【中考押题卷】2025年中考数学二轮复习考前预测：图形的相似（含解析）

2025年中考数学二轮复习考前预测：图形的相似
一．选择题（共10小题）
1．（2025 崇明区一模）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025 柳州模拟）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上，连接AD，BC交于点E，则S△ABE：S△DCE＝（　　）
A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：1
3．（2025 大渡口区模拟）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为3，则四边形EFGH的周长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．27
4．（2025 江北区模拟）如图，点D、点E在△ABC的边上，且DE∥AB，AD：DC＝2：1，则△ABC与△DEC的相似比为（　　）
A．2：1 B．3：1 C．1：2 D．1：3
5．（2025 登封市一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△CDE是位似图形，点O是坐标原点，点A，B，C，D，E都在格点上，且A（﹣2，0），则位似中心的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣2，2） C．（2，2） D．（﹣2，0）
6．（2025 登封市一模）小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是（　　）
A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm
7．（2025 虹口区一模）如图，已知AB∥CD，联结AD、BC交于点O，联结AC，∠ACB＝∠BAD，如果AB＝2，CD＝6，那么CO长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2025 松江区一模）如图，在 ABCD中，E是边CD的中点，AE交BD于点O，如果△DOE的面积为1，那么△ABO的面积为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．9
9．（2025 青浦区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD是△ABC的角平分线.是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025 黄浦区一模）某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，求证：△DEF∽△ABC．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（　　）
A．可证，进而证得△DEF∽△ABC
B．可证∠B＝∠FED，∠C＝∠EFD，进而证得△DEF∽△ABC
C．可证∠B＝∠FED，，进而证得△DEF∽△ABC
D．可证△FBD∽△DEF，△FBD∽△ABC，进而证得△DEF∽△ABC
二．填空题（共5小题）
11．（2025 永寿县校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BD＝1，AD＝2，则BC的长为　 　．
12．（2025 安阳模拟）已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是　 　．
13．（2025 晋安区校级模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AC＝8，DE＝6，EF＝3，则BC＝ 　 　．
14．（2025 佛山一模）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使得∠DCP＝60°，连接OD，则OD的最大值为 　 　．
15．（2025 柳州一模）如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，PB＝2.1米，PD＝12米，那么该古墙的高度是 　 　米．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 河北模拟）风力发电是我国电力资源的重要组成部分．嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算．如图14（图中所有的点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段OA，OB，OC表示三片风叶，OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，某时刻OA，OB的影子恰好重合为线段EF，OD⊥EF于点D，测得DE＝36m，EF＝20m．同一时刻测得高4m的标杆MN影长为3m．
（1）直接写出∠ABO的度数及OD的长；
（2）求风叶转动时点B到地面DF的最小距离．
17．（2025 晋安区校级模拟）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，D为BC中点，以D为直角顶点作等腰直角三角形MDN，M在N的左侧．
（1）若点M与点A重合，DN与MB相交于点P．
①若AC＝2，求MN的长；
②求证：DP PN＝AP PB；
（2）若点M在AC左侧，且∠AMC＝90°时，过点D作DE⊥BC交AB于点E，连接ME、CN，在线段CN上取一点F且满足∠NDF＝∠EMD，求证：．
18．（2025 泸县一模）如图，已知点C在圆上，PA为⊙O的一条割线，∠PCB＝∠A．
（1）求证：△PBC∽△PCA；
（2）若PB＝4，AB＝6，求PC．
19．（2025 大渡口区模拟）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：△ABO∽△BEO；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
