【高考押题卷】2025年高考数学高频易错题考前冲刺：平面向量及其应用（含解析）
文档属性
| 名称 | 【高考押题卷】2025年高考数学高频易错题考前冲刺：平面向量及其应用（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 165.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-05-13 22:17:10 | ||
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文档简介
2025年高考数学高频易错考前冲刺：平面向量及其应用
一．选择题（共8小题）
1．（2025 淮北一模）已知点A（2，0），B（4，0），P是直线y＝x上的动点，B在直线AP上的投影为Q，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
2．（2024秋 广东期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝6，，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A． B． C．6 D．12
3．（2024秋 越城区校级期末）已知向量，若∥，则x＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2024秋 湖南期末）已知向量，，且∥，则实数λ＝（ ）
A．﹣5 B．﹣10 C．5 D．10
5．（2024秋 温州期末）在三角形ABC中，内角A，B，C满足，则角C的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024秋 贵港期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝4，c＝6，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024秋 顺义区期末）已知O（0，0），B（2，0），若直线tx﹣y+t＝0上存在点P，使得，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025 永州二模）已知非零向量，满足（） （）＝0，且||＝3||，则与的关系是（ ）
A．垂直 B．共线 C．夹角为 D．夹角为
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 辽宁期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（2025 邯郸模拟）已知向量（x﹣1，x﹣2），（x﹣2，2），则（ ）
A．“x＝﹣1”是“⊥”的必要不充分条件
B．“x＝2”是“⊥”的充分不必要条件
C．“x＝3”是“∥”的充分不必要条件
D．“x＝﹣3”是“∥”的必要不充分条件
（多选）11．（2025 厦门模拟）已知平面向量（2，sinθ），（1，cosθ），则（ ）
A．，不可能垂直
B．，不可能共线
C．||不可能为5
D．若，则在方向上的投影向量为2
（多选）12．（2025 大庆模拟）设是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．在方向上的投影向量的模为
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 白银期末）已知向量，，若，则 ．
14．（2024秋 包头期末）在△ABC中，若sin2A+sin2B+sinAsinB＝sin2C，且AB＝2，则△ABC面积的最大值为 ．
15．（2024秋 道里区校级期末）已知向量，的夹角为，且||＝1，||，则|2|＝ ．
16．（2024秋 天津期末）已知平行四边形ABCD的面积为，，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且，则λ＝ ，||的最小值为 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 昌平区期末）已知A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（k，2）．
（Ⅰ）若向量与共线，求实数k的值；
（Ⅱ）若k＝4，存在点D，使得A，B，C，D四点按逆时针方向排列并依次连接构成平行四边形，求点D的坐标及||．
18．（2024秋 阜阳期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（b+c）（sinC﹣sinB）＝a（sinC﹣sinA）．
（1）求角B的大小；
（2）若为AC的中点，且BD＝3，求△ABC的周长．
19．（2024秋 青岛期末）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2＝c（a+c）．
（1）证明：B＝2C；
（2）求的最小值．
20．（2024秋 五华区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，点D满足，点E满足，点F是AC边上的中点，设，．
（1）用，表示；
（2）若△ABC的边长为2，试求与夹角的余弦值．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：平面向量及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 淮北一模）已知点A（2，0），B（4，0），P是直线y＝x上的动点，B在直线AP上的投影为Q，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数的定义与平面向量数量积的定义，推导出 ，然后设P（a，a），根据平面向量数量积的坐标表示，将 表示为关于a的表达式，结合二次函数的性质求出 的最小值，进而可得答案．
【解答】解：因为BQ⊥AP，所以cos∠BPQ，
可得 || ||cos∠BPQ＝|| || ．
根据点P在直线y＝x上，设P（a，a），可得（2﹣a，﹣a），（4﹣a，﹣a），
