【中考押题卷】2025年中考数学二轮复习考前预测：命题与证明（含解析）

2025年中考数学二轮复习考前预测：命题与证明
一．选择题（共10小题）
1．（2025 安阳模拟）下列命题属于真命题的是（　　）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．相等的角是对顶角
C．同位角相等
D．垂线段最短
2．（2025 山东一模）下列命题中正确的是（　　）
A．如果a，b，c是一组勾股数，那么4a，4b，4c也是一组勾股数
B．如果一个三角形的三个内角的度数之比是1：2：3，那么这个三角形三个内角所对的边之比也是1：2：3
C．如果直角三角形的两边分别是3，4，那么斜边一定是5
D．任何一个定理都有逆定理
3．（2024 天山区校级二模）下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题的反例是（　　）
A．， B．，
C．a＝2，b＝3 D．，b＝2
4．（2024 南山区校级三模）下列命题中，真命题的是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直
B．一个正数的算术平方根一定比这个数小
C．点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3）
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
5．（2024 宜兴市模拟）下列选项中可以用来说明命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题的反例是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝﹣3
6．（2024 罗湖区校级模拟）能说明命题“对于任意实数，．”是假命题，其中a可取的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
7．（2024 南山区三模）下列命题中是假命题的是（　　）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8．（2024 兴隆台区校级三模）下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024 太平区二模）下列各命题的逆命题成立的是（　　）
A．全等三角形的面积相等
B．如果a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
10．（2024 坪山区校级一模）下列命题正确的是（　　）
A．方程x2﹣x﹣1＝0没有实数根
B．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似
C．平分弦的直径垂直于弦
D．反比例函数的图象不会与坐标轴相交
二．填空题（共5小题）
11．（2025 佛山一模）在平面直角坐标系xOy中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足OM+ON＝8．点Q为线段MN的中点，则点Q运动路径的长为　 　．
12．（2024 石景山区一模）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：
①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；
②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；
③每个步骤所需时间如表所示：
步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备
所需时间/分钟 9 7 6 4
在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 　 　分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 　 　分钟．
13．（2024 蚌山区三模）写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：　 　．
14．（2024 乐山模拟）命题“等角的余角相等”的逆命题是　 　，这是一个　 　命题．（填“真”或“假”）
15．（2024 西安校级模拟）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著．请写出命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题：　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 江北区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出△ABD和△ACD面积的比值与边AB和AC长度的比值之间的关系．经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D作AC的垂线，垂足为点E，再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等，从而得到结论，请根据小智他们的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：过点D作AC的垂线，交AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴①　 　．
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠B＝90°．
又②　 　，
∴△ABD≌△AED（AAS）．
∴③　 　．
∵S△ABD＝AB DB，S△ACD＝AC DE，
∴．
小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④　 　．
17．（2024 沙坪坝区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出△ABD和△ACD面积的比值与AB，AC两边比值的关系．他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等，进一步得到△ABD和△ACD的面积之比等于∠BAC的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规，过点D作AC的垂线，垂足为点H（只保留作图痕迹）．
（2）证明：∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°＝∠B．
∵AD平分∠BAC，
∴①　 　．
在△ABD和△AHD中，
∴△ABD≌△AHD（AAS）．
∴③　 　．
∵，
，
∴．
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么④　 　．
18．（2024 遂平县一模）电动切割机以其高效、准确和便捷的特点，成为现代工作中不可或缺的工具，图1是从电动切割机抽象出来的几何模型，ON为固定台，切割片⊙A与摆臂OM相切于点P，图2是切割机完成工作时候的模型图，此时切割片⊙B与ON相切．已知切割片的半径为30cm，转轴OA长是60cm，∠MON＝90° （此次切割片在工作时候的磨损忽略不计）．
（1）求图2中点B到OM的距离；
（2）求砂轮工作前后，圆心A运动轨迹长度．
19．（2024 重庆二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出△ABD和△ACD面积的比值与AB，AC两边比值的关系．他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等，进一步得到△ABD和△ACD的面积之比等于∠BAC的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：过点D作AC的垂线，垂足为点H（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）．
（2）证明：∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°＝∠B
∵AD平分∠BAC，
∴　 　．
在△ABD和△AHD中，
∴△ABD≌△AHD（AAs）．
∴BD＝DH．
∵，
，
∴＝　 　．
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 　 　．
20．（2024 渝中区校级三模）学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点A作CD的垂线，垂足为点M，交BD于点N．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，过A作AE⊥BC于点E，并交对角线BD于点F，作AM⊥CD于点M，交对角线BD于点N．求证：AF＝AN．
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝　 　
∠ABC＝∠ADC
∵AE⊥BC，AM⊥CD
∴∠AEB＝∠AMD＝90°
∵∠AEB+∠ABC+∠BAE＝180°
∠AMD+∠ADC+∠DAM＝180°
∴　 　
∴△ABF≌　 　
∴AF＝AN
请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则 　 　.
