【中考押题卷】2025年中考数学二轮复习考前预测：尺规作图（含解析）

2025年中考数学二轮复习考前预测：尺规作图
一．选择题（共10小题）
1．（2025 济南模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，对角线AC和OB交于点D，作以下操作：（1）以点B为圆心，任意长为半径作弧，交BO于点M，交AB于点N；（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；（3）作射线BG，交OA于点P，交AC于点Q．若OP＝2，则点Q的坐标为（　　）
A． B． C． D．（3，1）
2．（2025 松江区一模）已知线段a、b、c，求作线段x，使．下列作图方法中（AB∥CD）不合理的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025 石家庄校级模拟）如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为AB；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交半圆O于点C；③连接OC，以点C为圆心，以OC长为半径作弧，交半圆O于点E，连接AE，CE．
结论Ⅰ：点E为的中点；
结论Ⅱ：四边形AOCE为菱形．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
4．（2024 深圳模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点B为圆心，以BC为半径作弧交AB于点D，再分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点F，连接DF．以下结论不正确的是（　　）
A．AD＝CF B．BC＝AF C．∠ABE＝36° D．∠CFD＝108°
5．（2024 雨花台区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
6．（2024 昌邑区校级三模）如图，在△ABC中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（　　）
A．∠BAE＝∠CAE B．BE＝CE C．BD＝CD D．BF＝CF
7．（2024 泰山区一模）如图，已知 AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G．则点G的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
8．（2024 阳山县模拟）如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（　　）
A．1 B． C． D．5
9．（2024 凌河区校级三模）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于C，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA，BC于M，N两点，再分别以M，N两点为圆心，都以一个大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，射线BP与AE相交于点D．若AC＝6，BD＝8，则AB的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2024 长安区一模）对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线？”甲、乙的作法如图．
甲的作法 连接OP，作OP的垂直平分线交OP于点G，以点G为圆心，OG长为半径画弧交⊙O于M，作直线PM．直线PM即为所求． 乙的作法 连接PO并延长，交⊙O于B，C两点，分别以P，O为圆心，PO，BC长为半径作弧，两弧交于点D，连接OD，交⊙O于点M，作直线PM，直线PM即为所求．
下列说法正确的是（　　）
A．甲和乙的作法都正确
B．甲和乙的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．乙的作法正确，甲的作法错误
二．填空题（共5小题）
11．（2025 金山区一模）某校初三数学活动小组在利用尺规把线段AB分割成两条线段．
（1）过点B作BC⊥AB，使．
（2）联结AC，在线段CA上被取CD＝CB．
（3）在线段AB上截取AE＝AD．那么＝ 　 　．
12．（2024 坪山区校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠DAE＝　 　度．
13．（2024 天津一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点C为以AB为直径的半圆弧的中点．
（1）∠CAB的大小等于 　 　（度）；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以AB为直径的半圆的圆心O，简要说明点O的位置是如何找到的（不要求证明） 　 　．
14．（2024 荷塘区校级模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为　 　．
15．（2025 南山区模拟）如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 安阳模拟）已知在一些边长相同的小正方形组成的网格中，正方形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上．点P为对角线BD上任意一点，连接PA，以PA，PD为邻边作平行四边形PAQD．