所以 （2﹣a）（4﹣a）+（﹣a） （﹣a）＝2a2﹣6a+8，
由二次函数的性质，可知：当a时， 有最小值，等于268．
所以的最小值．
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、锐角三角函数的定义、二次函数的最值求法等知识，属于中档题．
2．（2024秋 广东期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝6，，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A． B． C．6 D．12
【考点】正弦定理与三角形的外接圆．
【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】A
【分析】直接利用正弦定理求解即可．
【解答】解：设△ABC外接圆的半径为R，
由正弦定理知，，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查利用正弦定理解三角形，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3．（2024秋 越城区校级期末）已知向量，若∥，则x＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由向量共线的坐标运算求解．
【解答】解：，，，
则8x＝﹣6×2，解得．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．
4．（2024秋 湖南期末）已知向量，，且∥，则实数λ＝（ ）
A．﹣5 B．﹣10 C．5 D．10
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量加减法的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由已知条件可求得，再根据向量平行的条件，即可求得λ的值．
【解答】解：向量，，
则，
因为∥，
所以，解得λ＝5．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
5．（2024秋 温州期末）在三角形ABC中，内角A，B，C满足，则角C的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】解三角形．
【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换公式可得cos（A+C）＝2cosBcosC，据此可求角C的值．
【解答】解：因为，所以，
所以cosAcosC﹣sinAsinC＝2cosBcosC，所以cos（A+C）＝2cosBcosC，
所以﹣cosB＝2cosBcosC，由题可得cosB≠0，所以，
因为C为三角形的内角，所以．
故选：C．
【点评】本题考查三角恒等变换的应用，属于基础题．
6．（2024秋 贵港期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝4，c＝6，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】余弦定理．
【专题】转化思想；转化法；解三角形；运算求解．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，三角函数的同角公式，三角形面积公式，即可求解．
【解答】解：a＝5，b＝4，c＝6，
则，
C为三角形ABC的内角，
则sinC，
故△ABC的面积为．
故选：A．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
7．（2024秋 顺义区期末）已知O（0，0），B（2，0），若直线tx﹣y+t＝0上存在点P，使得，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】设P（x，y），根据建立关于x、y的方程，然后根据直线与圆有公共点建立关于t的不等式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：设P（x，y），则（﹣x，﹣y），（2﹣x，﹣y），
由，可得﹣x（2﹣x）+（﹣y） （﹣y）＝0，整理得（x﹣1）2+y2＝1，
所以点P在以C（1，0）为圆心，半径r＝1的圆上．
因为点P直线tx﹣y+t＝0上，所以圆（x﹣1）2+y2＝1与直线tx﹣y+t＝0有公共点，
点C（1，0）到直线tx﹣y+t＝0的距离d≤r，即1，解得t，即t∈[，]．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的坐标表示、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
8．（2025 永州二模）已知非零向量，满足（） （）＝0，且||＝3||，则与的关系是（ ）
A．垂直 B．共线 C．夹角为 D．夹角为
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】设与的夹角为θ，由已知条件，进行数量积运算，可求得cosθ＝1，从而得出结论．
【解答】解：设与的夹角为θ，
由（） （）＝0，
可得，又||＝3||，
则有，则，
因此θ＝0，即与共线．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 辽宁期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】用平面向量的基底表示平面向量．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】结合坐标运算，根据平面向量的基底定义逐个选项判断即可．
【解答】解：要使平面中两个向量作为基底，
必须满足是非零向量，且不共线，故A不能作为基底；
对于B，由，可得B不能作为基底；
对于D，由，可得D不能作为基底；
对于C，两向量不存在倍数关系，所以C能作为基底．
故选：ABD．