2025年中考数学二轮复习考前预测：命题与证明
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 安阳模拟）下列命题属于真命题的是（　　）
A．同旁内角相等，两直线平行
B．相等的角是对顶角
C．同位角相等
D．垂线段最短
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定定理、对顶角相等、垂线段最短判断即可．
【解答】解：A、同旁内角互补，两直线平行，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、同位角不一定相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、垂线段最短，是真命题，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
2．（2025 山东一模）下列命题中正确的是（　　）
A．如果a，b，c是一组勾股数，那么4a，4b，4c也是一组勾股数
B．如果一个三角形的三个内角的度数之比是1：2：3，那么这个三角形三个内角所对的边之比也是1：2：3
C．如果直角三角形的两边分别是3，4，那么斜边一定是5
D．任何一个定理都有逆定理
【考点】命题与定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】利用勾股数的定义、三角形的性质、勾股定理等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、如果a，b，c是一组勾股数，那么4a，4b，4c也是一组勾股数，正确，符合题意；
B、如果一个三角形的三个内角的度数之比是1：2：3，那么这个三角形三个内角所对的边之比也是1：：2，故原命题错误，不符合题意；
C、如果直角三角形的两边分别是3，4，那么斜边是5或，故原命题错误，不符合题意；
D、任何命题都有逆命题，但定理不一定有逆定理，故原命题错误，不符合题意，
故选：A．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解勾股数的定义、三角形的性质、勾股定理等知识，属于基础题，比较简单．
3．（2024 天山区校级二模）下列选项中，可以用来证明命题“两个无理数的乘积一定是无理数”是假命题的反例是（　　）
A．， B．，
C．a＝2，b＝3 D．，b＝2
【考点】命题与定理；实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】错误的命题即为假命题，无限不循环小数即为无理数，再把每个选项的数值进行运算，即可作答．
【解答】解：A、，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的；
B、，说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是正确的；
C、2，3不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的；
D、2不是无理数，无法说明两个无理数的乘积一定是无理数是假命题，故该选项是错误的；
故选：B．
【点评】本题考查了假命题的定义以及无理数的定义，掌握错误的命题即为假命题是解题的关键．
4．（2024 南山区校级三模）下列命题中，真命题的是（　　）
A．矩形的对角线互相垂直
B．一个正数的算术平方根一定比这个数小
C．点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3）
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
【考点】命题与定理；关于x轴、y轴对称的点的坐标；线段垂直平分线的性质；矩形的性质；正方形的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】根据矩形的性质、算术平方根、轴对称以及正方形性质，进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：A、矩形的对角线相等，故原说法是错误的，不符合题意；
B、1的算术平方根是1，故一个正数的算术平方根不一定比这个数小，故该选项是错误的，不符合题意；
C、点（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点坐标是（﹣2，3），故该选项是正确的，符合题意；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原说法是错误的，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了命题的真假以及矩形的性质、算术平方根、轴对称以及正方形性质，关键是矩形性质的应用．
5．（2024 宜兴市模拟）下列选项中可以用来说明命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题的反例是（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝3 D．x＝﹣3
【考点】命题与定理．
【专题】推理填空题．
【答案】D
【分析】根据有理数的乘方法则、假命题的概念解答．
【解答】解：A、x＝﹣1时，不满足x2＞1，本选项不符合题意；
B、x＝1时，不满足x2＞1，本选项不符合题意；
C、x＝3时．满足x2＞1，则x＞1．本选项不符合题意；
D、∵（﹣3）2＝9＞1，﹣3＜1，
∴当x＝﹣3时，说明命题“若x2＞1，则x＞1”是假命题，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
6．（2024 罗湖区校级模拟）能说明命题“对于任意实数，．”是假命题，其中a可取的值是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．
