【中考押题卷】2025年中考数学二轮复习考前预测：反比例函数（含解析）

2025年中考数学二轮复习考前预测：反比例函数
一．选择题（共10小题）
1．（2025 柳州一模）已知反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
2．（2025 汕头校级模拟）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　）
A．其图象经过点（1，﹣5）
B．其图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当x＞﹣1时，y＞5
3．（2025 济南模拟）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（A）和它们两端的电压U（V），根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识U＝IR，可判断这四个用电器中电阻R（Ω）最大的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（2025 晋安区校级模拟）已知反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．它的图象经过点（1，﹣1）
B．图象位于第一、三象限
C．它的图象不是中心对称图形
D．y随x的增大而增大
5．（2025 安徽模拟）如图，反比例函数与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（1，3），B（c，﹣1），则k﹣a的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2025 大渡口区模拟）若反比例函数的图象经过点（3，﹣2），那么k的值为（　　）
A．3 B．﹣2 C．6 D．﹣6
7．（2025 广西模拟）如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S ABCO＝3，则实数k的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
8．（2025 茅箭区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为（﹣4，3），则k的值为（　　）
A．﹣32 B．﹣24 C．20 D．32
9．（2025 石家庄校级模拟）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．当I＝0.2A时，R＝1000Ω B．当I＝0.5A时，R＝500Ω
C．当R＞440Ω时，I＞0.5A D．当R＜440Ω时，I＞0.5A
10．（2025 登封市一模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5
二．填空题（共5小题）
11．（2025 雁塔区校级模拟）如图，在 ABCD中，AB∥x轴，A（1，2），D（0，1），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，且与AB交于点E．若BE＝2AE，则点E的坐标为 　 　．
12．（2020 成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，OA＝6，OC＝4，点Q是AB边上一个动点，过点Q的反比例函数y＝（x＞0）与BC边交于点P．若将△PBQ沿PQ折叠，点B的对应点E恰好落在对角线AC上，则此时反比例函数的解析式是　 　．
13．（2025 雁塔区校级一模）如图，已知点A、B分别在反比例函数，的图象上，且OA⊥OB，则sinB＝ 　 　．
14．（2025 河北模拟）如图，平面直角坐标系内有两点A（4，0），B（0，4），若反比例函数的图象交线段AB于点C，D，且BC＝CD，则k＝ 　 　．
15．（2025 雁塔区校级一模）如图，在矩形OABC和正方形ADEF中，点A、D均在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在同一个反比例函数图象上，若正方形ADEF的面积为4，且BF＝AF，则这个反比例函数的表达式为 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 汕头校级模拟）我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”．
【概念辨析】
（1）①边长为4的正方形 　 　（填“是”或“不是”）“完美矩形”；
②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长 　 　，面积为 　 　；
【深入探究】
（2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？
我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（x＞0，y＞0），依题意x+y＝10，xy＝12，则y＝﹣x+10，，在图1的平面直角坐标系中作出一次函数l1：y＝﹣x+10和反比例函数l2：的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”．
那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由；
（3）①如果长为x，宽为y（x＞0，y＞0）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象；
②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长．（结果精确到0.1）
17．（2025 济南模拟）【综合与探究】
【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究．
【探究过程】
（1）确定函数自变量的取值范围；
（2）绘制函数图象：
①列表：列出x与y的几组对应值：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ 0 1 2 …
y … ﹣ ﹣ ﹣1 ﹣2 ﹣3 3 2 m …
②描点：根据表中的数值在坐标系中描点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象．