【点评】本题考查平面向量基底的概念及判定，属基础题．
（多选）10．（2025 邯郸模拟）已知向量（x﹣1，x﹣2），（x﹣2，2），则（ ）
A．“x＝﹣1”是“⊥”的必要不充分条件
B．“x＝2”是“⊥”的充分不必要条件
C．“x＝3”是“∥”的充分不必要条件
D．“x＝﹣3”是“∥”的必要不充分条件
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；充要条件的判断．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；简易逻辑；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据两个向量平行、垂直的条件，列式求出相应的x的值，然后利用充要条件的概念对各个选项加以判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：向量（x﹣1，x﹣2），（x﹣2，2），
若，则（x﹣1）（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，解得x＝﹣1或2．
因此，“x＝﹣1”是“⊥”的充分不必要条件，
且“x＝2”是“⊥”的充分不必要条件，可知A项不正确且B项正确．
若，则2（x﹣1）＝（x﹣2）2，解得x，
因此，“x＝3”是“∥”的充分不必要条件，
且“x＝﹣3”是“∥”的既不充分也不必要条件，可知C项正确且D项不正确．
故选：BC．
【点评】本题主要考查两个向量平行与垂直的条件、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
（多选）11．（2025 厦门模拟）已知平面向量（2，sinθ），（1，cosθ），则（ ）
A．，不可能垂直
B．，不可能共线
C．||不可能为5
D．若，则在方向上的投影向量为2
【考点】平面向量的投影向量；平面向量的数量积运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】可求出，然后可判断A的正误；
tanθ＝2时，与共线，得出B错误；
可求出的坐标，进而求出是否可以等于5，从而得出C的正误；
根据投影向量的计算公式即可判断D的正误．
【解答】解：A．∵0，∴不可能垂直，A正确；
B．tanθ＝2时，，此时与共线，B错误；
C.，
∴，即不可能为5，C正确；
D.时，，则在方向上的投影向量为：，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了向量共线和垂直的充要条件，向量坐标的加法运算，投影向量的计算公式，是基础题．
（多选）12．（2025 大庆模拟）设是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．在方向上的投影向量的模为
【考点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据向量垂直与数量积的关系可判定A，C；根据向量平行的概念可判定B；根据投影向量的概念可判定D．
【解答】解：由题意，是两个非零向量，
选项A，若，则，故A正确；
选项B，若，则与的方向相同或者相反，
但模长不一定相等，故不一定成立，故B错误；
选项C，若，则，
则有，即，故C正确；
选项D，由投影向量的概念，
可得在方向上的投影向量的模为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查平面向量的垂直、平行的性质及投影的概念，属基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 白银期末）已知向量，，若，则 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由向量垂直的性质列方程求λ，利用向量的模的坐标表示求，再由向量夹角公式求结论．
【解答】解：因为，向量，，
所以，得λ＝4．
因为，，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，属于基础题．
14．（2024秋 包头期末）在△ABC中，若sin2A+sin2B+sinAsinB＝sin2C，且AB＝2，则△ABC面积的最大值为 ．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形．
【答案】．
【分析】由正、余弦定理可求得，再由基本基本不等式求得，最后由三角形的面积公式即可求得．
【解答】解：设△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，
由正弦定理及sin2A+sin2B+sinAsinB＝sin2C，得a2+b2+ab＝c2，
由余弦定理有：，
又因为0＜C＜π，所以，
又因为c＝2，a2+b2+ab＝c2，所以a2+b2+ab＝4，
又a2+b2≥2ab，可得，
所以，当且仅当a＝b时取得等号，
所以△ABC 面积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查正余弦定理的应用和三角形的面积公式，属于基础题．
15．（2024秋 道里区校级期末）已知向量，的夹角为，且||＝1，||，则|2|＝ ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】先算出，然后根据数量积的运算性质求出（）2，结合向量模的公式算出答案．
【解答】解：根据题意，可得|| ||cos1，
所以（）2＝4||2+4||2＝4×12+4（）2＝13，
可得|2|＝ ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、向量的模的公式等知识，属于基础题．
16．（2024秋 天津期末）已知平行四边形ABCD的面积为，，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且，则λ＝ ，||的最小值为 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；不等式；运算求解．
【答案】；．
