【中考押题卷】2025年中考数学二轮复习考前预测：三角形（含解析）

2025年中考数学二轮复习考前预测：三角形
一．选择题（共10小题）
1．（2025 雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝2，则BD的长为（　　）
A．4 B． C．2 D．
2．（2025 雁塔区校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，∠DAC是△ABC的外角，则∠DAC的度数是（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
3．（2025 秦都区校级一模）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝AD＝6，DF⊥AC于F，DF＝4，则AB的长为（　　）
A．8 B．10 C． D．
4．（2025 碑林区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，S△ABD＝，则AD的长为（　　）
A． B． C．1 D．
5．（2025 安徽模拟）如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，延长BE交AC于点F，已知AF＝2，则AC的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．（2025 泸县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的内切圆，则⊙O的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．（2025 杨浦区一模）对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（　　）
A．各个内角的大小始终保持不变
B．各条边的长度始终保持不变
C．三角形的面积始终保持不变
D．三角形的周长始终保持不变
8．（2025 普陀区一模）如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AB＝DC，如果要证得△ABC与△CDA全等，那么可以添加的条件是（　　）
A．AD∥BC B．∠B＝∠D
C．∠B＝∠ACD D．∠ACB＝∠CAD＝90°
9．（2024 南安市模拟）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，则△ABD的周长为（　　）
A．8 B．11 C．16 D．17
10．（2024 温州二模）尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在△ABC中，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，BC为半径作弧交边AB于点D；②以点A为圆心，AD为半径作弧交AC于点E；③连结CD与DE．若要求∠CDE的度数，则只需知道（　　）
A．∠A的度数 B．∠B的度数
C．∠ACB的度数 D．∠DCE的度数
二．填空题（共5小题）
11．（2025 鹿城区校级一模）如图，点D、E分别为AB，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF＝　 　．
12．（2025 十堰校级模拟）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　 　（填“增加”或“减少”） 　 　度．
13．（2025 雁塔区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，AD是BC边上的中线，E是AC边上一点．若DE＝DC，则∠ADE的度数为 　 　．
14．（2025 永寿县校级一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点O在AD上，OA的垂直平分线分别交AC、AB于点E、F，连接OC，若OC＝AF＝4，则△AOC的面积为　 　．
15．（2025 晋安区校级模拟）如图，动点P在等边△ABC的边AC（不包括端点）上，，连接PB，AD⊥PB于D，以AD为一边在AD右侧作等边△ADE，ED的延长线交BC于F，若∠EFC＝45°，则EF＝ 　 　．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 鼓楼区校级模拟）如图AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
求证：AD＝AE．
17．（2025 汕头模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF．
18．（2025 河北模拟）如图1和图2，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AB＝20，BC＝15，DF＝15，DE＝12．点D，E分别在AB，AC边上滑动，点F在DE的右侧，当DF与AC相交时，交点记为P．
（1）EF的长为 　 　，EP的最小值为 　 　；
（2）如图1，当DP＝12时，请证明AP＝AD；
（3）如图2，
①尺规作图：过点A做直线DF的垂线AN，垂足为点N（保留作图痕迹，不写作图过程）；
②若AM垂直平分DE，求AN的长；
（4）直接写出点A与点F的最大距离．
19．（2025 黄石一模）已知：如图，AD，BC相交于点O，且AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．求证：CO＝DO．
20．（2025 山东一模）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题：
（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在边BC上，且∠DAE＝45°，小红对小波说：“图中线段BD、DE和EC有一定的数量关系，你知道吗？”
小波毫不思索的回答道：“太简单了，把△ABD绕点A逆时针转90°得到△ACF，连接EF，就能证出BD2+EC2＝DE2．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指．
