【高考押题卷】2025年高考数学高频易错题考前冲刺：排列与组合（含解析）
文档属性
| 名称 | 【高考押题卷】2025年高考数学高频易错题考前冲刺：排列与组合（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 168.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-13 22:16:46 | ||
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文档简介
2025年高考数学高频易错考前冲刺：排列与组合
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 天心区校级期末）甲、乙、丙、丁4名同学去A，B，C三个工厂做志愿者，每人只去一个工厂，每个工厂都要有人去．若甲不去A工厂，乙不去B工厂，则不同的分配方式共有（ ）
A．12种 B．17种 C．21种 D．24种
2．（2024秋 长沙县校级期末）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（ ）种．
A．10 B．20 C．30 D．60
3．（2025秋 甘肃校级期中）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ）
A．5760 B．5660 C．5642 D．5472
4．（2024秋 酒泉期末）为了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法有（ ）
A．6种 B．8种 C．9种 D．12种
5．（2024秋 站前区校级期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”．数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．48种 B．96种 C．102种 D．120种
6．（2024秋 站前区校级期末）某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（ ）
A．14种 B．16种 C．18种 D．20种
7．（2024秋 宁德期末）用0、1、2、3这四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数共有（ ）个．
A．4 B．10 C．12 D．24
8．（2024秋 武汉期末）某校举办中学生运动会，某班的甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别报名参加跳远、跳高、铅球、跑步4个项目，每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．60种 B．120种 C．180种 D．240种
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 长沙县校级期末）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（ ）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为60
B．恰有2人选一个地方的方法总数为15
C．恰有1人选泰山的概率是
D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
（多选）10．（2024秋 酒泉期末）若，则m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（多选）11．（2024秋 宁德期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
D．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
（多选）12．（2024秋 甘肃期末）A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A．若A，B不相邻，有72种排法
B．若A，B不相邻，有48种排法
C．若A，B相邻，有48种排法
D．若A，B相邻，有24种排法
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 平和县校级期末）从甲、乙、丙等6人中选择3人去成都出差，则甲被选中，而乙没有被选中的概率为 ．
14．（2025 永州二模）用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同．我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式．那么不同的上色模式共有 种．
15．（2024秋 南阳期末）若，则n＝ ．
16．（2024秋 黑龙江期末）2025年“第九届亚冬会”即将在哈尔滨举办．现需要分配4名志愿者对2种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配1人，则不同的分配方案种数为 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 皇姑区期末）从A，B，C等8人中选出5人排成一排．
（1）A必须在内，有多少种排法？
（2）A，B都在内，且A排在B前面，有多少种排法？
（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？
（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
18．（2024秋 宝山区校级期末）建平中学在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个同学从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分．
（1）求学生甲最终获得5分的不同的抽法种数；
（2）求学生乙最终获得7分的概率．
19．（2024秋 秦州区校级期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅．他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏．支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻；
（2）2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧；
（3）2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生．
20．（2024秋 凉州区校级期末）（1）从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加4×400米接力比赛，问有多少种参赛方案？
（2）从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，问有多少种选法？
（3）4名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，问有多少种参赛方案？