【考点】命题与定理；二次根式的性质与化简．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】分别把各选项的值代入即可进行判断．
【解答】解：A．当a＝﹣1时，，符合题意；
B．当a＝0时，，不符合题意；
C．当a＝1时，，不符合题意；
D．当时，，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．（2024 南山区三模）下列命题中是假命题的是（　　）
A．三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
C．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【考点】命题与定理；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；垂径定理；切线的性质．
【专题】空间观念．
【答案】B
【分析】利用三角形的中位线定理、垂径定理、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判断后即可
【解答】解：A、三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
B、平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故原命题是假命题，本选项符合题意；
C、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，掌握三角形的中位线定理、垂径定理、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
8．（2024 兴隆台区校级三模）下列图形中，能说明“相等的角是对顶角”为假命题的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据对顶角的定义，再结合举反例的方法可得到答案．
【解答】解：选项A中的图形，满足两个角相等，但是不是对顶角，故A符合题意；
选项B中的图形是对顶角，故B不符合题意；
选项C中的图形两个角不相等，故C不符合题意；
选项D中的图形两个角不相等，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是真假命题的判定，对顶角的含义，掌握判断命题为真假命题的判定方法是解本题的关键．
9．（2024 太平区二模）下列各命题的逆命题成立的是（　　）
A．全等三角形的面积相等
B．如果a＝b，那么a2＝b2
C．对顶角相等
D．两直线平行，同旁内角互补
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；全等三角形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，据此解答即可．
【解答】解：A、“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等形”是假命题，故A不符合题意；
B、“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是“如果a2＝b2，那么a＝b”是假命题，故B不符合题意；
C、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”是假命题，故C不符合题意；
D、“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”是真命题，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了逆命题，熟悉课本中的性质定理是解题的关键．
10．（2024 坪山区校级一模）下列命题正确的是（　　）
A．方程x2﹣x﹣1＝0没有实数根
B．两边成比例及一角对应相等的两个三角形相似
C．平分弦的直径垂直于弦
D．反比例函数的图象不会与坐标轴相交
【考点】命题与定理；相似三角形的判定；根的判别式；函数的图象；垂径定理．
【专题】一元二次方程及应用；反比例函数及其应用；圆的有关概念及性质；图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式、相似三角形的判定定理、垂径定理的推论、反比例函数的性质判断即可．
【解答】解：A、方程x2﹣x﹣1＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，则方程有两个不相等的实数根，故本选项命题错误，不符合题意；
B、两边成比例及夹角对应相等的两个三角形相似，故本选项命题错误，不符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项命题错误，不符合题意；
D、反比例函数的图象不会与坐标轴相交，命题正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 佛山一模）在平面直角坐标系xOy中，点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，满足OM+ON＝8．点Q为线段MN的中点，则点Q运动路径的长为　8　．
【考点】轨迹；坐标与图形性质．
【专题】推理能力．
【答案】．
【分析】根据题意找出点Q的运动轨迹是两条线段设点M的坐标为（0，m），点N的坐标为（n，0），则点Q的坐标为，根据OM+ON＝8，得出|n|+|m|＝8，然后分两种情况，﹣8≤n＜0或0≤n≤8，得出与的函数关系式，即可得出Q横纵坐标的关系式，找出点Q的运动轨迹，根据勾股定理求出运动轨迹的长即可．
【解答】解：∵点M在y轴的非负半轴上运动，点N在x轴上运动，
设点M的坐标为（0，m），点N的坐标为（n，0），
∵点Q为线段MN的中点，
则点Q的坐标为，
∵OM+ON＝8，