【解决问题】
①若，则BD＝　 　；
②请你帮助小波证明他的结论．
【情境理解应用】
（2）小波接着对小红说：“如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90度，AB＝AD，∠ACD＝45°，若，你知道AC的长吗？”，小红会意点了头．小红的答案是AC＝　 　．
2025年中考数学二轮复习考前预测：三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 雁塔区校级模拟）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为点E．若DE＝2，则BD的长为（　　）
A．4 B． C．2 D．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】过点D作DF⊥AB，根据角平分线的性质得出DF＝DE＝2，再由等角对等边得出DF＝BF＝2，由勾股定理即可求解．
【解答】解：过点D作DF⊥AB，如图所示：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，DE＝2，
∴DF＝DE＝2，
∵∠B＝45°，
∴∠BDF＝∠B＝45°，
∴DF＝BF＝2，
∴，
故选：D．
【点评】题目主要考查角平分线的性质，等角对等边及勾股定理解三角形，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
2．（2025 雁塔区校级一模）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，∠DAC是△ABC的外角，则∠DAC的度数是（　　）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【考点】三角形的外角性质．
【专题】三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据三角形外角的性质，求出∠B，即可解答．
【解答】解：∵∠DAC是△ABC的外角，
∴∠DAC＝∠B+∠C，
∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，
∵∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠B﹣15°，
∴3∠B＝165°，
∴∠B＝55°，
∴∠DAC＝2×55°＝110°，
故选：C．
【点评】本题考查三角形的外角性质，掌握三角形的外角性质是解题的关键．
3．（2025 秦都区校级一模）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝AD＝6，DF⊥AC于F，DF＝4，则AB的长为（　　）
A．8 B．10 C． D．
【考点】角平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】过点D作DE⊥AB于E，则由角平分线的性质可得DE＝DF＝4，由三线合一定理得到AB＝2AE，利用勾股定理求出，则．
【解答】解：如图所示，过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝4，
∵BD＝AD＝6，
∴AB＝2AE，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的三线合一定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握角平分线性质定理．
4．（2025 碑林区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是边BC上的中线和高，若AE＝2，S△ABD＝，则AD的长为（　　）
A． B． C．1 D．
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据三角形面积公式求出BD＝，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可．
【解答】解：∵AE是△ABC中BC边上的高，S△ABD＝，
∴S△ABD＝×BD×AE＝，
∵AE＝2，
∴BD＝，
∵AD是Rt△ABC中BC边上的中线，
∴DC＝BD＝AD＝，
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形斜边上的中线的性质以及三角形的面积，解题的关键是掌握直角三角形斜边上中线的性质．
5．（2025 安徽模拟）如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，延长BE交AC于点F，已知AF＝2，则AC的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】过点D作DG∥AC交BF于点G，根据平行线的性质得出∠EDG＝∠EAF，∠DGE＝∠AFE．证明△AEF≌△DEG，根据全等三角形的性质可得DG＝AF＝2，由DG∥AF可证△BGD∽△BFC，再根据AD是△ABC的中线，结合相似三角形的性质即可得CF＝2DG＝4，即可求解
【解答】解：如图，过点D作DG∥AC交BF于点G，
则∠EDG＝∠EAF，∠DGE＝∠AFE．
∵BE是△ABD的中线，
∴AE＝DE，
∴△AEF≌△DEG，
∴DG＝AF＝2．
∵DG∥AF，
∴△BGD∽△BFC，
∴，
∵AD是△ABC的中线，
∴2BD＝BC，
∴CF＝2DG＝4，
∴AC＝AF+CF＝2+4＝6．
故选：A．
【点评】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
6．（2025 泸县一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的内切圆，则⊙O的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【考点】勾股定理；三角形的内切圆与内心．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出BC的长，设⊙O的半径为r，再根据三角形的面积公式将三角形ABC的面积分成△AOB+△AOC+△BOC得出方程求解即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB、OC，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝，