2025年高考数学高频易错考前冲刺：排列与组合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 天心区校级期末）甲、乙、丙、丁4名同学去A，B，C三个工厂做志愿者，每人只去一个工厂，每个工厂都要有人去．若甲不去A工厂，乙不去B工厂，则不同的分配方式共有（ ）
A．12种 B．17种 C．21种 D．24种
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】根据给定条件，按甲去B，C两个敬老院进行分类讨论，结合排列组合列式求解．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①若甲去B工厂，
其中当B工厂有两人去时，分配方式有种；
当B工厂只有甲去时，分配方式有种；
②若甲去C工厂，
其中乙去A工厂，分配方式有种；
当乙也去C工厂，分配方式有种，
所以不同的分配方式共有种．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中档题．
2．（2024秋 长沙县校级期末）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（ ）种．
A．10 B．20 C．30 D．60
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，可分甲乙相邻有，甲乙不相邻两类情况，从而可解．
【解答】解：根据题意，可分为两类：①甲乙不相邻有种方法，②甲乙相邻有种方法；
由分类计数原理得，共有10+20＝30种不同的排法．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
3．（2025秋 甘肃校级期中）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ）
A．5760 B．5660 C．5642 D．5472
【考点】部分元素相邻的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】D
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．
【解答】解：一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，
则不同方式的排列种数为5760﹣288＝5472．
故选：D．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属基础题．
4．（2024秋 酒泉期末）为了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法有（ ）
A．6种 B．8种 C．9种 D．12种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】A
【分析】先分组，再分配即可．
【解答】解：由题意，将3人分成2组，其中一组2人，有种，
再分配到两所学校，有种，
故共有种安排方法．
故选：A．
【点评】本题考查了排列组合的简单计数问题，属于基础题．
5．（2024秋 站前区校级期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”．数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．48种 B．96种 C．102种 D．120种
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】设图中的六个区域分别为A，B，C，D，E，F，按照A，E是否同色，分两类，再结合分步乘法计数原理运算求解．
【解答】解：根据题意，如图，设图中的六个区域分别为A，B，C，D，E，F，
分2种情况讨论：
①A，E不同色，先给B，C涂色，有，再根据A，E是否用余下那种颜色分两种情况，
A，E不用第三种颜色，即A用C的颜色，E用B的颜色，D有种，F有种，则有种涂法；
A，E用第三种颜色，即A用第三种颜色，E用B的颜色，D有种，F有种，
或E用第三种颜色，A用C的颜色，则有种涂法，
此时有种涂色方法，
②A，E同色，先给B，C涂色，有，则A，E只能用第三种颜色，D有种，F有种，
此时有种涂色方法；
综上，不同的涂色方法有72+24＝96种．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
6．（2024秋 站前区校级期末）某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（ ）
A．14种 B．16种 C．18种 D．20种
【考点】排列组合的综合应用；简单排列问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】A
【分析】根据全部情况去掉两名均为男生的情况即可求解．
【解答】解：根据题意，从5人中选出2人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种选法，
其中都是男生的选法有种，
故至少有1名女同学被选中的不同安排方法有20﹣6＝14种，
故选：A．
【点评】本题考查排列组合的应用，注意间接法的应用，属于基础题．
7．（2024秋 宁德期末）用0、1、2、3这四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数共有（ ）个．
A．4 B．10 C．12 D．24
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解．
【解答】解：用0、1、2、3这四个数字组成无重复数字的四位数，
当个位数字为0时，偶数共有6个；
当个位数字为2时，偶数共有4个，
即偶数共有6+4＝10个．
故选：B．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题．
8．（2024秋 武汉期末）某校举办中学生运动会，某班的甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别报名参加跳远、跳高、铅球、跑步4个项目，每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．60种 B．120种 C．180种 D．240种
【考点】从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论．
【解答】解：满足条件的报名方法可分为两类：
第一类：甲单独参加某项比赛，
先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有3种，
再将余下4人，安排到与下的三个项目，
由于每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，故满足条件的报名方法有，
所以甲单独参加某项比赛的报名方法有3×36＝108种，
第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法，
再安排余下三人，有种方法，
所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有12×6＝72种，
所以满足条件的不同的报名方法共有72+108＝180种方法．