20．（2025 茅箭区校级模拟）在Rt△ABC中，AC＝1，∠C＝90°，D为BC边上一动点，且（n为正整数），在直线BC上方作△ADE，使得△ADE∽△ACB．
（1）如图1，在点D运动过程中，△ACD与△ABE始终保持相似关系，请说明理由；
（2）如图2，若n＝2，M为AB中点，当点E在射线CM上时，求CD的长；
（3）如图3，设AE的中点为P，求点D从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径长（用含n的代数式表示）．
2025年中考数学二轮复习考前预测：图形的相似
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2025 崇明区一模）如图，在三角形纸片ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【解答】解：在三角形纸片ABC中，AB＝6，BC＝8，AC＝4．
A、∵＝，∠C＝∠C，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项符合题意；
B、∵≠，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
C、∵≠，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
D、∵≠，
故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
2．（2025 柳州模拟）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上，连接AD，BC交于点E，则S△ABE：S△DCE＝（　　）
A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：1
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】D
【分析】判定△ABE∽△DCE，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【解答】解：∵CD∥AB，
∴△ABE∽△DCE，
∴S△ABE：S△DCE＝AB2：CD2，
∵AB＝6，CD＝2，
∴S△ABE：S△DCE＝9：1．
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，关键是由△ABE∽△DCE，推出S△ABE：S△DCE＝AB2：CD2．
3．（2025 大渡口区模拟）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心是O，若OA：AE＝1：2，且四边形ABCD的周长为3，则四边形EFGH的周长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．27
【考点】位似变换．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据位似图形的概念得到AD∥EH，根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，
∴AD∥EH，
∴△OAD∽△OEH，
∴＝＝＝，即四边形ABCD与四边形EFGH的相似比为，
∵四边形ABCD的周长为3，
∴四边形EFGH的周长为9，
故选：B．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的判定和性质、相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．
4．（2025 江北区模拟）如图，点D、点E在△ABC的边上，且DE∥AB，AD：DC＝2：1，则△ABC与△DEC的相似比为（　　）
A．2：1 B．3：1 C．1：2 D．1：3
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【解答】解：∵AD：DC＝2：1，
∴AC：DC＝3：1，
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴△ABC与△DEC的相似比＝＝3：1，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2025 登封市一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABO与△CDE是位似图形，点O是坐标原点，点A，B，C，D，E都在格点上，且A（﹣2，0），则位似中心的坐标是（　　）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣2，2） C．（2，2） D．（﹣2，0）
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【专题】图形的相似；几何直观．
【答案】C
【分析】连接AC，BD，OE，并分别延长，相交于点P，则△ABO与△CDE是以点P为位似中心的位似图形，即可得出答案．
【解答】解：如图，连接AC，BD，OE，并分别延长，相交于点P，
则△ABO与△CDE是以点P为位似中心的位似图形，
∴位似中心的坐标是（2，2）．
故选：C．
【点评】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键．
6．（2025 登封市一模）小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是1：2，若烛焰AC的高是4cm，则实像DB的高是（　　）
A．12cm B．8cm C．6cm D．5cm
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】B