设⊙O的半径为r，
则S＝＝6，
即（5+4+3） r＝6，
∴r＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟记勾股定理，三角形的面积公式是解题的关键．
7．（2025 杨浦区一模）对一个三角形进行放缩运动时，下列结论中正确的是（　　）
A．各个内角的大小始终保持不变
B．各条边的长度始终保持不变
C．三角形的面积始终保持不变
D．三角形的周长始终保持不变
【考点】三角形内角和定理；三角形的面积．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例的性质来判断．
【解答】解：一个三角形进行放缩运动，各个内角的大小始终保持不变，故A符合题意；
一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，故B选项不符合题意；
一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，面积也进行变化，故C选项不符合题意；
一个三角形进行放缩运动，各条边的长度也进行变化，周长也进行变化，故D选项不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积，解题的关键是根据相似三角形的性质来判断．
8．（2025 普陀区一模）如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AB＝DC，如果要证得△ABC与△CDA全等，那么可以添加的条件是（　　）
A．AD∥BC B．∠B＝∠D
C．∠B＝∠ACD D．∠ACB＝∠CAD＝90°
【考点】全等三角形的判定．
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】对于选项A，根据AD∥BC得∠ACB＝∠CAD，由于AB＝DC，AC＝CA，∠ACB＝∠CAD不符合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断；对于选项B，由于AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠D不符合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断；对于选项C，由于AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠ACD不符合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断；对于选项D，根据∠ACB＝∠CAD＝90° 得△ABC和△CDA均为直角三角形，由于AB＝DC，AC＝CA符合全等三角形的判定条件，进而可对该选项进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD，
根据AB＝DC，AC＝CA，∠ACB＝∠CAD，不能判定△ABC与△CDA全等，
故选项A不符合题意；
对于选项B，
根据AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠D，不能判定△ABC与△CDA全等，
故选项B不符合题意；
对于选项C，
根据AB＝DC，AC＝CA，∠B＝∠ACD，不能判定△ABC与△CDA全等，
故选项C不符合题意；
对于选项D，
∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴△ABC和△CDA均为直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△CDA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），
故选D符合题意，
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
9．（2024 南安市模拟）如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，则△ABD的周长为（　　）
A．8 B．11 C．16 D．17
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（2024 温州二模）尺规作图源于古希腊的数学课题，蕴含着丰富的几何原理．如图，在△ABC中，按如下步骤尺规作图：①以点B为圆心，BC为半径作弧交边AB于点D；②以点A为圆心，AD为半径作弧交AC于点E；③连结CD与DE．若要求∠CDE的度数，则只需知道（　　）
A．∠A的度数 B．∠B的度数
C．∠ACB的度数 D．∠DCE的度数
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由作图得到BD＝BC，AD＝AE，根据等腰三角形的性质得出∠BDC＝∠BCD，∠ADE＝∠AED，在△ADE和△BDC中根据三角形内角和定理分别求出∠A、∠B的度数，继而求出∠A+∠B的度数，从可求出∠CDE与∠ACB的关系，即可得出答案．
【解答】解：由题意得，BD＝BC，AD＝AE，
∴∠BDC＝∠BCD，∠ADE＝∠AED，
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
即∠A＝180°﹣2∠ADE，
在△BDC中，∠B+∠BDC+∠BCD＝180°，
即∠B＝180°﹣2∠BDC，
∴∠A+∠B＝180°﹣2∠ADE+180°﹣2∠BDC＝360°﹣2（∠ADE+∠BDC），
∵∠ADE+∠BDC＝180°﹣∠CDE，
∴∠A+∠B＝360°﹣2（180°﹣∠CDE）＝2∠CDE，
在△ABC中，∠A+∠B＝180°﹣∠ACB，
∴2∠CDE＝180°﹣∠ACB，
即∠CDE＝90°﹣，