故选：C．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 长沙县校级期末）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（ ）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为60
B．恰有2人选一个地方的方法总数为15
C．恰有1人选泰山的概率是
D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】由排列及排列数的计算即可判断A；由分步计数乘法原理及组合即可判断B；由古典概型概率公式即可判断C；由对立事件的概率即可判断D．
【解答】解：小明与其父母共3人计划在假期出游，每人在东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山中选一个地方，
对于A，3人选择的地点均不同的方法总数为，
故A正确；
对于B，恰有2人选一个地方的方法总数为，
故B错误；
对于C，恰有1人选泰山的方法总数为，
又所有的方法数为53＝125，
所以恰有1人选泰山的概率是，
故C正确；
对于D，父母都不选择去泰山的概率为，
所以小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率，
故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了古典概型概率公式，属中档题．
（多选）10．（2024秋 酒泉期末）若，则m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】组合及组合数公式．
【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用组合数的计算即可求解．
【解答】解：因为，
所以m+1＝2m﹣3或m+1+2m﹣3＝13，解得m＝4或5．
故选：BC．
【点评】本题主要考查组合数公式，属于基础题．
（多选）11．（2024秋 宁德期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
D．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解析：A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故A正确；
B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故B正确；
C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故C错误；
D．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有种，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
（多选）12．（2024秋 甘肃期末）A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A．若A，B不相邻，有72种排法
B．若A，B不相邻，有48种排法
C．若A，B相邻，有48种排法
D．若A，B相邻，有24种排法
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据题意，由插空法求得A，B不相邻时的排法总数判断选项AB；由捆绑法求得A，B相邻时的排法总数判断选项CD，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，A，B，C，D，E五个人并排站在一起，
若A，B不相邻，需要先让C，D，E自由排列，再让A，B去插空即可，
则方法总数为种，故A正确，B错误；
若A，B相邻，则先将A，B“捆绑”在一起，视为一个整体，与C，D，E自由排列即可，
则方法总数为（种），故C正确；D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 平和县校级期末）从甲、乙、丙等6人中选择3人去成都出差，则甲被选中，而乙没有被选中的概率为 ．
【考点】简单组合问题；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意得到共有种情况，甲被选中，而乙没有被选中共有种情况，再利用古典概型公式计算即可．
【解答】解：根据题意，在甲、乙、丙等6人中选择3人去成都出差，共有种选法，
若甲被选中，而乙没有被选中，需要在除甲乙之外的4人中，再选出2人即可，
有种选法，
所以甲被选中，而乙没有被选中的概率P．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．
14．（2025 永州二模）用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同．我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式．那么不同的上色模式共有 6 种．
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合染色问题求解．
【解答】解：先将红、橙、黄、绿四种颜色正四面体模具A﹣BCD上色，
有种不同的上色模式，
又如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式．
那么不同的上色模式共有种．
故答案为：6．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了染色问题，属中档题．
15．（2024秋 南阳期末）若，则n＝ 2 ．
【考点】组合及组合数公式．
【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据已知条件，结合组合式的运算性质，即可求解．
【解答】解：若，
则3n+8＝4n+2或3n+8+4n+2＝24，解得n＝6或n＝2，
当n＝6时，3n+8＞24，不符合题意，
当n＝2时，符合题意．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查组合式的公式，属于基础题．
16．（2024秋 黑龙江期末）2025年“第九届亚冬会”即将在哈尔滨举办．现需要分配4名志愿者对2种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配1人，则不同的分配方案种数为 14 ．
【考点】从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】14．
【分析】先将4名学生分为2组，然后再分配到2种不同体育运动进行宣讲，根据分步乘法计数原理可求结果．
【解答】解：4名学生志愿者分为2组，共有两种情况：
①一组3人，另一组1人，共有种；
②一组2人，另一组2人，共有种，
所以共有4+3＝7种分法，
则不同的分配方案种数为种．
故答案为：14．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 皇姑区期末）从A，B，C等8人中选出5人排成一排．
（1）A必须在内，有多少种排法？
（2）A，B都在内，且A排在B前面，有多少种排法？
（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？