（1）当点P（在小正方形的顶点上）的位置如图所示时，请用直尺画出平行四边形PAQD；
（2）当PQ的最小值为时，求正方形ABCD的边长．
17．（2025 永寿县校级一模）如图，已知E是∠AOB的边AO上一点，EF∥OB．请用尺规作图的方法在EF上求作一点P，连接OP，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（2025 雁塔区校级一模）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．在⊙O上作点D，使得线段DB＝DC，且线段AD与BC相交．
19．（2025 旺苍县一模）如图这是一个残缺的圆形部件，已知A，B，C是该部件圆弧上的三点．
（1）利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹）
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求该部件的半径R．
20．（2025 佛山一模）如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩AM，BP，CN垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知∠A＝59°，∠C＝45°，MP＝0.25m，NP＝1.35m．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
（1）在图2中，∠ABC＝　 　；
（2）醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径AC的长度；
（3）醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩AM的影子顶端恰好落在点B处，梅花桩BP的影子顶端恰好与点N重合，请在图3中画出梅花桩AM，BP的影子并计算出BP的高度；
（4）如图4，保持BP不变，通过调整梅花桩AM的高度，使得AC+AB的值最小，请求出此时AM的高度（结果精确到0.01m）．
2025年中考数学二轮复习考前预测：尺规作图
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 济南模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，对角线AC和OB交于点D，作以下操作：（1）以点B为圆心，任意长为半径作弧，交BO于点M，交AB于点N；（2）分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点G；（3）作射线BG，交OA于点P，交AC于点Q．若OP＝2，则点Q的坐标为（　　）
A． B． C． D．（3，1）
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质；正方形的性质．
【专题】作图题；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】过点P作PT⊥OB于点T，过点Q作QK⊥AB于K，作QJ⊥OA于J，先在Rt△OPT中求出PT＝，则OA＝2+，进而再求出AD＝+1，再证四边形AKQJ为正方形，设边长为a，则AQ＝a，MD＝MQ＝a，据此得AD＝a+a，据此可求出a的值，进而即可求出点Q的坐标．
【解答】解：过点P作PT⊥OB于点T，过点Q作QK⊥AB于K，作QJ⊥OA于J，
∵四边形OABC为正方形，
∴∠BOA＝∠BAC＝∠OAC＝45°，∠OAB＝90°，OB⊥AC，OD＝AD，
∴△OPT为等腰直角三角形，
∵OP＝2，
在Rt△OPT中，OT＝PT，OP＝2，
由勾股定理得：OT2+PT2＝OP2，
即：2PT2＝22，
∴PT＝，
由作图可知：BP为∠OBA的平分线，
又PT⊥OB，∠OAB＝90°，
∴PA＝PT＝，
∴OA＝OP+PA＝2+，
在Rt△OAD中，OD＝AD，OA＝2+，
由勾股定理得：OD2+AD2＝OA2，
即：2AD2＝（2+）2，
∴AD＝+1，
∵∠BAC＝∠OAC＝45°，MQ⊥AB，MP⊥OA，
∴△AJQ和△AAQK均为等腰直角三角形，
∴JA＝JQ，KA＝KQ，
∵AC为∠OAB的平分线，QJ⊥AO，QK⊥AB，
∴QK＝AK，
∴QJ＝AJ＝KQ＝AK，
∴四边形AKQJ为正方形，
设JQ＝a，则AQ＝a，
∵BP为∠OBA的平分线，MQ⊥OB，QK⊥AB，
∴MQ＝QK＝a，
∴AD＝AM+MD＝a+a，
∴a+a＝+1，
解得：a＝1，
∴AJ＝QJ＝1，
∴OJ＝OA﹣AJ＝2+﹣1＝+1，
∴点Q的坐标为（+1，1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的判定和性质，基本作图——尺规作已知角的平分线，角平分线的性质，勾股定理等知识点，解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定方法，理解正方形的性质和角平分线的性质．
2．（2025 松江区一模）已知线段a、b、c，求作线段x，使．下列作图方法中（AB∥CD）不合理的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】作图—复杂作图；平行线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】B