【分析】设t，根据平行四边形的性质、向量的线性运算法则，推导出t（1）λ，结合平面向量基本定理算出λ的值；根据平行四边形的面积公式，算出 20，可得 10，然后根据向量数量积的运算性质与基本不等式，求出||2的最小值，进而可得||的最小值．
【解答】解：设t，t∈[0，1]，结合，可得t（）＝t．
所以（t）＝t（1），
因为，所以，解得λ．
根据S平行四边形ABCD sin，解得 20，所以 cos10．
由（），可得||2（||2+||2+2 ）（||2+||2﹣20），
因为||2+||2≥2|| ||＝40，
所以||2（40﹣20），当且仅当||＝||时，取等号．
因此，当||＝||＝2时，||2有最小值，可得||的最小值为．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查平面向量基本定理、平面向量数量积的定义与运算性质、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 昌平区期末）已知A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（k，2）．
（Ⅰ）若向量与共线，求实数k的值；
（Ⅱ）若k＝4，存在点D，使得A，B，C，D四点按逆时针方向排列并依次连接构成平行四边形，求点D的坐标及||．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）k＝15；
（Ⅱ）D（0，1），||．
【分析】（Ⅰ）求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得关于k的方程，解可得答案；
（Ⅱ）设D（x，y），由平行四边形的性质和中点坐标公式可得，解可得x、y的值，可得D的坐标，进而求出的坐标，计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（k，2），
则（4，1），（k+1，4），
若向量与共线，则有k+1＝4×4＝16，解可得k＝15，
故k＝15；
（Ⅱ）根据题意，若k＝4，则C（4，2），设D（x，y），
由平行四边形的性质，AC的中点就是BD的中点，
则有，解可得，即D的坐标为（0，1），
（﹣3，2），故||．
【点评】本题考查向量的坐标计算，涉及向量平行的坐标表示以及向量模的计算，属于基础题．
18．（2024秋 阜阳期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（b+c）（sinC﹣sinB）＝a（sinC﹣sinA）．
（1）求角B的大小；
（2）若为AC的中点，且BD＝3，求△ABC的周长．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可根据余弦定理求解；
（2）根据向量的模长公式，结合余弦定理即可求解．
【解答】解：（1）因为（b+c）（sinC﹣sinB）＝a（sinC﹣sinA），
所以由正弦定理得a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理得a2+c2﹣b2＝2accosB，
解得cosB，
又0＜B＜π，
所以；
（2）D为线段AC的中点，b＝2，B，且BD＝3，
所以2，所以4222+2 22+2|| ||cosB，
即4×32＝c2+a2+2ac，
整理可得a2+c2+ac＝36，①
在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，
即a2+c2﹣ac＝12，②
①②两式联立可得ac＝12，a2+c2＝24，即（a+c）2﹣2ac＝24，
可得a+c4，
从而△ABC的周长为．
【点评】本题考查余弦定理，正弦定理及用向量的方法表示中线，三角形的周长的求法，属于中档题．
19．（2024秋 青岛期末）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2＝c（a+c）．
（1）证明：B＝2C；
（2）求的最小值．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）证明见解答；（2）．
【分析】（1）由已知条件结合余弦定理和正弦定理进行边角互化，即可得证；
（2）由（1）中结论结合三角恒等变换公式化简，再利用基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）证明：由b2＝c（a+c）及余弦定理得：b2＝c2+ac＝c2+a2﹣2accosB，
所以a2﹣ac﹣2accosB＝0，所以a﹣2ccosB＝c，
由正弦定理得：sinA﹣2sinCcosB＝sinC，所以sin（B+C）﹣2sinCcosB＝sinC，
所以sin（B﹣C）＝sinC，
又因为B，C∈（0，π），所以B﹣C＝C或B﹣C+C＝π （舍去），所以B＝2C；
（2）解：由（1）知，B＝2C，所以A＝π﹣3C，
所以
，
因为0＜2C＜π，所以0，所以cosC∈（0，1），
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、基本不等式，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养，属于中档题．
20．（2024秋 五华区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，点D满足，点E满足，点F是AC边上的中点，设，．
（1）用，表示；
（2）若△ABC的边长为2，试求与夹角的余弦值．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；平面向量的线性运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由平面向量的线性运算即可求得；
（2）由平面向量的线性运算将用，表示，再由向量的夹角公式计算即可．
【解答】解：（1）因为点E满足，点F是AC边上的中点，
所以；
（2）因为点D满足，
所以，
因为等边△ABC的边长为2，所以，
所以，
，
，