（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）4200；
（2）1200；
（3）240；
（4）4440．
【分析】（1）先选后排，利用分步乘法计数原理求解；
（2）先选后排，利用分步乘法计数原理求解；
（3）利用插空法和捆绑法求解；
（4）利用分类加法计数原理，结合排列组合知识求解．
【解答】解：（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排列有种不同的排法，
故由分步乘法计数原理可知共有种不同排法；
（2）因A，B都在内，所以只需从余下6人中选3人有种不同结果，A，B都定序，
由分步乘法计数原理可得共有种不同排法；
（3）因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法，
由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，
再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有 种不同排法，
由乘法原理可得共有种不同排法；
（4）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；
第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；
第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法；
第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，
若A不排中间时，有种排法，共有种排法，
综上，共有4440种不同排法．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了计数原理的应用，属于中档题．
18．（2024秋 宝山区校级期末）建平中学在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个同学从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分．
（1）求学生甲最终获得5分的不同的抽法种数；
（2）求学生乙最终获得7分的概率．
【考点】排列组合的综合应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）60种；
（2）6种．
【分析】（1）由题意可知，需抽中1张“龙”卡和3张其他卡，再结合组合数公式求解；
（2）由题意可知，需要抽中3张“龙”卡和1张其他卡，再结合组合数公式求解．
【解答】解：（1）学生甲最终获得5分，则需抽中1张“龙”卡和3张其他卡，则不同的抽法种数为60种；
（2）学生乙最终获得7分，则需要抽中3张“龙”卡和1张其他卡，不同的抽法种数为6种．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
19．（2024秋 秦州区校级期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅．他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏．支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻；
（2）2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧；
（3）2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生．
【考点】部分元素不相邻的排列问题；部分元素相邻的排列问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）16．
（2）384．
（3）96．
【分析】（1）利用分步计数原理即可；
（2）利用插空法来排列即可；
（3）利用捆绑法来排列即可．
【解答】解：（1）这6名师生站成一排进行合影，2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻，
先排2名指导老师，有种站法，
再排2名女大学生，有种站法，
最后排剩余的2名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法．
（2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法，
再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法，
最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法，
所以2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧，共有种不同的站法．
（3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法，
再排2名指导老师，有种站法，
最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体，
利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法，
所以2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生，共有种不同的站法．
【点评】本题考查排列、组合的实际应用，是中档题．
20．（2024秋 凉州区校级期末）（1）从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加4×400米接力比赛，问有多少种参赛方案？
（2）从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，问有多少种选法？
（3）4名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，问有多少种参赛方案？
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；直观想象．
【答案】（1）360；
（2）15；
（3）42．
【分析】（1）结合排列、组合知识，先选后排即可；
（2）结合组合知识，只从6名同学中选4名同学即可；
（3）先从跳高、跳远、短跑三个项目中选二个项目，再讨论4名同学参加这二个项目的参赛方案即可．
【解答】解：（1）从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加4×400米接力比赛，有种参赛方案；
（2）从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，有种选法；
（3）4名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，有（24﹣2）＝42种参赛方案．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了运算能力，属基础题．