（3）结合图象探究函数的性质．
【请完成以下任务】
任务一：函数自变量x的取值范围是 　 　；
任务二：表格中m的值是m＝ 　 　；
任务三：把函数图象补充完整；
任务四：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而 　 　（填“增大”或“减小”）；
任务五：若一次函数y1＝kx+b与函数相交于点，D（﹣2，﹣1），结合函数图象直接写出使不等式y1＜y2成立的x的取值范围．
18．（2025 佛山一模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝3，OC＝6，反比例函数的图象与AB、BC分别交于点D、E，连结DE．
（1）如图2，连结OD、OE，当△OAD的面积为2时：
①k＝　 　；
②求△ODE的面积；
（2）如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值．
19．（2025 信阳模拟）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标是（3，m）．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）设直线y＝x+b与反比例函数的图象的交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），与直线y＝2x的交点横坐标为x3，若x1＜x3＜x2，求b的取值范围．
20．（2025 柳州模拟）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压U＝12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝ 　 　，b＝ 　 　；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 　 　．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，的解集为 　 　．
2025年中考数学二轮复习考前预测：反比例函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 柳州一模）已知反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，则n的取值可以是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．3
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，进而得出n的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象位于第一、三象限，
∴n﹣2＞0，
解得：n＞2．
故n的取值可以是：3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确得出n的取值范围是解题关键．
2．（2025 汕头校级模拟）已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　）
A．其图象经过点（1，﹣5）
B．其图象位于第二、第四象限
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．当x＞﹣1时，y＞5
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，
∴当x＝1时，y＝﹣5，即该函数图象过点（1，﹣5），故选项A正确；
该函数图象在第二、四象限，故选项B正确；
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C正确；
当﹣1＜x＜0时，y＞5，故选项D错误；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
3．（2025 济南模拟）物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流I（A）和它们两端的电压U（V），根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象．根据图象及物理学知识U＝IR，可判断这四个用电器中电阻R（Ω）最大的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据图示得出U2＞U1，I1＜I2，利用不等式的性质得出，，，则可得出丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，丁的电阻大于乙的电阻，即可求解．
【解答】解：由题意可得，
由图象知：U2＞U1，I1＜I2，
∴，，
∴丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，
同理丁的电阻大于乙的电阻，
∴这四个用电器中电阻R（Ω）最大的是丙，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，理解题意是关键．
4．（2025 晋安区校级模拟）已知反比例函数，下列说法正确的是（　　）
A．它的图象经过点（1，﹣1）
B．图象位于第一、三象限
C．它的图象不是中心对称图形
D．y随x的增大而增大
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
【解答】解：A、由点（1，﹣1）的坐标满足反比例函数关系式，故A正确；
B、由k＝﹣1＜0，反比例函数图象位于二、四象限，故B错误；
C、由反比例函数的对称性，可知反比例函数图象关于直线y＝x和y＝﹣x对称，是中心对称图形，故C错误；
D、由反比例函数的性质，k＜0，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D错误．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，当k＜0时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y＝x和y＝﹣x是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键．