所以．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，数量积与夹角，属于中档题．
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一．选择题（共8小题）
1．（2025 淮北一模）已知点A（2，0），B（4，0），P是直线y＝x上的动点，B在直线AP上的投影为Q，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
2．（2024秋 广东期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝6，，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A． B． C．6 D．12
3．（2024秋 越城区校级期末）已知向量，若∥，则x＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2024秋 湖南期末）已知向量，，且∥，则实数λ＝（ ）
A．﹣5 B．﹣10 C．5 D．10
5．（2024秋 温州期末）在三角形ABC中，内角A，B，C满足，则角C的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024秋 贵港期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝4，c＝6，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024秋 顺义区期末）已知O（0，0），B（2，0），若直线tx﹣y+t＝0上存在点P，使得，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025 永州二模）已知非零向量，满足（） （）＝0，且||＝3||，则与的关系是（ ）
A．垂直 B．共线 C．夹角为 D．夹角为
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 辽宁期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）10．（2025 邯郸模拟）已知向量（x﹣1，x﹣2），（x﹣2，2），则（ ）
A．“x＝﹣1”是“⊥”的必要不充分条件
B．“x＝2”是“⊥”的充分不必要条件
C．“x＝3”是“∥”的充分不必要条件
D．“x＝﹣3”是“∥”的必要不充分条件
（多选）11．（2025 厦门模拟）已知平面向量（2，sinθ），（1，cosθ），则（ ）
A．，不可能垂直
B．，不可能共线
C．||不可能为5
D．若，则在方向上的投影向量为2
（多选）12．（2025 大庆模拟）设是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．在方向上的投影向量的模为
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 白银期末）已知向量，，若，则 ．
14．（2024秋 包头期末）在△ABC中，若sin2A+sin2B+sinAsinB＝sin2C，且AB＝2，则△ABC面积的最大值为 ．
15．（2024秋 道里区校级期末）已知向量，的夹角为，且||＝1，||，则|2|＝ ．
16．（2024秋 天津期末）已知平行四边形ABCD的面积为，，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且，则λ＝ ，||的最小值为 ．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 昌平区期末）已知A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（k，2）．
（Ⅰ）若向量与共线，求实数k的值；
（Ⅱ）若k＝4，存在点D，使得A，B，C，D四点按逆时针方向排列并依次连接构成平行四边形，求点D的坐标及||．
18．（2024秋 阜阳期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（b+c）（sinC﹣sinB）＝a（sinC﹣sinA）．
（1）求角B的大小；
（2）若为AC的中点，且BD＝3，求△ABC的周长．
19．（2024秋 青岛期末）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2＝c（a+c）．
（1）证明：B＝2C；
（2）求的最小值．
20．（2024秋 五华区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，点D满足，点E满足，点F是AC边上的中点，设，．
（1）用，表示；
（2）若△ABC的边长为2，试求与夹角的余弦值．
2025年高考数学高频易错考前冲刺：平面向量及其应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 淮北一模）已知点A（2，0），B（4，0），P是直线y＝x上的动点，B在直线AP上的投影为Q，则的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据锐角三角函数的定义与平面向量数量积的定义，推导出 ，然后设P（a，a），根据平面向量数量积的坐标表示，将 表示为关于a的表达式，结合二次函数的性质求出 的最小值，进而可得答案．
【解答】解：因为BQ⊥AP，所以cos∠BPQ，
可得 || ||cos∠BPQ＝|| || ．
根据点P在直线y＝x上，设P（a，a），可得（2﹣a，﹣a），（4﹣a，﹣a），
所以 （2﹣a）（4﹣a）+（﹣a） （﹣a）＝2a2﹣6a+8，
由二次函数的性质，可知：当a时， 有最小值，等于268．
所以的最小值．
故选：B．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、锐角三角函数的定义、二次函数的最值求法等知识，属于中档题．