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一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 天心区校级期末）甲、乙、丙、丁4名同学去A，B，C三个工厂做志愿者，每人只去一个工厂，每个工厂都要有人去．若甲不去A工厂，乙不去B工厂，则不同的分配方式共有（ ）
A．12种 B．17种 C．21种 D．24种
2．（2024秋 长沙县校级期末）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（ ）种．
A．10 B．20 C．30 D．60
3．（2025秋 甘肃校级期中）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ）
A．5760 B．5660 C．5642 D．5472
4．（2024秋 酒泉期末）为了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法有（ ）
A．6种 B．8种 C．9种 D．12种
5．（2024秋 站前区校级期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”．数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．48种 B．96种 C．102种 D．120种
6．（2024秋 站前区校级期末）某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（ ）
A．14种 B．16种 C．18种 D．20种
7．（2024秋 宁德期末）用0、1、2、3这四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数共有（ ）个．
A．4 B．10 C．12 D．24
8．（2024秋 武汉期末）某校举办中学生运动会，某班的甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别报名参加跳远、跳高、铅球、跑步4个项目，每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．60种 B．120种 C．180种 D．240种
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 长沙县校级期末）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（ ）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为60
B．恰有2人选一个地方的方法总数为15
C．恰有1人选泰山的概率是
D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
（多选）10．（2024秋 酒泉期末）若，则m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（多选）11．（2024秋 宁德期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
D．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
（多选）12．（2024秋 甘肃期末）A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A．若A，B不相邻，有72种排法
B．若A，B不相邻，有48种排法
C．若A，B相邻，有48种排法
D．若A，B相邻，有24种排法
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 平和县校级期末）从甲、乙、丙等6人中选择3人去成都出差，则甲被选中，而乙没有被选中的概率为 ．
14．（2025 永州二模）用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同．我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式．那么不同的上色模式共有 种．
15．（2024秋 南阳期末）若，则n＝ ．
16．（2024秋 黑龙江期末）2025年“第九届亚冬会”即将在哈尔滨举办．现需要分配4名志愿者对2种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配1人，则不同的分配方案种数为 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 皇姑区期末）从A，B，C等8人中选出5人排成一排．
（1）A必须在内，有多少种排法？
（2）A，B都在内，且A排在B前面，有多少种排法？
（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？
（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
18．（2024秋 宝山区校级期末）建平中学在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个同学从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分．
（1）求学生甲最终获得5分的不同的抽法种数；
（2）求学生乙最终获得7分的概率．
19．（2024秋 秦州区校级期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅．他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏．支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻；
（2）2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧；
（3）2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生．
20．（2024秋 凉州区校级期末）（1）从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加4×400米接力比赛，问有多少种参赛方案？
（2）从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，问有多少种选法？
（3）4名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，问有多少种参赛方案？
2025年高考数学高频易错考前冲刺：排列与组合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 天心区校级期末）甲、乙、丙、丁4名同学去A，B，C三个工厂做志愿者，每人只去一个工厂，每个工厂都要有人去．若甲不去A工厂，乙不去B工厂，则不同的分配方式共有（ ）
A．12种 B．17种 C．21种 D．24种
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】根据给定条件，按甲去B，C两个敬老院进行分类讨论，结合排列组合列式求解．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①若甲去B工厂，
其中当B工厂有两人去时，分配方式有种；