5．（2025 安徽模拟）如图，反比例函数与一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象相交于点A（1，3），B（c，﹣1），则k﹣a的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】A
【分析】把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k，则可求得反比例函数解析式，则可求得B点坐标，把A、B坐标代入一次函数解析式可求得a、b，进一步求得k﹣a的值．
【解答】解：∵点A（1，3）在反比例函数图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数解析式为y＝，
∵B（c，﹣1）在反比例函数图象上，
∴c＝﹣3，
∴B（﹣3，﹣1），
∵A、B在一次函数图象上，
∴，解得，
∴k﹣a＝3﹣1＝2．
故选：A．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，求得k、a的值是解题的关键．
6．（2025 大渡口区模拟）若反比例函数的图象经过点（3，﹣2），那么k的值为（　　）
A．3 B．﹣2 C．6 D．﹣6
【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】D
【分析】直接把点（3，﹣2）代入反比例函数，求出k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（3，﹣2），
∴k＝3×（﹣2）＝﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7．（2025 广西模拟）如图，反比例函数的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B（﹣1，3），S ABCO＝3，则实数k的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣6 C．﹣7 D．﹣8
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质；反比例函数系数k的几何意义．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】延长AB交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出AB＝OC＝1，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可．
【解答】解：如图，延长AB交y轴于点D，
∵B（1，3），S ABCO＝3，
∴OC OD＝3OC＝3，
∴AB＝OC＝1，
∴AD＝2，
∴A（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
8．（2025 茅箭区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为（﹣4，3），则k的值为（　　）
A．﹣32 B．﹣24 C．20 D．32
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】A
【分析】过点D作x轴的垂线，垂足为F，由点D的坐标，利用勾股定理可求出OD的长，利用菱形的性质可得出AD的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数的关系式．
【解答】解：过点D作x轴的垂线，垂足为F如图所示，
∵点D的坐标为（﹣4，3），
∴OF＝4，DF＝3，
∴OD＝＝＝5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝OD＝5，
∴点A坐标为（﹣4，8）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣4×8＝﹣32．
故选：A．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及菱形的性质，根据题意得出A点坐标是解题的关键．
9．（2025 石家庄校级模拟）某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现，如图所示的是该台灯的电流I（A）与电阻R（Ω）的关系图象，该图象经过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）
A．当I＝0.2A时，R＝1000Ω B．当I＝0.5A时，R＝500Ω
C．当R＞440Ω时，I＞0.5A D．当R＜440Ω时，I＞0.5A
【考点】反比例函数的应用；点的坐标；一次函数与一元一次不等式．
【专题】反比例函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象即可完成求解．
【解答】解：设反比例函数的解析式为I＝，
把点P坐标代入得：0.25＝，
解得：k＝220，
∴函数解析式为I＝（R＞0），
当I＝0.2A时，R＝＝1100（Ω），故A不正确；
当I＝0.5A时，R＝＝440（Ω），故B不正确；
当R＞440Ω时，I＜0.5A，故C不正确；
当R＜440Ω时，I＞0.5A，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
10．（2025 登封市一模）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是（　　）
A．x＞5 B．0＜x＜5 C．0＜x＜0.5 D．x＞0.5
【考点】反比例函数的应用．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将y＝200代入，结合函数图象即可求解．
【解答】解：设反比例函数解析式为，
将（0.4，250）代入得，k＝100，
∴反比例函数解析式为：，
当y＝200时，x＝＝0.5．
∴配制一副度数小于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是x＞0.5，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 雁塔区校级模拟）如图，在 ABCD中，AB∥x轴，A（1，2），D（0，1），反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点C，且与AB交于点E．若BE＝2AE，则点E的坐标为 　（3，2）　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】（3，2）．