2．（2024秋 广东期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝6，，则△ABC外接圆的半径为（ ）
A． B． C．6 D．12
【考点】正弦定理与三角形的外接圆．
【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】A
【分析】直接利用正弦定理求解即可．
【解答】解：设△ABC外接圆的半径为R，
由正弦定理知，，
所以．
故选：A．
【点评】本题考查利用正弦定理解三角形，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3．（2024秋 越城区校级期末）已知向量，若∥，则x＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由向量共线的坐标运算求解．
【解答】解：，，，
则8x＝﹣6×2，解得．
故选：D．
【点评】本题主要考查平面向量共线的性质，属于基础题．
4．（2024秋 湖南期末）已知向量，，且∥，则实数λ＝（ ）
A．﹣5 B．﹣10 C．5 D．10
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量加减法的坐标运算．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由已知条件可求得，再根据向量平行的条件，即可求得λ的值．
【解答】解：向量，，
则，
因为∥，
所以，解得λ＝5．
故选：C．
【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
5．（2024秋 温州期末）在三角形ABC中，内角A，B，C满足，则角C的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】解三角形．
【专题】方程思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换公式可得cos（A+C）＝2cosBcosC，据此可求角C的值．
【解答】解：因为，所以，
所以cosAcosC﹣sinAsinC＝2cosBcosC，所以cos（A+C）＝2cosBcosC，
所以﹣cosB＝2cosBcosC，由题可得cosB≠0，所以，
因为C为三角形的内角，所以．
故选：C．
【点评】本题考查三角恒等变换的应用，属于基础题．
6．（2024秋 贵港期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝5，b＝4，c＝6，则△ABC的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】余弦定理．
【专题】转化思想；转化法；解三角形；运算求解．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合余弦定理，三角函数的同角公式，三角形面积公式，即可求解．
【解答】解：a＝5，b＝4，c＝6，
则，
C为三角形ABC的内角，
则sinC，
故△ABC的面积为．
故选：A．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
7．（2024秋 顺义区期末）已知O（0，0），B（2，0），若直线tx﹣y+t＝0上存在点P，使得，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】设P（x，y），根据建立关于x、y的方程，然后根据直线与圆有公共点建立关于t的不等式，解之即可得到本题的答案．
【解答】解：设P（x，y），则（﹣x，﹣y），（2﹣x，﹣y），
由，可得﹣x（2﹣x）+（﹣y） （﹣y）＝0，整理得（x﹣1）2+y2＝1，
所以点P在以C（1，0）为圆心，半径r＝1的圆上．
因为点P直线tx﹣y+t＝0上，所以圆（x﹣1）2+y2＝1与直线tx﹣y+t＝0有公共点，
点C（1，0）到直线tx﹣y+t＝0的距离d≤r，即1，解得t，即t∈[，]．
故选：A．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的坐标表示、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
8．（2025 永州二模）已知非零向量，满足（） （）＝0，且||＝3||，则与的关系是（ ）
A．垂直 B．共线 C．夹角为 D．夹角为
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】设与的夹角为θ，由已知条件，进行数量积运算，可求得cosθ＝1，从而得出结论．
【解答】解：设与的夹角为θ，
由（） （）＝0，
可得，又||＝3||，
则有，则，
因此θ＝0，即与共线．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2024秋 辽宁期末）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】用平面向量的基底表示平面向量．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】结合坐标运算，根据平面向量的基底定义逐个选项判断即可．
【解答】解：要使平面中两个向量作为基底，
必须满足是非零向量，且不共线，故A不能作为基底；
对于B，由，可得B不能作为基底；
对于D，由，可得D不能作为基底；
对于C，两向量不存在倍数关系，所以C能作为基底．
故选：ABD．
【点评】本题考查平面向量基底的概念及判定，属基础题．
（多选）10．（2025 邯郸模拟）已知向量（x﹣1，x﹣2），（x﹣2，2），则（ ）
A．“x＝﹣1”是“⊥”的必要不充分条件
B．“x＝2”是“⊥”的充分不必要条件
C．“x＝3”是“∥”的充分不必要条件
D．“x＝﹣3”是“∥”的必要不充分条件