当B工厂只有甲去时，分配方式有种；
②若甲去C工厂，
其中乙去A工厂，分配方式有种；
当乙也去C工厂，分配方式有种，
所以不同的分配方式共有种．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中档题．
2．（2024秋 长沙县校级期末）现有4个同学站成一排，将甲、乙2个同学加入排列，保持原来4个同学顺序不变，不同的方法共有（ ）种．
A．10 B．20 C．30 D．60
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】对应思想；定义法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，可分甲乙相邻有，甲乙不相邻两类情况，从而可解．
【解答】解：根据题意，可分为两类：①甲乙不相邻有种方法，②甲乙相邻有种方法；
由分类计数原理得，共有10+20＝30种不同的排法．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
3．（2025秋 甘肃校级期中）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（ ）
A．5760 B．5660 C．5642 D．5472
【考点】部分元素相邻的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】D
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分步乘法计数原理求解．
【解答】解：一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，
则不同方式的排列种数为5760﹣288＝5472．
故选：D．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属基础题．
4．（2024秋 酒泉期末）为了解双减政策的执行情况，某地教育主管部门安排甲、乙、丙三个人到两所学校进行调研，每个学校至少安排一人，则不同的安排方法有（ ）
A．6种 B．8种 C．9种 D．12种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】A
【分析】先分组，再分配即可．
【解答】解：由题意，将3人分成2组，其中一组2人，有种，
再分配到两所学校，有种，
故共有种安排方法．
故选：A．
【点评】本题考查了排列组合的简单计数问题，属于基础题．
5．（2024秋 站前区校级期末）《九章算术》第一章“方田”问题二十五、二十六指出了三角形田面积算法：“半广以乘正从”．数学社团制作板报向全校师生介绍这一结论，给证明图形的六个区域涂色，有三种颜色可用，要求有相邻边的区域颜色不同，则不同的涂色方法有（ ）
A．48种 B．96种 C．102种 D．120种
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】设图中的六个区域分别为A，B，C，D，E，F，按照A，E是否同色，分两类，再结合分步乘法计数原理运算求解．
【解答】解：根据题意，如图，设图中的六个区域分别为A，B，C，D，E，F，
分2种情况讨论：
①A，E不同色，先给B，C涂色，有，再根据A，E是否用余下那种颜色分两种情况，
A，E不用第三种颜色，即A用C的颜色，E用B的颜色，D有种，F有种，则有种涂法；
A，E用第三种颜色，即A用第三种颜色，E用B的颜色，D有种，F有种，
或E用第三种颜色，A用C的颜色，则有种涂法，
此时有种涂色方法，
②A，E同色，先给B，C涂色，有，则A，E只能用第三种颜色，D有种，F有种，
此时有种涂色方法；
综上，不同的涂色方法有72+24＝96种．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
6．（2024秋 站前区校级期末）某校要从校广播站3名男同学和2名女同学中选出两人，分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，则至少有1名女同学被选中的不同安排方法有（ ）
A．14种 B．16种 C．18种 D．20种
【考点】排列组合的综合应用；简单排列问题．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】A
【分析】根据全部情况去掉两名均为男生的情况即可求解．
【解答】解：根据题意，从5人中选出2人分别做校史馆的参观路线导引员和校史讲解员，共有种选法，
其中都是男生的选法有种，
故至少有1名女同学被选中的不同安排方法有20﹣6＝14种，
故选：A．
【点评】本题考查排列组合的应用，注意间接法的应用，属于基础题．
7．（2024秋 宁德期末）用0、1、2、3这四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数共有（ ）个．
A．4 B．10 C．12 D．24
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】B
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理求解．
【解答】解：用0、1、2、3这四个数字组成无重复数字的四位数，
当个位数字为0时，偶数共有6个；
当个位数字为2时，偶数共有4个，
即偶数共有6+4＝10个．
故选：B．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理，属基础题．
8．（2024秋 武汉期末）某校举办中学生运动会，某班的甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别报名参加跳远、跳高、铅球、跑步4个项目，每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法共有（ ）
A．60种 B．120种 C．180种 D．240种
【考点】从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】C
【分析】在甲单独参加某项比赛条件下，结合分堆问题的处理方法及分步乘法计数原理求满足条件的方法数，再在甲不单独参加某项比赛条件下，由分步乘法计数原理及排列知识求满足条件的方法数，最后利用分类加法原理求结论．
【解答】解：满足条件的报名方法可分为两类：
第一类：甲单独参加某项比赛，
先安排甲，由于甲不能参加跳远，故甲的安排方法有3种，
再将余下4人，安排到与下的三个项目，
由于每名同学只能报1个项目，每个项目至少有1名同学报名，故满足条件的报名方法有，
所以甲单独参加某项比赛的报名方法有3×36＝108种，
第二类：甲与其他一人一起参加某项比赛，先选一人与甲一起，再将两人安排至某一项目，有种方法，
再安排余下三人，有种方法，
所以甲不单独参加某项比赛的报名方法有12×6＝72种，
所以满足条件的不同的报名方法共有72+108＝180种方法．
故选：C．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 长沙县校级期末）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3人计划在假期出游，每人选一个地方，则（ ）
A．3人选择的地点均不同的方法总数为60
B．恰有2人选一个地方的方法总数为15