【分析】设AE＝a，则AB＝3AE＝3a，根据平行四边形的性质，结合点A、D坐标可得C（3a，1），E（a+1，2），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出3a＝2（a+1），解方程求出a的值即可得答案．
【解答】解：设AE＝a，
∵BE＝2AE，
∴AB＝3AE＝3a，
∵在 ABCD中，AB∥x轴，A（1，2），D（0，1），
∴CD＝AB＝3a，C（3a，1），E（a+1，2），
∵反比例函数的图象经过点C，点E，
∴3a＝2（a+1）＝k，
解得：a＝2，
∴E（3，2）．
故答案为：（3，2）．
【点评】本题考查坐标与图形、平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关性质是解题关键．
12．（2020 成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，OA＝6，OC＝4，点Q是AB边上一个动点，过点Q的反比例函数y＝（x＞0）与BC边交于点P．若将△PBQ沿PQ折叠，点B的对应点E恰好落在对角线AC上，则此时反比例函数的解析式是　y＝（x＞0）　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设P（，4），Q（6，），求得PC＝，AQ＝，得到PB＝6﹣，BQ＝4﹣，根据三角函数的定义得到tan∠BQP＝tan∠BAC，求得∠BQP＝∠BAC，根据平行线的判定定理得到PQ∥AC，连接BE，根据折叠的性质得到BH＝EH，根据平行线分线段成比例定理得到AQ＝BQ＝2，于是得到结论．
【解答】解：∵四边形OABC是矩形，OA＝6，OC＝4，
∴BC＝OA＝6，AB＝OC＝4，
∴B（6，4），
设P（，4），Q（6，），
∴PC＝，AQ＝，
∴PB＝6﹣，BQ＝4﹣，
∴tan∠BQP＝＝＝，
∵tan∠BAC＝＝＝，
∴tan∠BQP＝tan∠BAC，
∴∠BQP＝∠BAC，
∴PQ∥AC，
连接BE，
∵将△PBQ沿PQ折叠，点B的对应点E恰好落在对角线AC上，
∴BH＝EH，
∴AQ＝BQ＝2，
∴＝2，
∴k＝12，
∴反比例函数的解析式是y＝，
故答案为：y＝．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，折叠的性质，平行线的判定，正确的识别图形是解题的关键．
13．（2025 雁塔区校级一模）如图，已知点A、B分别在反比例函数，的图象上，且OA⊥OB，则sinB＝ 　　．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形；反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】作AC⊥y轴，垂足为C，BD⊥y轴，垂足为D，证明△ACO∽△ODB得到＝（）2＝，即tanB＝，求得∠B＝30°，从而求得sinB＝．
【解答】解：作AC⊥y轴，垂足为C，BD⊥y轴，垂足为D，
∵AO⊥BO，
∴∠AOC＝∠OBD＝90°﹣∠BOD，
∵∠ACO＝∠ODB＝90°，
∴△ACO∽△ODB，
∴＝（）2，
∵点A、B分别在反比例函数，的图象上，
∴S△ACO＝，S△ODB＝，
∴（）2＝，
∴＝，
∴tanB＝，
∴∠B＝30°，
∴sinB＝ ．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键．
14．（2025 河北模拟）如图，平面直角坐标系内有两点A（4，0），B（0，4），若反比例函数的图象交线段AB于点C，D，且BC＝CD，则k＝ 　　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．
【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】先求出直线AB的解析式为y＝﹣x+4；过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，设点C的坐标为（t，﹣t+4），则CE＝t，OE＝﹣t+4，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，证明△CBE∽△DBF，，求出BF＝2t，DF＝2t，则OF＝OB﹣BF＝4﹣2t，得到点D的坐标为（2t，4﹣2t），由反比例函数的图象交线段AB于点C、D得到t（﹣t+4）＝2t（4﹣2t），解得（不合题意，舍去），得到点C的坐标为，即可求出答案．
【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，把代入点的坐标得到，
，
解得，
∴y＝﹣x+4；
如图，过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，
设点C的坐标为（t，﹣t+4），则CE＝t，OE＝﹣t+4，
∵BC＝CD，
∴BD＝BC+CD＝2BC，
∵∠CBE＝∠DBF，
∴△CBE∽△DBF，
∴，
即，
∴BF＝2t，DF＝2t，
∴OF＝OB﹣BF＝4﹣2t，
∴点D的坐标为（2t，4﹣2t），
∴t（﹣t+4）＝2t（4﹣2t），
解得（不合题意，舍去），
∴点C的坐标为，
∴，
故答案为：．
【点评】此题考查了一次函数和反比例函数交点问题、相似三角形的判定和性质、坐标与图形等知识．熟练掌握以上知识点是关键．
15．（2025 雁塔区校级一模）如图，在矩形OABC和正方形ADEF中，点A、D均在x轴正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在同一个反比例函数图象上，若正方形ADEF的面积为4，且BF＝AF，则这个反比例函数的表达式为 　　．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】反比例函数（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，求得AB．再设B点的横坐标为t，则E点坐标（t+2，2），根据点B，E在反比例函数的图象上，列出t的方程，即可求出k．
【解答】解：由条件可知正方形ADEF的边长为2，