【分析】利用图形得比例线段，再与已知式作对比，可以得出结论．
【解答】解：A、由图可得＝，即x＝，图形能画出，故此选项不符合题意；
B、由图可得＝，即x＝，图形不能画出，故此选项符合题意；
C、由图可得，图形能画出，故此选项不符合题意；
D、由图可得图形能画出，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．
3．（2025 石家庄校级模拟）如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为AB；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交半圆O于点C；③连接OC，以点C为圆心，以OC长为半径作弧，交半圆O于点E，连接AE，CE．
结论Ⅰ：点E为的中点；
结论Ⅱ：四边形AOCE为菱形．
对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对
C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；菱形的判定；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；尺规作图；几何直观．
【答案】A
【分析】连接BC，OE，由作图过程可知，直线MN为线段OB的垂直平分线，CO＝CE，可得△BOC为等边三角形，△COE为等边三角形，则∠BOC＝60°，∠COE＝∠ECO＝60°，∠AOE＝180°﹣∠COE﹣∠BOC＝60°，可得∠COE＝∠AOE，则，即点E为的中点；结合菱形的判定可得四边形AOCE为菱形．
【解答】解：连接BC，OE，
由作图过程可知，直线MN为线段OB的垂直平分线，
∴CO＝CB．
∵OC＝OB，
∴CO＝CB＝OB，
即△BOC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°．
由作图过程可知，CO＝CE，
∵CO＝OE，
∴CO＝CE＝OE，
即△COE为等边三角形，
∴∠COE＝∠ECO＝60°，
∴∠AOE＝180°﹣∠COE﹣∠BOC＝60°，
∴∠COE＝∠AOE，
∴，
即点E为的中点．
故结论Ⅰ正确，符合题意；
∵∠ECO＝∠BOC＝60°，
∴CE∥AB．
∵CE＝CO＝OB＝OA，
∴四边形AOCE为平行四边形．
∵CO＝CE，
∴四边形AOCE为菱形．
故结论Ⅱ正确，符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定、圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．（2024 深圳模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点B为圆心，以BC为半径作弧交AB于点D，再分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点F，连接DF．以下结论不正确的是（　　）
A．AD＝CF B．BC＝AF C．∠ABE＝36° D．∠CFD＝108°
【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；等腰三角形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；尺规作图；几何直观．
【答案】D
【分析】由作图可知，BD＝BC，BE为∠ABC的平分线．证明△BDF≌△BCF，可得DF＝CF，∠BDF＝∠BCF，结合等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝72°，则∠BDF＝72°，进而可得∠BAC＝∠AFD＝36°，则AD＝DF，即AD＝CF，可判断A选项正确；根据等腰三角形的判定与性质可得AF＝BF，BF＝BC，则BC＝AF，可判断B选项正确；根据∠ABE＝∠CBE＝ABC＝36°，可判断C选项正确；由∠CFD＝180°﹣∠AFD＝144°，可判断D选项不正确．
【解答】解：由作图可知，BD＝BC，BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵BF＝BF，
∴△BDF≌△BCF（SAS），
∴DF＝CF，∠BDF＝∠BCF．
∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BDF＝72°，
∴∠AFD＝∠BDF﹣∠BAC＝36°，
∴∠BAC＝∠AFD，
∴AD＝DF，
∴AD＝CF，
故A选项正确，不符合题意；
∵∠ABE＝∠CBE＝ABC＝36°，
∴∠BAC＝∠ABE，
∴AF＝BF，
∵∠BFC＝180°﹣∠ACB﹣∠CBE＝72°，
∴∠BFC＝∠ACB，
∴BF＝BC，
∴BC＝AF，
故B选项正确，不符合题意，C选项正确，不符合题意；
∵∠CFD＝180°﹣∠AFD，∠AFD＝36°，
∴∠CFD＝144°，
故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
5．（2024 雨花台区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　）
A．∠BDE＝∠BAC B．∠BAD＝∠B C．DE＝DC D．AE＝AC
【考点】作图—基本作图．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；尺规作图；推理能力．
【答案】B