∴|n|+|m|＝8，（﹣8≤n≤8，0≤m≤8），
∵当﹣8≤n＜0时，|n|+|m|＝﹣n+m＝8，
∴，
∴，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的负半轴上，坐标为（﹣4，0），另一端在y轴的非负半轴上，坐标为（0，4），
∴此时点Q的运动路径长为；
∵当0≤n≤8时，|n|+|m|＝n+m＝8，
∴，
∴，
∴此时点Q在一条线段上运动，线段的一个端点在x轴的正半轴上，坐标为（4，0），另一端在y轴的非负半轴上，坐标为（0，4），
∴此时点Q的运动路径长为；
综上分析可知，点Q运动路径的长为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中的动点问题，一次函数的应用，化为最简二次根式，掌握平面直角坐标系中的动点问题，一次函数的应用是解题的关键．
12．（2024 石景山区一模）某酒店在客人退房后清洁客房需打扫卫生、整理床铺、更换客用物品、检查设备共四个步骤．某清洁小组有甲、乙、丙三名工作人员，工作要求如下：
①“打扫卫生”只能由甲完成；每间客房“打扫卫生”完成后，才能进行该客房的其他三个步骤，这三个步骤可由任意工作人员完成并可同时进行；
②一个步骤只能由一名工作人员完成，此步骤完成后该工作人员才能进行其他步骤；
③每个步骤所需时间如表所示：
步骤 打扫卫生 整理床铺 更换客用物品 检查设备
所需时间/分钟 9 7 6 4
在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，需要 　26　分钟；若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要 　43　分钟．
【考点】推理与论证；统计表．
【专题】推理填空题；统计的应用；数据分析观念；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为四个步骤所需时间的和，若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，所需时间为“打扫卫生”和“整理床铺”2个步骤所需时间的和．
【解答】解：在不考虑其他因素的前提下，若由甲单独完成一间客房的清洁工作，所需时间为：9+7+6+4＝26（分钟）；
若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，甲完成四间客房“打扫卫生”需36分钟，甲完成一间客房“打扫卫生”需9分钟，随后乙、丙进行其他三个步骤，可完成四间客房整理床铺、更换客用物品的工作，其中一人完成四间客房整理床铺需28分钟，可再完成二间客房检查设备的工作，一人完成四间客房更换客用物品需24分钟，也可再完成二间客房检查设备的工作，所以若由甲、乙、丙合作完成四间客房的清洁工作，则最少需要36+7＝43分钟．
故答案为：26，43．
【点评】本题考查了统计的知识，理解题意是解题的关键．
13．（2024 蚌山区三模）写出定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：　如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形　．
【考点】命题与定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
【解答】解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
【点评】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
14．（2024 乐山模拟）命题“等角的余角相等”的逆命题是　如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等　，这是一个　真　命题．（填“真”或“假”）
【考点】命题与定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把等角的余角相等写成“如果…那么…”的形式，然后交换题设和结论即可得到逆命题，再判断其真假．
【解答】解：“等角的余角相等”的逆命题为“如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等”，这是一个真命题．
故答案为如果两个角的余角相等，那么这两个角也相等；真．
【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．
15．（2024 西安校级模拟）《原本》是古希腊数学家欧几里得的著作，它以公理和原名为基础推演出更多的结论，是流传最广、影响最大的一部世界数学名著．请写出命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题：　如果a2＝b2，那么a＝b　．
【考点】命题与定理．
【专题】实数；数感．
【答案】如果a2＝b2，那么a＝b．
【分析】将原命题的条件和题设互换即可写出逆命题．
【解答】解：逆命题为：如果a2＝b2，那么a＝b．
故答案为：如果a2＝b2，那么a＝b．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出该命题的逆命题．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 江北区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出△ABD和△ACD面积的比值与边AB和AC长度的比值之间的关系．经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D作AC的垂线，垂足为点E，再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等，从而得到结论，请根据小智他们的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：过点D作AC的垂线，交AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴①　∠CAD＝∠BAD　．