∴BF＝AF＝2，AB＝AF+BF＝2+2＝4，
设B点坐标为（t，4），则E点坐标（t+2，2），
∵点B，E在反比例函数的图象上，
∴k＝4t＝2（t+2），
解得t＝2，k＝8，
∴这个反比例函数的表达式为．
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 汕头校级模拟）我们定义：如果一个矩形的周长和面积相等，称这个矩形为“完美矩形”，如果一个矩形B周长和面积都是A矩形的n倍，那么我们就称矩形B是矩形A的“n倍契合矩形”．
【概念辨析】
（1）①边长为4的正方形 　是　（填“是”或“不是”）“完美矩形”；
②矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长 　24　，面积为 　16　；
【深入探究】
（2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？
我们可以从函数的观点来研究“2倍契合矩形”，设“2倍契合矩形”的长和宽分别为x，y（x＞0，y＞0），依题意x+y＝10，xy＝12，则y＝﹣x+10，，在图1的平面直角坐标系中作出一次函数l1：y＝﹣x+10和反比例函数l2：的图象来研究，有交点就意味着存在“2倍契合矩形”．
那么长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍契合矩形”？若存在，请求出它的长，若不存在，请说明理由；
（3）①如果长为x，宽为y（x＞0，y＞0）的矩形是一个“完美矩形”，求y与x的函数关系式，并在图2的平面直角坐标系中直接画出函数图象；
②观察图象，直接写出周长为20的“完美矩形”的长．（结果精确到0.1）
【考点】反比例函数综合题．
【专题】作图题；代数几何综合题；新定义；推理能力．
【答案】（1）①是；②24，16；
（2）存在，矩形的长为：5+；
（3）①画出函数的图象见解答，函数的表达式为：y＝；②7.2（答案不唯一）．
【分析】（1）由新定义即可求解；
（2）从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”，联立两个函数表达式得：﹣x+10＝，即可求解；
（3）①由新定义求出函数表达式y＝，画出函数图象即可；
②在①的图象中，函数y＝﹣x+10的图象，得到两个函数交点即可．
【解答】解：（1）①边长为4的正方形的周长和面积均为16，
故该正方形为“完美矩形”，
故答案为：是；
②由新定义知，矩形A的周长是12，面积是8，它的“2倍契合矩形”的周长24，面积为16，
故答案为：24，16；
（2）存在，理由：
从两个函数图象看，两个函数有交点，故存在“2倍契合矩形”，
联立两个函数表达式得：﹣x+10＝，
解得：x＝5+或5﹣（舍去），
即矩形的长为：5+；
（3）①画出函数的图象．
由题意得，矩形的周长为2x+2y，面积为xy，
则2x+2y＝xy，
即y＝，
列表如下：
x 3 4 5 6 7 8 9
y 6 4 3
描点、连线，如下图所示：
②长为x，宽为y（x＞0，y＞0）的矩形是一个“完美矩形”的周长为20，
则x+y＝10，
即y＝﹣x+10，
在①的图象中，函数y＝﹣x+10的图象，两个函数的交点为：2.9和7.2（答案不唯一），
则周长为20的“完美矩形”的长7.2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了反比例函数综合题，认真阅读理解新定义“矩形A是矩形B的完全n倍体”，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
17．（2025 济南模拟）【综合与探究】
【研究背景】在学习一次函数、二次函数及反比例函数的图象与性质过程中，同学们学会了探究函数图象与性质的路径和方法．数学兴趣小组的同学运用学习过的知识，类比反比例函数图象与性质的研究路径，对函数的图象与性质进行探究．
【探究过程】
（1）确定函数自变量的取值范围；
（2）绘制函数图象：
①列表：列出x与y的几组对应值：
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ 0 1 2 …
y … ﹣ ﹣ ﹣1 ﹣2 ﹣3 3 2 m …
②描点：根据表中的数值在坐标系中描点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点得到函数图象．
（3）结合图象探究函数的性质．
【请完成以下任务】
任务一：函数自变量x的取值范围是 　x≠﹣1　；
任务二：表格中m的值是m＝ 　1　；
任务三：把函数图象补充完整；
任务四：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而 　减小　（填“增大”或“减小”）；
任务五：若一次函数y1＝kx+b与函数相交于点，D（﹣2，﹣1），结合函数图象直接写出使不等式y1＜y2成立的x的取值范围．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数综合题；几何直观；运算能力．
【答案】任务一：x≠﹣1；
任务二：1；
任务三：见解析；
任务四：减小；
任务五：x＜﹣2或﹣1＜x＜1．
【分析】任务一：根据分式有意义的条件即可得到结论，
任务二：把（0，m）代入解方程得到m＝1即可；
任务三：根据题意画出函数的图象即可；
任务四：根据反比例函数的性质即可得到结论；
任务五：根据一次函数和反比例函数的交点即可得到结论．
【解答】解：任务一：函数自变量x的取值范围是x≠﹣1，
故答案为：x≠﹣1；
任务二：把（0，m）代入得m＝1，
故答案为：1；
任务三：把函数图象补充完整如图所示；
任务四：观察函数图象，判断在每一个分支上，函数值y随x的增大而减小，
故答案为：减小；
任务五：如图所示，
，
由图象得，不等式y1＜y2成立的x的取值范围为x＜﹣2或﹣1＜x＜1，
故答案为：x＜﹣2或﹣1＜x＜1．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，不等式的解集，正确地画出函数的图象是解题的关键．
18．（2025 佛山一模）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在坐标轴上，且OA＝3，OC＝6，反比例函数的图象与AB、BC分别交于点D、E，连结DE．
（1）如图2，连结OD、OE，当△OAD的面积为2时：
①k＝　4　；
②求△ODE的面积；