∴若要求∠CDE的度数，则只需知道∠ACB的度数，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 鹿城区校级一模）如图，点D、E分别为AB，AC的中点，BF平分∠ABC交DE于点F，若AB＝4，BC＝6，则EF＝　1　．
【考点】三角形中位线定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC＝3，DE∥BC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠DBF＝∠DFB，得到DF＝BD＝2，计算即可．
【解答】解：∵点D、E分别为AB，AC的中点，AB＝4，
∴DE是△ABC的中位线，BD＝AB＝2，
∴DE＝BC＝3，DE∥BC，
∴∠DFB＝∠FBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠DFB＝∠FBC，
∴∠DBF＝∠DFB，
∴DF＝BD＝2，
∴EF＝DE﹣DF＝3﹣2＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
12．（2025 十堰校级模拟）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应 　减少　（填“增加”或“减少”） 　10　度．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】减少；10．
【分析】连接CF，并延长至点M，在△ABC中，利用三角形内角和定理，可得出∠ACB的度数，结合对顶角相等，可得出∠DCE的度数，利用三角形外角的性质，可得出∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，二者相加后，可求出∠D的度数，再结合∠D的原度数，即可求出结论．
【解答】解：连接CF，并延长至点M，如图所示．
在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠DCE＝∠ACB＝70°．
∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，
∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E＝∠DCE+∠D+∠E，
即110°＝70°+∠D+30°，
∴∠D＝10°，
∴20°﹣10°＝10°，
∴图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．
故答案为：减少；10．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出∠EFD与∠D之间的关系是解题的关键．
13．（2025 雁塔区校级一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝70°，AD是BC边上的中线，E是AC边上一点．若DE＝DC，则∠ADE的度数为 　50°　．
【考点】等腰三角形的性质；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】50°．
【分析】由等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝70°，由三角形内角和定理求出∠BAC＝40°，由等腰三角形的性质推出∠DAC＝∠BAC＝20°，∠DEC＝∠C＝70°，由三角形的外角性质即可求出∠ADE的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣70°×2＝40°，
∵AD是BC边的中线，
∴AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝20°，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C＝70°，
∴∠ADE＝∠DEC﹣∠DAC＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的中线、角平分线和高线，关键是掌握等腰三角形的性质．
14．（2025 永寿县校级一模）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点O在AD上，OA的垂直平分线分别交AC、AB于点E、F，连接OC，若OC＝AF＝4，则△AOC的面积为　　．
【考点】勾股定理；菱形的判定与性质；角平分线的定义；三角形的面积；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】．
【分析】连接OE、OF，作OH⊥AC于点H．由EF垂直平分OA可得AE＝OE，AF＝OF，结合AD平分∠BAC可知四边形AEOF是菱形，则AE＝OE＝AF＝OC＝4，CH＝HE．由菱形的性质及∠BAC＝30°可得∠CEO＝30°，则，则，进而可求面积．
【解答】解：如图，连接OE、OF，作OH⊥AC于点H．
∵EF垂直平分OA，
∴AE＝OE，AF＝OF，
∴∠EAO＝∠EOA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAO＝∠FAO，
∴∠FAO＝∠EOA，
∴OE∥AF，
同理可证明AE∥OF，
∴四边形AEOF是平行四边形，
∵AE＝OE，
∴四边形AEOF是菱形，
∴AE＝OE＝AF＝OC＝4，
∵OH⊥AC，
∴CH＝HE．
∵∠BAC＝30°，OE∥AF，
∴∠CEO＝30°，
∴OH＝OE＝×4＝2，
∴，
∴，
∴，
∴，
所以△AOC的面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的判定与性质，30度角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形面积，熟知相关知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
15．（2025 晋安区校级模拟）如图，动点P在等边△ABC的边AC（不包括端点）上，，连接PB，AD⊥PB于D，以AD为一边在AD右侧作等边△ADE，ED的延长线交BC于F，若∠EFC＝45°，则EF＝ 　　．