【分析】根据AC∥DB证明△AOC∽△BOD，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图所示：AB、CD相交于点O，
∵AC是烛焰的高，DB是实像的高，
∴AC∥DB，
∴△AOC∽△BOD，
∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是1：2，AC＝4cm，
∴＝，
∴BD＝8cm．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．
7．（2025 虹口区一模）如图，已知AB∥CD，联结AD、BC交于点O，联结AC，∠ACB＝∠BAD，如果AB＝2，CD＝6，那么CO长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】由AB∥CD，证明△AOB∽△DOC，得＝＝，则CO＝3BO，所以CB＝4BO，由∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠B，证明△ACB∽△OAB，所以＝，则CB BO＝AB2＝22＝4，所以4BO2＝4，求得BO＝1，则CO＝3，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝2，CD＝6，
∴△AOB∽△DOC，
∴＝＝＝，
∴CO＝3BO，
∴CB＝BO+3BO＝4BO，
∵∠ACB＝∠BAD，∠B＝∠B，
∴△ACB∽△OAB，
∴＝，
∴CB BO＝AB2＝22＝4，
∴4BO2＝4，
解得BO＝1或BO＝﹣1（不符合题意，舍去），
∴CO＝3，
故选：C．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△AOB∽△DOC及△ACB∽△OAB是解题的关键．
8．（2025 松江区一模）如图，在 ABCD中，E是边CD的中点，AE交BD于点O，如果△DOE的面积为1，那么△ABO的面积为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．9
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质求得△AOB～△EOD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方来求出S△AOB＝4．
【解答】解：∵ ABCD中，E为CD边上的中点，
∴DE＝CD＝AB，AB∥CD，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠EDO，∠OAB＝∠OED，
∴△AOB∽△EOD，
∴＝＝＝2，
∴＝＝22＝4，
∴S△AOB＝4S△DOE＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了平行边形的性质，相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答关键．
9．（2025 青浦区一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝36°，AD是△ABC的角平分线.是（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】根据AC＝BC，∠C＝36°，求出∠B＝∠BAC＝72°，根据AD平分∠BAC可得∠BAD＝∠CAD＝36°，进而证得△ABD∽△CBA，根据相似三角形的性质证得结论．
【解答】解：∵AC＝BC，∠C＝36°，
∴∠B＝∠BAC＝72°，
∵AD平分∠BAC，
∠BAD＝∠CAD＝36°，
∴∠BAD＝∠C＝∠CAD＝36°，
∴AD＝CD，∠ADB＝72°，
∴AB＝AD，
∴AB＝AD＝CD，
∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴，
设BC＝AC＝a，BD＝x，
则AD＝CD＝AB＝a﹣x，
∴，
解得x＝a（不符合题意，舍去）或x＝a，
∴AB＝a﹣x＝a，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键掌握相似三角形的判定方法．
10．（2025 黄浦区一模）某学习小组研究问题“如图，已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，求证：△DEF∽△ABC．”经过小组讨论得到以下方法，其中存在错误的是（　　）
A．可证，进而证得△DEF∽△ABC
B．可证∠B＝∠FED，∠C＝∠EFD，进而证得△DEF∽△ABC
C．可证∠B＝∠FED，，进而证得△DEF∽△ABC
D．可证△FBD∽△DEF，△FBD∽△ABC，进而证得△DEF∽△ABC
【考点】相似三角形的判定；三角形中位线定理；相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】C
【分析】由D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，得DE＝AB，EF＝BC，FD＝AC，则＝＝＝，所以△DEF∽△ABC，可判断A不符合题意；由DE∥BF，EF∥BD，证明四边形BDEF是平行四边形，则∠B＝∠FED，同理∠C＝∠EFD，则△DEF∽△ABC，可判断B不符合题意；由AB∥ED，证明△ABC∽△EDC，得＝，而DC＝EF，所以＝，可知＝不成立，所以由∠B＝∠FED，＝，不能证得△DEF∽△ABC，可判断C符合题意；由∠BFD＝∠EDF，∠BDF＝∠EFD，证明△FBD∽△DEF，由FD∥AC，证明△FBD∽△ABC，则△DEF∽△ABC，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴DE∥AB，且DE＝AB，EF∥BC，且EF＝BC，FD∥AC，且FD＝AC，
∴＝＝＝，
∴△DEF∽△ABC，
故A不符合题意；
∵DE∥BF，EF∥BD，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴∠B＝∠FED，
同理四边形CDFE是平行四边形，
∴∠C＝∠EFD，
∴△DEF∽△ABC，