【分析】由尺规作图的痕迹可得，DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得Rt△AED≌Rt△ACD可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明∠BAD＝∠B．
【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，
∵DE可以理解成是平角∠AEB的角平分线，
∴DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴DE＝DC，∠B+∠BDE＝∠B+∠BAC＝90°，
∴∠BDE＝∠BAC，
在Rt△AED和Rt△ACD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），
∴AE＝AC，
∵DE不是AB的垂直平分线，故不能证明∠BAD＝∠B，
综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出DE⊥AB，AD是∠BAC的平分线．
6．（2024 昌邑区校级三模）如图，在△ABC中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是（　　）
A．∠BAE＝∠CAE B．BE＝CE C．BD＝CD D．BF＝CF
【考点】作图—基本作图．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意得到AF是∠BAC的角平分线，MN垂直平分BC，进而求解即可．
【解答】解：由作图知，AF是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE＝∠CAE，故A不符合题意；
由作图知MN垂直平分BC，
∴BD＝CD，BF＝CF，故C，D不符合题意；
无法证明BE＝CE，故B符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和垂直平分线性质是解答此题的关键．
7．（2024 泰山区一模）如图，已知 AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上．按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G．则点G的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
【考点】作图—基本作图；坐标与图形性质；平行四边形的性质．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】A
【分析】分析题目，首先根据平行四边形的性质可得AC∥OB，接下来根据平行线的性质可得∠AGO＝∠GOB；结合给出的作图步骤可知∠AOG＝∠GOB，进而得到AG＝AO，然后根据勾股定理求出OA的长，进而求出AG的长，问题便可解答．
【解答】解：∵四边形OACB是平行四边形，
∴AC∥OB，
∴∠AGO＝∠GOB（两直线平行内错角相等）．
由作图步骤可得∠AOG＝∠GOB，
∴∠AGO＝∠AOG，
∴AG＝AO．
∵A（﹣1，2），
∴OA＝，
∴AG＝，
∴点G的坐标为（﹣1，2）．
故选：A．
【点评】本题主要考查基本作图，掌握角平分线的做法是解题的关键．
8．（2024 阳山县模拟）如图，是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点P表示的数是（　　）
A．1 B． C． D．5
【考点】作图—复杂作图；实数与数轴．
【专题】作图题；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例即可求解．
【解答】解：如图，OB＝1，OA＝3，OC＝10，
∵PB∥AC，
∴，
∴＝
∴OP＝．
∴点P表示的数是．
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
9．（2024 凌河区校级三模）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，交BF于C，以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BA，BC于M，N两点，再分别以M，N两点为圆心，都以一个大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P，射线BP与AE相交于点D．若AC＝6，BD＝8，则AB的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】作图—基本作图；角平分线的定义；平行线的性质；角平分线的性质；菱形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质证明四边形ABCD是菱形，由菱形的性质和勾股定理即可求出AB．
【解答】解：由基本作图可知BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵AE∥BF，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴AB＝BC＝AD，
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
令AB与CD交于点O，
∴AO＝CO＝AC＝×6＝3，BO＝DO＝BD＝×8＝4，AC⊥BD，
在Rt△ABO中，
AB＝＝＝5．
