′，z′），均满足x′+y′+z′＝1，
可得满足方程x+y+z＝1（0≤x，y，z≤1）的点P构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界），
由对称性可知，P围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形，
故该几何体表面积．
【点评】本题考查了新概念问题，考查共面向量基本定理及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（2024秋 海林市校级月考）在长方体OABC﹣D'A'B'C′中，OA＝3，OC＝4，OD'＝3，A'C′与B'D'交T点P，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
（1）写出点C，B'，P的坐标；
（2）写出向量，的坐标．
【考点】空间中的点的坐标；空间向量运算的坐标表示．
【专题】整体思想；综合法；坐标系和参数方程；直观想象．
【答案】（1）点C的坐标为（0，4，0），点B'的坐标为（3，4，3），点P的坐标为（，2，3），（2）（0，0，3），（﹣3，4，0）．
【分析】（1）直接写坐标，
（2）（0，0，3），（0，4，0）﹣（3，0，0）＝（﹣3，4，0）．
【解答】解：（1）点C的坐标为（0，4，0），点B'的坐标为（3，4，3），点P的坐标为（，2，3），
（2）（0，0，3），（0，4，0）﹣（3，0，0）＝（﹣3，4，0）．
【点评】本题考查坐标，向量，属于基础题．
19．（2024秋 忻城县校级月考）已知A，B，C，P为空间内不共面的四点，G为△ABC的重心．
（1）若，求k的值．
（2）若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（1）3；
（2）．
【分析】（1）结合重心的性质，以及向量的线性运算法则，即可求解；
（2）结合（1）的结论，以及向量的数量积运算，即可求解．
【解答】解：（1）G为△ABC的重心，
则，
故，
，
则k＝3；
（2）向量，，的模长均为2，且两两夹角为，
则，同理可得，，
由（1）可知，，
故．
【点评】本题主要考查空间两点之间距离的求解，属于基础题．
20．（2024秋 高新区校级月考）一个几何系统的“区径”是指几何系统中的两个点距离的最大值，如圆的区径即为它的直径长度．
（1）已知△ABC为直角边为1的等腰直角三角形，其中AB⊥AC，求分别以△ABC三边为直径的三个圆构成的几何系统的区径；
（2）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，求正方体的棱切球（与各棱相切的球）和△ACB1外接圆构成的几何系统的区径；
（3）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，求正方形ABCD内切圆和正方形ADD1A1内切圆构成的几何系统的区径．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】转化思想；转化法；立体几何；运算求解；新定义类．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）分类讨论几何系统中的两点分别在两圆上时|MN|的值即可求解；
（2）讨论圆O1与球O的位置关系，求出对应的|MN|即可求解；
（3）分类讨论两点分别在两圆上和两点在同一个圆上时|MN|的值即可求解．
【解答】解：（1）如图，若几何系统中的两点分别在两圆上，
不妨设其中一点N在⊙D上，
若另一点M在⊙E上，则，
当M，E，D，N共线时取到等号；
若另一点M在⊙F上，则，
当 M，F，D，N共线时取到等号；
若两点在同一圆上，则最大距离为⊙E直径，即，
综上，该几何系统的区径为 ；
（2）记棱切球的球心为O，即为正方体的中心，
易求得棱切球的半径为，
因为△AB1C为正三角形，记它的外接圆圆心为O1，
得其半径为，又，
则球心O到△AB1C的外接圆上任意一点的距离均为，圆O1与球O的位置关系如图：
若两点分别在球上和圆上，
设点M在球O上，点N在⊙O1 上，则有，，
所以，当M，O，N三点共线，且M，N在O的异侧时取到等号，
若两点同时在球上或圆上，则最大距离为⊙O1的直 径，即，
综上，该几何系统的区径为；
（3）如图以D为原点建立空间直角坐标系，
在xDy平面上，⊙O1的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1；
在xDz平面上，⊙O2的方程为（x﹣1）2+（z﹣1）2＝1，
若两点分别在两圆上，设点M在⊙O1上，点N在⊙O2上，
且M（1+cosα，1+sinα，0），N（1+cosβ，0，1+sinβ），
则|MN|2＝（cosα﹣cosβ）2+（1+sinα）2+（1+sinβ）2
＝4+2（sinα+sinβ﹣cosαcosβ）
（其中φ为辅助角），
即，等号成立当且仅当，
若两点在同一个圆上，则最大距离为⊙O1 的直径，即2．
综上，该几何系统的区径为．
【点评】本题考查新概念、新法则（公式）的应用，考查运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题，属于难题．
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