故B不符合题意；
∵AB∥ED，
∴△ABC∽△EDC，
∴＝，
∵DC＝EF，
∴＝，
∴＝不成立，
∴由∠B＝∠FED，＝，不能证得△DEF∽△ABC，
故C符合题意；
∵DE∥AB，EF∥BC，
∴∠BFD＝∠EDF，∠BDF＝∠EFD，
∴△FBD∽△DEF，
∵FD∥AC，
∴△FBD∽△ABC，
∴△DEF∽△ABC，
故D不符合题意，
故选：C．
【点评】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，适当选择相似三角形的判定定理证明△DEF∽△ABC是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．（2025 永寿县校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若BD＝1，AD＝2，则BC的长为　5　．
【考点】射影定理；直角三角形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】三角形．
【答案】5．
【分析】根据题意，得∠BAD＝90°﹣∠DAC＝∠C，结合∠BDA＝90°＝∠ADC，证明△BAD∽△ACD，列比例式解答即可．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°﹣∠DAC＝∠C，∠BDA＝90°＝∠ADC，
∴△BAD∽△ACD，
∴，
∵BD＝1，AD＝2，
∴，
解得DC＝4，
∴BC＝BD+DC＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定是解题的关键．
12．（2025 安阳模拟）已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是　﹣1　．
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【答案】﹣1．
【分析】设，求得k＝1，得到a＝b＝c，然后代入代数式化简解题即可．
【解答】解：设，
∴a＝bk，b＝ck，c＝ak，
∴a＝ck k＝ak k k＝ak3，
∴k3＝1，解得k＝1，
∴a＝b＝c，
∴，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查比例的性质，注意正确计算．
13．（2025 晋安区校级模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AC＝8，DE＝6，EF＝3，则BC＝ 　　．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，
∴，
∵AC＝8，DE＝6，EF＝3，
∴，
解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确进行计算是解题关键．
14．（2025 佛山一模）如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使得∠DCP＝60°，连接OD，则OD的最大值为 　2 +1　．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形三边关系；勾股定理；点与圆的位置关系．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】2+1．
【分析】如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，连接OP，则CO＝2CE，OE＝2 ，∠OCP＝∠ECD，由△COP∽△CED，得比例式，从而求得ED＝1（定长），由点E是定点，DE是定长，推出点D在半径为1的⊙E上，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，连接OP，则 CO＝2CE，OE＝2 ，∠OCP＝∠ECD，
∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，
∴CP＝2CD，
∴＝2
∴△COP∽△CED，
∴＝2，
即ED＝OP＝1（定长），
∵点E是定点，DE是定长，
∴点D在半径为的⊙E上，
∵OD OE+DE，
∴OD≤2+1，
∴OD的最大值为2+1，
故答案为：2+1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质及圆的有关概念及性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
15．（2025 柳州一模）如图，是小莹设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，PB＝2.1米，PD＝12米，那么该古墙的高度是 　8　米．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】8．
【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB＝∠CPD，再由∠ABP＝∠CDP＝90°得到△ABP∽△CDP，得到＝代入数值求的CD＝8．
【解答】解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP
∴＝，
即＝，
解得：CD＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，注意到相似三角形，解决本题关键．
三．解答题（共5小题）
16．（2025 河北模拟）风力发电是我国电力资源的重要组成部分．嘉嘉为了解某风力发电机的风叶长度，通过测量其影子长度的方法进行计算．如图14（图中所有的点均在同一平面，太阳光线视为平行光线），线段OA，OB，OC表示三片风叶，OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，某时刻OA，OB的影子恰好重合为线段EF，OD⊥EF于点D，测得DE＝36m，EF＝20m．同一时刻测得高4m的标杆MN影长为3m．