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，证明四边形ABCD是菱形是解决问题的关键．
10．（2024 长安区一模）对于题目“已知⊙O及圆外一点P，如何过点P作出⊙O的切线？”甲、乙的作法如图．
甲的作法 连接OP，作OP的垂直平分线交OP于点G，以点G为圆心，OG长为半径画弧交⊙O于M，作直线PM．直线PM即为所求． 乙的作法 连接PO并延长，交⊙O于B，C两点，分别以P，O为圆心，PO，BC长为半径作弧，两弧交于点D，连接OD，交⊙O于点M，作直线PM，直线PM即为所求．
下列说法正确的是（　　）
A．甲和乙的作法都正确
B．甲和乙的作法都错误
C．甲的作法正确，乙的作法错误
D．乙的作法正确，甲的作法错误
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；切线的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】对于甲的作法，利用基本作图得到AB垂直平分OP，则OG＝GP，再根据圆周角定理得到∠PMO＝90°，然后根据切线的判定方法得到PM为⊙O的切线，于是可判断甲的作法正确；对于乙的作法：利用基本作图得到PD＝PO，OD＝BC，由于OM＝BC，所以OM＝DM，则根据等腰三角形的性质得到PM⊥OD，然后根据切线的判定方法得到PM为⊙O的切线，于是可判断乙的作法正确．
【解答】解：对于甲的作法：
由作法得AB垂直平分OP，
∴OG＝GP，
∴点M为以OP为直径的圆与⊙O的交点，
∴∠PMO＝90°，
∴OM⊥PM，
∴PM为⊙O的切线，所以甲的作法正确；
对于乙的作法：
由作法得PD＝PO，OD＝BC，
∵OM＝BC，
∴OM＝DM，
∴PM⊥OD，
∴PM为⊙O的切线，所以乙的作法正确；
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和切线的判定方法．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 金山区一模）某校初三数学活动小组在利用尺规把线段AB分割成两条线段．
（1）过点B作BC⊥AB，使．
（2）联结AC，在线段CA上被取CD＝CB．
（3）在线段AB上截取AE＝AD．那么＝ 　　．
【考点】作图—基本作图；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）作线段AB的垂直平分线得到线段AB的中点，作直线BC⊥AB于B，然后截取BC＝AB即可；
（2）根据题意作出图形即可；
（3）根据勾股定理得到AC＝＝AB，求得AD＝AE＝AC﹣CD＝AB﹣AB，得到BE＝AB﹣AE＝AB﹣（AB﹣AB）＝AB，于是得到结论．
【解答】解：（1）如图所示；点C即为所求；
（2）如图所示，点D即为所求；
（3）如图所示，点E即为所求．
∵BC＝CD＝，AC＝＝AB，
∴AD＝AE＝AC﹣CD＝AB﹣AB，
∴BE＝AB﹣AE＝AB﹣（AB﹣AB）＝AB，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键．
12．（2024 坪山区校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠DAE＝　25　度．
【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】25．
【分析】利用基本作图得到DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，则DB＝DA，∠DAE＝∠DAC，所以∠DAB＝∠B＝40°，再利用三角形内角和计算出∠BAC＝90°，则∠DAC＝50°，从而得到∠DAE＝25°．
【解答】解：由作图痕迹得DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，
∴DB＝DA，∠DAE＝∠DAC，
∴∠DAB＝∠B＝40°，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAE＝×50°＝25°．
故答案为：25．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
13．（2024 天津一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点C为以AB为直径的半圆弧的中点．
（1）∠CAB的大小等于 　45　（度）；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出以AB为直径的半圆的圆心O，简要说明点O的位置是如何找到的（不要求证明） 　取圆上两个格点M，N，再作MN的垂直平分线EF与AB的交点即为圆心O　．
【考点】作图—复杂作图；垂径定理；圆周角定理．
【专题】作图题；与圆有关的计算；几何直观；推理能力．
【答案】（1）45；
（2）取圆上两个格点M，N，再作MN的垂直平分线EF与AB的交点即为圆心O．
【分析】（1）连接BC，证明△ABC是等腰直角三角形即可得到∠CAB＝45°；
（2）取圆上两个格点M，N，再作MN的垂直平分线EF与AB的交点即为圆心O．
【解答】解：（1）连接BC，如图1，
∵点C为以AB为直径的半圆弧的中点，
∴CA＝CB，∠ACB＝90°
∴∠CAB＝45°，
故答案为：45；
（2）取圆上两个格点M，N，再作MN的垂直平分线EF与AB的交点即为圆心O，依据垂径定理可知，O即为圆心，
如图2：
理由：∵EM＝MF＝FN＝NE＝＝，
∴四边形EMFN是菱形，