C．恰有1人选泰山的概率是
D．若小明已选择去泰山，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题；古典概型及其概率计算公式．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】由排列及排列数的计算即可判断A；由分步计数乘法原理及组合即可判断B；由古典概型概率公式即可判断C；由对立事件的概率即可判断D．
【解答】解：小明与其父母共3人计划在假期出游，每人在东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山中选一个地方，
对于A，3人选择的地点均不同的方法总数为，
故A正确；
对于B，恰有2人选一个地方的方法总数为，
故B错误；
对于C，恰有1人选泰山的方法总数为，
又所有的方法数为53＝125，
所以恰有1人选泰山的概率是，
故C正确；
对于D，父母都不选择去泰山的概率为，
所以小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率，
故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了古典概型概率公式，属中档题．
（多选）10．（2024秋 酒泉期末）若，则m的值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】组合及组合数公式．
【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解．
【答案】BC
【分析】利用组合数的计算即可求解．
【解答】解：因为，
所以m+1＝2m﹣3或m+1+2m﹣3＝13，解得m＝4或5．
故选：BC．
【点评】本题主要考查组合数公式，属于基础题．
（多选）11．（2024秋 宁德期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种
B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种
C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种
D．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】解析：A．如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故A正确；
B．如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故B正确；
C．如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故C错误；
D．如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有种，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
（多选）12．（2024秋 甘肃期末）A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ）
A．若A，B不相邻，有72种排法
B．若A，B不相邻，有48种排法
C．若A，B相邻，有48种排法
D．若A，B相邻，有24种排法
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据题意，由插空法求得A，B不相邻时的排法总数判断选项AB；由捆绑法求得A，B相邻时的排法总数判断选项CD，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，A，B，C，D，E五个人并排站在一起，
若A，B不相邻，需要先让C，D，E自由排列，再让A，B去插空即可，
则方法总数为种，故A正确，B错误；
若A，B相邻，则先将A，B“捆绑”在一起，视为一个整体，与C，D，E自由排列即可，
则方法总数为（种），故C正确；D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 平和县校级期末）从甲、乙、丙等6人中选择3人去成都出差，则甲被选中，而乙没有被选中的概率为 ．
【考点】简单组合问题；古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】．
【分析】根据题意得到共有种情况，甲被选中，而乙没有被选中共有种情况，再利用古典概型公式计算即可．
【解答】解：根据题意，在甲、乙、丙等6人中选择3人去成都出差，共有种选法，
若甲被选中，而乙没有被选中，需要在除甲乙之外的4人中，再选出2人即可，
有种选法，
所以甲被选中，而乙没有被选中的概率P．
故答案为：．
【点评】本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．
14．（2025 永州二模）用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求每个正四面体四个面颜色各不相同．我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式．那么不同的上色模式共有 6 种．
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合染色问题求解．
【解答】解：先将红、橙、黄、绿四种颜色正四面体模具A﹣BCD上色，
有种不同的上色模式，
又如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式．
那么不同的上色模式共有种．
故答案为：6．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了染色问题，属中档题．
15．（2024秋 南阳期末）若，则n＝ 2 ．
【考点】组合及组合数公式．
【专题】转化思想；转化法；排列组合；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据已知条件，结合组合式的运算性质，即可求解．
【解答】解：若，
则3n+8＝4n+2或3n+8+4n+2＝24，解得n＝6或n＝2，
当n＝6时，3n+8＞24，不符合题意，
当n＝2时，符合题意．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查组合式的公式，属于基础题．
16．（2024秋 黑龙江期末）2025年“第九届亚冬会”即将在哈尔滨举办．现需要分配4名志愿者对2种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配1人，则不同的分配方案种数为 14 ．
【考点】从不同类别人员物品中进行挑选的组合问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】14．
【分析】先将4名学生分为2组，然后再分配到2种不同体育运动进行宣讲，根据分步乘法计数原理可求结果．
【解答】解：4名学生志愿者分为2组，共有两种情况：
①一组3人，另一组1人，共有种；
②一组2人，另一组2人，共有种，
所以共有4+3＝7种分法，
则不同的分配方案种数为种．