（1）直接写出∠ABO的度数及OD的长；
（2）求风叶转动时点B到地面DF的最小距离．
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】（1）∠ABO＝30°，OD＝48m；
（2）16m．
【分析】（1）通过△ODE∽△NMG，即可求得DO＝48m，再根据等腰三角形的性质结合三角形的内角和定理即可求解∠ABO的度数；
（2）过点O作OH⊥AB于点H，过点E作EI⊥AF于点I，由△EIF∽△NMG，求得EI＝16m，则OH＝EI＝16m，根据直角三角形的性质得到BO＝2OH＝32m，故当OB⊥DF时，风叶转动时点B到地面DF的最小距离为48﹣32＝16（m）；
【解答】解：（1）如图，
由题意得OE∥NG，∠ODE＝∠NMG＝90°，
∴∠OED＝∠G，
∴△ODE∽△NMG，
根据三角形相似性质可得：
，
∴，
∴DO＝48m，
∵OA＝OB，∠AOB＝120°，
∴；
（2）过点O作OH⊥AB于点H，过点E作EI⊥AF于点I，
在Rt△NMG中，由勾股定理得NG＝5m；
同理可证明：△EIF∽△NMG，
∴，
∴，
∴EI＝16m，
由题意得，OE∥AF，而OH⊥AF，EI⊥AF，
∴OH＝EI＝16m，
∵在Rt△OBH中，∠ABO＝30°，
∴BO＝2OH＝32m，
∴当OB⊥DF时，48﹣32＝16（m），
答：风叶转动时点B到地面DF的最小距离为16m．
【点评】本题考查了相似三角形的实际应用，勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，正确运用相似三角形的性质是解题的关键．
17．（2025 晋安区校级模拟）如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，D为BC中点，以D为直角顶点作等腰直角三角形MDN，M在N的左侧．
（1）若点M与点A重合，DN与MB相交于点P．
①若AC＝2，求MN的长；
②求证：DP PN＝AP PB；
（2）若点M在AC左侧，且∠AMC＝90°时，过点D作DE⊥BC交AB于点E，连接ME、CN，在线段CN上取一点F且满足∠NDF＝∠EMD，求证：．
【考点】相似形综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①；
②见解析；
（2）见解析．
【分析】（1）①如图，过点N作NK⊥CB交CB延长线于点K，则∠K＝90°，证明△ACD≌△DKN，则DK＝AC＝2，NK＝CD＝1，故BK＝DK﹣DB＝1，对Rt△BKN中运用勾股定理得，在Rt△MDN中，由勾股定理即可求得MN；
②证明△APD∽△NPB，即可得到DP PN＝AP PB；
（2）过点E作AE的垂线与MC的延长线交于点J，连接CE，BN，由平行线分线段成比例得点E为AB中点，可证明A，M，C，E四点共圆，则∠EMC＝∠CAB＝45°，故△MEJ为等腰直角三角形，∠AME＝∠AMC﹣∠EMC＝45°，△CEA为等腰直角三角形，可证明△EAM≌△ECJ，同理可得△EDB为等腰直角三角形，△MDN为等腰直角三角形，同理可证明：△MDE≌△NDB，导角∠3＝∠4，得DF∥BN，则有△CDF∽△CBN，得BN＝2DF，在等腰Rt△MEJ中，由勾股定理得，故，由，得，即，再利用三角形面积公式即可得证．
【解答】（1）①解：如图1，过点N作NK⊥CB交CB延长线于点K，则∠K＝90°；
∵∠ACB＝90°，CB＝CA，
∴AC＝BC＝2，
∴由勾股定理得，
∵点D为BC中点，
∴CD＝BD＝1，
∵△MDN是等腰直角三角形，
∴MD＝ND，∠MDN＝90°，
∴∠NDK+∠ADC＝∠DAC+∠ADC＝90°，
∴∠NDK＝∠DAC，
∵∠C＝∠K＝90°，
∴△ACD≌△DKN，
∴DK＝AC＝2，NK＝CD＝1，
在Rt△DKN中，由勾股定理得：，
在Rt△MDN中，由勾股定理得：；
②证明：由①得△ACD≌△DKN，
∴DK＝AC＝BC，NK＝CD＝BD，
∴CD＝BK，
∴NK＝BK，
∴△BKN是等腰直角三角形，
∴∠NBK＝45°，
∴∠ABN＝180°﹣45°﹣45°＝90°＝∠ADN，
∵∠APD＝∠NPB，
∴△APD∽△NPB，
∴，
∴DP PN＝AP PB；
（2）解：过点E作ME的垂线与MC的延长线交于点J，连接CE，BN，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE∥AC，
∴，
∴点E为AB中点，
∵CA＝CB，
∴CE⊥AB，
∴∠5+∠6＝∠6+∠7＝90°，
∴∠5＝∠7，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵∠AMC＝90°，∠AEC＝90°，
∴∠AMC+∠AEC＝180°，
∴A，M，C，E四点共圆，
∴∠EMC＝∠CAB＝45°，
∴△MEJ为等腰直角三角形，∠AME＝∠AMC﹣∠EMC＝45°，
∴EM＝EJ，∠J＝45°，
∴∠J＝∠AME，
∵CE⊥AB，∠CAB＝45°，
∴△CEA为等腰直角三角形，
∴CE＝AE，
在△EAM和△ECJ中，
，
∴△EAM≌△ECJ（ASA），
∴AM＝CJ，
∵同理可得△EDB为等腰直角三角形，
∴DE＝DB，
∵△MDN为等腰直角三角形，
同理可证明：△MDE≌△NDB，
∴EM＝BN，∠2＝∠4，
∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠4，
∴DF∥BN，
∴△CDF∽△CBN，
∴，则BN＝2DF，
在等腰Rt△MEJ中，由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴（AM+CM）2＝8DF2，即AM2+CM2+2AM×CM＝8DF2，
∴AC2+2AM×CM＝8DF2，
∵，，
∴AC2＝2S△ABC，AM×CM＝2S△AMC，
∴，
∴．
【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练构造基本全等模型是解决本题的关键．
18．（2025 泸县一模）如图，已知点C在圆上，PA为⊙O的一条割线，∠PCB＝∠A．
（1）求证：△PBC∽△PCA；