∴EF垂直平分MN，
EF与直径AB的交点O为圆心．
故答案为：取圆上两个格点M，N，再作MN的垂直平分线EF与AB的交点即为圆心O．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，垂径定理，圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
14．（2024 荷塘区校级模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．以点A为圆心，以AC长为半径作弧，交BC于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线AE交BC于点F，则BF的长为　6　．
【考点】作图—基本作图；含30度角的直角三角形．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】6．
【分析】根据直角三角形的性质和特殊角的三角函数即可得到结论．
【解答】解：由作图知，AF⊥BC，
∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝4．
∴AB＝AC＝4，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB＝90°，
∴，
故答案为：6．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决本题的关键是理解作图过程．
15．（2025 南山区模拟）如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为 　　．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】如图，过F作FH⊥AC于H，证明∠BAP＝∠CAP，DE⊥AB，，再证明∠FAH＝45°，再结合勾股定理可得答案．
【解答】解：如图，过F作FH⊥AC于H，
由作图可得：∠BAP＝∠CAP，DE⊥AB，，
∵∠PQE＝67.5°，
∴∠AQF＝67.5°，
∴∠BAP＝∠CAP＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∴∠FAH＝45°，
∴，
∴F到AN的距离为；
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 安阳模拟）已知在一些边长相同的小正方形组成的网格中，正方形ABCD的四个顶点都在小正方形的顶点上．点P为对角线BD上任意一点，连接PA，以PA，PD为邻边作平行四边形PAQD．
（1）当点P（在小正方形的顶点上）的位置如图所示时，请用直尺画出平行四边形PAQD；
（2）当PQ的最小值为时，求正方形ABCD的边长．
【考点】作图—应用与设计作图；相似三角形的判定与性质；垂线段最短；平行四边形的判定与性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据平行四边形两组对比分别平行的性质画图即可；
（2）设PQ与AD交于点O，根据平行四边形的性质可知，OP＝OQ，OA＝OD，得出OP最短时，PQ最小，再过O作BD的垂线，垂足为P′，此时OP′最短，再得出△DOP′～△DAB，根据相似比求出正方形边长即可．
【解答】解：（1）如图所示，四边形PAQD即为所求；
（2）设PQ与AD交于点O，
∵PAQD为平行四边形，
∴OP＝OQ，OA＝OD，
∴OP最短时，PQ最小，
过O作BD的垂线，垂足为P′，此时OP′最短，
∵PQ的最小值为，
∴，
∵∠DP′O＝∠DAB＝90°，
∠ADB为公共角，
∴△DOP′～△DAB，
∴，
设正方形边长为a，
∴，
∴，
解得，
∴正方形ABCD的边长为．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，利用垂线段求最小值，相似三角形的判定与性质，熟练运用垂线段求最小值是解决本题的关键．
17．（2025 永寿县校级一模）如图，已知E是∠AOB的边AO上一点，EF∥OB．请用尺规作图的方法在EF上求作一点P，连接OP，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【考点】作图—复杂作图；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观．
【答案】见解答．
【分析】结合平行线的性质，作∠AOB的平分线，交EF于点P，则点P即为所求．
【解答】解：如图，作∠AOB的平分线，交EF于点P，
可得．
∵EF∥OB，
∴∠AEF＝∠AOB，
∴，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（2025 雁塔区校级一模）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上．在⊙O上作点D，使得线段DB＝DC，且线段AD与BC相交．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解析．
【分析】作线段BC的垂直平分线交优弧BC于点D，点D即为所求．
【解答】解：如图，点D即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．
19．（2025 旺苍县一模）如图这是一个残缺的圆形部件，已知A，B，C是该部件圆弧上的三点．
（1）利用尺规作图作出该部件的圆心；（保留作图痕迹）