【考点】等边三角形的性质；直角三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】
【分析】分别连接AF，EC，作CG∥BD，交EF的延长线于G，利用等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质得到∠AEC＝∠ADB＝90°，CE＝BD；证明△BDF≌△CGF，则BF＝FC，作CH⊥EF于点H，证明△EHC是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结论．
【解答】解：如图，分别连接AF，EC，作CG∥BD，交EF的延长线于G，
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝60°，∠DAE＝60°，∠AED＝60°，
∴∠BAD＝∠EAC．
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC，BD＝CE，
∵AD⊥PB，
∴∠ADB＝90°，
∴∠AEC＝90°．
∵∠AED＝∠ADE＝60°，
∴∠CED＝∠PDE＝∠FDB＝∠AEC﹣∠AED＝90°﹣60°＝30°，
∵CG∥BD，
∴∠G＝∠FDB＝30°，
∴∠G＝∠CEG＝30°，
∴CG＝CE，
∴BD＝CG．
在△BDF和△CGF中，
，
∴△BDF≌△CGF（AAS），
∴BF＝FC，
∵AB＝AC，
∴点F为BC中点，
∴AF⊥BC，CF＝BF＝BC＝AB＝（2+2）＝+1，
作CH⊥EF于点H，如图，
∵∠EFC＝45°，
∴△FHC是等腰直角三角形，
∴，
∵∠CEH＝30°，
∴CE＝2CH＝2×（+）＝+，
∴，
∴，
所以EF的长为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 鼓楼区校级模拟）如图AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．
求证：AD＝AE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】根据CD⊥AB，BE⊥AC得∠AEB＝∠ADC＝90°，进而可依据“AAS”判定△ABE和△ACD全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠ADC＝90°，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AE＝AD，
即AD＝AE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
17．（2025 汕头模拟）如图，四边形ABCD中，AB＝DC，AB∥DC，E，F是对角线AC上两点，且AE＝CF．求证：△ABE≌△CDF．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】由平行线的性质得∠BAE＝∠DCF，再由SAS证明△ABE≌△CDF即可．
【解答】证明：∵AB∥DC，
∴∠BAE＝∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
18．（2025 河北模拟）如图1和图2，Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AB＝20，BC＝15，DF＝15，DE＝12．点D，E分别在AB，AC边上滑动，点F在DE的右侧，当DF与AC相交时，交点记为P．
（1）EF的长为 　9　，EP的最小值为 　　；
（2）如图1，当DP＝12时，请证明AP＝AD；
（3）如图2，
①尺规作图：过点A做直线DF的垂线AN，垂足为点N（保留作图痕迹，不写作图过程）；
②若AM垂直平分DE，求AN的长；
（4）直接写出点A与点F的最大距离．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）9；；
（2）见解析；
（3）①见解析；
②AN的长为18；
（4）．
【分析】（1）利用勾股定理求出EF的长，再由垂线段最短得到当EP⊥DF时，EP有最小值，即可解答；
（2）先证明△DEF∽△ABC得到∠EDF＝∠BAC，再推出△PDE∽△PAD即可得出结论；
（3）①按照要求用尺规作图作出直线DF的垂线AN即可；
②延长ED交AN延长线于点G，先利用全等三角形AAS判定定理推出△AME≌△AND，得到AM＝AN，再利用△DEF∽△DNG求出MG、NG的长，最后利用△DGN∽△AGM求出AM的长即可；
（4）作△ADE的外接圆，记圆心为O，作OP⊥DE交DE于点P，连接OA、OE、OD，利用外接圆的性质及相似三角形的性质求出圆的半径，再作FH⊥OP交OP延长线于H，连接OF，利用矩形的性质和勾股定理求出OF的长，最后利用两点之间线段最短性质即可求出点A与点F的最大距离．
【解答】（1）解：在Rt△DEF中，由勾股定理得：DE2+EF2＝DF2，
∴，
∵当DF与AC相交时，交点记为P，
∴由垂线段最短得，当EP⊥DF时，EP有最小值，
∴此时EP为△DEF的高，
∵，
∴．
故答案为：9；；
（2）证明：∵AB＝20，BC＝15，DE＝12，EF＝9，
∴，，
∴，
又∵∠DEF＝∠B＝90°，
∴△DEF∽△ABC，
∴∠EDF＝∠BAC，
又∵∠EPD＝∠DPA，
∴△PDE∽△PAD，
∴，
∴，
∵DP＝12，DE＝12，
∴DP＝DE，
∴，
∴AP＝AD．
（3）解：①如图2，垂线AN即为所求；
②如图，延长ED交AN延长线于点G，
∵AM垂直平分DE，
∴，∠AMD＝90°，AE＝AD，
由作图可得，AN⊥DF，
∴∠AND＝90°，
∵∠MAN+∠AND+∠MDN+∠AMD＝360°，
∴∠MAN+∠MDN＝360°﹣2×90°＝180°，
∵∠EDF+∠MDN＝180°，
∴∠MAN+∠MDN＝∠EDF+∠MDN，
∴∠MAN＝∠EDF，
由（2）中的结论有，∠EDF＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠MAN，
即∠EAM+∠MAD＝∠DAN+∠MAD，
∴∠EAM＝∠DAN，
在△AME和△AND中，
，
∴△AME≌△AND（AAS），
∴AM＝AN，DN＝EM＝6，
∵∠DNG＝∠DEF＝90°，∠EDF＝∠NDG，