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠B＝90°．
又②　AD＝AD　，
∴△ABD≌△AED（AAS）．
∴③　DE＝BD　．
∵S△ABD＝AB DB，S△ACD＝AC DE，
∴．
小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④　相等　．
【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；作图—复杂作图．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；尺规作图；推理能力．
【答案】∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，DE＝BD，相等．
【分析】（1）以D为圆心画弧交AC于M、N，作线段MN的垂直平分线交AC于E；
（2）判定△ABD≌△AED（AAS），推出DE＝BD，由三角形面积公式推出，由以上证明即可得到结论．
【解答】（1）解：如图所示：DE⊥AC；
（2）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝∠B＝90°，
又AD＝AD，
∴△ABD≌△AED（AAS）．
∴DE＝BD．
S△ABD＝AB DB，S△ACD＝AC DE，∴．
小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论，如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值相等．
故答案为：∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，DE＝BD，相等．
【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作图﹣复制作图，关键是掌握尺规作图：过直线外一点作已知直线的方法，判定△ABD≌△AED（AAS），推出DE＝BD．
17．（2024 沙坪坝区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出△ABD和△ACD面积的比值与AB，AC两边比值的关系．他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等，进一步得到△ABD和△ACD的面积之比等于∠BAC的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：
（1）用直尺和圆规，过点D作AC的垂线，垂足为点H（只保留作图痕迹）．
（2）证明：∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°＝∠B．
∵AD平分∠BAC，
∴①　∠BAD＝∠HAD　．
在△ABD和△AHD中，
∴△ABD≌△AHD（AAS）．
∴③　BD＝DH　．
∵，
，
∴．
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么④　这两个三角形的面积之比，等于这个角的两条邻边边长之比．　．
【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；作图—基本作图．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）分别以A、C点为圆心，长为半径在线段AC两侧画弧，各有两个交点，连接这两个交点交AC边与H，则直线DH即为AC的垂线；
（2）根据AAS，再找一条公共边，证明△ABD≌△AHD，得到BD＝DH，进而将面积之比转化长相应边的比
【解答】解：（1）如图，直线DH为所作垂段；
（2）解：证明：∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°＝∠B．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠HAD．
在△ABD和△AHD中，
∴△ABD≌△AHD（AAS）．
∴BD＝HD．
∵，
，
∴．
所以：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的作图，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
18．（2024 遂平县一模）电动切割机以其高效、准确和便捷的特点，成为现代工作中不可或缺的工具，图1是从电动切割机抽象出来的几何模型，ON为固定台，切割片⊙A与摆臂OM相切于点P，图2是切割机完成工作时候的模型图，此时切割片⊙B与ON相切．已知切割片的半径为30cm，转轴OA长是60cm，∠MON＝90° （此次切割片在工作时候的磨损忽略不计）．
（1）求图2中点B到OM的距离；
（2）求砂轮工作前后，圆心A运动轨迹长度．
【考点】轨迹；勾股定理的应用；垂径定理；切线的性质．
【专题】与圆有关的计算；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）点B到OM的距离为30cm；
（2）圆心A运动轨迹长度为10πcm．
【分析】（1）过点B作BQ⊥ON，BC⊥OM．则AP＝BQ＝30cm，OA＝OB＝60cm．由勾股定理得OQ的长，根据∠BCO＝∠BQO＝∠MON＝90°，得出四边形BCOQ为矩形．则BC＝OQ＝30cm；
（2）在Rt△OQB中，，则∠BOQ＝30°，同理可得∠AOP＝∠BOO＝30°．则∠AOB＝90°﹣60°＝30°．所以圆心A运动轨迹的长．