（2）如图3，将△DEB沿DE翻折，当点B的对称点F恰好落在边OC上时，求k的值．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】代数综合题；推理能力．
【答案】（1）①4；
②
（2）．
【分析】（1）①根据三角形的面积公式和反比例函数的几何意义解答即可；
②根据解析式代入得出x，进而利用三角形面积公式解答即可；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，根据反比例函数的性质和折叠的性质以及相似三角形的判定和性质得出GF，进而解答即可．
【解答】解：（1）①∵△OAD的面积＝2，
即，
∴k＝4，
故答案为：4；
②在矩形OABC中，OA＝BC＝3，OC＝AB＝6，
∵k＝4，
∴反比例函数的解析式是：y＝（x＞0），
∵OA＝3，
即点D的纵坐标是3，
令y＝＝3，
解得：x＝，
∴D（，3），
同理，当x＝6时，y＝，
∴E（6，），
∴AD＝，BD＝AB﹣AD＝6﹣＝，CE＝，BE＝BC﹣CE＝3﹣，
∴S△ODE＝S矩形OABC﹣S△OAD﹣S△OCE﹣S△BDE＝OA OC﹣；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，则DG＝OA＝3，
∵OA＝3，即点D的纵坐标是3，
令y＝，
得：x＝，
∴D（，3），
同理可得，当x＝6时，y＝，
∴E（6，），
∴AD＝，BD＝AB﹣AD＝6﹣，CE＝，BE＝BC﹣CE＝3﹣，
由折叠的性质可知：DF＝BD＝6﹣，FE＝BE＝3﹣，∠DFE＝∠B＝90°，
∴∠DFG+∠CFE＝90°，
∵DG⊥x轴，
∴∠DFG+∠GDF＝90°，
∴∠CFE＝∠GDF，
∵∠CFE＝∠GDF，∠FCE＝∠DGF＝90°，
∴△CFE∽△GDF，
∴，
即，
∴GF＝，
∵DG⊥x轴，
∴△GDF是直角三角形，DG2+GF2＝DF2，
∴，
解得：k＝，
即k的值为．
【点评】此题是反比例函数的综合题，考查反比例函数的性质、折叠的性质和三角形的面积公式，关键是根据待定系数法得出解析式解答．
19．（2025 信阳模拟）如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标是（3，m）．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）设直线y＝x+b与反比例函数的图象的交点横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），与直线y＝2x的交点横坐标为x3，若x1＜x3＜x2，求b的取值范围．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】数形结合；反比例函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）；
（2）﹣3＜b＜3．
【分析】（1）将点A（3，m）代入y＝2x和之中得m＝6，k＝18，由此可得点A（3，6）及反比例函数的表达式；
（2）先根据对称性求出点B（﹣3，﹣6），当直线y＝x+b过点A（3，6）时得b＝3，当直线y＝x+b经过点B（﹣3，﹣6）时得b＝﹣3，结合函数的图象即可得出b的取值范围．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝2x的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A（3，m），
∴，
解得：m＝6，k＝18，
∴点A（3，6），反比例函数的表达式为：；
（2）∴正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝18/x的图象都关于原点O点对称，
∴点A，B关于原点O对称，
∴点B的坐标为（﹣3，﹣6），
当直线y＝x+b经过点A（3，6）时，则6＝3+b，
∴b＝3，
当直线y＝x+b经过点B（﹣3，﹣6）时，则﹣6＝﹣3+b，
∴b＝﹣3，
结合函数的图象可知：当x1＜x3＜x2时，直线y＝x+b与y＝2x的交点在线段AB上，如图所示：
∴b的取值范围是：﹣3＜b＜3．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象及其性质，理解反比例函数的图象及其性质，熟练掌握待定系数法求函数的表达式是解决问题的关键，利用数形结合思想求b的取值范围是解决问题的难点．
20．（2025 柳州模拟）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压U＝12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为通过实验得出如下数据：
R/Ω … 1 a 3 4 6 …
I/A … 4 3 2.4 2 b …
（1）a＝ 　2　，b＝ 　1.5　；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 　不断减小　．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，的解集为 　x≥2或x＝0　．
【考点】反比例函数综合题．
【专题】跨学科；反比例函数及其应用；推理能力．
【答案】（1）2，1.5；
（2）①见解答；
②不断减小；
（3）x≥2或x＝0．
【分析】（1）由已知列出方程，即可解得a，b的值；
（2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案；
（3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意，3＝，b＝
∴a＝2，b＝1.5；
故答案为：2，1.5；
（2）①根据表格数据描点：（1，4），（2，3），（3，2.4），（4，2），（6，1.5），在平面直角坐标系中画出对应函数（x≥0）的图象如下：
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图：
由函数图象知，当x≥2或x＝0时，，
即当x≥0时，的解集为 x≥2或x＝0，
故答案为：x≥2或x＝0．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题．
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