∴△DEF∽△DNG，
∴，
∴，，
∴，
∵∠DNG＝∠AMG＝90°，∠DGN＝∠AGM，
∴△DGN∽△AGM，
∴，即，
解得：AM＝18，
∴AN＝AM＝18，
∴AN的长为18；
（4）解：点A与点F的最大距离为．理由如下：
作△ADE的外接圆，记圆心为O，作OP⊥DE交DE于点P，连接OA、OE、OD，
∵圆O是△ADE的外接圆，
∴OA＝OD＝OE，，
∵OP⊥DE，
∴，OP平分∠DOE，
∴，
又∵∠OPE＝∠ABC＝90°，
∴△OPE∽△ABC，
∴，即，
解得：OP＝8，
在直角三角形OPE中，由勾股定理得：，即圆O的半径为10，
作FH⊥OP交OP延长线于H，连接OF，则∠H＝90°，
又∵∠DEF＝90°，∠EPH＝90°，
∴四边形EFHP是矩形，
∴FH＝EP＝6，PH＝EF＝9，
∴OH＝OP+PH＝8+9＝17，
在Rt△OFH中，由勾股定理得：，
由两点之间线段最短性质得，AF≤OA+OF，
∴，
∴点A与点F的最大距离为．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的性质与判定、尺规作图、三角形的外接圆、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造相似三角形，利用勾股定理求线段长度，利用三角形外接圆的性质求最值是解题的关键，本题属于几何综合题，适合几何知识储备较强，有能力解决几何难题的学生．
19．（2025 黄石一模）已知：如图，AD，BC相交于点O，且AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．求证：CO＝DO．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据HL证明Rt△ABC≌Rt△BAD，利用全等三角形的性质证明即可．
【解答】证明：∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ABC和△BAD都是Rt△，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
∴∠BAD＝∠ABC，
∴AO＝BO，
∴BC﹣BO＝AD﹣AO，
即CO＝DO．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，“HL”；全等三角形的对应边相等．
20．（2025 山东一模）【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题：
（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在边BC上，且∠DAE＝45°，小红对小波说：“图中线段BD、DE和EC有一定的数量关系，你知道吗？”
小波毫不思索的回答道：“太简单了，把△ABD绕点A逆时针转90°得到△ACF，连接EF，就能证出BD2+EC2＝DE2．小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指．
【解决问题】
①若，则BD＝　3　；
②请你帮助小波证明他的结论．
【情境理解应用】
（2）小波接着对小红说：“如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90度，AB＝AD，∠ACD＝45°，若，你知道AC的长吗？”，小红会意点了头．小红的答案是AC＝　　．
【考点】三角形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①3；
②见解析；
（2）．
【分析】（1）①由题意得，BD+DE＝8，根据BD2+42＝（8﹣BD）2，即可求解；
②△ABD绕点A逆时针转 90°得到△ACF，连接 EF，则△ABD≌△ACF，∠FAD＝90°，推出CF＝BD，AF＝AD，∠ACF＝∠ABD＝45°，∠FCE＝90°；再证△FAE≌△DAE，得EF＝ED，即可求解；
（2）作AG⊥CD，由题意求得，CD＝8；根据∠ACD＝45°，可推出AG＝CG；根据DG2+AG2＝AD2，得到关于AG的方程，即可求解；
【解答】（1）①解：∵，
∴，
∵CE＝4，
∴BD+DE＝8，
∵BD2+EC2＝DE2，
∴BD2+42＝（8﹣BD）2，
解得：BD＝3，
故答案为：3；
②证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°；
∵△ABD绕点A逆时针旋转 90°得到△ACF，连接EF，如图1：
则△ABD≌△ACF，∠FAD＝90°，
∴CF＝BD，AF＝AD，∠ACF＝∠ABD＝45°，∠CAF＝∠DAB，
∴∠FCE＝∠ACF+∠ACB＝90°；
∵∠DAE＝45°，
∴∠DAB+∠CAE＝90°﹣∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠CAF+∠CAE＝∠DAB+∠CAE＝45°，
∴∠FAE＝∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
，
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴EF＝ED；
∵CF2+CE2＝EF2，
∴BD2+EC2＝DE2；
（2）解：作AG⊥CD于G，如图2：
∵AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴，
∵∠BCD＝90°，
∴；
∵∠ACD＝45°，AG⊥CD，
∴∠CAG＝45°，
∴AG＝CG，
∴DG＝CD﹣CG＝CD﹣AG＝8﹣AG；
∵DG2+AG2＝AD2，
∴，
解得：AG＝1或AG＝7，
∵，
∴或，
在△ACD中，∠ACD＝45°，∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝45°+∠BDC＞45°，
∴AC＞AD，
∴，
故答案为：．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握旋转的性质是解答本题的关键．
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