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；充要条件的判断．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；简易逻辑；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据两个向量平行、垂直的条件，列式求出相应的x的值，然后利用充要条件的概念对各个选项加以判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：向量（x﹣1，x﹣2），（x﹣2，2），
若，则（x﹣1）（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，解得x＝﹣1或2．
因此，“x＝﹣1”是“⊥”的充分不必要条件，
且“x＝2”是“⊥”的充分不必要条件，可知A项不正确且B项正确．
若，则2（x﹣1）＝（x﹣2）2，解得x，
因此，“x＝3”是“∥”的充分不必要条件，
且“x＝﹣3”是“∥”的既不充分也不必要条件，可知C项正确且D项不正确．
故选：BC．
【点评】本题主要考查两个向量平行与垂直的条件、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
（多选）11．（2025 厦门模拟）已知平面向量（2，sinθ），（1，cosθ），则（ ）
A．，不可能垂直
B．，不可能共线
C．||不可能为5
D．若，则在方向上的投影向量为2
【考点】平面向量的投影向量；平面向量的数量积运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】可求出，然后可判断A的正误；
tanθ＝2时，与共线，得出B错误；
可求出的坐标，进而求出是否可以等于5，从而得出C的正误；
根据投影向量的计算公式即可判断D的正误．
【解答】解：A．∵0，∴不可能垂直，A正确；
B．tanθ＝2时，，此时与共线，B错误；
C.，
∴，即不可能为5，C正确；
D.时，，则在方向上的投影向量为：，D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了向量共线和垂直的充要条件，向量坐标的加法运算，投影向量的计算公式，是基础题．
（多选）12．（2025 大庆模拟）设是两个非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．在方向上的投影向量的模为
【考点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量．
【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据向量垂直与数量积的关系可判定A，C；根据向量平行的概念可判定B；根据投影向量的概念可判定D．
【解答】解：由题意，是两个非零向量，
选项A，若，则，故A正确；
选项B，若，则与的方向相同或者相反，
但模长不一定相等，故不一定成立，故B错误；
选项C，若，则，
则有，即，故C正确；
选项D，由投影向量的概念，
可得在方向上的投影向量的模为，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查平面向量的垂直、平行的性质及投影的概念，属基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2024秋 白银期末）已知向量，，若，则 ．
【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由向量垂直的性质列方程求λ，利用向量的模的坐标表示求，再由向量夹角公式求结论．
【解答】解：因为，向量，，
所以，得λ＝4．
因为，，，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量垂直的性质，以及向量的夹角公式，属于基础题．
14．（2024秋 包头期末）在△ABC中，若sin2A+sin2B+sinAsinB＝sin2C，且AB＝2，则△ABC面积的最大值为 ．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形．
【答案】．
【分析】由正、余弦定理可求得，再由基本基本不等式求得，最后由三角形的面积公式即可求得．
【解答】解：设△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，
由正弦定理及sin2A+sin2B+sinAsinB＝sin2C，得a2+b2+ab＝c2，
由余弦定理有：，
又因为0＜C＜π，所以，
又因为c＝2，a2+b2+ab＝c2，所以a2+b2+ab＝4，
又a2+b2≥2ab，可得，
所以，当且仅当a＝b时取得等号，
所以△ABC 面积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查正余弦定理的应用和三角形的面积公式，属于基础题．
15．（2024秋 道里区校级期末）已知向量，的夹角为，且||＝1，||，则|2|＝ ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】先算出，然后根据数量积的运算性质求出（）2，结合向量模的公式算出答案．
【解答】解：根据题意，可得|| ||cos1，
所以（）2＝4||2+4||2＝4×12+4（）2＝13，
可得|2|＝ ．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、向量的模的公式等知识，属于基础题．
16．（2024秋 天津期末）已知平行四边形ABCD的面积为，，E为线段BC的中点．若F为线段DE上的一点，且，则λ＝ ，||的最小值为 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；不等式；运算求解．
【答案】；．
【分析】设t，根据平行四边形的性质、向量的线性运算法则，推导出t（1）λ，结合平面向量基本定理算出λ的值；根据平行四边形的面积公式，算出 20，可得 10，然后根据向量数量积的运算性质与基本不等式，求出||2的最小值，进而可得||的最小值．
【解答】解：设t，t∈[0，1]，结合，可得t（）＝t．
所以（t）＝t（1），
因为，所以，解得λ．
根据S平行四边形ABCD sin，解得 20，所以 cos10．