故答案为：14．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法及分步乘法计数原理，属中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 皇姑区期末）从A，B，C等8人中选出5人排成一排．
（1）A必须在内，有多少种排法？
（2）A，B都在内，且A排在B前面，有多少种排法？
（3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，都多少种排法？
（4）A不允许站排头和排尾，B不允许站在中间（第三位），有多少种排法？
【考点】部分位置的元素有限制的排列问题．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）4200；
（2）1200；
（3）240；
（4）4440．
【分析】（1）先选后排，利用分步乘法计数原理求解；
（2）先选后排，利用分步乘法计数原理求解；
（3）利用插空法和捆绑法求解；
（4）利用分类加法计数原理，结合排列组合知识求解．
【解答】解：（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排列有种不同的排法，
故由分步乘法计数原理可知共有种不同排法；
（2）因A，B都在内，所以只需从余下6人中选3人有种不同结果，A，B都定序，
由分步乘法计数原理可得共有种不同排法；
（3）因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，A，B必须相邻，有种不同排法，
由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，
再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3个空位中有 种不同排法，
由乘法原理可得共有种不同排法；
（4）分四类：第一类：所选的5人无A、B，共有种排法；
第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法；
第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法；
第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法，
若A不排中间时，有种排法，共有种排法，
综上，共有4440种不同排法．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了计数原理的应用，属于中档题．
18．（2024秋 宝山区校级期末）建平中学在迎新春活动中进行抽卡活动，不透明的卡箱中共有“福”“迎”“春”卡各两张，“龙”卡三张．每个同学从卡箱中随机抽取4张卡片，其中抽到“龙”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分．
（1）求学生甲最终获得5分的不同的抽法种数；
（2）求学生乙最终获得7分的概率．
【考点】排列组合的综合应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解．
【答案】（1）60种；
（2）6种．
【分析】（1）由题意可知，需抽中1张“龙”卡和3张其他卡，再结合组合数公式求解；
（2）由题意可知，需要抽中3张“龙”卡和1张其他卡，再结合组合数公式求解．
【解答】解：（1）学生甲最终获得5分，则需抽中1张“龙”卡和3张其他卡，则不同的抽法种数为60种；
（2）学生乙最终获得7分，则需要抽中3张“龙”卡和1张其他卡，不同的抽法种数为6种．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
19．（2024秋 秦州区校级期末）在2名指导老师的带领下，4名大学生（男生2名，女生2名）志愿者深入乡村，开启了支教之旅．他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏．支教结束后，现让这6名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
（1）2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻；
（2）2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧；
（3）2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生．
【考点】部分元素不相邻的排列问题；部分元素相邻的排列问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；运算求解．
【答案】（1）16．
（2）384．
（3）96．
【分析】（1）利用分步计数原理即可；
（2）利用插空法来排列即可；
（3）利用捆绑法来排列即可．
【解答】解：（1）这6名师生站成一排进行合影，2名指导老师相邻且站正中间，2名女大学生相邻，
先排2名指导老师，有种站法，
再排2名女大学生，有种站法，
最后排剩余的2名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法．
（2）先排2名指导老师和2名女大学生，有种站法，
再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法，
最后继续用插空法，排剩余的1名男大学生，有种站法，
所以2名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧，共有种不同的站法．
（3）先选1名女大学生和1名男大学生站2名指导老师中间，有种站法，
再排2名指导老师，有种站法，
最后将选中的1名女大学生，1名男大学生及2名指导老师视为一个整体，
利用捆绑法与剩余的2名大学生全排列，有种站法，
所以2名指导老师之间恰有1名女大学生和1名男大学生，共有种不同的站法．
【点评】本题考查排列、组合的实际应用，是中档题．
20．（2024秋 凉州区校级期末）（1）从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加4×400米接力比赛，问有多少种参赛方案？
（2）从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，问有多少种选法？
（3）4名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，问有多少种参赛方案？
【考点】排列组合的综合应用．
【专题】整体思想；综合法；排列组合；直观想象．
【答案】（1）360；
（2）15；
（3）42．
【分析】（1）结合排列、组合知识，先选后排即可；
（2）结合组合知识，只从6名同学中选4名同学即可；
（3）先从跳高、跳远、短跑三个项目中选二个项目，再讨论4名同学参加这二个项目的参赛方案即可．
【解答】解：（1）从6名同学中选4名同学组成一个代表队，参加4×400米接力比赛，有种参赛方案；
（2）从6名同学中选4名同学参加场外啦啦队，有种选法；
（3）4名同学每人可从跳高、跳远、短跑三个项目中，任选一项参加比赛，若恰有一项比赛无人参加，有（24﹣2）＝42种参赛方案．
【点评】本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了运算能力，属基础题．
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