【解答】解：（1）过点B作BQ⊥ON，BC⊥OM，垂足分别为Q，C．
∴AP＝BQ＝30cm，OA＝OB＝60cm．
∴由勾股定理得OQ＝＝＝30cm，
∵∠BCO＝∠BQO＝∠MON＝90°，
∴四边形BCOQ为矩形．
∴BC＝OQ＝30cm，
∴点B到OM的距离为30cm；
（2）在 Rt△OQB 中，，
∴∠BOQ＝30°，
同理可得∠AOP＝∠BOO＝30°．
∴∠AOB＝90°﹣60°＝30°．
∴圆心A运动轨迹的长为．
答：圆心A运动轨迹长度为10πcm．
【点评】本题考查轨迹、勾股定理的应用、垂径定理、切线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
19．（2024 重庆二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出△ABD和△ACD面积的比值与AB，AC两边比值的关系．他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等，进一步得到△ABD和△ACD的面积之比等于∠BAC的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：
（1）尺规作图：过点D作AC的垂线，垂足为点H（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）．
（2）证明：∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°＝∠B
∵AD平分∠BAC，
∴　∠BAD＝∠HAD　．
在△ABD和△AHD中，
∴△ABD≌△AHD（AAs）．
∴BD＝DH．
∵，
，
∴＝　　．
小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么 　这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比　．
【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；作图—复杂作图．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】∠BAD＝∠HAD；AD＝AD；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
【分析】（1）分别以A、C点为圆心，长为半径在线段AC两侧画弧，各有两个交点，连接这两个交点交AC边与H，则直线DH即为AC的垂线；
（2）根据AAS，再找一条公共边，证明△ABD≌△AHD，得到BD＝DH，进而将面积之比转化长相应边的比．
【解答】（1）解：如图，直线DH为所作垂段；
（2）证明：∵DH⊥AC，
∴∠AHD＝90°＝∠B．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠HAD．
在△ABD和△AHD中，
，
∴△ABD≌△AHD（AAS）．
∴BD＝HD．
∵，
，
∴．
所以：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
故答案为：∠BAD＝∠HAD；AD＝AD；；这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的作图，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
20．（2024 渝中区校级三模）学习了菱形后，小莉进行了拓展性研究：过菱形的一个顶点分别向两条对边作垂线，则这两条垂线与对角线产生两个交点，那么这两交点到此顶点的距离关系如何？她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，过点A作CD的垂线，垂足为点M，交BD于点N．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形ABCD是菱形，过A作AE⊥BC于点E，并交对角线BD于点F，作AM⊥CD于点M，交对角线BD于点N．求证：AF＝AN．
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝　AD　
∠ABC＝∠ADC
∵AE⊥BC，AM⊥CD
∴∠AEB＝∠AMD＝90°
∵∠AEB+∠ABC+∠BAE＝180°
∠AMD+∠ADC+∠DAM＝180°
∴　∠BAE＝∠DAN　
∴△ABF≌　△ADN　
∴AF＝AN
请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则 　两交点到顶点的距离相等　.
【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；作图—基本作图．
【答案】作图见解析，①AD；②∠BAE＝∠DAN；③△ADN；④两交点到顶点的距离相等．
【分析】用尺规作图作出过A与CD垂直的垂线；由菱形的性质易证△ABF≌ADN，则可得AF＝AN；由此可归纳出结论．
【解答】解：作图如下：
证明：∵四边形ABCD是菱形，
AB＝AD，
∠ABC＝∠ADC，
，
∵AE⊥BC，AM⊥CD，
∴∠AEB＝∠AMD＝90°，
∵∠AEB+∠ABC+∠BAE＝180°，
∠AMD+∠ADC+∠DAM＝180°，
∴∠BAE＝∠DAN，
∴△ABF≌△ADN，
∴AF＝AN，
请你依照题意完成下面命题：过菱形的一个顶点向两条对边作垂线，与对角线产生两个交点，则两交点到顶点的距离相等．
故答案为：①AD；②∠BAE＝∠DAN；③△ADN；④两交点到顶点的距离相等．
【点评】本题考查了命题：任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证．也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)