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求该部件的半径R．
【考点】作图—应用与设计作图；等腰三角形的性质；垂径定理．
【专题】与圆有关的计算；几何直观；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）作相等AB，AC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可；
（2）利用垂径定理，勾股定理求解．
【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA⊥BC，
∴BD＝DC，
∵BC＝16cm，
∴BD＝8（cm），
∵AB＝10cm，
∴AD＝＝＝6（cm），
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：，
∴圆片的半径R为．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（2025 佛山一模）如图所示是广东醒狮，它是国家级非物质文化遗产之一，其中高桩醒狮更是由现代艺术演出转变而来的体育竞技．如图2，三根梅花桩AM，BP，CN垂直于地面放置，醒狮少年从点A跳跃到点B，随后纵身跃至点C，已知∠A＝59°，∠C＝45°，MP＝0.25m，NP＝1.35m．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）
（1）在图2中，∠ABC＝　104°　；
（2）醒狮少年在某次演出时需要从点A直接腾跃至点C进行“采青”，请求出“采青”路径AC的长度；
（3）醒狮少年在休息时发现，在太阳光下梅花桩AM的影子顶端恰好落在点B处，梅花桩BP的影子顶端恰好与点N重合，请在图3中画出梅花桩AM，BP的影子并计算出BP的高度；
（4）如图4，保持BP不变，通过调整梅花桩AM的高度，使得AC+AB的值最小，请求出此时AM的高度（结果精确到0.01m）．
【考点】作图—应用与设计作图；轴对称﹣最短路线问题；解直角三角形的应用；平行投影．
【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．
【答案】（1）104°；
（2）AC的长度约为2m；
（3）见解析，BP的高度约为0.81m；
（4）AM的高度约为0.99m．
【分析】（1）延长PB至H，根据平行线的性质可得∠ABH＝∠A＝59°，∠CBH＝∠C＝45°，即可得解；
（2）过点B作直线EF∥MN，分别交AM，CN于点E，F，过点A作直线AD∥MN，交CN于点D，连接AC，则四边形AMND，四边形AEFD，四边形EMPB，四边形BPNF均是矩形，由矩形的性质可得EB＝MP＝0.25m，BF＝NP＝1.35m，DF＝AE，再解直角三角形结合勾股定理计算即可得解；
（3）线段MP，PB为梅花桩AM的影子，线段PN为梅花桩BP的影子．再利用相似三角形的性质求解即可；
（4）作点B关于AM的对称点B′，连接B′C交AM于A′，连接A′B，A′C，则A′B+A′C＝A′B′+A′C＝B′C，则B′C就是AC+AB的最小值，由（2）得CH＝1.35m，由轴对称得B′G＝BG＝0.25m，再利用相似三角形的性质计算即可得解．
【解答】解：（1）如图：延长PB至H，
由题意可得：AM∥PH∥CN，
∴∠ABH＝∠A＝59°，∠CBH＝∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠ABH+∠CBH＝104°，
故答案为：104°；
（2）如图，过点B作直线EF∥MN，分别交AM，CN于点E，F，过点A作直线AD∥MN，交CN于点D，连接AC．
由题意得∠EMN＝∠FNM＝∠MAD＝∠ADN＝∠MEF＝∠NFE＝∠BPM＝∠BPN＝90°，
∴四边形AMND，四边形AEFD，四边形EMPB，四边形BPNF均是矩形，
∴EB＝MP＝0.25m，BF＝NP＝1.35m，DF＝AE，
∴AD＝EF＝1.6m．
∵∠EAB＝59°，∠BCF＝45°，
∴∠EBA＝90°﹣59°＝31°，∠CBF＝90°﹣45°＝45°＝∠BCF，
∴AE＝EB tan31°≈0.15m，CF＝BF＝1.35m，
∴CD＝CF﹣DF＝CF﹣AE＝1.2m，
∵在Rt△ACD中，AD＝1.6m，CD＝1.2m，
AC2＝AD2+CD2，
∴．
即“采青”路径AC的长度约为2m．
（3）如图，线段MP，PB为梅花桩AM的影子，线段PN为梅花桩BP的影子．
∵∠BPN＝∠AMN＝90°，∠BNP＝∠ANM，
∴△BNP∽△ANM，
∴．
由（1）得AM≈0.15+BP，
∴，
∴1.6BP＝0.2025+1.35BP，
∴0.25BP＝0.2025，
∴BP＝0.81m．
经检验BP＝0.81且符合题意，所以BP的高度约为0.81米．
（4）如图，作点B关于AM的对称点B′，连接B′C交AM于A′，连接B′B并延长交CN于H，连接A′B，A′C，
∴A′B+A′C＝A′B′+A′C＝B′C，则B′C就是AC+AB的最小值，
由对称性质可知：B′B⊥AM，
同理（2）得CH＝1.35m，
由轴对称得B′G＝BG＝0.25m，
∴B′H＝1.85m．
∵A′G∥CH
∴△A′B′G′∽△CB′H，
∴．
即，
∴A'G＝m，
∴A′M＝0.18+GM＝0.18+BP＝0.99m，
∴此时AM的高度约为0.99m．
【点评】本题考查了平行线的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
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