由（），可得||2（||2+||2+2 ）（||2+||2﹣20），
因为||2+||2≥2|| ||＝40，
所以||2（40﹣20），当且仅当||＝||时，取等号．
因此，当||＝||＝2时，||2有最小值，可得||的最小值为．
故答案为：；．
【点评】本题主要考查平面向量基本定理、平面向量数量积的定义与运算性质、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024秋 昌平区期末）已知A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（k，2）．
（Ⅰ）若向量与共线，求实数k的值；
（Ⅱ）若k＝4，存在点D，使得A，B，C，D四点按逆时针方向排列并依次连接构成平行四边形，求点D的坐标及||．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平面向量的平行向量（共线向量）．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）k＝15；
（Ⅱ）D（0，1），||．
【分析】（Ⅰ）求出、的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得关于k的方程，解可得答案；
（Ⅱ）设D（x，y），由平行四边形的性质和中点坐标公式可得，解可得x、y的值，可得D的坐标，进而求出的坐标，计算可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（k，2），
则（4，1），（k+1，4），
若向量与共线，则有k+1＝4×4＝16，解可得k＝15，
故k＝15；
（Ⅱ）根据题意，若k＝4，则C（4，2），设D（x，y），
由平行四边形的性质，AC的中点就是BD的中点，
则有，解可得，即D的坐标为（0，1），
（﹣3，2），故||．
【点评】本题考查向量的坐标计算，涉及向量平行的坐标表示以及向量模的计算，属于基础题．
18．（2024秋 阜阳期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（b+c）（sinC﹣sinB）＝a（sinC﹣sinA）．
（1）求角B的大小；
（2）若为AC的中点，且BD＝3，求△ABC的周长．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，即可根据余弦定理求解；
（2）根据向量的模长公式，结合余弦定理即可求解．
【解答】解：（1）因为（b+c）（sinC﹣sinB）＝a（sinC﹣sinA），
所以由正弦定理得a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理得a2+c2﹣b2＝2accosB，
解得cosB，
又0＜B＜π，
所以；
（2）D为线段AC的中点，b＝2，B，且BD＝3，
所以2，所以4222+2 22+2|| ||cosB，
即4×32＝c2+a2+2ac，
整理可得a2+c2+ac＝36，①
在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，
即a2+c2﹣ac＝12，②
①②两式联立可得ac＝12，a2+c2＝24，即（a+c）2﹣2ac＝24，
可得a+c4，
从而△ABC的周长为．
【点评】本题考查余弦定理，正弦定理及用向量的方法表示中线，三角形的周长的求法，属于中档题．
19．（2024秋 青岛期末）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2＝c（a+c）．
（1）证明：B＝2C；
（2）求的最小值．
【考点】解三角形．
【专题】转化思想；综合法；解三角形；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）证明见解答；（2）．
【分析】（1）由已知条件结合余弦定理和正弦定理进行边角互化，即可得证；
（2）由（1）中结论结合三角恒等变换公式化简，再利用基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）证明：由b2＝c（a+c）及余弦定理得：b2＝c2+ac＝c2+a2﹣2accosB，
所以a2﹣ac﹣2accosB＝0，所以a﹣2ccosB＝c，
由正弦定理得：sinA﹣2sinCcosB＝sinC，所以sin（B+C）﹣2sinCcosB＝sinC，
所以sin（B﹣C）＝sinC，
又因为B，C∈（0，π），所以B﹣C＝C或B﹣C+C＝π （舍去），所以B＝2C；
（2）解：由（1）知，B＝2C，所以A＝π﹣3C，
所以
，
因为0＜2C＜π，所以0，所以cosC∈（0，1），
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
【点评】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、基本不等式，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数学运算、逻辑推理核心素养，属于中档题．
20．（2024秋 五华区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，点D满足，点E满足，点F是AC边上的中点，设，．
（1）用，表示；
（2）若△ABC的边长为2，试求与夹角的余弦值．
【考点】数量积表示两个平面向量的夹角；平面向量的线性运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由平面向量的线性运算即可求得；
（2）由平面向量的线性运算将用，表示，再由向量的夹角公式计算即可．
【解答】解：（1）因为点E满足，点F是AC边上的中点，
所以；
（2）因为点D满足，
所以，
因为等边△ABC的边长为2，所以，
所以，
，
，
所以．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，数量积与夹角，属于中档题．
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