（2）若PB＝4，AB＝6，求PC．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）2．
【分析】（1）根据有2组角对应相等的两三角形相似可判定△PBC∽△PCA；
（2）根据相似三角形的性质得到PB：PC＝PC：PA，即4：PC＝PC：（4+6），然后利用比例的性质求出PC．
【解答】（1）证明：∵∠CPB＝∠APC，∠PCB＝∠A，
∴△PBC∽△PCA；
（2）解：∵△PBC∽△PCA，
∴PB：PC＝PC：PA，
即4：PC＝PC：（4+6），
解得PC＝2或PC＝﹣2（舍去），
即PC的长为2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．
19．（2025 大渡口区模拟）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：△ABO∽△BEO；
（2）若AB＝10，AC＝16，求OE的长．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．
【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证AB＝CB，得 ABCD是菱形，再由菱形的性质得AC⊥BD，可得∠AOB＝∠BOE＝90°，再由BE⊥AB，可得∠EBA＝90°，从而得出∠BEO＝∠ABO，
然后证△ABO∽△BEO即可；
（2）由勾股定理得OB＝6，由△ABO∽△BEO，得，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠CAB＝∠ACB，
∴AB＝CB，
∴ ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∵BE⊥AB，
∴∠EBA＝90°，
∴∠BEO+∠BAO＝∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BEO＝∠ABO，
∴△ABO∽△BEO；
（2）解：∵ ABCD是菱形，
∴，AC⊥BD，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∴，
∵△BOE∽△AOB，
∴，
即，
解得：，
即OE的长为．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
20．（2025 茅箭区校级模拟）在Rt△ABC中，AC＝1，∠C＝90°，D为BC边上一动点，且（n为正整数），在直线BC上方作△ADE，使得△ADE∽△ACB．
（1）如图1，在点D运动过程中，△ACD与△ABE始终保持相似关系，请说明理由；
（2）如图2，若n＝2，M为AB中点，当点E在射线CM上时，求CD的长；
（3）如图3，设AE的中点为P，求点D从点C运动到点B的过程中，点P运动的路径长（用含n的代数式表示）．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）理由见解答；
（2）CD的长是；
（3）点P运动的路径长是．
【分析】（1）由△ADE∽△ACB，得＝，∠EAD＝∠BAC，可推导出＝，∠DAC＝∠EAB，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ABE；
（2）作CG⊥AB于点G，则∠ACG＝∠ABC＝90°﹣∠BAC，由AC＝1，＝，n＝2，得BC＝nAC＝n＝2，则AB＝＝，求得AM＝BM＝，进而求得AG＝AC＝，CG＝AC＝，所以MG＝AM﹣AG＝，由相似三角形的性质得∠ACD＝∠ABE＝∠MGC＝90°，∠BME＝∠GMC，＝，则＝tan∠BME＝tan∠GMC＝＝，所以＝＝，则CD＝AC＝；
（3）取AB的中点L，连接PL，则PL∥EB，PL＝EB，所以∠ALP＝∠ABE＝90°，可知点P在经过AB中点且与AB垂直的直线PL上运动，根据勾股定理求得AB＝＝，当点D与点B重合时，PL的值最大，线段PL的长即为点P运动的路径长，由△ABE∽△ACB，得＝，求得EB＝，则PL＝，所以点P运动的路径长是．
【解答】解：（1）理由：如图1，∵△ADE∽△ACB，
∴＝，∠EAD＝∠BAC，
∴＝，∠BAC﹣∠BAD＝∠EAD﹣∠BAD，
∴∠DAC＝∠EAB，
∴△ACD∽△ABE．
（2）如图2，作CG⊥AB于点G，则∠AGC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACG＝∠ABC＝90°﹣∠BAC，
∵AC＝1，＝，
∴BC＝nAC＝n，
∵n＝2，
∴BC＝2，
∴AB＝＝＝，
∵M为AB中点，
∴AM＝BM＝AB＝，
∵＝sin∠ACG＝sin∠ABC＝＝＝，＝cos∠ACG＝cos∠ABC＝＝＝，
∴AG＝AC＝×1＝，CG＝AC＝×1＝，
∴MG＝AM﹣AG＝﹣＝，
∵△ACD∽△ABE，
∴∠ACD＝∠ABE＝∠MGC＝90°，∠BME＝∠GMC，＝，
∴＝tan∠BME＝tan∠GMC＝＝＝，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
∴CD＝AC＝×1＝，
∴CD的长是．
（3）如图3，取AB的中点L，连接PL，
∵AE的中点为P，
∴PL∥EB，PL＝EB，
∴∠ALP＝∠ABE＝90°，
∴点P在经过AB中点且与AB垂直的直线PL上运动，
∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝n，
∴AB＝＝＝，
当点D与点C重合时，则点P与点L重合；
当点D与点B重合时，如图4，此时PL的值最大，
∴线段PL的长即为点P运动的路径长，
∵△ABE∽△ACB，
∴＝，
∴EB＝＝＝，
∴PL＝EB＝，
∴点P运动的路径长是．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的中位线定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
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